第四章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用41中值定理

1、應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性態(tài)應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性態(tài)局部性態(tài)局部性態(tài) 未定型極限未定型極限 函數(shù)的局部近似函數(shù)的局部近似整體性態(tài)整體性態(tài) 在某個(gè)區(qū)間上在某個(gè)區(qū)間上 函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的極值函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的極值 函數(shù)的凸性、漸近性、圖形函數(shù)的凸性、漸近性、圖形微分中值定理，包括：微分中值定理，包括： 羅爾定理、拉格朗中值定理、羅爾定理、拉格朗中值定理、 柯西中值定理、泰勒中值定理柯西中值定理、泰勒中值定理 微分中值定理是微分學(xué)的理論基礎(chǔ)。是微分中值定理是微分學(xué)的理論基礎(chǔ)。是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的理論依據(jù)。利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的理論依據(jù)。 微分中值定理的共同特點(diǎn)是：微分中值定理的共同特點(diǎn)是： 在一定的條件

2、下，可以斷定在所給區(qū)間在一定的條件下，可以斷定在所給區(qū)間內(nèi)至少有一點(diǎn)，使所研究的函數(shù)在該點(diǎn)具有內(nèi)至少有一點(diǎn)，使所研究的函數(shù)在該點(diǎn)具有某種微分性質(zhì)。某種微分性質(zhì)。第八講第八講 微分中值定理微分中值定理一、費(fèi)爾馬一、費(fèi)爾馬 ( Fermat )定理定理二、羅爾二、羅爾 ( Rolle )定理定理三、拉格朗日三、拉格朗日(Lagrange )定理定理四、柯西四、柯西 (Cauchy )定理定理).()()()()()(),(.)()(0000000或或極極小小值值點(diǎn)點(diǎn)的的極極大大值值點(diǎn)點(diǎn)為為并并稱稱或或極極小小值值取取得得極極大大值值在在則則稱稱函函數(shù)數(shù)或或有有若若定定義義有有的的某某鄰鄰域域在在點(diǎn)

3、點(diǎn)設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)fxxfxfxfxfxfxNxxNxxf 一、費(fèi)爾馬一、費(fèi)爾馬 ( Fermat )定理定理（一）極值的定義：（一）極值的定義：0 x1xxyo)(xfy 極極大大值值)(0 xf極極小小值值)(1xf)(極大值點(diǎn)極大值點(diǎn))(極極小小值值點(diǎn)點(diǎn)極值的研究是微積分產(chǎn)生的主要?jiǎng)恿χ粯O值的研究是微積分產(chǎn)生的主要?jiǎng)恿χ?)(,)(,)(000 xfxxfxxf則則必必有有可可導(dǎo)導(dǎo)在在點(diǎn)點(diǎn)并并且且取取得得極極值值在在點(diǎn)點(diǎn)設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)（二）費(fèi)爾馬定理（二）費(fèi)爾馬定理 (極值必要條件極值必要條件).0)(200駐駐點(diǎn)點(diǎn)這這種種點(diǎn)點(diǎn)稱稱為為的的一一個(gè)個(gè)極極值值點(diǎn)點(diǎn)函函數(shù)數(shù)不不一一定定是是的的點(diǎn)

4、點(diǎn)滿滿足足注注意意fxxf .0)(10必必要要條條件件是是可可導(dǎo)導(dǎo)函函數(shù)數(shù)取取得得極極值值的的注注意意 xfxyo3xy 0)0(32 yxy不不是是極極值值點(diǎn)點(diǎn)0 x駐駐點(diǎn)點(diǎn)未未必必是是極極值值點(diǎn)點(diǎn)！證證)0)(0)(:(00 xfxf且且只只須須證證明明.)(0處處取取得得極極大大值值在在點(diǎn)點(diǎn)不不妨妨設(shè)設(shè)xxf)()(0 xfxf 有有內(nèi)內(nèi)的的鄰鄰域域在在點(diǎn)點(diǎn)即即,),(000 xxx000)()()(xxxfxfxxf 考考察察0)()(000 xxxfxfxx0)()(000 xxxfxfxx并并且且有有都都存存在在和和所所以以存存在在因因?yàn)闉?)()(,)(000 xfxfxf 0

5、)()(lim)()(00000 xxxfxfxfxfxx0)()(lim)()(00000 xxxfxfxfxfxx0)(0 xf微分中值定理的引入微分中值定理的引入.,.,平平行行的的切切線線與與弦弦在在點(diǎn)點(diǎn)使使得得曲曲線線上上至至少少存存在在一一點(diǎn)點(diǎn)那那麼麼切切線線有有連連續(xù)續(xù)不不斷斷且且其其上上各各點(diǎn)點(diǎn)都都平平面面曲曲線線ABCABCABAB(AB切線平行于弦切線平行于弦CABxyC軸軸切切線線平平行行于于 xoab AB0)( fxoAB切線平行于弦切線平行于弦CAB)()()( fabafbf yab xoAB切線平行于弦切線平行于弦CAB)()()()()()( gfagbgaf

6、bf y)(ag)(bg)( g)()()(btatfytgx :的的參參數(shù)數(shù)方方程程AB)(af)(bf)( f使使得得內(nèi)內(nèi)至至少少存存在在一一點(diǎn)點(diǎn)則則在在內(nèi)內(nèi)可可微微在在開開區(qū)區(qū)間間上上連連續(xù)續(xù)在在閉閉區(qū)區(qū)間間滿滿足足條條件件：設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù),),(),()()3(;),()2(;,)1()( babfafbabaxf )(0)(baf 二、羅爾二、羅爾 ( Rolle ) ( Rolle )定理定理怎樣證明羅爾定理怎樣證明羅爾定理 ？先利用形象思維先利用形象思維去找出一個(gè)去找出一個(gè)C點(diǎn)來！點(diǎn)來！想到利用閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)想到利用閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的最大最小值定理！的最大最小值定理！Cxyoab

7、ABC.,)(,)1(mMbaxf和和最最小小值值最最大大值值上上達(dá)達(dá)到到在在閉閉區(qū)區(qū)間間知知由由條條件件.,)(,)1(baxMxfmM 則則若若, 0)()(baxxfxf 常常數(shù)數(shù)有有內(nèi)內(nèi)任任取取一一點(diǎn)點(diǎn)作作為為可可在在因因此此,),(, ba0)( f,)2(mM 若若).(,)()(afmMbfaf不等于不等于至少有一個(gè)至少有一個(gè)和和知知由由 ).(afM 不不妨妨設(shè)設(shè)羅爾定理的證明：羅爾定理的證明：)()(baMf 即即處處達(dá)達(dá)到到某某點(diǎn)點(diǎn)內(nèi)內(nèi)部部只只能能在在最最大大值值這這就就是是說說從從而而有有因因?yàn)闉?),(,).(),()( baMbfMafbf 于于是是由由費(fèi)費(fèi)爾爾馬馬定

8、定理理知知因因而而是是極極大大值值內(nèi)內(nèi)部部達(dá)達(dá)到到且且在在是是函函數(shù)數(shù)的的最最大大值值又又存存在在所所以以因因?yàn)闉?,),(,)(.)(),(baffba )(0)(baf 使使得得內(nèi)內(nèi)至至少少存存在在一一點(diǎn)點(diǎn)則則在在內(nèi)內(nèi)可可微微在在開開區(qū)區(qū)間間上上連連續(xù)續(xù)在在閉閉區(qū)區(qū)間間滿滿足足條條件件：設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù),),(,),()2(;,)1()( bababaxf)()()()(bafabafbf 三、拉格朗日三、拉格朗日(Lagrange )定理定理怎樣證明拉格朗日定理怎樣證明拉格朗日定理 ？拉格朗日定理若添加條件拉格朗日定理若添加條件: )()(bfaf 則收縮為羅爾定理；則收縮為羅爾定理；羅爾定

9、理若放棄條件羅爾定理若放棄條件: )()(bfaf 則推廣為拉格朗日定理。則推廣為拉格朗日定理。 知識(shí)擴(kuò)張所遵循的規(guī)律之一就是將欲探知識(shí)擴(kuò)張所遵循的規(guī)律之一就是將欲探索的索的新問題新問題轉(zhuǎn)化為已掌握的轉(zhuǎn)化為已掌握的老問題老問題。因此想到利用羅爾定理！因此想到利用羅爾定理！xo0)(: kakxafyAB方方程程弦弦CABabafbfk )()(yab 滿足羅爾定理?xiàng)l件滿足羅爾定理?xiàng)l件弦線與弦線與f(x)在端點(diǎn)處相等在端點(diǎn)處相等kakxafxf )()(設(shè)設(shè)函數(shù)函數(shù))()()()()()(axabafbfafxfxF ).()(,),(,)(:bFaFbabaxF 且且可可導(dǎo)導(dǎo)內(nèi)內(nèi)在在上上連連續(xù)

10、續(xù)在在容容易易驗(yàn)驗(yàn)證證拉格朗日定理的證明：拉格朗日定理的證明：構(gòu)造輔助函數(shù)構(gòu)造輔助函數(shù)使使得得內(nèi)內(nèi)至至少少存存在在一一點(diǎn)點(diǎn)在在由由羅羅爾爾定定理理知知,),(, ba0)()()()( abafbffF abafbff )()()( 拉格朗日中值公式拉格朗日中值公式abafbff )()()( 拉格朗日公式各種形式拉格朗日公式各種形式)()()()(abfafbf )()()()(1212xxfxfxf xfxfxxf )()()(00 xxxfxfxxf )()()(000 ),(ba ),(ba ),(21xx ),(00 xxx )10( 有限增量公式有限增量公式思思考考題題：有有什什麼

11、麼區(qū)區(qū)別別？限限增增量量公公式式比比較較微微小小增增量量公公式式與與有有)()()()(000 xxxfxfxxf xxxfxfxxf )()()(0000,xba上上任任意意取取定定一一點(diǎn)點(diǎn)在在)()()(00 xxfxfxf 條條件件滿滿足足拉拉格格朗朗日日中中值值定定理理上上或或在在,)(,00 xxxxxfbax .,)(上上恒恒為為常常數(shù)數(shù)在在則則上上恒恒為為零零在在若若bafbaxf 推論推論1：證證有有由由拉拉格格朗朗日日中中值值定定理理,0)()(0 xfxf之之間間與與在在0 xx 0)( f已已知知常常數(shù)數(shù) )()(0 xfxf)()()(,),()(,是是常常數(shù)數(shù)其其中中

12、有有則則有有若若CCxgxfbaxxgxfbax 推論推論2：).(,),0)(0)(,單單調(diào)調(diào)減減少少上上單單調(diào)調(diào)增增加加在在則則有有若若bafxfxfbax 推論推論3：).(,),0)(0)(,嚴(yán)嚴(yán)格格單單調(diào)調(diào)減減上上嚴(yán)嚴(yán)格格單單調(diào)調(diào)增增在在則則有有若若bafxfxfbax 推論推論4：使使得得內(nèi)內(nèi)至至少少存存在在一一點(diǎn)點(diǎn)則則在在且且內(nèi)內(nèi)可可微微在在開開區(qū)區(qū)間間上上連連續(xù)續(xù)在在閉閉區(qū)區(qū)間間滿滿足足條條件件：設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù),),(. 0)(,),()2(;,)1()(),( baxgbabaxgxf )()()()()()()(bagfagbgafbf 四、柯西四、柯西 (Cauchy )定

13、理定理. 0)()( agbg先先證證矛矛盾盾！這這與與假假設(shè)設(shè)條條件件使使得得存存在在一一點(diǎn)點(diǎn)由由羅羅爾爾定定理理知知0)(, 0)(),(, xgcgbac用用反反證證法法)()(, 0)()(agbgagbg 即即假假設(shè)設(shè)柯西中值定理的證明：柯西中值定理的證明：構(gòu)造輔助函數(shù)構(gòu)造輔助函數(shù))()()()()()()()()(agxgagbgafbfafxfxF 即即使得使得故存在故存在滿足羅爾定理?xiàng)l件滿足羅爾定理?xiàng)l件, 0)(),(,)( FbaxF)()()()()()( gfagbgafbf 輯輯關(guān)關(guān)系系：四四個(gè)個(gè)定定理理之之間間有有如如下下邏邏費(fèi)爾馬定理費(fèi)爾馬定理羅爾定理羅爾定理拉格朗

14、日定理拉格朗日定理柯西定理柯西定理?1根根討討論論下下列列方方程程有有幾幾個(gè)個(gè)實(shí)實(shí)例例1222 xxx零點(diǎn)問題零點(diǎn)問題圖圖形形發(fā)發(fā)現(xiàn)現(xiàn)三三個(gè)個(gè)交交點(diǎn)點(diǎn)而而且且大大體體上上能能確確定定位位置置以下證明恰好以下證明恰好有三個(gè)根有三個(gè)根-3-2-111234246810204060801001201222 xxyyx交交點(diǎn)點(diǎn)個(gè)個(gè)數(shù)數(shù)該方程實(shí)根個(gè)數(shù)該方程實(shí)根個(gè)數(shù)就是兩條曲線就是兩條曲線首先證明至少有三個(gè)根首先證明至少有三個(gè)根計(jì)算表明計(jì)算表明0)10(,02)1(,023)1(,043)2( ffff根據(jù)介值定理根據(jù)介值定理122)(2 xxxfx令令)10, 1(, )1, 1( , )1, 2()(

15、和和在在 xf各至少有一個(gè)零點(diǎn)各至少有一個(gè)零點(diǎn)因此方程至少有三個(gè)根因此方程至少有三個(gè)根然后證明方程最多有三個(gè)根然后證明方程最多有三個(gè)根用反證法用反證法 有有四四個(gè)個(gè)相相異異實(shí)實(shí)根根0122)(2 xxxfx假假定定方方程程至少有三個(gè)相異實(shí)根至少有三個(gè)相異實(shí)根02222ln)( xxfx根據(jù)洛爾定理根據(jù)洛爾定理至少有兩個(gè)相異實(shí)根至少有兩個(gè)相異實(shí)根022)2(ln)(2 xxf至至少少有有一一個(gè)個(gè)實(shí)實(shí)根根02)2(ln)(3 xxf矛盾！矛盾！綜上所述，方程恰好有三個(gè)實(shí)根綜上所述，方程恰好有三個(gè)實(shí)根) 0)(, 0)(;0)(, 0)( bfafbfaf或或者者直觀觀察可直觀觀察可以啟發(fā)思路以啟發(fā)

16、思路)(),(bfaf在第一種情形在第一種情形, ,都不是最小值都不是最小值0)()( ,)( 2 bfafbaxf并并且且可可導(dǎo)導(dǎo)在在設(shè)設(shè)例例0)( ),( fba使使得得存存在在所以最小值一定在區(qū)間內(nèi)部達(dá)到所以最小值一定在區(qū)間內(nèi)部達(dá)到ba)(af)(bfyxab)(af)(bfyx. 0)(, 0)( bfaf不不妨妨設(shè)設(shè). )( 0)( 不是區(qū)間上的最小值不是區(qū)間上的最小值也也又可以推出又可以推出利用條件利用條件bfbf . ),( 達(dá)達(dá)到到內(nèi)內(nèi)部部某某個(gè)個(gè)點(diǎn)點(diǎn)于于是是最最小小值值在在 ba. 0)(),(: fba由由費(fèi)費(fèi)爾爾馬馬定定理理推推出出可可知知即即由由0)()(lim, 0)

17、( axafxfafax)()(, afxfax 有有充分近時(shí)充分近時(shí)距距當(dāng)當(dāng)不不是是區(qū)區(qū)間間上上的的最最小小值值 )( af證證證明思路直觀分析證明思路直觀分析 例例330)(, ), 0(.0)(lim, 0)0(,), 0(), 0 fxfffCfx則則存存在在并并且且可可導(dǎo)導(dǎo)在在設(shè)設(shè)內(nèi)內(nèi)部部達(dá)達(dá)到到最最大大或或最最小小值值必必然然在在), 0()( xfxyo證證0)(), 0( xf如如果果在在結(jié)結(jié)論論自自然然成成立立不不恒恒等等于于零零在在不不妨妨假假設(shè)設(shè)), 0()( xf0)(), 0(00 xfx使使得得0)(0 xf不不妨妨設(shè)設(shè)0)(lim xfx)()(,0101xfxf

18、xxxx 根據(jù)連續(xù)函數(shù)的根據(jù)連續(xù)函數(shù)的最大最小值定理最大最小值定理使使得得存存在在, , 01x 0| )(max)(1xxxff 0 并并且且0| )(max)( xxff 是是駐駐點(diǎn)點(diǎn)所所以以內(nèi)內(nèi)部部在在由由于于 ,), 0( 0)( f證證明明恒恒等等式式例例4)1(2arccosarcsin xxx )1(01111)(22 xxxxf則則)1(arccosarcsin)( xxxxf令令知知理理的的推推論論于于是是由由拉拉格格朗朗日日中中值值定定1)1()()( xccxf為為常常數(shù)數(shù)20arccos0arcsin)0( f又又證證時(shí)時(shí)有有當(dāng)當(dāng)又又1, x21arccos1arcsi

19、n)1( f于于是是得得到到)1(2arccosarcsin xxx )1(2arccosarcsin xxx 故故2)1arccos()1arcsin()1( f221arctanarctan1,05aababbabba 有有不不等等式式時(shí)時(shí)證證明明當(dāng)當(dāng)例例,arctan)(baxxxf 令令且且可可微微內(nèi)內(nèi)在在開開區(qū)區(qū)間間上上連連續(xù)續(xù)在在閉閉區(qū)區(qū)間間滿滿足足條條件件：顯顯然然,),()2(;,)1()(,babaxf211)(arctan)(xxxf 證證)()(11arctanarctan2baabab 有有理理于于是是由由拉拉格格朗朗日日中中值值定定,222111aababbab 因因

20、為為所所以以有有221arctanarctan1aababbab .)(,)(,)(lim,)()(6lafaxflxfaaUaxfax 且且可可導(dǎo)導(dǎo)在在點(diǎn)點(diǎn)則則函函數(shù)數(shù)且且外外可可導(dǎo)導(dǎo)除除點(diǎn)點(diǎn)連連續(xù)續(xù)的的鄰鄰域域在在點(diǎn)點(diǎn)若若函函數(shù)數(shù)例例使使得得點(diǎn)點(diǎn)之之間間至至少少存存在在一一與與則則在在定定理理?xiàng)l條件件上上滿滿足足拉拉格格朗朗日日中中值值或或在在函函數(shù)數(shù)顯顯然然且且,)(,.),(cxaaxxaxfaxaUx )()()(cfaxafxf 證證從從而而有有時(shí)時(shí)因因?yàn)闉楫?dāng)當(dāng).,acax)(lim)(lim)()(limcfcfaxafxfacaxax 即即有有由由已已知知條條件件,)(lim,

21、lcfac lcfaxafxfacax )(lim)()(lim.)(,)(,lafaxf 且且可可導(dǎo)導(dǎo)在在點(diǎn)點(diǎn)函函數(shù)數(shù)由由導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)定定義義知知注注意意)()(lim,)(,)(lim,)(,000000 xfxfxxfxfxxxxfxxxx 且且必必可可導(dǎo)導(dǎo)在在則則函函數(shù)數(shù)存存在在且且處處可可導(dǎo)導(dǎo)在在連連續(xù)續(xù)附附近近在在點(diǎn)點(diǎn)只只要要此此例例說說明明.,;,或或是是有有第第二二類類間間斷斷是是連連續(xù)續(xù)它它或或在在每每一一點(diǎn)點(diǎn)處處不不能能有有第第一一類類間間斷斷則則導(dǎo)導(dǎo)函函數(shù)數(shù)若若函函數(shù)數(shù)在在某某區(qū)區(qū)間間內(nèi)內(nèi)可可導(dǎo)導(dǎo)有有不不等等式式時(shí)時(shí)證證明明：當(dāng)當(dāng)例例,17 xxxxx )1ln(1等等號(hào)號(hào)成

22、成立立時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng),0 xxxxxf 1)1ln()(令令2)1()(xxxf 則則證證.)0()(,上上嚴(yán)嚴(yán)格格增增加加在在從從而而 xf0)0(1)1ln()( fxxxxf0)(,0 xfx有有時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)0)0(1)1ln()( fxxxxf)1ln(1xxx 即即xxxxxg )1ln()1ln()(同同理理可可證證令令0)(,01 xfx有有時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng).)0,1()(,上上嚴(yán)嚴(yán)格格減減少少在在從從而而 xf)1ln(1xxx 即即.)(,)0()(801110實(shí)實(shí)根根也也僅僅有有證證明明的的根根全全是是實(shí)實(shí)根根設(shè)設(shè)實(shí)實(shí)系系數(shù)數(shù)多多項(xiàng)項(xiàng)式式例例xPaaxaxaxaxPnnnnnn 故故設(shè)設(shè)的的根根全全是是實(shí)實(shí)根根因因?yàn)闉?)(xPnmkmkknxxxxxxaxP)()()()(21210 nkkkxxxmm 2121,其其中中證證)()()()()()(1211201xfxxxxxxaxxxPkkmkknm .0)(,)(111 xfkxPxn所所以以重重根根的的是是因因?yàn)闉?()()()()()()()()(11111111111xfxxxfkxxxfxxxfxxkxPkkkn 0)()()()(1111111 xfkxfxxxfk又又.)1()(11重重根根的的是是故故