第4章 平面圖形幾何性質(zhì)

1、41 靜矩與形心靜矩與形心42、3 慣性矩、慣性半徑和慣性積慣性矩、慣性半徑和慣性積第4章 截面圖形的幾何性質(zhì)44 平行移軸定理平行移軸定理45 轉(zhuǎn)軸公式轉(zhuǎn)軸公式 主慣性軸和主慣性矩主慣性軸和主慣性矩4-1 4-1 靜矩與形心靜矩與形心一、靜矩一、靜矩S S面積對軸的一次矩：面積對軸的一次矩：(與力矩類似) 是面積與其到軸的距離之積是面積與其到軸的距離之積。ydAdSxxdAdSyiiAAyyiiAAxxAxxdAdSSAyydAdSSdAxyyx代數(shù)值；代數(shù)值； m3二、平面圖形的形心：二、平面圖形的形心：)(:正負面積法公式累加式AAyyAAxxiiCiiCiiCxiiCyyAAySxAA

2、xSdAxyyxCxCyC若若y軸通過形心軸通過形心C，則，則Sy0若若x軸通過形心軸通過形心C，則，則Sx0 例例：計算由拋物線、：計算由拋物線、y軸和軸和z軸所圍成的平面圖形對軸所圍成的平面圖形對y軸和軸和z軸軸的靜矩，并確定圖形的形心坐標。的靜矩，并確定圖形的形心坐標。zhyb122yzOzhyb122yydbhAydA2zS解：解：AzdAySydby1h212222b0ydby1hy22b0yzO154bh24hb2AdAAydby1h22b032bh83b32bh4bhASy2zC52h32bh154bhASz2yC形心坐標：形心坐標：靜矩：靜矩：面積：面積：CyCzC2121AA

3、AxAx21AAxxiiC20.3108011010(-35)110100108034.7108011010601101001080AAAyAyAAyy2121iiC21例例 試確定下圖的形心。試確定下圖的形心。解解 ： 組合圖形，用正負面積法解之。組合圖形，用正負面積法解之。1.用正面積法求解，圖形分割及坐標用正面積法求解，圖形分割及坐標如圖如圖(a)801201010 xyC2圖(a)C1C1(0,0)C2(-35,60)2.用負面積法求解，圖形分割及坐標如圖用負面積法求解，圖形分割及坐標如圖(b)20.31107080120110)70(5012080圖(b)C1（0,0）C2（5,5）

4、2121iiAAAxAxAAx21CxC2負面積C1xy80120-20.3108011010110)70(5012080AAAyAyAAyy2121iiC214-2、3 慣性矩、慣性半徑、慣性積慣性矩、慣性半徑、慣性積一、軸慣性矩：一、軸慣性矩：(與轉(zhuǎn)動慣量類似）與轉(zhuǎn)動慣量類似）面積對面內(nèi)軸的二次矩面積對面內(nèi)軸的二次矩 是面積與它到面內(nèi)軸的距離的平方之積。是面積與它到面內(nèi)軸的距離的平方之積。 i2iA2yi2iA2xAxdAxIAydAyIdAxyyxr二、極慣性矩：面積對法線軸的二、極慣性矩：面積對法線軸的二次矩，即是面積對極點的二二次矩，即是面積對極點的二次矩。次矩。yxAIIAdI2r

5、r恒為正；恒為正；m4 工程中常把慣性矩表示為平面圖形的面積與某一長度平方的乘積，即分別稱為平面圖形對y軸和z軸的慣性半徑慣性半徑iiyz、2yyiAI AIiyy或AIiiAIzzzz或2其幾何意義是：所有的面積似乎都分布其幾何意義是：所有的面積似乎都分布在離矩軸為在離矩軸為i 的位置的位置 截面圖形dAyI2xdAxI2ydAI2prxydAIxyChb3bh121Ix3yhb121I 0IxyCxyxxyydd4xd64I 4xd64I 4pd32I 0IxyCD)(44x164DI)(44x164DI)(44132DIP0IxyDd Dd Dd )(22phb12bhI常見圖形的軸慣性

6、矩和極慣性矩常見圖形的軸慣性矩和極慣性矩32hix32biy4dix4diy422dDix422dDiydAxyyxr三、慣性積：面積與其到兩軸距離之積。三、慣性積：面積與其到兩軸距離之積。AxyAdxyI常見的如常見的如 x 或或 y 是對稱軸是對稱軸 則則Ixy =0如果如果 x 或或 y 是形心慣性主軸，是形心慣性主軸， 則則Ixy =0有關(guān)慣性主軸的概念，將在有關(guān)慣性主軸的概念，將在4-5介紹介紹因此慣性積是代數(shù)值因此慣性積是代數(shù)值4-4 平行移軸定理平行移軸定理一、平行移軸定理：一、平行移軸定理：（與轉(zhuǎn)動慣量的平行移軸定理類似）與轉(zhuǎn)動慣量的平行移軸定理類似）CCxaxyby以形心為原

7、點，建立與原坐標軸平行以形心為原點，建立與原坐標軸平行的坐標軸如圖，則有：的坐標軸如圖，則有：0CxAySAb2bSI )dAb2by(y dAb)(y dAyI2xx2A22AA2x2 2x xx x C CI II Ib b A AdAxyyxrabCxyxy注意注意: C點必須為形心點必須為形心AbIICxx2AaIICyy2abAIICCyxxyAbaIIC2)( rr例例 求圖示圓對其切線求圖示圓對其切線AB的慣性矩。的慣性矩。解解 ：求解此題有兩種方法：求解此題有兩種方法： 一是按定義直接積分；一是按定義直接積分； 二是用平行移軸定理求。二是用平行移軸定理求。B 建立形心坐標如圖建

8、立形心坐標如圖,求圖形對形求圖形對形心軸的慣性矩。心軸的慣性矩。64d2III4Pyx645d16d64dA4dII4442xABAdxyO530530530530C1C2解：1、求形心位置：x1y在x1y系下：0 x1C8.75mm530217.55300530AAyyiiCCyC2、在xy系下x433y2y1y11560mm1230512530III例求圖示例求圖示T型截面對形心軸的慣性矩。型截面對形心軸的慣性矩。單位單位mm232C1x118.7530512305yAII2322x228.7530512530aAIIx2a421x34530mmIII4-5 轉(zhuǎn)軸公式截面的主慣性軸和主慣性

9、矩轉(zhuǎn)軸公式截面的主慣性軸和主慣性矩ycosxsinyysinxcosx一、一、 慣性矩和慣性積的轉(zhuǎn)軸定理慣性矩和慣性積的轉(zhuǎn)軸定理dAxyyxaxyx1y1sin2Icos22II2IIIxyyxyxxOsin2Icos22II2IIIxyyxyxycos2Isin22IIIxyyxyxyxyxIIII類似地，有dAxyyxaxyx1y1二、對任意點主慣性軸和主慣性矩二、對任意點主慣性軸和主慣性矩1.主慣性軸和主慣性矩：坐標旋轉(zhuǎn)到主慣性軸和主慣性矩：坐標旋轉(zhuǎn)到a a= a a0 時有時有0)cos2Isin22II(I0 xy0yxyx00 與與 a a0 對應(yīng)的旋轉(zhuǎn)軸對應(yīng)的旋轉(zhuǎn)軸x y 稱為稱

10、為主慣性軸；主慣性軸；平面圖形對主平面圖形對主軸之慣性矩稱軸之慣性矩稱為主慣性矩為主慣性矩。 xy0 xy2Itg2II令0ddI0ddIyx或2000/a22)2(2 00 xyyxyxyxIIIIIII主慣性矩：sin2Icos22II2IIIxyyxyxasin2Icos22II2IIIxyyxyxa由當2000/aa其中一個為極大值，另一個為極小值其中一個為極大值，另一個為極小值 設(shè)矩軸的原點為平面圖形上任意點設(shè)矩軸的原點為平面圖形上任意點O，則其主慣性軸稱，則其主慣性軸稱為過為過O點的主慣性軸點的主慣性軸1、平面圖形對主慣性軸的軸關(guān)性矩取、平面圖形對主慣性軸的軸關(guān)性矩取極大（極?。O

11、大（極?。┲担黄渲幸粋€為值；其中一個為極大極大值；另一個為值；另一個為極小極小值值2、平面圖形對主慣性軸的慣性積必為零。、平面圖形對主慣性軸的慣性積必為零。平面圖形對過平面圖形對過O點的主慣性軸有以下重要性質(zhì)：點的主慣性軸有以下重要性質(zhì)：小結(jié)小結(jié)dAxyyxaxyx1y1三三.形心主軸和形心主慣性矩：形心主軸和形心主慣性矩： 主軸過形心時，稱其為形心主軸。平面圖形對形心主軸之主軸過形心時，稱其為形心主軸。平面圖形對形心主軸之慣性矩，稱為形心主慣性矩慣性矩，稱為形心主慣性矩yCxCyCxC0II2Itg20022()22xCxCyCxCyCxCyCyCIIIIIIIxCyCdACxCyC其形心主

12、慣性矩為：其形心主慣性矩為：2、平面圖形對形心主慣性軸的軸關(guān)系矩取、平面圖形對形心主慣性軸的軸關(guān)系矩取最大（最小最大（最?。┲?；其中一個為值；其中一個為最大最大值；另一個為值；另一個為最小最小值。因此平面圖值。因此平面圖形對對稱軸的慣性矩為形對對稱軸的慣性矩為最大（最?。┳畲螅ㄗ钚。┲抵?、平面圖形對形心主慣性軸的慣性積必為零。因此平面圖形對、平面圖形對形心主慣性軸的慣性積必為零。因此平面圖形對對稱軸的慣性積為零對稱軸的慣性積為零平面圖形的形心主慣性軸有以下重要性質(zhì)：平面圖形的形心主慣性軸有以下重要性質(zhì)：1、平面圖形若有對稱軸，則該軸即為形心主慣性軸之一。、平面圖形若有對稱軸，則該軸即為形心主

13、慣性軸之一。xCyCdACxCyC3.求截面形心主慣性矩的方法求截面形心主慣性矩的方法建立坐標系建立坐標系計算面積和靜矩計算面積和靜矩求形心位置求形心位置建立形心坐標系；求：建立形心坐標系；求：IyC ， IxC ， IxCyC求形心主軸方向求形心主軸方向 a a0 求形心主慣性矩求形心主慣性矩AAyASyAAxASxiixCiiyC22)2(2 00 xCyCyCxCyCxCyCxCIIIIIIIyCxCxCyCIII22tg0a例例 在矩形內(nèi)左右對稱地挖去一與上邊內(nèi)切的圓，求圖形的形心主在矩形內(nèi)左右對稱地挖去一與上邊內(nèi)切的圓，求圖形的形心主軸。軸。(b=1.5d)解：解： 建立坐標系如圖。

14、建立坐標系如圖。求形心位置。求形心位置。 建立形心坐標系；求：建立形心坐標系；求：IyC ， IxC ， I xCy 0.177d4d3d4d2dAAyy0A0AAxx222iiCiiCdb2dxyOxCyCx1db2dxyOxCyCx1)5 . 0(212ydAIyAIIIIxxxCxCxC圓圓矩矩圓矩4224223685. 0)177. 05 . 0(464)177. 0(312)2(5 . 1ddddddddd443513. 064122)5 . 1 (ddddIIIxCxCyC圓矩便是形心主慣性矩軸便是形心主軸yCxCCxCyCIIyxI、 C 0y 例例：求圖示平面圖形形心主慣性軸的方位及形：求圖示平面圖形形心主慣性軸的方位及形心主慣性矩的大小。心主慣性矩的大小。 解：解：將原平面圖形分成上中下三個矩形。過形心建立參考坐標系yCzIIIyyy212IIIzzz 22540124052