第三章隨機(jī)向量及其分布

1、第三章第三章 隨機(jī)向量及其分布隨機(jī)向量及其分布 3.1 隨機(jī)向量的概念及其分布函數(shù) 3.2 二維離散型隨機(jī)向量 3.3 二維連續(xù)型隨機(jī)向量 3.4 二維隨機(jī)向量函數(shù)的分布 許多隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果，需要用n(n2)個(gè)的隨機(jī)變量X1, X2, Xn同時(shí)來(lái)描述，這n個(gè)的隨機(jī)變量一起構(gòu)成隨機(jī)向量(二維或多維隨機(jī)向量)。例如，一次射擊的彈著點(diǎn)的平面坐標(biāo)可看作是二維隨機(jī)向量(X,Y)；氣象觀測(cè)站觀測(cè)每天某整點(diǎn)的天氣狀況，可將溫度、濕度、風(fēng)力和風(fēng)向等觀測(cè)值可看作多維隨機(jī)向量(X1,X2, Xn)；又如學(xué)生體檢時(shí)的各項(xiàng)檢查指標(biāo)值可看作多維隨機(jī)向量。 從幾何角度看，一維隨機(jī)變量就是第2章討論的隨機(jī)變量，它可看作是直

2、線(一維空間)上的隨機(jī)點(diǎn)；二維隨機(jī)變量可看作是平面(二維空間)上的隨機(jī)點(diǎn)；三維隨機(jī)變量可看作三維空間中的隨機(jī)點(diǎn)。3.1 隨機(jī)向量的概念及其分布函數(shù)隨機(jī)向量的概念及其分布函數(shù)3.1.1 隨機(jī)向量的定義和聯(lián)合分布隨機(jī)向量的定義和聯(lián)合分布 定義定義 3.1.1 設(shè)(,F,P) 為概率空間，如果Xi為隨機(jī)變量(i =1, 2, , n)，則稱向量(X1,X2,Xn)為隨機(jī)向量。隨機(jī)向量是一個(gè)取向量值的隨機(jī)變量，也稱隨機(jī)向量為多維隨機(jī)變量。例如 在打靶練習(xí)中，一次射擊的彈著點(diǎn)的平面坐標(biāo)可看作是二維隨機(jī)向量(X,Y).定義 設(shè)(,F,P) 為概率空間，(X , Y)是二維隨機(jī)變 量，對(duì)任意實(shí)數(shù)x、y ,

3、二元函數(shù) FX,Y (x , y) = P Xx , Yy 稱為(X , Y)的聯(lián)合分布函數(shù)聯(lián)合分布函數(shù)。隨機(jī)點(diǎn)(X , Y) 落在右上端點(diǎn)為(x , y) 的半無(wú)限區(qū)域(-, x(-, y的概率 定義定義3.1.2 設(shè)(,F,P) 為概率空間，(X1,X2,Xn)為其上的隨機(jī)向量，它的聯(lián)合分布函數(shù)定義為12,1122112,21( ,(, , , ):( ),)( ,)nnX XXnnnniiniFx x P XxXxXxPX xxxx xR ，定義 設(shè)(, F, P) 為概率空間，(X , Y)是二維隨機(jī)變 量，對(duì)任意實(shí)數(shù)x、y , 二元函數(shù) FX,Y (x , y) = P Xx , Y

4、y 稱為(X , Y)的聯(lián)合分布函數(shù)聯(lián)合分布函數(shù)。推廣到推廣到n維：維：1112221122211122111122211222(+ ,+)(,+ , ) (+ ,)+ (,) +) P x P Xxh XxhP Xx XxhP Xxhxhx xhXxP XxXxXX-12121212,1122,122,112,12(+ ,+)( ,+) (+ ,)+( ,)X XX XX XX XFxh xhFx xhFxh xFx x-121 12 2,1212(+,+)( , )( ,)X Xxh xhFt tx x 記為是差分隨機(jī)點(diǎn)(X1 , X2) 落在矩形區(qū)域的概率 1111111111(1)()

5、()xhxXXXFtFxhFx階差分 112212121111112112(+,+)(,),22212+,1,12( , )=( ,)( ,)+xh xhx xXXxhxhxXXxXXFt tFtFtxhx階差分12121212111222212,2,11+=(,)( ,)(,)( ,+)XXXXXXXXxhxhFFFFxxxhxxhx1212n1111222nnn11122122n, ,12,: ( )+ (+ ,+,+)( ,)X ,X ,X( , , )nniiiiinnnX XXn P x x +h , x x +h ,x x +h=P xX xhxh xhxhXXXFt txtxx隨

6、機(jī)向量在的概率n維矩形域 區(qū) P(x1X x1+h1 , x2Y x2+h2) = = FX,Y(x1+h1, x2+h2)-FX,Y (x1+h1, x2)-FX,Y (x1, x2+h2)+FX,Y (x1, x2) 1 122 12(+ , +)(,),12( , )xhxhx xX YFt t,X Y123(,)P xxh yyh zYZzhX, ,123(,)X Y ZFxh yh zh123(,)( , , ), ,123( , , )x h y hz hx y zX Y ZFt t t , ,23, ,13, ,12( ,)(, ,)(, )X Y ZX Y ZX Y ZFx y

7、h zhFxh y zhFxh yh z, ,3, ,2, ,1( , ,)( , )(, , )X Y ZX Y ZX Y ZFx y zhFx yh zFxh y z, ,( , , )X Y ZFx y z定理定理3.1.1 設(shè)(,F,P) 為概率空間，隨機(jī)向量(X1,X2,Xn)的聯(lián)合分布函數(shù)為為其上的隨機(jī)向量，它的聯(lián)合分布函數(shù)定義為 ，則12, ,nX XXF112121212 ,1212,12,12,1 2 (i)0( ,)1( ,)lim( ,) = 0=1,2, ( ,) = 0lim( ,)iinnnnnnXXXnnXXXnXXXnXXixxXnxx Fx xxx xxFx

8、xxinFx xx Fx xxxR，即12,=1 + ,+ ,)+ (=1nXXXF即 121212121211, ,12, ,2, ,2, ,12, ,12(iii) ( ,) ( =1,2, )(,)=( ,), ,( ,)+0+=( ,)0nnnnnX XXniX XXnX XXnX XXX XXnnxxxFx xxx inFxxFxxFx xFx xx關(guān)于每個(gè)變?cè)?右連續(xù)，即 121212,12,1,1( )( ,) ( =1,2, )()( =1,2,), ( ,)( ,)nnniiXXXnijXXXiinXXXniiFx xxx inxjn jiFxxFxxxxxx關(guān)于每個(gè)變?cè)?單

9、增 不減 ，即固定且時(shí)1 12 2 1 21212(+,+, ,+)(, ,), ,12(iv) ( ,)0=1,2,( , , ) 0n n nnnnixh xhxhx xxX XXnx xxhin Ft ttR和，有 定理3.1.1的(i)(iii)易于理解，對(duì)于(iv)僅證n=2的情況。11122211111122222111221222210(+ ,+)(,+) (+ , +(+ ,)+ (,)P Xxh XxhP Xx XxhP Xxh XxP x Xxhx XxhP Xx Xx-12121212,1122,122,112,12(+ ,+)( ,+) (+ ,)+( ,)X XX X

10、X XX XFxh xhFx xhFxh xFx x-121 12 2,1212(+,+)( , )( ,)X Xxh xhFt tx x 定理3.1.1中的四條性質(zhì)稱為隨機(jī)向量分布函數(shù)的特征性質(zhì)?？聽柲缏宸虼嬖诙ɡ? 若有定義于Rn上的實(shí)函數(shù)F(x1, x2, xn)滿足上述四條性質(zhì)，則可以構(gòu)造一個(gè)概率空間(,F,P)和其上的隨機(jī)向量(X1,X2,Xn)，使其聯(lián)合分布函數(shù)： 12, ,121212( ,)=( ,)( ,)，RnnX XXnnnFx xxF x xxx xx聯(lián)合分布與邊緣分布聯(lián)合分布與邊緣分布：隨機(jī)向量(X1,X2,Xn)的聯(lián)合分布函數(shù) 刻畫了隨機(jī)向量的整體統(tǒng)計(jì)特性，根據(jù)整

11、體與各個(gè)分量的關(guān)系，隨機(jī)向量每個(gè)分量的統(tǒng)計(jì)特性也應(yīng)當(dāng)由其聯(lián)合分布函數(shù)完全刻畫?？捎呻S機(jī)向量的聯(lián)合分布得到一維一維隨機(jī)變量的邊緣分布：隨機(jī)變量的邊緣分布：12, ,12( ,)nX XXnFx xx1111()=XP XxxF1312=(,+ ,+ ,+ )nXxPXXX2121, ,122,3, , ,1= l+ ,+ ,+( ,)im( ,)jnnX XXnnX XxXjFxFx xx同樣，一維隨機(jī)變量同樣，一維隨機(jī)變量X2的邊緣分布：的邊緣分布：12212213, ,121,3, ,2222, ,2()=(+ , , + ,+ )= lim( ,+ ,+ ,+),()(, )nnjXnX

12、XXnxXXXjnFxP XxXxP XXXFxFx xx i1122i, ,121,2,i, ,i,i,( )=()=lim( ,) + ,+ ,+ i=1,2,3, ,n()njnXX XXnxjn,j iX XXFxFx xP XxFxx 同樣，可由隨機(jī)向量的聯(lián)合分布得到二維隨機(jī)變量二維隨機(jī)變量的邊緣分布的邊緣分布 此外，由聯(lián)合分布函數(shù)的定義可知，聯(lián)合分布函數(shù)具有對(duì)稱性，即121,12212( ,)=(,X XPFxXx Xxx12112, ,121, ,12(, )( ,)-nnnXXXXnnX XXnFx xx x =Fx xx212111223, ,123,12, ,( ,=(,+

13、 ,+ )= lim( ,),+)+,nnjnX XXnxnXjXXP XxFxXx XXFxx xx,1111,arctanarctan22( ) , ( )X YXYX YFx yxyXYFxFy設(shè)的聯(lián)合分布函數(shù)為 求 和 的邊緣分布函數(shù)例：,( )()(,) ( ,)1111arctanarctan22111111 arctan arctan2222XX YyFxP XxP XxFxxyxYx =解：,( )()(,) (, )1111arctanarctan2211 =arctan2YX YxFyP YyPYyFyxyyX =聯(lián)合分布函數(shù)性質(zhì)的推廣聯(lián)合分布函數(shù)性質(zhì)的推廣：1212121

14、2, , ,12(v) 0= , , =1,2, (,)= lim( ,)()iiknikjkXXXiiiX XXnxj I AknAi iiInFx xxFx xknx對(duì)任意，設(shè)，則二維邊緣分布的維邊緣分布由 維聯(lián)合分布推廣唯一確定12121212n, , ,12(vi) ( , , )(1,2, )()(,)=( ,)()iinninXXXiiiX XXni iinFx xxFx xxn設(shè)為的任意置換 全排列，則維聯(lián)合分布的完全對(duì)稱性。3.1.2 隨機(jī)變量的獨(dú)立性隨機(jī)變量的獨(dú)立性定義定義3.1.3 設(shè)(,F,P) 為概率空間，X1,X2,Xn為其上的隨機(jī)變量，如果1212, ,121212

15、12n( ,)=( )()() ( ,),則稱相互獨(dú)立。RnnX XXnXXXnnn Fx xxFx FxFx x xxX XX,1111,arctanarctan22X YX YFx yxyXY設(shè)的聯(lián)合分布函數(shù)為 例： 求 與 是否獨(dú)立？ ,11,arctan211,arct,an2, ,=XX YYXX YX YYFxX YXFxFxxYFyFyyx yyFx FyXY 對(duì)應(yīng) 的邊緣分布函數(shù)為 對(duì)應(yīng) 的邊緣分布函數(shù)為 對(duì)任意實(shí)數(shù)解： 所以， 與 相有 互獨(dú)立。定義定義3.1.4 (離散型與連續(xù)型隨機(jī)向量定義)設(shè)(,F,P) 為概率空間，( X1,X2,Xn )為其上的隨機(jī)向量。(1) 若(

16、 X1,X2,Xn )至多取可數(shù)多個(gè)不同的值，則稱之為離散型隨機(jī)向量離散型隨機(jī)向量。12n1212n12, ,1212n12, ,1212,12(2) ( ,) (,) =dd( , , )d ( , ( ,),)nnXX XXnxxxX XXnnXnnXnFxfx xxX XXttft tttx xxxxR若存在非負(fù)函數(shù)，使得隨機(jī)向量的聯(lián)合分布函數(shù)可以表示為12n12n, ,12 (,)( ,)X XXnX XXfx xx則稱為，并稱為連續(xù)型隨機(jī)向量的連續(xù)型隨機(jī)向量概率密度函數(shù)。例：例：設(shè)(,F,P) 為概率空間，( X, Y )為其上的二維隨機(jī)向量。若( X, Y )至多取可數(shù)多個(gè)不同的值

17、，則稱之為離散型隨離散型隨機(jī)向量機(jī)向量。二維離散型隨機(jī)向量的概率聯(lián)合分布列 X Yb1b2bjpi a1p11p12p1j a2 P21p22p2j aipi1pi2pij pj11212(1)(2)( )12,1212( )( )( )1212 , 1,2, ,1 , ,2,3, ,nnnllnll llniiiiknnP XaXaXaXXXnXaaainlpXXXll一般地，對(duì)為 維離散型隨機(jī)向量，若 其中稱為的聯(lián)合，都取值于分布列。12(1)(2)( )1212(1)(2)( )12(,)(,) ,nnlllnnnnllnlaaaDDRP XXXDP XaXaXa對(duì)于任何n維區(qū)域，有 ,

18、2,( , )( , )(,)( , ) (, )( , )X YX YXyYX YDxX Yfx yFP XYfx y dxdyDPX YDfx y dx yxdyyx R若是二維連續(xù)型隨機(jī)向量，是聯(lián)合密度函數(shù)，則聯(lián)合分布函數(shù): 對(duì)于任何區(qū)域，有=2,(, ) 1, 01( , ) =0 X YX Ykxyxyx fx y 的聯(lián)合密度函數(shù)： 例其它定理定理3.1.2 設(shè)(,F,P) 為概率空間，X1, X2, Xn為其上的隨機(jī)變量，如果 121212(i)12(1)(2)( )12(1)(2)( )1212(1) ,=,=1,2,=1,2,P=,=,= =, ,1,2,nnniijnnlln

19、lnllnlnX XXP XajinX XXXaXaXaP XaP XaP Xal ll都為隨機(jī)變量，都有邊緣分布列則是其中取值于離散型相互獨(dú)立的充分必要條件。(2) 若X1,X2,Xn都為連續(xù)型隨機(jī)變量，121212,1212,121212( ,)( ) 1,2,( ,) =()()(), ( ,) ninnXXXnXinXXXnXXXnnnfx xxfxinXXX fx xxfxfxfxx xxR聯(lián)合密度函數(shù)邊緣密度函數(shù)獨(dú)立的充分必若為， 為則相互是要條件3.2 二維離散型隨機(jī)向量二維離散型隨機(jī)向量3.2.1 二維離散型隨機(jī)向量的二維離散型隨機(jī)向量的聯(lián)合發(fā)布列聯(lián)合發(fā)布列與與邊緣分布列邊緣分

20、布列設(shè)二維離散型隨機(jī)向量(X,Y)的取值為(xi,yj), (i ,j1,2,)，其聯(lián)合分布列為 P( X=xi , Y=yj )=pij , (i , j =1,2,)聯(lián)合分布列滿足如下兩個(gè)條件： 11(1) 0(2) 1ijijijpp, (, )( , )ijX YijxxyyX YFx yp二聯(lián)維離散隨機(jī)變量的為合分布函數(shù)0，則在Y=y發(fā)生的條件下X的條件概率密度函數(shù)定義為若fX(x)0，在X=x發(fā)生的條件下Y的條件概率密度函數(shù)定義為,( , )()=,( )X YX| YYfx yfx|yxfy R,( , )()=,( )X YY|XXfx yfy|xyfx R例3.3.6 設(shè)(X

21、,Y)的聯(lián)合密度函數(shù)和邊緣密度函數(shù)分別為2,6 1, 01( , ) =0 11(1)()(2)()23X YX| YY|Xxyxyxfx yfx| y=fy|x=其他 試求，試求。21(1) 1/ 21/ 20,2Yxyx 已知事件發(fā)生，,則解解2,2( ) = 3,01,11( , )6122() =4211( )3 ( )222140() =220 YX YX| YYX| Y fyyyfxx fx| y=xfx xfx| y=由于其他 21(2) 1/31/3,1,3Xxy已知事件發(fā)生， = 則4,4( ) = 3 (1),01,11( , )618133() =311140( )3 (

22、 )(1 ( ) )333811,11409() =30 XX YY|XXY|X fxxxxfyy fy|x=yfy yfy|x= 由于有-其他 求二維正態(tài)分布的條件概率密度函數(shù)。例例 221212121111( )( )exp2222XYxyfxexpfy, ,2112222211( , )()=( )11 =(+()2(1)21X YX|YYfx yfx|yfy expx y,22112222112212( , )11exp22(1)21X Yfx yxxyy 解解,22212221222211212( , )()=( )11=(+()2(1)21(+() = = ,(1) )X YY|X

23、XYyfx yfX XxY y|xfx expyxXNy 即在發(fā)生條件下， 的條件分布為正態(tài)分布： 在發(fā)生條件下， 的條件分布為正態(tài) 分布： 2222121(+() ,(1) ) Y Nx 3.4 二維隨機(jī)向量函數(shù)的分布二維隨機(jī)向量函數(shù)的分布 二維隨機(jī)向量(XY)的函數(shù)Z=g(X Y)一般也是隨機(jī)變量，其分布的求取是不容易的。它涉及到隨機(jī)向量的分布類型和函數(shù)的復(fù)雜程度。這里僅就最簡(jiǎn)單的情況：和函數(shù)和函數(shù)進(jìn)行討論。1. 離散型隨機(jī)向量的和函數(shù)的分布離散型隨機(jī)向量的和函數(shù)的分布 設(shè)離散隨機(jī)向量(XY)的聯(lián)合分布為則和函數(shù)ZXY的分布列為(,) ,1,2,ijijP Xx Yypi j(), 1,2

24、,ijkkijxyzP Zzpk()(),012ijX ,YP X,Ypiji j, , ,特別地，若的分布列為, ,00()(), 012 kki k-iiiZXYP ZkP Xi,Ykipk, , , 則的分布列為00()() (), 012 kkik-iiiXYP ZkP Xi P Ykip pk, , , 若 與 獨(dú)立，則例例 已知XY相互獨(dú)立，分別服從參數(shù)為1及2的泊松分布，求和函數(shù)Z=X+Y的分布。解解 因?yàn)?XPios(1)，YPios(2)則Z=X+Y的取值為z=0,1,2,3,k,12120,1,2, , () (0,1,2,)!0,1,2, , () (0,1,2,)!ij

25、XiP XieiiYjP Yjejj1200120()(,)() ()!()!kikiik ikiP ZkP Xi YkiP Xi P Ykieeiki121212()120()()1212!()!()() 0,1,2,!ik ikkikekki kieekkk 12( )ZXYPios所以，例例 設(shè)（設(shè)（X,Y）的分布列為：）的分布列為：X Y-102-15/202/206/2023/203/201/20求函數(shù)求函數(shù) Z = XY 的分布列。的分布列。(X,Y)(-1,-1)(-1,0)(-1,2)(2,-1)(2,0)(2,2)Z=XY10-2-204P5/202/206/203/203/

26、201/20Z=XY的分布列：Z=XY-2014P9/205/205/201/202 連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布 若二維連續(xù)隨機(jī)型向量(XY)的聯(lián)合密度為fX,Y(x,y), 若隨機(jī)變量(XY)的函數(shù)Zg(XY)，可先求Z分布函數(shù)FZ(z)，再確定Z密度函數(shù)fZ(z)。 (式中的積分是由不等式g(x , y)z所確定的平面區(qū)域。)( , ),( )()()( ,(,)Zg x yzX Yg X YzFzP ZzPfx y dxdyd( )( )d由此得 的概率密度 ZZZfzF zz特別對(duì)和函數(shù) Zg(XY)=X+Y的分布函數(shù)FZ(z)有當(dāng)XY為獨(dú)立隨機(jī)變量時(shí)，有,( )

27、(Z)()( , )d dX YZx y zF zPzP XYzfx yx y ( )( )( )z xZXYF zfx fy dy dx ,XY( , )( )( )X Yfx yfx fy,( , )d dX Yz xfx yyx y u ( )()d ddu( )()d XzzYXYxfx fuxuffuxxxx 可得到連續(xù)型隨機(jī)變量和函數(shù) ZX+Y的概率密度函數(shù)：一般將積分 稱為f(x)與g(x)的卷積，記作：卷積可交換，即 f(x)g(x)=g(x)f(x)。所以結(jié)論：結(jié)論：兩個(gè)獨(dú)立的連續(xù)隨機(jī)變量之和的概率密度是它們兩個(gè)獨(dú)立的連續(xù)隨機(jī)變量之和的概率密度是它們 各自概率密度各自概率密度

28、的卷積的卷積。( )( )( )()ZXYZdfzFzfx fzx dxdz( )* ( )( ) ()xxxfgf u gu du( )( )( )( )( )()( )dZXYYXXYfzfzfzfzfzfzx fx x( ) ()df u g xuu例例 已知XY獨(dú)立且同服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，求Z=X+Y的密度函數(shù)。解解222211( ), ( )22XYxyfxefye2222()22()42( )( )*( )( )()112212ZYYXXxz xzzxfzfzfzfx fzx dxeedxeedx(,)2ztxdxdt令且 一般有一般有X1, X2獨(dú)立且獨(dú)立且X1N( 1, 12), X2N( 2, 22), 則則X1+X2 N( 1+ 2 , 12+ 22)，即，即 = 1+ 2 , 2 = 12+ 2222222442 (