信號(hào)相關(guān)分析與主元分析

1、現(xiàn)代檢測(cè)理論與技術(shù)2.3 2.3 信號(hào)的相關(guān)分析信號(hào)的相關(guān)分析2.4 2.4 信號(hào)的主元分析方法信號(hào)的主元分析方法2.3 2.3 信號(hào)的相關(guān)分析信號(hào)的相關(guān)分析2.4 2.4 信號(hào)的主元分析方法信號(hào)的主元分析方法Rtitp)()(2 在一個(gè)周期內(nèi)，在一個(gè)周期內(nèi)，R消耗的能量消耗的能量 222220000d)(d)(TTTTttiRttpE 22200d)(1TTttvRE或或平均功率可表示為平均功率可表示為 222000d)(1TTttiRTP 222000d)(11TTttvRTP或或設(shè)設(shè)i(t)為流過電阻為流過電阻R的電流，的電流，v(t)為為R 上的電壓上的電壓 R)(ti )(tv瞬時(shí)功

2、率為瞬時(shí)功率為一能量信號(hào)和功率信號(hào)討論上述兩個(gè)式子，只可能出現(xiàn)兩種情況：討論上述兩個(gè)式子，只可能出現(xiàn)兩種情況：( (有限值有限值) ) ( (有限值有限值) ) 滿足滿足式的稱為能量信號(hào)，滿足式的稱為能量信號(hào)，滿足式稱功率信號(hào)。式稱功率信號(hào)。 E00 P P0 E定義：一般說來，能量總是與某一物理量的平方成正比定義：一般說來，能量總是與某一物理量的平方成正比。令令R = 1 ，則在整個(gè)時(shí)間域內(nèi)，實(shí)信號(hào)，則在整個(gè)時(shí)間域內(nèi)，實(shí)信號(hào)f(t)的的一般規(guī)律1.1.一般周期信號(hào)為功率信號(hào)。一般周期信號(hào)為功率信號(hào)。2.2.非周期信號(hào)，在有限區(qū)間有值，為能量信號(hào)。非周期信號(hào)，在有限區(qū)間有值，為能量信號(hào)。3.3

3、.還有一些非周期信號(hào)，也是非能量信號(hào)。還有一些非周期信號(hào)，也是非能量信號(hào)。如如u(t)是功率信號(hào)；是功率信號(hào)；而而tu(t)為非功率非能量信號(hào)為非功率非能量信號(hào); ;(t)是無定義的非功率非能量信號(hào)。是無定義的非功率非能量信號(hào)。數(shù)學(xué)本質(zhì)數(shù)學(xué)本質(zhì): 相關(guān)系數(shù)是信號(hào)矢量空間內(nèi)積與范數(shù)特征的相關(guān)系數(shù)是信號(hào)矢量空間內(nèi)積與范數(shù)特征的具體表現(xiàn)。具體表現(xiàn)。 21)(),()(),()(),(22112112tftftftftftf 222121)()()(),(tftftftf 1相關(guān)系數(shù)相關(guān)系數(shù)由兩個(gè)信號(hào)的內(nèi)積所決定：由兩個(gè)信號(hào)的內(nèi)積所決定：二相關(guān)系數(shù)與相關(guān)函數(shù)由柯西施瓦爾茨不等式，得由柯西施瓦爾茨不等式

4、，得 21ddd222121ttfttfttftf所以所以112 等于零此時(shí),1,完全一樣與若21221tftf 最大此時(shí),0,為正交函數(shù)與若21221tftf相關(guān)系數(shù) 從信號(hào)能量誤差的角度描述了信號(hào) 與 的相關(guān)特性，利用矢量空間的內(nèi)積運(yùn)算給出了定量說明。12 tf1 tf2xy1xyxy1xyxy10 xyxy0 xy圖為圖為X,YX,Y兩個(gè)變量數(shù)兩個(gè)變量數(shù)組成的數(shù)組成的數(shù)據(jù)點(diǎn)的分布據(jù)點(diǎn)的分布, ,由由圖可見圖可見: :兩個(gè)變量的相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值越接兩個(gè)變量的相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值越接近近1,1,他們的線性相關(guān)程度越好他們的線性相關(guān)程度越好. .信信號(hào)號(hào)相相關(guān)關(guān)性性的的圖圖形形描描述述 兩個(gè)隨機(jī)變

5、量完全相關(guān)兩個(gè)隨機(jī)變量完全相關(guān) 完全不相關(guān)完全不相關(guān) 中等程度相關(guān)中等程度相關(guān) 2.信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)為了定量地確定信號(hào)為了定量地確定信號(hào)x(t) 與時(shí)移副本與時(shí)移副本x(t- ) 的差別或的差別或相似程度，通常用自相關(guān)函數(shù)相似程度，通常用自相關(guān)函數(shù)。ttftfRd)()()( ttftfd)()( 能量信號(hào)：能量信號(hào)：ttftfRd)()()(* ttftfd)()(* 22*d)()(1lim)(TTTttftfTR 功率信號(hào)：功率信號(hào)： 22d)()(1lim)(TTTttftfTR 自相關(guān)函數(shù)的特點(diǎn)：自相關(guān)函數(shù)的特點(diǎn)：1. 自相關(guān)函數(shù)是偶函數(shù)自相關(guān)函數(shù)是偶函數(shù))()( R

6、R2. 當(dāng)當(dāng) =0 時(shí)，時(shí)，自相關(guān)函數(shù)等于信號(hào)的能量自相關(guān)函數(shù)等于信號(hào)的能量（或功率）（或功率）)()()0(2PxxxEdttxR3. Rx(0)為自相關(guān)函數(shù)的最大值為自相關(guān)函數(shù)的最大值 自相關(guān)函數(shù)與能譜的關(guān)系自相關(guān)函數(shù)與能譜的關(guān)系deXRjx2)(21)(deWjx)(21可見，自相關(guān)函數(shù)等于信號(hào)能譜的傅立葉變換。由可見，自相關(guān)函數(shù)等于信號(hào)能譜的傅立葉變換。由此易得：此易得：deRWjxx)()( 連續(xù)信號(hào)的帕斯瓦爾公式連續(xù)信號(hào)的帕斯瓦爾公式信號(hào)時(shí)信號(hào)時(shí)域與頻域的總能量域與頻域的總能量(功率功率)相等相等自相關(guān)函數(shù)與功率譜的關(guān)系自相關(guān)函數(shù)與功率譜的關(guān)系維納維納辛欽（辛欽（Wiener-Kh

7、intchine）關(guān)系：）關(guān)系：S( )為信號(hào)的功率譜密度，為信號(hào)的功率譜密度，02)(lim)(00TXsTT則：則：deRSj)()(deSRj)(21)(離散信號(hào)離散信號(hào)（能量信號(hào)）（能量信號(hào)）的自相關(guān)函數(shù)的自相關(guān)函數(shù)離散信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)：離散信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)：jnjxjxnR)()()(性質(zhì)：性質(zhì)：1、離散自相關(guān)函數(shù)是偶函數(shù)、離散自相關(guān)函數(shù)是偶函數(shù))()(nRnR2、在、在n=0時(shí)，自相關(guān)函數(shù)就是離散信號(hào)的能量時(shí)，自相關(guān)函數(shù)就是離散信號(hào)的能量xjxEjxR)()0(23互相關(guān)函數(shù)f1(t)與與f2(t)是能量有限信號(hào)是能量有限信號(hào)f1(t)與與f2(t)為實(shí)函數(shù)為實(shí)函數(shù)f1(t)與與f

8、2(t)為復(fù)函數(shù)為復(fù)函數(shù)f1(t)與與f2(t)是功率有限信號(hào)是功率有限信號(hào)f1(t)與與f2(t)為實(shí)函數(shù)為實(shí)函數(shù)f1(t)與與f2(t)為復(fù)函數(shù)為復(fù)函數(shù)分如下幾種情況討論：分如下幾種情況討論：(1)f1(t)與f2(t)是能量有限信號(hào) f1(t)與與f2(t)為實(shí)函數(shù)為實(shí)函數(shù): 相關(guān)函數(shù)定義相關(guān)函數(shù)定義: ttftfRd)()()(2112 ttftfd)()(21 ttftfRd)()()(2121 ttftfd)()(21 可以證明：可以證明： )()(2112 RR互相關(guān)函數(shù)：互相關(guān)函數(shù)： ttftfRd)()()(*2112 ttftfd)()(*21 ttftfRd)()()(2

9、*121 ttftfd)()(2*1 同時(shí)具有性質(zhì)：同時(shí)具有性質(zhì)： )()(*2112 RR(1)f1(t)與f2(t)是能量有限信號(hào) f1(t)與與f2(t)為復(fù)函數(shù)為復(fù)函數(shù): 互相關(guān)函數(shù)：互相關(guān)函數(shù)： 222112d)()(1lim)(TTTttftfTR 221221d)()(1lim)(TTTttftfTR (2)f1(t)與f2(t)是功率有限信號(hào) f1(t)與與f2(t)為實(shí)函數(shù)為實(shí)函數(shù): 互相關(guān)函數(shù)：互相關(guān)函數(shù)： 22*2112d)()(1lim)(TTTttftfTR 221*221d)()(1lim)(TTTttftfTR (2)f1(t)與f2(t)是功率有限信號(hào) f1(t

10、)與與f2(t)為復(fù)函數(shù)為復(fù)函數(shù): 互相關(guān)函數(shù)性質(zhì)：互相關(guān)函數(shù)性質(zhì)：1、互相關(guān)函數(shù)不是偶函數(shù)。、互相關(guān)函數(shù)不是偶函數(shù)。)()(xyxyRR)()(yxyxRR2、 和和 不是同一個(gè)函數(shù)，即：不是同一個(gè)函數(shù)，即：)(xyR)(yxR)()(yxxyRR但存在下列關(guān)系：但存在下列關(guān)系：)()(yxxyRR兩者的關(guān)系兩者的關(guān)系 )(*)()(2112tftftR 即即 )(1tf)(2tf與與 為實(shí)偶函數(shù)，則其卷積與相關(guān)完全相同。為實(shí)偶函數(shù)，則其卷積與相關(guān)完全相同。 )(2tf反褶與反褶與 )(1tf之卷積即得之卷積即得 )(1tf)(2tf與與 的相關(guān)函數(shù)的相關(guān)函數(shù) )(12tR 三相關(guān)與卷積的比

11、較 )(1tf)(2tf與與 卷積表達(dá)式：卷積表達(dá)式： d)()()(*)(2121 tfftftfttftftRd)()()(2112 )(1tf)(2tf與與 相關(guān)函數(shù)表達(dá)式：相關(guān)函數(shù)表達(dá)式： 說明 最大。0相關(guān)性最強(qiáng)，,時(shí)0自相關(guān)在Rt 為實(shí)偶函數(shù)，與若21tftf相關(guān)與卷積類似，都包含移位，相乘和積分三個(gè)步相關(guān)與卷積類似，都包含移位，相乘和積分三個(gè)步驟，差別在于卷積運(yùn)算需要反褶，而相關(guān)不需要反褶。驟，差別在于卷積運(yùn)算需要反褶，而相關(guān)不需要反褶。 則卷積與相關(guān)完全相同。則卷積與相關(guān)完全相同。四相關(guān)定理 若已知若已知 )()(11 Ftf F )()(22 Ftf F則則 )()()(*2

12、112 FFR F若若),()()(21tftftf )()( Ftf F則自相關(guān)函數(shù)為則自相關(guān)函數(shù)為 2)()( FR F 由此可見，兩信號(hào)的互相關(guān)函數(shù)和互能由此可見，兩信號(hào)的互相關(guān)函數(shù)和互能（功率）（功率）譜是一對(duì)譜是一對(duì)傅立葉變換。傅立葉變換。說明1.相關(guān)定理表明：兩信號(hào)互相關(guān)函數(shù)的傅里葉變換等于相關(guān)定理表明：兩信號(hào)互相關(guān)函數(shù)的傅里葉變換等于其中第一個(gè)信號(hào)的變換與第二個(gè)信號(hào)變換取共軛兩者之其中第一個(gè)信號(hào)的變換與第二個(gè)信號(hào)變換取共軛兩者之積。積。2.自相關(guān)函數(shù)的傅里葉變換等于原信號(hào)幅度譜的平方。自相關(guān)函數(shù)的傅里葉變換等于原信號(hào)幅度譜的平方。 定理具有相同的結(jié)果。此時(shí)相關(guān)定理與卷積,此時(shí),若

13、是實(shí)偶函數(shù).32*2FF五.相關(guān)分析的應(yīng)用 檢測(cè)周期信號(hào) 故障分析 數(shù)據(jù)測(cè)量 目標(biāo)源識(shí)別圖圖2.3.1 2.3.1 是用自相關(guān)函數(shù)來檢測(cè)混淆于隨機(jī)信號(hào)中的周期信號(hào)是用自相關(guān)函數(shù)來檢測(cè)混淆于隨機(jī)信號(hào)中的周期信號(hào)圖圖2.3.1 tx tx xR圖圖2.3.22.3.2（a a）為由置于坐椅上的加速傳感器而測(cè)得的加速度時(shí)間曲線）為由置于坐椅上的加速傳感器而測(cè)得的加速度時(shí)間曲線圖圖2.3.22.3.2（b b）為）為的自相關(guān)函數(shù)的自相關(guān)函數(shù)圖圖2.3.2.2.3.2.（c c）所示說明信號(hào)）所示說明信號(hào) 中的周期成分已消除，其隨機(jī)成分主要來自地面中的周期成分已消除，其隨機(jī)成分主要來自地面圖圖2.3.2

14、故障分析故障分析，具有周期成分，系統(tǒng)存在故障，具有周期成分，系統(tǒng)存在故障數(shù)據(jù)測(cè)量1.用互相關(guān)函數(shù)測(cè)量兩個(gè)信號(hào)之間的滯后時(shí)間用互相關(guān)函數(shù)測(cè)量兩個(gè)信號(hào)之間的滯后時(shí)間 （1 1）要確定深埋地下的輸油管裂縫）要確定深埋地下的輸油管裂縫位置，可以在輸油管的可疑區(qū)段任意開位置，可以在輸油管的可疑區(qū)段任意開掘掘A A，B B兩處兩處( (見圖見圖2.3.3(a)2.3.3(a)，若在，若在A A處未處未找到滲漏點(diǎn)，則在管道上找到滲漏點(diǎn)，則在管道上A A點(diǎn)固結(jié)一只傳點(diǎn)固結(jié)一只傳感器，若在感器，若在B B處也未找到滲漏點(diǎn)，則再在處也未找到滲漏點(diǎn)，則再在B B點(diǎn)固結(jié)一只傳感器。假定滲漏處為點(diǎn)固結(jié)一只傳感器。假定滲

15、漏處為k k，則則k k處可視為聲源，由油液滲漏處不斷發(fā)處可視為聲源，由油液滲漏處不斷發(fā)出聲波。出聲波。A A，B B處傳感器接收到的聲波信處傳感器接收到的聲波信號(hào)的區(qū)別，僅在于滯后時(shí)間的不同。號(hào)的區(qū)別，僅在于滯后時(shí)間的不同。圖圖2.3.32.3.3探測(cè)輸油管裂縫位置探測(cè)輸油管裂縫位置將兩信號(hào)進(jìn)行放大后，由信號(hào)處理機(jī)可得它們的互相關(guān)函數(shù)圖如圖將兩信號(hào)進(jìn)行放大后，由信號(hào)處理機(jī)可得它們的互相關(guān)函數(shù)圖如圖5-4(b)5-4(b)所示，從圖上可見，所示，從圖上可見，m m為為y1(t)y1(t)與與y2(t)y2(t)兩信號(hào)的時(shí)差，假定滲漏點(diǎn)發(fā)出兩信號(hào)的時(shí)差，假定滲漏點(diǎn)發(fā)出的聲波傳播速度為的聲波傳播速

16、度為v(v(常數(shù)常數(shù)),),兩傳感器中點(diǎn)兩傳感器中點(diǎn)o o與滲漏處與滲漏處K K得距離為得距離為s s，則有，則有 (1) (1) (2) (2) (3) (3)將將(1)(1)，(2)(2)代入代入(3)(3)，得，得 從而得到確定從而得到確定k k點(diǎn)位置點(diǎn)位置的計(jì)算公式為的計(jì)算公式為 (4)(4)若若m m為正值時(shí)，由為正值時(shí)，由(4)(4)式得到的式得到的s s也為正值，說明滲漏處也為正值，說明滲漏處k k離離B B較遠(yuǎn)而離較遠(yuǎn)而離A A較較近，距離近，距離s s應(yīng)從應(yīng)從o o點(diǎn)向左測(cè)量起。點(diǎn)向左測(cè)量起。 slltltl2212211,)(212mvvsttmvs21 (2)(2)用以評(píng)

17、價(jià)或測(cè)定控制系統(tǒng)，用以評(píng)價(jià)或測(cè)定控制系統(tǒng)，( (操縱機(jī)構(gòu)、轉(zhuǎn)向系統(tǒng)、閘門操縱機(jī)構(gòu)、轉(zhuǎn)向系統(tǒng)、閘門，開關(guān)等，開關(guān)等) )的靈敏度。圖的靈敏度。圖2.3.42.3.4所示為某一控制系統(tǒng)所示為某一控制系統(tǒng)S S，x(t)x(t)為系為系統(tǒng)輸入信號(hào)，統(tǒng)輸入信號(hào)，y(t)y(t)為系統(tǒng)的輸出信號(hào)。為系統(tǒng)的輸出信號(hào)。為滯后時(shí)間，用為滯后時(shí)間，用來評(píng)來評(píng)價(jià)系統(tǒng)的靈敏度，則可正確地反映系統(tǒng)控制性能的優(yōu)劣程度。價(jià)系統(tǒng)的靈敏度，則可正確地反映系統(tǒng)控制性能的優(yōu)劣程度。圖圖2.3.42.3.4 (3)(3)用于地震探礦，確定礦層深度。圖用于地震探礦，確定礦層深度。圖2.3.5(a)2.3.5(a)為地層剖面，地震探礦

18、為地層剖面，地震探礦時(shí)由地面施加震源信號(hào)時(shí)由地面施加震源信號(hào)x(t)x(t)經(jīng)礦層經(jīng)礦層1 1，2 2，3 3反射后，又被設(shè)置在地面的傳反射后，又被設(shè)置在地面的傳感器接收。由感器接收。由x(t)x(t)與與y(t)y(t)的互相關(guān)函數(shù)圖中之三個(gè)峰值的互相關(guān)函數(shù)圖中之三個(gè)峰值( (圖圖2.3.5(b)2.3.5(b)的的滯后時(shí)間滯后時(shí)間1,1,2 ,2 ,3 3即可推知礦層埋藏的深度。即可推知礦層埋藏的深度。圖圖2.3.52.3.5 2.2.相關(guān)測(cè)速相關(guān)測(cè)速 這里討論的速度，是指運(yùn)動(dòng)物體相對(duì)于參考坐標(biāo)的相對(duì)速度。為了測(cè)這里討論的速度，是指運(yùn)動(dòng)物體相對(duì)于參考坐標(biāo)的相對(duì)速度。為了測(cè)定速度，必須設(shè)法利

19、用運(yùn)動(dòng)物體去產(chǎn)生兩個(gè)在時(shí)間上錯(cuò)開的相似波形測(cè)定定速度，必須設(shè)法利用運(yùn)動(dòng)物體去產(chǎn)生兩個(gè)在時(shí)間上錯(cuò)開的相似波形測(cè)定這個(gè)錯(cuò)開的時(shí)間就可以計(jì)算出速度來。這個(gè)錯(cuò)開的時(shí)間就可以計(jì)算出速度來。圖圖2.3.62.3.6 (1)(1)軋鋼機(jī)鋼帶速度的測(cè)定軋鋼機(jī)鋼帶速度的測(cè)定 圖圖2.3.6(a)2.3.6(a)是測(cè)定軋鋼機(jī)是測(cè)定軋鋼機(jī)鋼帶速度的示意圖，在鋼帶運(yùn)鋼帶速度的示意圖，在鋼帶運(yùn)動(dòng)方向的同一直線上，相距動(dòng)方向的同一直線上，相距l(xiāng) l的的兩個(gè)點(diǎn)上安裝兩個(gè)光源和兩個(gè)兩個(gè)點(diǎn)上安裝兩個(gè)光源和兩個(gè)光電管。因而產(chǎn)生兩個(gè)信號(hào)光電管。因而產(chǎn)生兩個(gè)信號(hào)x1(t)x1(t)和和x2(t).x2(t).圖圖2.3.6(b)2.

20、3.6(b)是測(cè)是測(cè)得的實(shí)際波形圖。得的實(shí)際波形圖。 (2)(2)船舶航速的測(cè)定船舶航速的測(cè)定 圖圖2.3.7(a)2.3.7(a)是測(cè)定船舶是測(cè)定船舶航速的示意圖，在船舶測(cè)速航速的示意圖，在船舶測(cè)速中，兩波形是用海底回聲產(chǎn)中，兩波形是用海底回聲產(chǎn)生的，如圖所示。在船的前生的，如圖所示。在船的前進(jìn)方向的兩點(diǎn)，安裝兩組超進(jìn)方向的兩點(diǎn)，安裝兩組超聲發(fā)射機(jī)和接收傳感器，以聲發(fā)射機(jī)和接收傳感器，以接收傳感器紀(jì)錄到的波形如接收傳感器紀(jì)錄到的波形如圖圖2.3.7(b).2.3.7(b).圖圖2.3.72.3.7目標(biāo)源識(shí)別 (1)(1)車輛振動(dòng)傳遞途徑的測(cè)定車輛振動(dòng)傳遞途徑的測(cè)定 圖圖2.3.82.3.8所

21、示測(cè)試框圖用以所示測(cè)試框圖用以檢查汽車司機(jī)座的振動(dòng)是由發(fā)動(dòng)檢查汽車司機(jī)座的振動(dòng)是由發(fā)動(dòng)機(jī)引起的，還是有車輪引起的。機(jī)引起的，還是有車輪引起的。 測(cè)試方法：在發(fā)動(dòng)機(jī)、司機(jī)測(cè)試方法：在發(fā)動(dòng)機(jī)、司機(jī)座、后輪軸上布置加速度計(jì)，經(jīng)座、后輪軸上布置加速度計(jì)，經(jīng)分析，發(fā)現(xiàn)發(fā)動(dòng)機(jī)與司機(jī)座之間分析，發(fā)現(xiàn)發(fā)動(dòng)機(jī)與司機(jī)座之間的相關(guān)性較差，而司機(jī)座與后輪的相關(guān)性較差，而司機(jī)座與后輪之間的互相關(guān)函數(shù)出現(xiàn)明顯的相之間的互相關(guān)函數(shù)出現(xiàn)明顯的相關(guān)。因此，可以認(rèn)為，司機(jī)座的關(guān)。因此，可以認(rèn)為，司機(jī)座的振動(dòng)主要是由后輪傳遞的。振動(dòng)主要是由后輪傳遞的。圖圖2.3.82.3.8檢查汽車司機(jī)座的振動(dòng)檢查汽車司機(jī)座的振動(dòng) (2)(2)利

22、用互相關(guān)函數(shù)可以分析、尋找?guī)着_(tái)運(yùn)行的機(jī)器中對(duì)地面振動(dòng)影響利用互相關(guān)函數(shù)可以分析、尋找?guī)着_(tái)運(yùn)行的機(jī)器中對(duì)地面振動(dòng)影響最大的機(jī)器。圖最大的機(jī)器。圖2.3.9(b),(c)2.3.9(b),(c)分別表示分別表示x1(t),x2(t)x1(t),x2(t)和和y(t)y(t)的互相關(guān)函的互相關(guān)函數(shù)圖。比較兩圖，可見機(jī)器數(shù)圖。比較兩圖，可見機(jī)器1 1對(duì)地面測(cè)點(diǎn)振動(dòng)所提供的比重為：對(duì)地面測(cè)點(diǎn)振動(dòng)所提供的比重為： 機(jī)器機(jī)器2 2對(duì)地面測(cè)點(diǎn)振動(dòng)所提供的比重為：對(duì)地面測(cè)點(diǎn)振動(dòng)所提供的比重為：%637.02.12.1(max)(max)(max)|211RRRyyyxxx%377.02.17.0(max)(ma

23、x)(max)|212RRRyyyxxx圖圖2.3.92.3.9 (3)(3)利用互相關(guān)函數(shù)研究音樂廳的效果。圖利用互相關(guān)函數(shù)研究音樂廳的效果。圖2.3.102.3.10所示。測(cè)試設(shè)所示。測(cè)試設(shè)備對(duì)接收到信號(hào)的互相關(guān)分析表明：備對(duì)接收到信號(hào)的互相關(guān)分析表明：RxyRxy( () )圖形中，第一峰值是原圖形中，第一峰值是原始信號(hào)始信號(hào)x(t)x(t)和直接傳送信號(hào)和直接傳送信號(hào)y1(t)y1(t)的相關(guān)結(jié)果；第二個(gè)峰值是原始信的相關(guān)結(jié)果；第二個(gè)峰值是原始信號(hào)號(hào)x(t)x(t)和由墻壁反射的信號(hào)和由墻壁反射的信號(hào)y2(t)y2(t)的相關(guān)結(jié)果。由兩個(gè)峰值的振幅比的相關(guān)結(jié)果。由兩個(gè)峰值的振幅比，可以

24、確定墻壁的吸收系數(shù)。，可以確定墻壁的吸收系數(shù)。圖圖2.3.102.3.102.3 2.3 信號(hào)的相關(guān)分析信號(hào)的相關(guān)分析2.4 2.4 信號(hào)的主元分析方法信號(hào)的主元分析方法 許多系統(tǒng)是多要素的復(fù)雜系統(tǒng)，多變量問許多系統(tǒng)是多要素的復(fù)雜系統(tǒng)，多變量問題是經(jīng)常會(huì)遇到的。變量太多，無疑會(huì)增加分題是經(jīng)常會(huì)遇到的。變量太多，無疑會(huì)增加分析問題的難度與復(fù)雜性，而且在許多實(shí)際問題析問題的難度與復(fù)雜性，而且在許多實(shí)際問題中，多個(gè)變量之間是具有一定的相關(guān)關(guān)系的。中，多個(gè)變量之間是具有一定的相關(guān)關(guān)系的。 因此，人們會(huì)很自然地想到，能否在相關(guān)因此，人們會(huì)很自然地想到，能否在相關(guān)分析的基礎(chǔ)上，用較少的新變量代替原來較多分

25、析的基礎(chǔ)上，用較少的新變量代替原來較多的舊變量，而且使這些較少的新變量盡可能多的舊變量，而且使這些較少的新變量盡可能多地保留原來變量所反映的信息？地保留原來變量所反映的信息？ 一、概述一、概述 事實(shí)上，這種想法是可以實(shí)現(xiàn)的，主分量事實(shí)上，這種想法是可以實(shí)現(xiàn)的，主分量分析方法就是綜合處理這種問題的一種強(qiáng)有力分析方法就是綜合處理這種問題的一種強(qiáng)有力的工具。的工具。 主分量分析是把原來多個(gè)變量劃為少數(shù)幾主分量分析是把原來多個(gè)變量劃為少數(shù)幾個(gè)綜合指標(biāo)的一種統(tǒng)計(jì)分析方法。個(gè)綜合指標(biāo)的一種統(tǒng)計(jì)分析方法。 從數(shù)學(xué)角度來看，這是一種降維處理技術(shù)從數(shù)學(xué)角度來看，這是一種降維處理技術(shù)。 設(shè) X = ( X1 ,

26、X2 , , Xp ) 為 p 維隨機(jī)向量, 均值向量E(X) = 0 , 協(xié)方差陣考慮線性變換：考慮線性變換： pppppppppppXaXaXaXaZXaXaXaXaZXaXaXaXaZ2211222211222122111111設(shè) X = ( X1 , X2 , , Xp ) 為 p 維隨機(jī)向量. 稱 Zi = ai X為X的第i主成分( i =1 , p ),如果:(1) ai ai = 1 ( i =1 , p ); (2)當(dāng)i 1時(shí), ai aj = 0 ( j =1 , i -1 ); (3)(max)()1, 1(0, 1XVarZVarijij 設(shè) p 維隨機(jī)向量X 的均值向

27、量E(X) = 0 , 協(xié)方差陣設(shè) X = ( X1 , X2 , , Xp ) 是 p 維隨機(jī)向量, 且的特征值為 1 2 p , a1 , a2 , , ap 為相應(yīng)的單位正交特征向量, 則 的第i主成分為 Zi = ai X ( i =1 , p ).記 = (i j ) , = diag(1, 2 , , p )其中1 2 p 為的特征值，1 , 2 , , p 是相應(yīng)的單位正交特征向量, 記正交矩陣 A = (1 , 2 , , p ).主成分Z = ( Z1 , Z2 , , Zp ) , 其中Zi = ai( i =1 , p ) .主成分 Zk 與原始變量Xi 的相關(guān)系數(shù)為并把

28、主成分 Zk與原始變量Xi的相關(guān)系數(shù)稱為(或).), 1,(/),(pikaXZiikikik ),(),(),(),(),(),(),(),(),(122212111111pppkpppkpkpkXZXZXZXXZXZXZXXZXZXZXZZZ ), 1(1),(1212piaXZpki ikikpkik ),(),(pkXZkpiiki i112主成分Zk 的貢獻(xiàn)率;主成分Z1 , , Zm的累計(jì)貢獻(xiàn)率. piik1/ piimkk11/ 主成分 Z1 , , Zm 對(duì)原始變量Xi 的定義為Xi 與Z1 , , Zm 的相關(guān)系數(shù)的平方 mki ikikmia12)(/ i ikikikaX

29、Z 22),( 在實(shí)際問題中,不同的問題往往有不同的, 而通過來求主成分總是優(yōu)先考慮方差大的變量, 有時(shí)會(huì)造成很不合理的結(jié)果, 為了消除由于量綱的不同可能帶來的一些不合理的影響,常采用將的方法. 若記 E(Xi) = i , Var(Xi) = i2 ，即令 這時(shí)標(biāo)準(zhǔn)化后的隨機(jī)向量X= (X1, X2 , , Xp ) 的協(xié)方差陣就是原隨機(jī)向量X的相關(guān)陣 .), 1()()(piXXVarXEXXiiiiiii 標(biāo)準(zhǔn)化后的隨機(jī)向量X= (X1, X2 , , Xp ) 的協(xié)方差陣就是原隨機(jī)向量X的相關(guān)陣 .從相關(guān)陣出發(fā)求主成分, 記主成分向量為 Z= (Z1, Z2 , , Zp )則Z有與總

30、體主成分相應(yīng)的性質(zhì).X 的相關(guān)陣的特征值為 1 2 p , 1 , 2 , , p 為相應(yīng)的單位正交特征向量, 則X 的第i主成分為 Zi ai Xi ( i =1 , p ).1 2 p X= (X1, X2 , , Xp ) Z= (Z1, Z2 , , Zp )Zi ai Xi 主成分Zk與Xi的相關(guān)系數(shù)為其中ak = (a1k , a2k , , apk ) 是 對(duì)應(yīng)于k的.),2, 1,(),(pikaXZkikik ), 1(1)(),(1212piaXZpkkikpkik ), 1()(),(1212pkaXZkpikikpiik 主成分Zk 的貢獻(xiàn)率;主成分Z1 , , Zm的

31、累計(jì)貢獻(xiàn)率. piik1 / mkpiik11 / 主成分 Z1 , , Zm 對(duì)原始變量Xi 的定義為Xi 與Z1 , , Zm 的相關(guān)系數(shù)的平方 mkkiimia12)( )(mi 22),(kiiikaXZ 變量標(biāo)準(zhǔn)化后的因子負(fù)荷量變量標(biāo)準(zhǔn)化后的因子負(fù)荷量 pkpikipkpikipppkpkppppkkppkkpkkipkpaaaXaaaXaaaXZZZ11211211222112111111121111 設(shè)總體X = (X1 , X2 , X3 )N3, 的 均值向量 = (0, 0, 0 )，協(xié)方差陣為(1) 求總體X的三個(gè)主成分；(2) 求X的等概率密度橢球的主軸方向；(3) 求

32、每個(gè)主成分的貢獻(xiàn)率;(4)求前兩個(gè)主成分對(duì)變量X1 , X2 , X3的貢獻(xiàn)率.2200202200202.六、簡單算例六、簡單算例(1)求總體X的三個(gè)主成分； 的特征值為.)(.)(.)()(.)(.)(.2022202222022222020222200202022020222200202200202022222 I.,.202222022321(1) 求的第一大特征值對(duì)應(yīng)的單位特征向量 2121212221122022020020202200202020202200202022002020201213111231221211112131213121312111211131211111/,

33、/,.,)( 即即，所所以以又又即即aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaI(1) 求的第二大特征值對(duì)應(yīng)的單位特征向量 21021021100200202002000200200200200022232122322222121232222232122232221222/,/,.,)( 即即，所所以以又又即即aaaaaaaaaaaaaaaaI(1) 求的第三大特征值對(duì)應(yīng)的單位特征向量 2121212221122022020020202200202020202200202022002020203233313233223213132333233323332313231333231333/,/,.,

34、)( 即即，所所以以又又即即aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaI(1)求總體X的三個(gè)主成分；的特征值與對(duì)應(yīng)的單位特征向量為總體X的三個(gè)主成分為21212120222102122121212022332211/,./,/,.321331232112121212121212121XXXZXXZXXXZ/(2) 求X的等概率密度橢球的主軸方向依次為(3)求第一、第二、第三主成分的貢獻(xiàn)率依次為21212121021212121321/.,.,.286190620223333306238047062022(4)i1232222202202202222222022332323313122222221

35、21112121111121 aaaaaaXZXZii.),(),(),(/),(pikaXZiikikik1 2332211 21021221212120222211/,/,. (4) 主成分對(duì)變量的貢獻(xiàn)率i1237854.4282 . 02222222 . 0225707.42 . 022022 . 0227854.4282 . 02222222 . 022),(),(),(),(2212)2(21 iiiiiXZXZXZXZ 表表2.4.1 2.4.1 某農(nóng)業(yè)生態(tài)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)各區(qū)域單元的有關(guān)數(shù)據(jù)某農(nóng)業(yè)生態(tài)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)各區(qū)域單元的有關(guān)數(shù)據(jù) 步驟如下：步驟如下： （1）將表）將表2.4.1中的數(shù)據(jù)作標(biāo)準(zhǔn)差標(biāo)準(zhǔn)化處理，然后將它們代入中的數(shù)據(jù)作標(biāo)準(zhǔn)差標(biāo)準(zhǔn)化處理，然后將它們代入公式公式,計(jì)算相關(guān)系數(shù)矩陣（表計(jì)算相關(guān)系數(shù)矩陣（表2.4.2）。）。x1x2x3x4x5x6x7x8x9x11-0.327 -0.714 -0.3360.3090.4080.790.1560.744x2-0.331-0.0350.6440.420.2550.009-0.0780.094x