數(shù)學4教師版素數(shù)、合數(shù)與分解素因數(shù)

1、素數(shù)、合數(shù)與分解素因數(shù)知識精要1.課前思考：1.四個小朋友的一個比一個大一歲，他們的的乘積是 1680，問這四個小朋友的年齡各是多歲？想，你會怎么解決這個問題？1680 = 5´ 6´ 7´82.引出素數(shù)與合數(shù)的概念請同學們做一件事：將 1-10，這十個數(shù)分解因數(shù)。結果：1 的因數(shù)只有 1；2 的因數(shù)有 1，2；3 的因數(shù)有 1,3；4 的因數(shù)有 1，2，4；5 的因數(shù)有 1，5；6 的因數(shù)有 1,2,3,6；發(fā)現(xiàn)這些數(shù)中有只有一個因數(shù)的，如 1；有只有兩個因數(shù)的如 2,3,5 等等；也有多個因數(shù)的，如 4,6 等等。定義：我們把像 2,3,5 這樣因數(shù)只有 1

2、和他們本身兩個因數(shù)的數(shù)叫素數(shù)（也叫質數(shù)）；把像 4 和 6 這樣除了 1 和他們本身外還有別的因數(shù)的數(shù)叫合數(shù)。根據(jù)定義，今后判斷一個數(shù)是素數(shù)還是合數(shù)的方法是看他因數(shù)的個數(shù)。顯然 1 既不是素數(shù)也不是合數(shù)。例 1判斷下列各數(shù)是素數(shù)還是合數(shù)：25，1，51，2，31，57解：方法，先分解因數(shù)，再根據(jù)因數(shù)的個數(shù)判斷：素數(shù)：2，31合數(shù)：25，51，57例 21、一個自然數(shù)，如果不是素數(shù)，就一定是合數(shù)。（ × ）2、兩個素數(shù)的和一定是合數(shù)。（ × ）3、1 既不是素數(shù)，也不是合數(shù)。（ ）4、素數(shù)一定是奇數(shù)，偶數(shù)都是合數(shù)。（ × ）5、兩個素數(shù)的積一定是合數(shù)。（）.素數(shù)的判

3、定：知道了素數(shù)的定義，那么如何快速的判斷一個數(shù)是不是素數(shù)呢？有兩種方法：.查素數(shù)表； .試除法，就是用比他小的素數(shù)，按從小到大的順序去除這個數(shù)，如果能被某個數(shù)整除，他就是合數(shù)如果除得得商比除數(shù)小且仍不能整除，就是素數(shù)。例 3：判斷 667 和 233 是不是素數(shù)？解： 667 = 23´ 29 ，所以 667 不是素數(shù)。233¸17 =13L12 ，13<17，所以 233 是素數(shù)。（3）.素因數(shù)和分解分解素因數(shù)的概念以及分解素因數(shù)的方法其實學習了因數(shù)和素數(shù)之后不難理解，素因數(shù)：一個數(shù)的因數(shù)是素數(shù)就叫他的素因數(shù)。任何一個合數(shù)都可以寫成幾個素數(shù)相乘的形式，如4 = 2&

4、#180; 2 ；6 = 2´3；12 = 2´ 2´3；等等。其中 2 是 4 的素因數(shù)，2 和 3 是 6 的素因數(shù)，2 和 3 是 12 的素因數(shù)。分解素因數(shù)：將一個合數(shù)改寫成幾個素數(shù)相乘就叫分解素因數(shù)。如將 6 分解為6 = 2? 3 。注意分解素因數(shù)一定要分解到所有的因數(shù)都是素數(shù)為止。那么如何分解素因數(shù)呢？初中主要有兩種辦法：逐步分解法和短除法244 ´逐步分解法：利用樹形圖逐步把合數(shù)分解成素因數(shù)62 ´2 ´（從小到大的順序）相乘的形式。23用逐步分解法一般是可以直接看出是那兩個數(shù)相乘的數(shù)。例： 24 = 4´6

5、 = 2´ 2´ 2´3，樹形圖如右圖。短除法:用一個能整除這個合數(shù)的素數(shù)（一般從最小的）去除，得出的商如果是合數(shù)則在用同樣的方法來除，直到得到的商為素數(shù)為止，最后寫為連乘的形式。2 522 2613例：以分解 52 為例。52= 2´ 2´13例 1：最小的素數(shù):（ 2 ），最小的合數(shù)（ 4 ），既不是素數(shù)也不是合數(shù)的數(shù)是（ 1 ）例 2：判斷下列分解素因數(shù)是否正確，若不正確請說明原因。A30= 2´3´5´1B. 30=5 ´ 6C. 30= 2´3´5D. 2´3

6、80;5 =30例 3：把下列各數(shù)分解素因數(shù)。50， 91， 132， 299例 4：兩個素數(shù)之和是 39，求這兩個素數(shù)的乘積是多少？解：因為和為奇數(shù)，所以必然這兩個數(shù)為一奇一偶，所以其中之一是 2，兩一個是 37，乘積為 74，我們要抓住此類題的口。例 5：已知 3 個不同素數(shù)的和是最小的合數(shù)的完全平方，求這 3 個素數(shù)的乘積是多少？解：最小的合數(shù)是 4，其平方是 16，我們知道奇數(shù)個奇數(shù)的和是奇數(shù)，所以 3 個素數(shù)中必有一個偶數(shù) 2，那么其余 2 個的和是 14，只能一個是 3，一個是 11，因此 3 個素數(shù)的乘積是66.課堂練習：一、判斷題1、一個自然數(shù)，如果不是素數(shù)，就一定是合數(shù)。（

7、× ）2、兩個素數(shù)的和一定是合數(shù)。（ × ）3、大于 2 的素數(shù)都是奇數(shù)。（ ）4、一個大于 1 的自然數(shù)，如果有小于本身的因數(shù)，那么這個數(shù)一定是合數(shù)。（ ）二、解答1、試用短除法把 42 分解素因數(shù)。2 42解： 3 21 742=2×3×72、下列各數(shù)中，哪些是素數(shù)？哪些是合數(shù)？并將合數(shù)分解素因數(shù)。6、13、18、31、51、67、87、120解：素數(shù)是 13、31、67，合數(shù)是 6、18、51、87、1206=2×3；18=2×3×3；51=3×17；87=3×29；120=2×2

8、5;2×3×53、把 15 寫成滿足下面條件的兩個數(shù)相加的形式。（1）二個數(shù)都是素數(shù)；解：15=2+13（2）二個數(shù)都是合數(shù)；解：15=6+9（3）一個數(shù)是素數(shù)，另一個數(shù)是合數(shù)。解：15=3+12精解名題例 1、用 10 以內的三個不同素數(shù)，組成兩個同時能被 3 和 5 整除的三位數(shù)，求這兩個數(shù)。解：10 以內的素數(shù)有：2、3、5、7若要能同時被 3 和 5 整除，則個位數(shù)應為 5，且各位數(shù)相加能被 3 整除，由此可得這兩個數(shù)為 375 或 735例 2、已知兩個素數(shù)的積是 143，那么這兩個素數(shù)的和是多少？解：將 143 分解素因數(shù)得到：143=11×13兩數(shù)之

9、和=11+13=26備選例題例 1、用 1、2、3、4、5、6、7、8、9 這九個數(shù)字組成若干素數(shù)，如果每個數(shù)字都要用到，并且只能用一次，這 9 個數(shù)字最多能組成幾個素數(shù)？試一一寫出這些素數(shù)。解：最多可組成 6 個素數(shù)：2、3、5、47、61、89 或者是 2、3、5、41、67、89例 2、研究發(fā)現(xiàn)，一個正整數(shù)的因數(shù)的個數(shù)和它的素因數(shù)的大小及個數(shù)有密切關系。通過填表格，請你尋找這兩者之間存在的關系。其中 X 為所給定的正整數(shù)，A 代表素因數(shù) 2 的個數(shù)，B 代表素因數(shù) 3 的個數(shù)，C 代表素因數(shù) 5 的個數(shù)，D 代表素因數(shù) 7 的個數(shù)，Y 代表X 的因數(shù)的個數(shù)。你有何發(fā)現(xiàn)？解：Y=（A+1）

10、（B+1）（C+1）（D+1）鞏固練習一、填空題1、48 的素因數(shù)有 2、3 。2、分解素因數(shù) 30= 2×3×5 ，40= 2×2×2×5 ，則 30 和 40 相同的素因數(shù)是 2、5 。3、開學，老師將 259 本新書平均分發(fā)給六（2）班全體同學，你認為六（2）班有同學 37位。4、既是奇數(shù)又是合數(shù)的最小 2 位數(shù)是 15。XA+1B+1C+1D+1Y12321222186315、一個合數(shù)，至少有 3 個因數(shù)。6、寫出既是連續(xù)奇數(shù)，又都是素數(shù)的三個整數(shù) 3、5、7 。7、小明今年 13 歲，的個位數(shù)字恰好是最小的素數(shù)和最小的合數(shù)的一種組合，

11、的是 42 歲。8、在 m=2×3×5 中，m 的素因數(shù)有 3 個，m 的因數(shù)有 8 個。9、最小的素數(shù)是2；最小的合數(shù)是4。二、選擇題1、正方形的邊長是素數(shù)，它的面積一定是(B)A.素數(shù)B.合數(shù)C. 偶數(shù)D. 奇數(shù)2、下面說法，正確的是（ C ）A.兩個素數(shù)的和一定是偶數(shù)B.所有的素數(shù)都是奇數(shù)C.只能被 1 和它本身整除的正整數(shù)是素數(shù)D. 正整數(shù)中的一個數(shù)如果不是素數(shù)，就一定是合數(shù)3、在 28 的所有因數(shù)中，不同的素因數(shù)共有（ B ）個A.1B.2C.3D. 44、下列分解素因數(shù)正確的是（ A ）A.18=2×3×3B.18=1×2×

12、;3×3C.18=2×9D.2×3×3=185、100 以內，同時只含有素因數(shù) 2、3、5 的合數(shù)一共有（C ）A、一個B、兩個C、三個D、四個6、以下說法錯誤的是（B）A.合數(shù)有無限個B.素數(shù)有有限個C.28 的因數(shù)有有限個D.5 的倍數(shù)有無限個三、簡答題1、學習了奇數(shù)、偶數(shù)、正整數(shù)、自然數(shù)、素數(shù)、合數(shù)這些概念后，小明發(fā)現(xiàn)媽媽的小靈通號碼可以通過這些概念描述出來：第一位號碼是最小的素數(shù)；第二位號碼是 10 以內最大的合數(shù)；第三位號碼是最小的自然數(shù)；第四位號碼是正整數(shù)中最小的奇數(shù)；第五位號碼是正整數(shù)中最小的合數(shù)；第六位號碼是正整數(shù)中最小的偶數(shù)和最小的合數(shù)

13、之積；第七位號碼是正整數(shù)中既是 5 的因數(shù)，又是 5 的倍數(shù)的數(shù)；第八位號碼是 7 的最小的正整數(shù)倍數(shù)；請你寫出小明媽媽的小靈通號碼： 29014857自我檢測1、選擇題1、下列說法正確的是（C）A.所有的正整數(shù)至少有兩個因數(shù)B.偶數(shù)一定不是素數(shù)C.奇數(shù)也有可能是合數(shù)D.一個奇數(shù)和一個偶數(shù)一定有相同的因數(shù)2、幾個素數(shù)的積一定是(D)A.奇數(shù)B.偶數(shù)C.素數(shù)D.合數(shù)3、將 18 分解素因數(shù)正確的是（D）A.18 = 2´9C.18 =1´ 2´3´3B.18 = 3´ 6D.18 = 2´3´3二、解答題1、正整數(shù)內，有三個素

14、數(shù)之和是 80，這三個素數(shù)有幾種組合？是哪些情況？解：有 7 種組合：（2、5、73）； （2、7、71）； （2、11、67）； （2、17、61）；（2、19、59）； （2、31、47）； （2、37、41）2、你能把 40、44、45、63、65、78、99、105 這八個數(shù)平均分成兩組，使每組四個數(shù)的乘積相等嗎？解：先將這 8 個數(shù)分解素因數(shù)，40=2×2×2×5，44=2×2×11,45=3×3×3×5,63=3×3×7，65=5×13， 78=2×3×13，99=3×3×11，