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文檔簡介
1、一、 函數(shù)的定義域與求法例題:1、 求下列函數(shù)的定義域3、已知函數(shù)y=lg(mx2-4mx+m+3)的定義域為R,數(shù)m的取值圍解析:利用復(fù)合函數(shù)的定義域進(jìn)行分類討論 當(dāng)m=0時,則mx2-4mx+m+3=3, 原函數(shù)的定義域為R; 當(dāng)m0時,則 mx2-4mx+m+30, m0時,顯然原函數(shù)定義域不為R; m0,且(-4m)2-4m(
2、m+3)<0 時,即m,原函數(shù)定義域為R, 所以當(dāng)m0,1) 時,原函數(shù)定義域為R4、求函數(shù)y=log2x + 1 (x4) 的反函數(shù)的定義域解析:求原函數(shù)的值域 由題意可知,即求原函數(shù)的值域, x4, log2x2 y3 所以函數(shù)y=log2x + 1 (x4) 的反函數(shù)的定義域是3,+)5、 函數(shù)f(2x)的定義域是-1,1,求f(log2x)的定義域解析:由題意可知2
3、-12x21 f(x)定義域為1/2,2 1/2log2x2 2x4所以f(log2x)的定義域是2,4二、 函數(shù)的值域與求法:配方法;零點(diǎn)討論法;函數(shù)圖象法;利用求反函數(shù)的定義域法;換元法;利用函數(shù)的單調(diào)性和有界性法;分離變量法例題:求下列函數(shù)的值域 解析:1、利用求反函數(shù)的定義域求值域先求其反函數(shù):f-1(x)=(3x+1)/(x-2) ,其中x2, 由其反函數(shù)的
4、定義域,可得原函數(shù)的值域是yyR|y2 2、利用反比例函數(shù)的值域不等于0由題意可得, 因此,原函數(shù)的值域為1/2,+) 4、利用分離變量法和換元法設(shè)法2xt,其中t0,則原函數(shù)可化為y=(t+1)/(t-1) t=(y+1)/(y-1) y>1或y<-1 5、利用零點(diǎn)討論法 由題意可知函數(shù)有3個零點(diǎn)-3,1,2, 當(dāng)x<-3 時,y=-(x-1)-(x+3)-(x-2)=-3x y&g
5、t;9 當(dāng)-3x<1 時,y=-(x-1)+(x+3)-(x-2)=-x+6 5<y9 當(dāng)1x<2 時,y=(x-1)+(x+3)-(x-2)=x+4 5y<6 當(dāng)x 2時,y=(x-1)+(x+3)+(x-2)=3x y6
6、0; 綜合前面四種情況可得,原函數(shù)的值域是5,+) 6、利用函數(shù)的有界性三、 函數(shù)的單調(diào)性與應(yīng)用例題:2、設(shè)a0且a1,試求函數(shù)y=loga(4+3x-x2)的單調(diào)遞增區(qū)間解析:利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的判定 由題意可得原函數(shù)的定義域是(,), 設(shè)u=4+3x-x2 ,其對稱軸是 x=3/2 , 所以函數(shù)u=4+3x-x2 ,在區(qū)間(,3/2 上單調(diào)遞增;在區(qū)間3/2 ,4)上單調(diào)遞減 a時,y=logau 在其定義域為增
7、函數(shù),由 xuy ,得函數(shù)u=4+3x-x2 的單調(diào)遞增區(qū)間(,3/2 ,即為函數(shù)y=loga(4+3x-x2) 的單調(diào)遞增區(qū)間 a時,y=logau 在其定義域為減函數(shù),由 xuy ,得函數(shù)u=4+3x-x2 的單調(diào)遞減區(qū)間3/2 ,4),即為函數(shù)y=loga(4+3x-x2)的單調(diào)遞增區(qū)間3、已知y=loga(2-ax) 在0,1上是x 的減函數(shù),求a的取值圍。解析:利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的判定 由題意可知,a設(shè)ug(x)=2ax,則g(x)在,上是減函數(shù),且x=時,g(x)有最小值umin=2-a 又因為ug(x)2ax
8、,所以, 只要 umin=2-a則可,得a又y=loga(2-ax) 在0,1上是x 減函數(shù),ug(x)在,上是減函數(shù),即xuy ,所以y=logau是增函數(shù),故a綜上所述,得a2、已知f(x)的定義域為(,),且在其上為增函數(shù),滿足f(xy)=f(x)+f(y),f(2)=1 ,試解不等式f(x)+f(x-2)<3 解析:此題的關(guān)鍵是求函數(shù)值所對應(yīng)的自變量的值 由題意可得,f(4)=f(2)+f(2)=2 ,3=2+1=f(4)+f(2)=f(4×2)=f(8) 又f(x)+f(x-2)=f(x2-2x) 所以原不等式可化成f(x2-2x)<f(8) 所以原不等式的解集
9、為x|2<x<4四、函數(shù)的奇偶性與應(yīng)用例題:解析:利用作和差判斷由題意可知,函數(shù)的定義域是R,設(shè)x為R任意實數(shù), 即,f(x) = -f(x) ,原函數(shù)是奇函數(shù)利用作商法判斷 由題意可知,函數(shù)的定義域是R,設(shè)x為R任意實數(shù),()f(x) 的圖象關(guān)于直線x=1對稱, f1-(1-x)f1+(1-x) ,xR ,即f(x) f(2-x) , 又 f(x)在R上為偶函數(shù), f(-x)f(x)f(2-x)f(2+x) f(x)是周期的
10、函數(shù),且2是它的一個周期五、 函數(shù)的周期性與應(yīng)用例題:1、 求函數(shù) y = |sinx|+|cosx|的最小正周期解析:利用周期函數(shù)的定義 y = |sinx|+|cosx|=|-sinx|+|cosx| =|cos(x + /2)|+|sin(x + /2)| 即對于定義域的每一個x,當(dāng)x增加到(x + /2)時,函數(shù)值重復(fù)出現(xiàn),因此函數(shù)的最小正周期是/2 3、 求函數(shù)y=sin3x+tan(2x/5) 的最小正周期解析:最小公倍數(shù)法和公式法, (設(shè)f(x)、g(x) 是定義在公共集合上的兩上三角周期函數(shù),T1、T2分別是它們的周期,且T1T2,則f(x)± g(x) 的最小正周期等于T1、T2的最小公倍數(shù))(注:分?jǐn)?shù)的最小公倍數(shù) = 分子的最小公倍數(shù)/分母的最大公約數(shù))由題意可知,sin3x的周期是T1= 2/3,tan(2x/5)的周期是T2=5/2,原函數(shù)的周期是T=10/1 =10 4、 求函數(shù)y=|tanx|的最小正周期解析:利用函數(shù)的圖象求函數(shù)的周期 函數(shù)y=|tanx|的簡圖如
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