第二講雙曲型方程組及間斷解

1、計(jì)算流體力學(xué)講義計(jì)算流體力學(xué)講義2011 第二講第二講 雙曲型方程組及間斷解雙曲型方程組及間斷解李新亮李新亮 ；力學(xué)所主樓；力學(xué)所主樓219； 82543801 知識(shí)點(diǎn)：知識(shí)點(diǎn)： 雙曲型方程的特征方程雙曲型方程的特征方程 雙曲型方程的弱解及熵條件雙曲型方程的弱解及熵條件 Riemann間斷解間斷解 精確解、近似解初步精確解、近似解初步 1講義、課件上傳至講義、課件上傳至 (流體中文網(wǎng)）流體中文網(wǎng)） - “流體論壇流體論壇” -“ CFD基礎(chǔ)理論基礎(chǔ)理論 ”Copyright by Li Xinliang2知識(shí)回顧知識(shí)回顧1. 流體力學(xué)基本方程流體力學(xué)基本方程概念：概念： 連續(xù)介質(zhì)假設(shè)；連續(xù)介質(zhì)

2、假設(shè)； Euler描述描述/Lagrange描述描述N-S方程方程 描述描述 質(zhì)量、動(dòng)量、能量守恒質(zhì)量、動(dòng)量、能量守恒 的方程組的方程組流通量：流通量： 單位時(shí)間單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)內(nèi)通過(guò)垂直于垂直于x/y/z 軸軸單位面積單位面積的的 質(zhì)量、動(dòng)量、能量質(zhì)量、動(dòng)量、能量zGyGxGzUFyUFxUFtU321321)()()(無(wú)量綱量：無(wú)量綱量： 物理量與參考量（特征量）之比物理量與參考量（特征量）之比2. 偏微分方程（組）及其類型偏微分方程（組）及其類型0txUUASSA10 xtVVSUV 0 xvtvjjj解耦成N個(gè)獨(dú)立的方程雙曲型雙曲型有有N個(gè)實(shí)特征根（含重根）個(gè)實(shí)特征根（含重根）N個(gè)獨(dú)立特

3、征向量個(gè)獨(dú)立特征向量全部為復(fù)特征根全部為復(fù)特征根有有1個(gè)個(gè)N重特征根重特征根獨(dú)立特征變量數(shù)獨(dú)立特征變量數(shù)0, 則在則在左左端給定端給定vj的邊界條件的邊界條件 如果如果 j0, 則在則在右右端給定端給定vj的邊界條件的邊界條件 ABj=1j=20 xtUAUCopyright by Li Xinliang3 一維一維Euler方程方程cucuu321,條件條件描述描述邊界條件設(shè)定邊界條件設(shè)定 超音速入口超音速入口給定給定3個(gè)邊界條件個(gè)邊界條件 亞音速入口亞音速入口給定給定2個(gè)邊界條件個(gè)邊界條件 超音速出口超音速出口無(wú)需給定邊界條件無(wú)需給定邊界條件 亞音速出口亞音速出口給定給定1個(gè)邊界條件個(gè)邊界

4、條件cuandu0cuandu0cuandu0cuandu03Tmuuuxt),.,(0)(21UUUAU變系數(shù)方程組的情況變系數(shù)方程組的情況SSA1令：0 xtUSSU10 xtUSUS.1msSs令令（行向量）（行向量）()0kktxUUs在在x-t空間引入空間引入特征線：特征線：( )xx t0kddtUs1. 雙曲型方程組的特征方程雙曲型方程組的特征方程Copyright by Li Xinliang4 （變系數(shù)情況）雖然不能解耦，但能轉(zhuǎn)換成常微方程組（變系數(shù)情況）雖然不能解耦，但能轉(zhuǎn)換成常微方程組2.1 雙曲型方程組雙曲型方程組/kdx dtxt特征線( )xx t/kdx dtkd

5、txdtUUU沿特征線沿特征線Copyright by Li Xinliang5若不考慮粘性，流體微若不考慮粘性，流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中熵不變；團(tuán)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中熵不變；如果來(lái)流熵均勻分布，如果來(lái)流熵均勻分布，則全流場(chǎng)熵均勻分布則全流場(chǎng)熵均勻分布例：一維例：一維等（均）熵等（均）熵運(yùn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)預(yù)備知識(shí)：預(yù)備知識(shí)： 完全氣體中的熱力學(xué)量完全氣體中的熱力學(xué)量, , , , ,p T s h U c密度、壓力、溫度、熵、焓密度、壓力、溫度、熵、焓內(nèi)能、聲速內(nèi)能、聲速只有兩個(gè)獨(dú)立變量只有兩個(gè)獨(dú)立變量（完全氣體）僅與溫度有關(guān)（完全氣體）僅與溫度有關(guān)211/2(1)/21/2(3)/2/()/()spconstcpRT

6、scscs小常識(shí)：小常識(shí)： 等熵（絕熱）關(guān)系等熵（絕熱）關(guān)系與等溫相比，絕熱與等溫相比，絕熱氣體更難壓縮氣體更難壓縮vUC TcRT等熵情況下，僅有一個(gè)等熵情況下，僅有一個(gè)獨(dú)立的熱力學(xué)變量；獨(dú)立的熱力學(xué)變量；給定任何一個(gè)都意味著給定任何一個(gè)都意味著給定全部熱力學(xué)量；給定全部熱力學(xué)量；1/2(3)/211/()/22dc dsc0UUAtxuU2/uAcucu 2, 1矩陣矩陣A的特征值的特征值ccS若不考慮粘性，流體微若不考慮粘性，流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中熵不變；團(tuán)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中熵不變；如果來(lái)流熵均勻分布，如果來(lái)流熵均勻分布，則全流場(chǎng)熵均勻分布則全流場(chǎng)熵均勻分布均熵運(yùn)動(dòng)情況下，能量方程可用熵為常數(shù)替代均

7、熵運(yùn)動(dòng)情況下，能量方程可用熵為常數(shù)替代20()0utxuuptx0uutxx2spc2/0uucutxx一維均熵流動(dòng)控制方程（一維均熵流動(dòng)控制方程（Euler方程簡(jiǎn)化版）方程簡(jiǎn)化版）11200ASS112200uuctxtxuuctxtx10UUSStx0UUSStx0(3)duc ddtdtcudtdx/沿特征線沿特征線1：有：有：201dRdudc dduc ddtdtddtdtdt沿特征線沿特征線1： R不變不變1ddttx（1）轉(zhuǎn)化為）轉(zhuǎn)化為xt特征線1/dx dt積分因子積分因子定義：定義：21cRu注意：聲速c 是溫度的函數(shù)，可不是常數(shù)！c2 T ( c2 就是溫度?。。┚褪菧囟劝?/p>

8、?。?11/2(1)/21/2(3)/2/()11/()/22spconstcpRTscsdc dsc絕熱關(guān)系式絕熱關(guān)系式( )xx t11220(1)0(2)uuctxtxuuctxtxcu 2, 1constcuR12特征相容關(guān)系constcuS128知識(shí)點(diǎn)，牢記！知識(shí)點(diǎn)，牢記！一維均熵流動(dòng)沿特征線一維均熵流動(dòng)沿特征線Riemann不變量保持不變不變量保持不變xt特征線1cudtdx/特征線2cudtdx/constcuR12同理推導(dǎo)，同理推導(dǎo)，沿特征線沿特征線2：cudtdx/constcuS12constcuR12在（在（x,t）空間：）空間：沿特征線沿特征線1：cudtdx/沿特征線

9、沿特征線2：cudtdx/constcuS12ABC擾動(dòng)源擾動(dòng)源擾動(dòng)向兩側(cè)傳播擾動(dòng)向兩側(cè)傳播擾動(dòng)波以擾動(dòng)波以當(dāng)?shù)芈曀佼?dāng)?shù)芈曀傧騼蓚?cè)傳播向兩側(cè)傳播ucuc觀測(cè)者觀測(cè)者感受到兩側(cè)的擾動(dòng)感受到兩側(cè)的擾動(dòng)例例2.1： 有限振幅波的傳播問(wèn)題有限振幅波的傳播問(wèn)題othersconstxxxxxuuba)(, 0)(),(,0考慮一維無(wú)粘流動(dòng)（考慮一維無(wú)粘流動(dòng)（Euler方程），初始時(shí)方程），初始時(shí)刻（刻（t=0）流動(dòng)狀態(tài)如下：）流動(dòng)狀態(tài)如下：試分析試分析t=t0時(shí)刻的流動(dòng)狀態(tài)時(shí)刻的流動(dòng)狀態(tài) （假設(shè)流場(chǎng)（假設(shè)流場(chǎng)不出現(xiàn)間斷）不出現(xiàn)間斷）xu-50510-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.6

10、0.81t=0t=1t=2xu-50510-0.015-0.01-0.00500.0050.010.015t=3t=1t=4t=2t=01D Euler with initial disturbance u=0.01sin(x)不同時(shí)刻的速度分布（不同時(shí)刻的速度分布（A=1）不同時(shí)刻的速度分布（不同時(shí)刻的速度分布（A=0.01）)sin(005. 0)sin(005. 0),(ctxctxtxu思考題：思考題： 小擾動(dòng)的傳播情況？小擾動(dòng)的傳播情況？1)0 ,(; 1)0 ,(020sin)0 ,(xpxothersxxAxu數(shù)值解xt（1）（2）（3）（4）利用特征線，分析不同區(qū)域的差異利用特

11、征線，分析不同區(qū)域的差異等（均）熵情況下，同族特征線不會(huì)相交等（均）熵情況下，同族特征線不會(huì)相交Copyright by Li Xinliang9目的：目的： 學(xué)會(huì)如何運(yùn)用學(xué)會(huì)如何運(yùn)用Riemann不變量解題不變量解題Copyright by Li Xinliang10 xu-50510-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81t=0t=1t=2xu-50510-0.015-0.01-0.00500.0050.010.015t=3t=1t=4t=2t=01D Euler with initial disturbance u=0.01sin(x)1)0 ,(; 1)0 ,(

12、020sin)0 ,(xpxothersxxAxu一維擾動(dòng)波的傳播一維擾動(dòng)波的傳播 （上：（上： A=1; 下：下： A=0.01）大擾動(dòng)，非線性波大擾動(dòng)，非線性波小擾動(dòng)，線性波小擾動(dòng)，線性波基本解題思路：基本解題思路： 利用特征關(guān)系利用特征關(guān)系123cudtdx/cudtdx/xt)()(232223131113ttcuxxttcuxx解出解出 x1, x2利用利用Riemann不變量得：不變量得：2233113312121212cucucucu解出解出33,cuxt（1）（2）（3）（4）區(qū)域（區(qū)域（2），（），（4） 未擾動(dòng)未擾動(dòng)區(qū)域（區(qū)域（1）內(nèi)的流動(dòng)使用基本）內(nèi)的流動(dòng)使用基本方法計(jì)算

13、方法計(jì)算區(qū)域（區(qū)域（3）內(nèi)的計(jì)算可簡(jiǎn)化）內(nèi)的計(jì)算可簡(jiǎn)化 A BDCEFG(3) 區(qū)內(nèi)的波傳播速度為常數(shù)，且區(qū)內(nèi)的波傳播速度為常數(shù)，且在傳播過(guò)程中物理量保持不變?cè)趥鞑ミ^(guò)程中物理量保持不變 簡(jiǎn)單波簡(jiǎn)單波 特征線為直線特征線為直線)(),()(),(22112211xccxccxuuxuu注意：注意：因而方程是非線性的因而方程是非線性的給定給定x3,t3 利用利用Copyright by Li Xinliang11（假設(shè)t3充分?。?解出t3時(shí)刻的流場(chǎng)，繼續(xù)推進(jìn)下個(gè)時(shí)刻概念：概念： 簡(jiǎn)單波簡(jiǎn)單波區(qū)域區(qū)域 （3） 內(nèi)擾動(dòng)波的傳播特點(diǎn)內(nèi)擾動(dòng)波的傳播特點(diǎn)考慮考慮 （3）區(qū)內(nèi)的）區(qū)內(nèi)的, 同屬一條特同屬一條

14、特征線征線M 上的任意兩個(gè)點(diǎn)上的任意兩個(gè)點(diǎn)4 和和5：由于點(diǎn)由于點(diǎn)1 和點(diǎn)和點(diǎn)3 均在未擾動(dòng)區(qū)：均在未擾動(dòng)區(qū)：xt（1）（2）（3）（4）12345M5454ccuu在（在（3）區(qū)內(nèi)，）區(qū)內(nèi)， 所有物理量（所有物理量（u,c）沿特征線）沿特征線M不變不變 特征保持直線，特征波傳播速度不變特征保持直線，特征波傳播速度不變簡(jiǎn)單波簡(jiǎn)單波Copyright by Li Xinliang1212cuR12cuS542SSS5341,RR RR31RR5454SSRRCopyright by Li Xinliang13各區(qū)物理含義各區(qū)物理含義xt（1）（2）（3）（4）x擾動(dòng)區(qū)擾動(dòng)區(qū)t=0時(shí)刻t=t1時(shí)刻

15、右行波右行波左行波左行波區(qū)域（區(qū)域（1），感受），感受到左、右波的影響到左、右波的影響區(qū)域（區(qū)域（3），僅），僅感受到左行波感受到左行波的影響的影響簡(jiǎn)單波簡(jiǎn)單波區(qū)域（區(qū)域（2），），尚未感受尚未感受到波到波xt=t2時(shí)刻區(qū)域（區(qū)域（4），波已傳），波已傳播過(guò)去，恢復(fù)平靜播過(guò)去，恢復(fù)平靜波型、波速不變波型、波速不變3. 雙曲型方程的間斷解雙曲型方程的間斷解雙曲方程的特點(diǎn)：雙曲方程的特點(diǎn)： 擾動(dòng)波傳播速度有限擾動(dòng)波傳播速度有限 可能可能產(chǎn)生間斷產(chǎn)生間斷弱間斷：弱間斷： 函數(shù)連續(xù)，但導(dǎo)數(shù)間斷函數(shù)連續(xù)，但導(dǎo)數(shù)間斷 （如稀疏波的波頭、波尾）（如稀疏波的波頭、波尾）強(qiáng)間斷：強(qiáng)間斷： 函數(shù)本身間斷函數(shù)本身間

16、斷 （如激波、接觸間斷）（如激波、接觸間斷）流體力學(xué)控制方程：流體力學(xué)控制方程： 積分型積分型 （假設(shè)函數(shù)連續(xù)、光滑）（假設(shè)函數(shù)連續(xù)、光滑） 微分型微分型間斷處雖然無(wú)法滿足微分型方程，間斷處雖然無(wú)法滿足微分型方程， 但積分型方程（三大守恒律）仍然滿足但積分型方程（三大守恒律）仍然滿足例：例： 激波兩側(cè)關(guān)系激波兩側(cè)關(guān)系原則：原則： 連續(xù)區(qū)需滿足微分方程連續(xù)區(qū)需滿足微分方程 間斷兩側(cè)必須滿足積分方程間斷兩側(cè)必須滿足積分方程Copyright by Li Xinliang14z111,pu222,pu22221111222211112211)()()()()()(upZuEpuZuEpZuupZuu

17、ZuZu4. 雙曲型方程的弱解及熵條件雙曲型方程的弱解及熵條件1） 弱解弱解0, 0)(txxuftu)()0 ,(xxu若若u(x,t)在除在除有限條間斷有限條間斷外連續(xù)可微且滿足方程（外連續(xù)可微且滿足方程（1）；）；且在間斷線且在間斷線 滿足：滿足：（1）dtduuffCopyright by Li Xinliang15( )xt( )xt則稱則稱 u(x,t)是方程（是方程（1）的弱解）的弱解xt( , )uu x tuu“間斷處滿足積分方程間斷處滿足積分方程”( )0Vuf udxdttx任意控制體任意控制體Green 公式公式充分小的積分路線充分小的積分路線兩側(cè)均視為常值兩側(cè)均視為常

18、值DDffxduutdtxt( )xtt,uf,uf(1)0udfutdux間斷傳播的速度間斷傳播的速度ddfffdtduuu快速記憶法：快速記憶法：0)()()(tffuudtufudxD0)(DdtufudxCopyright by Li Xinliang16弱解不是唯一的弱解不是唯一的例：例：0, 0)(txxuftu22uf 0，10, 1)0 ,(xxxu弱解：0，10, 1),(xxtxuxttxttxtxtxu，1，1),(xttxxttxtxu，10，20，2，1),(dtduuffxt時(shí)刻的分布：全部都滿足全部都滿足11ffduudt 002ffduudt0?0ffuuxxt

19、 物理模型三個(gè)全都是弱解三個(gè)全都是弱解 dtduufuuufufuuff1)()()()()(lim000000022uf 0, 0)(txxuftu初始條件：初始條件：0，10, 1)0 ,(xxxuxttxttxtxtxu，1，1),(物理解：物理解：概念：雙曲型方程（概念：雙曲型方程（1）的）的“物理解物理解”)0()(22xuxuftu0當(dāng)：當(dāng)： 時(shí)收斂到的解時(shí)收斂到的解Copyright by Li Xinliang172） 熵條件熵條件定理：定理： 若若u(x,t) 是（是（1）的弱解，且在間斷處滿足：）的弱解，且在間斷處滿足：wuwfufuuufufwuwfuf)()()()()

20、()(其中其中w是介于是介于u+及及u-之間的任意值。之間的任意值。則則u(x,t)是唯一的物理解。是唯一的物理解。物理含義：物理含義： 特征線匯聚特征線匯聚 間斷間斷x( )uu x特征線特征線 (斜率斜率 u)0，10, 1),(xxtxu不滿足熵條件，不滿足熵條件， 非物理非物理 特征線匯聚，形成間斷特性線特性線向向間斷間斷處匯處匯聚聚 滿足熵條件滿足熵條件0uuutxdxudt特征線特征線特性線特性線從從間斷間斷處發(fā)散處發(fā)散 不滿足熵條件不滿足熵條件2. 2 Riemann間斷解間斷解1. Riemann問(wèn)題問(wèn)題0)()(0)()(0)(2xpuEutExputuxut一維無(wú)粘流動(dòng)一維

21、無(wú)粘流動(dòng)初始間斷初始間斷的演化問(wèn)題的演化問(wèn)題0,0,),(:0222111xpuxpuput例子：例子： 激波管問(wèn)題激波管問(wèn)題間斷條件：質(zhì)量、動(dòng)量、能量守恒Copyright by Li Xinliang18) 1 , 1 , 0(),(pu) 1 . 0 ,125. 0 , 0(),(puSod激波管問(wèn)題密度（上）、壓力（中）激波管問(wèn)題密度（上）、壓力（中）及速度（下）分布及速度（下）分布22221111222211112211)()()()()()(upZuEpuZuEpZuupZuuZuZuCopyright by Li Xinliang19Riemann問(wèn)題對(duì)問(wèn)題對(duì)CFD的意義的意義A

22、1234有限體積法示意圖有限體積法示意圖目的：目的： 計(jì)算計(jì)算A點(diǎn)所在界面的通量點(diǎn)所在界面的通量 （以便獲知控制體內(nèi)物理量的變化）（以便獲知控制體內(nèi)物理量的變化）LURU1） 利用數(shù)值方法（利用數(shù)值方法（“插值插值”），用（偏）左側(cè)點(diǎn)的值計(jì)算出），用（偏）左側(cè)點(diǎn)的值計(jì)算出 用（偏）右側(cè)點(diǎn)的值計(jì)算出用（偏）右側(cè)點(diǎn)的值計(jì)算出LURUA點(diǎn)物理量有兩個(gè)值，如何處理？當(dāng)做Riemann問(wèn)題處理！),(321UUUUULL),(432UUUUURRLURU2） 求解求解Riemann問(wèn)題問(wèn)題 （界面左側(cè)為（界面左側(cè)為右側(cè)為右側(cè)為 ）獲得穿過(guò)界面的通量）獲得穿過(guò)界面的通量LURU0)()(0)()(0)(2

23、xpuEutExputuxut0,0,),(:0222111xpuxpuputRiemann問(wèn)題求解思路：?jiǎn)栴}求解思路： a) 精確解：利用空氣動(dòng)力學(xué)精確解：利用空氣動(dòng)力學(xué) （積分關(guān)系式（積分關(guān)系式+特征線）特征線） b) 近似解：近似解： 積分近似、微分近似積分近似、微分近似流場(chǎng)中可能出現(xiàn)的三種波：流場(chǎng)中可能出現(xiàn)的三種波：激波：激波： 強(qiáng)間斷，滿足強(qiáng)間斷，滿足R-H 關(guān)系式關(guān)系式接觸間斷：接觸間斷： 特殊間斷，僅密度突變特殊間斷，僅密度突變 （兩側(cè)速度、壓力相同）（兩側(cè)速度、壓力相同）膨脹波：膨脹波： 等熵波等熵波間斷條件：間斷條件： R-H關(guān)系式關(guān)系式質(zhì)量、動(dòng)量、能量守恒質(zhì)量、動(dòng)量、能量守

24、恒初始值不滿足間斷關(guān)系，會(huì)分解成三個(gè)波獨(dú)立傳播初始值不滿足間斷關(guān)系，會(huì)分解成三個(gè)波獨(dú)立傳播Copyright by Li Xinliang20質(zhì)量通量守恒質(zhì)量通量守恒動(dòng)量通量守恒動(dòng)量通量守恒能量通量守恒能量通量守恒Z111,u p222,up隨激波運(yùn)動(dòng)，厚度充分小的控制體隨激波運(yùn)動(dòng)，厚度充分小的控制體如果如果 ， R-H關(guān)系顯然成立關(guān)系顯然成立1212,uuZ pp22221111222211112211)()()()()()(upZuEpuZuEpZuupZuuZuZu) 1 , 1 , 0(),(pu) 1 . 0 ,125. 0 , 0(),(pu0tt ttt0膨脹波膨脹波 接觸間斷接

25、觸間斷 激波激波xt1tt Sod 激波管起動(dòng)后氣流演化過(guò)程示意圖激波管起動(dòng)后氣流演化過(guò)程示意圖膨脹波膨脹波 接觸間斷接觸間斷 激波激波示意圖一般情況：五種可能一般情況：五種可能xt激波激波 接觸間斷接觸間斷 激波激波膨脹波膨脹波 接觸間斷接觸間斷 激波激波激波激波 接觸間斷接觸間斷 膨脹波膨脹波膨脹波膨脹波 接觸間斷接觸間斷 膨脹波膨脹波 膨脹波膨脹波 膨脹波膨脹波（1） （2） （3） （4）（5）分析分析Copyright by Li Xinliang21動(dòng)畫(huà)演示：動(dòng)畫(huà)演示： 密度的演化密度的演化 2. 求解方法求解方法 針對(duì)每種情況分別考慮；針對(duì)每種情況分別考慮； 利用積分關(guān)系，將微分

26、方程化成代數(shù)方程計(jì)算利用積分關(guān)系，將微分方程化成代數(shù)方程計(jì)算),(111pu),(222pu0tt ttt0激波激波 接觸間斷接觸間斷 激波激波),(111pu),(222pu),(*puL),(*puR1Z2ZZone: 1 3 4 2*1*11111*1*111111*111)()()()()()(upZuEpuZuEpZuupZuuZuZuLLL積分關(guān)系式（積分關(guān)系式（RH關(guān)系）：關(guān)系）： 1-3 兩區(qū)兩區(qū)2-4 兩區(qū)兩區(qū)*2*22222*2*222222*222)()()()()()(upZuEpuZuEpZuupZuuZuZuRRR6個(gè)方程，個(gè)方程，6個(gè)未知數(shù)?？山?！個(gè)未知數(shù)?？山?！

27、2) 1(2kkkkupE其中其中：1) 情況（情況（1）：）： 左、右激波左、右激波Copyright by Li Xinliang221,2, ,kL Rxt),(*puL),(*puR),(111pu),(222pu（1）（2）（3）（4）1-3 兩區(qū)關(guān)系式兩區(qū)關(guān)系式2-4 兩區(qū)關(guān)系式兩區(qū)關(guān)系式求解思路：求解思路： 消元法消元法3個(gè)方程，個(gè)方程，4個(gè)個(gè)未知數(shù)未知數(shù)),(212111*11*111*1*ppfuppcppuu設(shè)壓力已知，設(shè)壓力已知，解出速度解出速度),(33*2*ppfuu聯(lián)立方程，得：聯(lián)立方程，得：),(),(22*11*21ppfppfuu1方程，方程，1未知數(shù)，可解；

28、例如：未知數(shù)，可解；例如：Newton法法( )/( )newxxf xfxxyNewton法示意圖解出解出p*后，代入原方程，求出其余未知數(shù)后，代入原方程，求出其余未知數(shù)xt),(*puL),(*puR),(111pu),(222pu（1）（2）（3）（4）*1*11111*1*111111*111)()()()()()(upZuEpuZuEpZuupZuuZuZuLLL*2*22222*2*222222*222)()()()()()(upZuEpuZuEpZuupZuuZuZuRRR左行激波左行激波右行激波右行激波Copyright by Li Xinliang24情況情況2 ： 右激波、

29、左膨脹波右激波、左膨脹波 Sod 激波管問(wèn)題屬于該情況激波管問(wèn)題屬于該情況預(yù)備知識(shí)：預(yù)備知識(shí)： 膨脹波（稀疏波）膨脹波（稀疏波）高壓高壓低壓低壓Sod 激波管問(wèn)題，激波管問(wèn)題，t=0.14時(shí)刻壓力分布時(shí)刻壓力分布波波頭頭波波尾尾膨脹波膨脹波膨脹波膨脹波膨脹波膨脹波 接觸間斷接觸間斷 激波激波xt膨脹波：膨脹波： 內(nèi)部物理量連續(xù)、光滑內(nèi)部物理量連續(xù)、光滑 頭、尾物理量連續(xù)，但導(dǎo)頭、尾物理量連續(xù)，但導(dǎo)數(shù)不連續(xù)（弱間斷）數(shù)不連續(xù)（弱間斷）膨脹波兩側(cè)物理量的關(guān)系式：膨脹波兩側(cè)物理量的關(guān)系式：),(*puL),(111pu1）熵不變）熵不變2） Riemann不變量不變不變量不變*11/()/()Lpp

30、1212*11LcucuLLpc*/Copyright by Li Xinliang25xt),(*puL),(111pu),(*puR),(222pu(1)(2)(3)(4)(5)方法：方法： 先計(jì)算（先計(jì)算（3），（），（4）兩區(qū)的值；再計(jì)算膨脹波內(nèi)部（）兩區(qū)的值；再計(jì)算膨脹波內(nèi)部（5）區(qū)的值）區(qū)的值ttt0膨脹波區(qū)膨脹波區(qū) 接觸間斷接觸間斷 激波激波（1）（2）（5） （3） （4）2Z*2*22222*2*222222*222)()()()()()(upZuEpuZuEpZuupZuuZuZuRRR2-4 兩區(qū)關(guān)系式兩區(qū)關(guān)系式 （激波（激波RH關(guān)系）關(guān)系）：1-3兩區(qū)關(guān)系式兩區(qū)關(guān)系式

31、（等熵關(guān)系式）：（等熵關(guān)系式）：*11/()/()Lpp1212*11Lcucu)/(*LLpc5個(gè)方程，個(gè)方程，5個(gè)未知數(shù)，方程可解個(gè)未知數(shù)，方程可解！為什么未知數(shù)個(gè)數(shù)比雙激為什么未知數(shù)個(gè)數(shù)比雙激波的情況少波的情況少1個(gè)？個(gè)？求解方法與雙激波情況相同，先解出（求解方法與雙激波情況相同，先解出（3），（），（4）區(qū)速度對(duì)壓力的依賴關(guān)系區(qū)速度對(duì)壓力的依賴關(guān)系),(11*1*ppfuu 1)(12),(21*iiiippcppfCopyright by Li Xinliang26激波、膨脹波前后速度激波、膨脹波前后速度-壓力的依賴關(guān)壓力的依賴關(guān)系可寫成統(tǒng)一的形式：系可寫成統(tǒng)一的形式：左波左波 （激

32、波或膨脹波）：（激波或膨脹波）：),(11*1*ppfuu右波（激波或膨脹波）右波（激波或膨脹波）),(22*2*ppfuu（ 表示（表示（3）（）（4）區(qū)的速度和壓力）區(qū)的速度和壓力）*, pu其中：其中：iiiiiiiiiippppcppppcppppf*21*21*, 1)(12,21)(21),(激波激波膨脹波膨脹波得到方程得到方程：)(),(),(*22*11*21pFppfppfuu(*)1 個(gè)方程，個(gè)方程， 1個(gè)未知數(shù)，可解個(gè)未知數(shù)，可解求解求解(*) 得到得到3,4兩區(qū)的壓力兩區(qū)的壓力*p),(11*1*ppfuu然后，解出速度和密度然后，解出速度和密度xt),(*puL),(

33、111pu),(*puR),(222pu(1)(2)(3)(4)(5)xt),(*puL),(*puR),(111pu),(222pu（1）（2）（3）（4）膨脹波內(nèi)部物理量的計(jì)算膨脹波內(nèi)部物理量的計(jì)算cudtdxatconstcuRcudtdxatconstcuR/12/1221xt0tt 0txt1tt 波頭波尾處理方法：處理方法：1） 計(jì)算膨脹波的范圍計(jì)算膨脹波的范圍 波頭傳播速度波頭傳播速度 波尾傳播速度波尾傳播速度（1）（2）（5）(3)(4)11cu Lcu*2）在膨脹波區(qū)內(nèi)，利用特征相容關(guān)系計(jì)算）在膨脹波區(qū)內(nèi)，利用特征相容關(guān)系計(jì)算 利用簡(jiǎn)單波的特性，簡(jiǎn)化計(jì)算利用簡(jiǎn)單波的特性，簡(jiǎn)化

34、計(jì)算cudtdx/cutx/簡(jiǎn)單波簡(jiǎn)單波x=0特征線由特征線由x=0發(fā)出發(fā)出再利用另一條特征線的信息：再利用另一條特征線的信息：11,cu121211cucu解出cu,再利用等熵關(guān)系，計(jì)算, p1/211)/(ccpp2/cpCopyright by Li Xinliang27ttt0膨脹波膨脹波 接觸間斷接觸間斷 激波激波1112)(11),(ctxuxtctxctxu/),(Copyright by Li Xinliang28求解步驟求解步驟step1. 求解方程求解方程 (*)， 解出解出 3，4區(qū)的壓力區(qū)的壓力 單未知數(shù)代數(shù)方程；數(shù)值方法求解單未知數(shù)代數(shù)方程；數(shù)值方法求解iiiiiii

35、iiippppcppppcppppf*21*21*, 1)(12,21)(21),(*)(),(),(*22*11*21pFppfppfuu其中：step 2. 求出求出3，4區(qū)的速度、密度、激波移動(dòng)速度區(qū)的速度、密度、激波移動(dòng)速度 ),(11*1*ppfuustep 3. 計(jì)算出稀疏波區(qū)的量計(jì)算出稀疏波區(qū)的量 針對(duì)情況1， 求解完成； 對(duì)于情況2 繼續(xù)step 31112)(11),(ctxuxtctxctxu/),(1/211)/(ccpp2/cp其中各區(qū)的范圍如下 （以情況2 討論）：tcuxtcuL)()(*111 區(qū)： 5 區(qū)： 3 區(qū)： 4 區(qū)： 2 區(qū)：tcux)(11tuxtc

36、uL*)(tZxtu2*tZx2以上步驟完全適用于以上步驟完全適用于 情況情況3， 4， 5 （因?yàn)椋ㄒ驗(yàn)?式同時(shí)適用于激式同時(shí)適用于激波和稀疏波）波和稀疏波）xt),(*puL),(111pu),(*puR),(222pu(1)(2)(3)(4)(5) Riemann 問(wèn)題五種可能情況問(wèn)題五種可能情況xt激波激波 接觸間斷接觸間斷 激波激波膨脹波膨脹波 接觸間斷接觸間斷 激波激波激波激波 接觸間斷接觸間斷 膨脹波膨脹波膨脹波膨脹波 接觸間斷接觸間斷 膨脹波膨脹波 膨脹波膨脹波 膨脹波膨脹波（1） （2） （3） （4）（5）如何區(qū)分這如何區(qū)分這5種情況？種情況？ Copyright by L

37、i Xinliang29假設(shè)12pp 準(zhǔn)則如下：)(221pFuu情況1)()(1212pFuupF情況3)0()(211FuupF情況4利用函數(shù) （由 *式定義） 函數(shù)性質(zhì)很好函數(shù)性質(zhì)很好 單調(diào)連續(xù)單調(diào)連續(xù)),(),()(22*11*ppfppfpF)(pF21)0(uuF),(111pu),(222pu情況521uu )0(F)(2pF)(1pF情況5情況4情況3情況1Riemann 求解總步驟： 1） 根據(jù)上述判決區(qū)分情況 2） 按照上一頁(yè)的步驟求解 真空區(qū)真空區(qū)pF(p)00.511.52-12-8-404Function F(p) (Eq. 2.4.11 )with p1=rho1=

38、1, p2=0.1,rho2=0.125Copyright by Li Xinliang30Riemann問(wèn)題的具體計(jì)算步驟問(wèn)題的具體計(jì)算步驟0)()(0)()(0)(2xpuEutExputuxut0,0,),(:0222111xpuxpuput1. 判斷可能會(huì)出現(xiàn)的情況（五種情形之一）判斷可能會(huì)出現(xiàn)的情況（五種情形之一） iiiiiiiiiippppcppppcppppf*21*21*, 1)(12,21)(21),(),(),()(22*11*ppfppfpF a. 定義函數(shù)定義函數(shù) b. 進(jìn)行判斷進(jìn)行判斷12pp 21uu )0(F)(2pF)(1pF情況5情況4情況3情況121uu

39、)0(F)(1pF)(2pF情況5情況4情況2情況112pp 單調(diào)增函數(shù)，性質(zhì)很好)(),(),0(21pFpFF計(jì)算出計(jì)算出 ， 根據(jù)根據(jù) 的大小進(jìn)行的大小進(jìn)行判斷，具體見(jiàn)下圖判斷，具體見(jiàn)下圖：21uu Copyright by Li Xinliang312. 求解求解中心區(qū)中心區(qū)的壓力和速度的壓力和速度21*)(uupF單未知數(shù)的代數(shù)方程，迭代求解（例如單未知數(shù)的代數(shù)方程，迭代求解（例如Newton法，法，F(xiàn)(p)性質(zhì)好，求解不困難）性質(zhì)好，求解不困難）pF(p)00.511.52-12-8-404Function F(p) (Eq. 2.4.11 )with p1=rho1=1, p2=

40、0.1,rho2=0.125*p*p*p*p*u*u),(),(2111*22*21*ppfppfuuu3. 確定確定中心區(qū)中心區(qū)接觸間斷兩側(cè)的密度接觸間斷兩側(cè)的密度 以及左、右波傳播的速度以及左、右波傳播的速度 a. 左波為激波的情況（情況左波為激波的情況（情況1,3） *2*1,*2*1,*2*1,)(*11111*1uuAA)2 , 1(2121*ippcAiiii1111/AuZ b. 左波為稀疏波的情況左波為稀疏波的情況 （情況（情況2，4，5）2*1*1/cp2/ )(1(*11*1uucc*1*11111;cuZcuZtailhead中中心心區(qū)區(qū)接接觸觸間間斷斷左左側(cè)側(cè)的的物物理

41、理量量膨脹波的波頭及波尾速度膨脹波的波頭及波尾速度激波的傳播速度激波的傳播速度對(duì)于情況（對(duì)于情況（5），波尾速度為：），波尾速度為：11)5(112cuZtail中心區(qū)為真空，音中心區(qū)為真空，音速速 無(wú)定義，改由無(wú)定義，改由該式計(jì)算該式計(jì)算*1cCopyright by Li Xinliang32c. 右波為激波的情況（情況右波為激波的情況（情況1，2） 中中心心區(qū)區(qū)接接觸觸間間斷斷右右側(cè)側(cè)的的物物理理量量2222/AuZ)2 , 1(2121*ippcAiiii)(*22222*2uuAA b. 右波為稀疏波的情況右波為稀疏波的情況 （情況（情況2，4，5）2*2*2/cp2/ )(1(*2

42、2*2uucc*2*22222;cuZcuZtailhead4. 計(jì)算稀疏波區(qū)域的值（如果有稀疏波的話）計(jì)算稀疏波區(qū)域的值（如果有稀疏波的話）a. 左稀疏波左稀疏波 b. 右稀疏波右稀疏波情況2，422)5(212cuZtail情況5：2121122),()(),(/),(cptxccptxpctxtxutZxtZtailhead2122222),()(),(/),(cptxccptxpctxtxutZxtZheadtailCopyright by Li Xinliang33思考題：思考題： 上述求解方法要求間斷兩側(cè)流場(chǎng)分布為常數(shù)，如果上述求解方法要求間斷兩側(cè)流場(chǎng)分布為常數(shù)，如果初始時(shí)刻流場(chǎng)分

43、布是初始時(shí)刻流場(chǎng)分布是x的函數(shù)，怎樣利用該理論解計(jì)算的函數(shù)，怎樣利用該理論解計(jì)算 ？提示：提示： 把曲線離散化，看成折線把曲線離散化，看成折線Copyright by Li Xinliang344 近似近似Riemann解初步解初步精確精確Riemann解計(jì)算量較大；解計(jì)算量較大；近似近似Riemann解：解： 積分型積分型 （HLL,HLLC）、微分型（）、微分型（Roe）4.1 HLL 近似近似Riemann解解 （Harten, Lax & van Leer）Ref.： E. F. Toro: Riemann Solvers and Numerical Methods for F

44、luid Dynamics, Springer, 2009 (Third Edition) LxRx基本原理：基本原理： 雙激波近似雙激波近似t=0t=t0激波激波1，速度速度Z1激波激波2，速度速度Z2假設(shè)間斷面產(chǎn)生兩道激波，速度分別為假設(shè)間斷面產(chǎn)生兩道激波，速度分別為Z1,Z2根據(jù)質(zhì)量、動(dòng)量、能量守恒，容易計(jì)算出圖中根據(jù)質(zhì)量、動(dòng)量、能量守恒，容易計(jì)算出圖中控制體積內(nèi)的總質(zhì)量、總動(dòng)量、總能量控制體積內(nèi)的總質(zhì)量、總動(dòng)量、總能量t0 時(shí)刻激波才傳到控制體邊界，因此時(shí)刻激波才傳到控制體邊界，因此0 到到t0時(shí)刻，控時(shí)刻，控制體邊界處物理量保持制體邊界處物理量保持0時(shí)刻的值時(shí)刻的值。利用總量，求出圖

45、中控制體內(nèi)的利用總量，求出圖中控制體內(nèi)的平均值平均值，作為該，作為該區(qū)域物理量的近似值區(qū)域物理量的近似值Copyright by Li Xinliang354.2 HLLC 近似近似Riemann解解 （Toro）發(fā)展了發(fā)展了HLL近似解，用近似解，用三波三波模型來(lái)近似模型來(lái)近似 （如圖）（如圖）RZLZ*Z三波近似，三波近似， 左、右波的速左、右波的速LZRZLURUL*UR*UT 時(shí)刻的流動(dòng)狀態(tài)時(shí)刻的流動(dòng)狀態(tài)LUL*UR*URU激波激波接觸間斷模型：模型： 左右兩道激波，中間有接觸間斷左右兩道激波，中間有接觸間斷激波速度激波速度已知已知為為: ZL, ZR未知數(shù)（未知數(shù)（4個(gè)個(gè)）：）： *

46、,LRp u方程（方程（6個(gè)個(gè)）：兩道激波的）：兩道激波的RH關(guān)系式關(guān)系式*)()()()()()(upZuEpuZuEpZuupZuuZuZuLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL*)()()()()()(upZuEpuZuEpZuupZuuZuZuRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRR方程方程多了兩個(gè)多了兩個(gè)？ （因?yàn)榧僭O(shè)激波速度已知）（因?yàn)榧僭O(shè)激波速度已知）常用方法：常用方法： 去掉兩個(gè)方程去掉兩個(gè)方程去掉兩個(gè)去掉兩個(gè)能量方程能量方程， 4個(gè)未知數(shù)，個(gè)未知數(shù)，4個(gè)方程，求解個(gè)方程，求解求解過(guò)程求解過(guò)程簡(jiǎn)單，輕易可給出表達(dá)式簡(jiǎn)單，輕易可給出表達(dá)式 滿足：滿足： 物理意義為物理意義為平均增長(zhǎng)率平均增長(zhǎng)率Copyright by Li Xinliang364