概率論與數(shù)理統(tǒng)計23連續(xù)型隨機變量

1、2.3 連續(xù)型隨機變量連續(xù)型隨機變量一、連續(xù)型隨機變量一、連續(xù)型隨機變量二、常見連續(xù)型分布二、常見連續(xù)型分布 設隨機變量設隨機變量X的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為F(x),如果存在非負函數(shù)如果存在非負函數(shù)f(x), 使得對于任意使得對于任意實數(shù)實數(shù)x,有有 一、連續(xù)型隨機變量一、連續(xù)型隨機變量定義定義: 則稱則稱X為為連續(xù)型隨機變量連續(xù)型隨機變量,其中函數(shù)其中函數(shù) f(x)稱為稱為X的的概率密度函數(shù)概率密度函數(shù),簡稱簡稱概率密概率密度度 dttfxFx )()( 可知可知,連續(xù)型隨機變量的分布函數(shù)連續(xù)型隨機變量的分布函數(shù)F(x)是整個實軸上的是整個實軸上的連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù) 若概率密度若概率密度f(x

2、)在點在點x連續(xù)連續(xù),則則 F (x)=f(x) f(x)的性質的性質:(1) f(x)0, x+ (2) 1)( dxxfP(x1Xx2)(3) P(x10,有有又又 得得 P(X=a)=0 X=a a Xa 0P(X=a)P(a Xa) =F(a) F(a )0)()(lim0 aFaF故故:(1) P(A)=0 A是不可能事件是不可能事件 (2) 連續(xù)型隨機變量連續(xù)型隨機變量X落在區(qū)間的概率落在區(qū)間的概率與區(qū)間是否包含端點無關與區(qū)間是否包含端點無關 即即: P(aXb)=P(aXb) =P(aXb) =P(aXb) 例例1 設連續(xù)型隨機變量設連續(xù)型隨機變量X的概率密度為的概率密度為 f(

3、x)=Ae|x| , x+ 試求試求: (1)常數(shù)常數(shù)A (2) P(0X1) (3) X的分布函數(shù)的分布函數(shù) 解解:(1) dxAex |dxeAx 02=2A=11)( dxxf21 A(2) P(0X0 x0dxxf 10)(dxex 1021)11(21e dttfxFx )()(dtext | |21dtexFxt 21)(xe21 dtedtextt 002121dtexFxt | |21)(xe 211 X的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為:綜合得綜合得: 0 ,2110 ,21)(xexexFxx例例2 設隨機變量設隨機變量X的概率密度為的概率密度為 其它其它021210)(xxxxxf

4、試求試求X的分布函數(shù)的分布函數(shù) 解解:當當x0時時,dttfxFx )()(=0當當0 x1時時,dttfxFx )()(dttfdttfx 00)()(dttx 022x 當當1x0)為常數(shù)為常數(shù) xexfx ,21)(222)( 稱稱X服從參數(shù)為服從參數(shù)為 , 的正態(tài)分布或的正態(tài)分布或高斯分布高斯分布,記為記為 XN( , 2) f(x)o x 21可求得可求得X的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為:dtexFxt 222)(21)( ;)1(對對稱稱關關于于直直線線 x;21)2( 最最大大值值為為.)3(處有拐點處有拐點在在 x 當當 =0, =1時時,稱稱X服從服從標準正態(tài)分標準正態(tài)分布布N(0

5、,1)其概率密度其概率密度 (x)及分布函數(shù)及分布函數(shù) (x)為為: xexx ,21)(22 dtexxt 2221)( )()(xx (2)N( , 2)的分布函數(shù)的分布函數(shù)F(x)與與N(0,1)的的分布函數(shù)分布函數(shù) (x)的關系的關系:N(0,1)的性質的性質:(1)對稱性對稱性: ( x)= (x)xo-x ( x)=1 (x)()( xxF (x)令令 ,得得 (3) (4) ab, XN( , 2) ,有有: )(1)( xxfdtexFxt 222)(21)( tuduexFxu 2221)()( x)()()( abbXaP例例7 設設XN(3,4),試求試求:(1) P(2

6、X5) (2) P( 2Xc)=P(Xc),求求c的值的值 解解:又又 =3, =2 )()( xxF)23( x(1) P(2X5)(2) P( 2Xc)=1 P(Xc) =P(Xc)= (2) 1 (2.5)P(Xc)=0.5F(c)=0.5c=35 . 0)23( c023 c34例例8 已知某臺機器生產的螺栓長度已知某臺機器生產的螺栓長度X（單（單位：厘米）服從參數(shù)位：厘米）服從參數(shù)06. 0,05.10 的正態(tài)分布的正態(tài)分布.規(guī)定螺栓長度在規(guī)定螺栓長度在10.050.12內為合格品內為合格品,試求螺栓為合格品的概率試求螺栓為合格品的概率.),06. 0 ,05.10( :2NX解解記

7、記a=10.05-0.12,b=10.05+0.12,則則bXa 表示螺栓為合表示螺栓為合品品,于是于是)()(bXaPbXaP )2()2()()( ab359544. 019772. 021)2(2 ), 2( 92 NX服從正態(tài)分布服從正態(tài)分布設隨機變量設隨機變量例例的的值值則則求求且且)0(, 3 . 0)42( XPXP)22()24(4)XP(2 : 解解3 . 0)0()2( 2 . 0)2(1)2()0( 8 . 03 . 05 . 0)2( XP36例例10 設隨機變量設隨機變量X的概率密度為的概率密度為 其其他他 , 010 ,2)(xxxf現(xiàn)在對現(xiàn)在對X進行進行n次獨立重復觀測次獨立重復觀測,以以Vn表示表示觀測值不大于觀測值不大于