現(xiàn)代信號(hào)理論4(信號(hào)空間的線性算子)

1、 第四章 信號(hào)空間的線性算子n信號(hào)處理系統(tǒng) 由完成各種基本運(yùn)算的部件組成。 （放大、濾波、調(diào)制、檢測(cè)） ( )yS xSaxVbxV數(shù)學(xué)描述：數(shù)學(xué)描述：:( )abaS VVyS xxV 定義域定義域映射關(guān)系映射關(guān)系值域值域信號(hào)空間算子的實(shí)例信號(hào)空間算子的實(shí)例: :n放大放大 ( )( )y tKx t 數(shù)乘算子數(shù)乘算子K( )x t( )y t信號(hào)空間算子的實(shí)例信號(hào)空間算子的實(shí)例: :n濾波濾波 ( )( )( )y tx th t 卷積算子卷積算子( )x t( )y t( )h t信號(hào)空間算子的實(shí)例信號(hào)空間算子的實(shí)例: :n雷達(dá)回波模型雷達(dá)回波模型 信號(hào)空間算子的實(shí)例信號(hào)空間算子的實(shí)例:

2、 :n雷達(dá)回波分析雷達(dá)回波分析 -點(diǎn)目標(biāo)點(diǎn)目標(biāo) ( )x t發(fā)射信號(hào)：發(fā)射信號(hào)： 0( )()y tx t目標(biāo)后向散射系數(shù)：目標(biāo)后向散射系數(shù)： 接收信號(hào)：接收信號(hào)： 0數(shù)乘算子數(shù)乘算子+時(shí)延算子時(shí)延算子信號(hào)空間算子的實(shí)例信號(hào)空間算子的實(shí)例: :n雷達(dá)回波分析雷達(dá)回波分析 -面目標(biāo)（不考慮散射和傳播的差異）面目標(biāo)（不考慮散射和傳播的差異） ( )x t發(fā)射信號(hào)：發(fā)射信號(hào)： 0( )( , ) ( , )Dy tx y x tx y dxdy目標(biāo)后向散射系數(shù)：目標(biāo)后向散射系數(shù)： 接收信號(hào)：接收信號(hào)： 0( , )x y卷積算子卷積算子信號(hào)空間算子的實(shí)例信號(hào)空間算子的實(shí)例: :n雷達(dá)回波分析雷達(dá)回波

3、分析 -面目標(biāo)（考慮散射和傳播的差異）面目標(biāo)（考慮散射和傳播的差異） ( )x t發(fā)射信號(hào)：發(fā)射信號(hào)： 0( )( , ) ( , , )Dy tx y x t x y dxdy目標(biāo)后向散射系數(shù)：目標(biāo)后向散射系數(shù)： 接收信號(hào)：接收信號(hào)： 0( , )x y積分算子積分算子 信號(hào)離散表示推廣到連續(xù)函數(shù)。1.1.信號(hào)的積分變換與表示信號(hào)的積分變換與表示: :( )( ) ( , ),Sx tu st s dstT1( )( )niiix tattT 積分變換核函數(shù)積分變換核函數(shù)分析：分析：能否變換回來(lái)？( )( )x tu s？( )( )u sx t( )( ) ( , ),Tu sx ts t

4、 dtsS對(duì)偶核函數(shù)對(duì)偶核函數(shù)可逆性分析：可逆性分析：( )( ) ( , ),Sx tu st s dstT( )( ) ( , ),Tu sx ts t dtsS( )( ) ( , ) ( , ),( , ) ( )( , )( , ) ( , )S TTSx txst s d dsI txdI tst s ds 其中可逆性分析：可逆性分析：( , )( , ) ( , )()SI tst s dst 可逆條件可逆條件自對(duì)偶自對(duì)偶( , )*( , )t ss t自對(duì)偶積分變換的特性：( )( )( )( )x tu sy tv s( , )( ) *( )( ) *( ) ( , )

5、*( , )( ) *( ) ()( ) *( )( , )SS T TT TTu vu s vs dsx t ys tsd dtdsx t ytd dtx t yt dtx y 內(nèi)積保持不變內(nèi)積保持不變積分變換實(shí)例：(,)( , )( , )jstjstTSt ses te ( ), ( )( ( ), ( )X fY fx ty t傅立葉變換傅立葉變換滿足自對(duì)偶性滿足自對(duì)偶性帕塞瓦恒等式帕塞瓦恒等式傅立葉變換的時(shí)頻對(duì)偶特性傅立葉變換的時(shí)頻對(duì)偶特性 信號(hào)表示形式：差變量核函數(shù)差變量核函數(shù): :( )( ) (),Sx tu sts dstT( , )(),(,)t stsT S 對(duì)偶核函數(shù)？

6、對(duì)偶核函數(shù)？積分變換的核函數(shù)積分變換的核函數(shù)差變量核函數(shù)差變量核函數(shù): :( )( ) (),Sx tu sts dstT( )( )( )1( )( )( )X fU ffU fX ff 代表什么？代表什么？傅立葉變換傅立葉變換( )( ) (),Tu sx tst dtsS例：Hilbert變換1( )1 ( ) ( )( )x tH x sH x sdtx tdsstst1( - )t sts變換核:（）( )= sgn( )sgn1()()fjffjfstst 自對(duì)偶自對(duì)偶2. 線性變換（線性算子）n定義1212,()( )()CX YLXYLxxL xL xLYL是線性空間， ：滿足

7、則稱 是線性算子。當(dāng) 為數(shù)域 時(shí)，稱線性算子 為線性泛函。例：n多項(xiàng)式空間上的求導(dǎo)運(yùn)算；多項(xiàng)式空間上的求導(dǎo)運(yùn)算；n有限維向量空間上的基變換；有限維向量空間上的基變換；n能量有限信號(hào)空間上的傅里葉變換。能量有限信號(hào)空間上的傅里葉變換。 。線性變換（線性算子）的連續(xù)性線性變換（線性算子）的連續(xù)性000,nnX YLXYxxLxLxLxLD LL是賦范線性空間， ：的線性算子，且滿足若則則稱連續(xù)。 若 在其定義域（ ）上的每一點(diǎn)連續(xù)，則稱 為連續(xù)線性算子。n線性算子若在原點(diǎn)連續(xù)，則為連續(xù)線線性算子若在原點(diǎn)連續(xù)，則為連續(xù)線性算子；性算子；線性算子的有界性和連續(xù)性線性算子的有界性和連續(xù)性,( )X YL

8、XYkLxk xxD L 是賦范線性空間， ：的線性算子，且存在常數(shù)滿足則稱L為有界線性算子。 n線性算子的有界性和連續(xù)性等價(jià)。線性算子的有界性和連續(xù)性等價(jià)。n線性算子的運(yùn)算（加、數(shù)乘）n線性算子的范數(shù) （賦范線性空間）n線性算子空間構(gòu)成一個(gè)代數(shù)。（算子乘法）線性變換（線性算子）空間線性變換（線性算子）空間線性算子空間線性算子空間n線性算子的運(yùn)算（加、數(shù)乘）1112()( )( )( )()( )( )LLxL xL xL xL x線性算子的全體構(gòu)成線性空間。線性算子的全體構(gòu)成線性空間。線性算子空間線性算子空間n線性算子的范數(shù)inf :( ),LkL xk xxD L （ ）線性算子的全體構(gòu)成

9、賦范線性空間。線性算子的全體構(gòu)成賦范線性空間。n線性算子范數(shù)的其他表述=sup( )1,LL xxxD L； （ ）線性算子范數(shù)：n例 L2空間的傅里葉變換222222=(,)=( , )=,1LxLx Lxx xxxLL3. 有限維內(nèi)積空間的線性算子11( )( )( )( )niiiniiiXx tatxXL xa Lt是有限維線性空間，則空間的基空間的基基的變換響應(yīng)基的變換響應(yīng)j,i1,( )( )ni jii jLXXLttL 若 ：， （自映射線性算子）則 1,11,11( )( )( )()( )niiinnii jjijnnii jjjiL xa Ltatat bLa4. L2空

10、間的線性算子( )( ) ( , ),Sx tu st s dstT( )( ) ( , ),Sy tv st s dstT輸入信號(hào)輸入信號(hào)輸出信號(hào)輸出信號(hào)( )( )( )( , ),( ) ( , ),( , )=( , )SSy tLx tu s Lt s dstTu st s dstTt sLt s其中 t:自變量自變量s:參變量參變量L2空間的線性算子的三種表示：: ( )( )L x ty t: ( , )( , )Lt st s: ( )( )L u sv s信號(hào)變換信號(hào)變換基變換基變換分量密度函數(shù)分量密度函數(shù)變換變換線性算子的第三種表示：( )( ) ( , ),Tv sy t

11、s t dtsS( )( ) ( , ),Sy tv st s dstT( )( ) ( , ),Sy tu st s dstTT( )( ) ( ,) ( , )( ) ( ,)( ,)=( ,) ( , )T SSv suts t d dtuL sdL sts t d dt 其中( )( )( , )x tu st s( )( )( , )y tv st s( ,)L s線 性 網(wǎng) 絡(luò)變換核函數(shù)變換核函數(shù)例：信號(hào)的頻域表示222R22( , ),( )( )( )( , )( , )( , ),( ,)=( ,) ( , )( , )( )( , ) ( )jstjstjsRjstjst

12、seX Yx ty th tt set sh tedL sts t d dth teedtdY fL f v x v dv 表示輸入信號(hào)和輸出信號(hào)的傅里葉變換;若網(wǎng)絡(luò)的沖激響應(yīng)為則對(duì)基函數(shù)的響應(yīng)為5.線性算子的實(shí)例n非時(shí)變算子n恒等算子n乘法器n微分算子n時(shí)間平均算子n理想濾波算子n匹配濾波（相關(guān)）算子6. L2空間線性算子的有限維近似?nLxM如何解決無(wú)限維空間上算子實(shí)現(xiàn)的困難？如何解決無(wú)限維空間上算子實(shí)現(xiàn)的困難？思路1： 將線性算子的定義域限制在有限維空間上；11,i=1,2,.,n( )( )( )( )niniininiiiMx tatxMLx ta Lt是由張成的空間，則nnnML

13、xP LxxM 定義：投影算子投影算子111111,111( )( ,)( )(,)( )( (),)( )(,)( )( )( )nnMiiiniiinnjjiiijnnjijijinni jjijiniijy tPyytLxtLatLatatt 誤差？誤差？n線性算子的范數(shù)inf :( ),LkL xk xxD L （ ）( )( )( )( )nnnnL xL xLLxxD LL xL xLLx （ ）,i=1,2,.,n-inL L適當(dāng)選擇，使盡可能地小例：,=),0,1,2,.,1( )( )()()( ),)()( )() )niji jjiijMtiinLh tLth tjdtj

14、Lttjtidtijdh 是由正交基（張成的子空間，為非時(shí)變算子，網(wǎng)絡(luò)沖激響應(yīng)為。則（nbL a012110122103120101100110011,00.( )( )( )( (),)( )(,)( )( )(nnnMnnnnjjinnnjjiiijnnjijijinni jjijiiihhhhhhhhLhhhhhhhx tatL x tLatLatatt 10)nj10niijjjha7. 算子的譜表示 ;Sx LxxC算子的特征矢量：算子的特征值算子的特征值特征矢量特征矢量什么是算子的最佳表示方式？什么是算子的最佳表示方式？111S,i=1,2,.,n( )( )( )( )( )ni

15、niininniiiiiiiMx tatxMLx ta Ltat是由張成的空間，則算子的表示和實(shí)現(xiàn)將非常簡(jiǎn)單！算子的表示和實(shí)現(xiàn)將非常簡(jiǎn)單！伴隨算子,( ,),( )Lx yx L yx yD L定義：()伴隨算子伴隨算子伴隨算子的性質(zhì)*212211.2.3.4.5.6.()LxyL xL yLLLLLLLLL LLL LL L ()( )()伴隨算子的特征值和特征矢量1111*1*S,i=1,2,.,n )niiniijjnjnijjjniijjniijjnjiijiiiMLLxLaxMLxxLxLxx是由張成的空間，是 對(duì)應(yīng)的逆轉(zhuǎn)基。則有 （， ）（，）（，（ ， ）（ ， ）(，（ ， ）( ，（ ， ）( ，（ ， ）*iiiL 結(jié)論？結(jié)論？正規(guī)算子（可交換伴隨算子）L LLL22LxLxLxxL LxxLL xL xLxL x（，）=（ ，）（ ，）=（，）分析：分析：保范保范0LxLx =0考察：*,HLI HLI可以證明：可以證明：H也是正規(guī)算子也是正規(guī)算子Lxx0HxH x =0分析：分析：*L xx 推論：*iijijijijjjijxxLxxxL xxxxx（ ， ）=（， ）（ ，）=（ ，）（ ， ）正規(guī)算子不同特征值的特征矢量正交正規(guī)算子不同特征值的特征矢量正交0ijxx（ ， ）=算子特征值和特