函數(shù)的定義域與求法講解

1、一、 函數(shù)的定義域與求法例題：1、 求下列函數(shù)的定義域3、已知函數(shù)y=lg(mx2-4mx+m+3)的定義域?yàn)镽，數(shù)m的取值圍解析：利用復(fù)合函數(shù)的定義域進(jìn)行分類討論    當(dāng)m=0時(shí)，則mx2-4mx+m+3=3， 原函數(shù)的定義域?yàn)镽；    當(dāng)m0時(shí)，則 mx2-4mx+m+30，         m0時(shí)，顯然原函數(shù)定義域不為R；         m0，且(-4m)2-4m(

2、m+3)<0 時(shí)，即m，原函數(shù)定義域?yàn)镽，     所以當(dāng)m0,1) 時(shí)，原函數(shù)定義域?yàn)镽4、求函數(shù)y=log2x + 1 (x4) 的反函數(shù)的定義域解析：求原函數(shù)的值域    由題意可知，即求原函數(shù)的值域，     x4,  log2x2    y3     所以函數(shù)y=log2x + 1 (x4) 的反函數(shù)的定義域是3，+)5、 函數(shù)f(2x)的定義域是-1，1，求f(log2x)的定義域解析：由題意可知2

3、-12x21        f(x)定義域?yàn)?/2，2        1/2log2x2   2x4所以f(log2x)的定義域是2,4二、 函數(shù)的值域與求法：配方法；零點(diǎn)討論法；函數(shù)圖象法；利用求反函數(shù)的定義域法；換元法；利用函數(shù)的單調(diào)性和有界性法；分離變量法例題：求下列函數(shù)的值域     解析：1、利用求反函數(shù)的定義域求值域先求其反函數(shù)：f-1(x)=(3x+1)/(x-2) ，其中x2， 由其反函數(shù)的

4、定義域，可得原函數(shù)的值域是yyR|y2 2、利用反比例函數(shù)的值域不等于0由題意可得， 因此，原函數(shù)的值域?yàn)?/2,+) 4、利用分離變量法和換元法設(shè)法2xt，其中t0，則原函數(shù)可化為y=(t+1)/(t-1)   t=(y+1)/(y-1) y>1或y<-1 5、利用零點(diǎn)討論法    由題意可知函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)-3，1，2，     當(dāng)x<-3 時(shí)，y=-(x-1)-(x+3)-(x-2)=-3x         y&g

5、t;9     當(dāng)-3x<1 時(shí)，y=-(x-1)+(x+3)-(x-2)=-x+6     5<y9     當(dāng)1x<2 時(shí)，y=(x-1)+(x+3)-(x-2)=x+4        5y<6     當(dāng)x 2時(shí)，y=(x-1)+(x+3)+(x-2)=3x         y6 

6、0;   綜合前面四種情況可得，原函數(shù)的值域是5,+) 6、利用函數(shù)的有界性三、 函數(shù)的單調(diào)性與應(yīng)用例題：2、設(shè)a0且a1，試求函數(shù)y=loga(4+3x-x2)的單調(diào)遞增區(qū)間解析：利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的判定     由題意可得原函數(shù)的定義域是（，），     設(shè)u=4+3x-x2 ，其對(duì)稱軸是 x=3/2 ，  所以函數(shù)u=4+3x-x2 ，在區(qū)間（，3/2 上單調(diào)遞增；在區(qū)間3/2 ，4）上單調(diào)遞減    a時(shí)，y=logau 在其定義域?yàn)樵?/p>

7、函數(shù)，由 xuy ，得函數(shù)u=4+3x-x2 的單調(diào)遞增區(qū)間（，3/2 ，即為函數(shù)y=loga(4+3x-x2) 的單調(diào)遞增區(qū)間    a時(shí)，y=logau 在其定義域?yàn)闇p函數(shù)，由 xuy ，得函數(shù)u=4+3x-x2 的單調(diào)遞減區(qū)間3/2 ，4），即為函數(shù)y=loga(4+3x-x2)的單調(diào)遞增區(qū)間3、已知y=loga(2-ax) 在0，1上是x 的減函數(shù)，求a的取值圍。解析：利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的判定   由題意可知，a設(shè)ug(x)=2ax，則g(x)在，上是減函數(shù)，且x=時(shí)，g(x)有最小值umin=2-a 又因?yàn)閡g(x)2ax

8、，所以， 只要 umin=2-a則可，得a又y=loga(2-ax) 在0，1上是x 減函數(shù)，ug(x)在，上是減函數(shù)，即xuy ，所以y=logau是增函數(shù)，故a綜上所述，得a2、已知f(x)的定義域?yàn)椋?，），且在其上為增函?shù)，滿足f(xy)=f(x)+f(y)，f(2)=1 ，試解不等式f(x)+f(x-2)<3 解析：此題的關(guān)鍵是求函數(shù)值所對(duì)應(yīng)的自變量的值 由題意可得，f(4)=f(2)+f(2)=2 ，3=2+1=f(4)+f(2)=f(4×2)=f(8) 又f(x)+f(x-2)=f(x2-2x) 所以原不等式可化成f(x2-2x)<f(8) 所以原不等式的解集

9、為x|2<x<4四、函數(shù)的奇偶性與應(yīng)用例題：解析：利用作和差判斷由題意可知，函數(shù)的定義域是R，設(shè)x為R任意實(shí)數(shù)，     即，f(x) = -f(x) ，原函數(shù)是奇函數(shù)利用作商法判斷 由題意可知，函數(shù)的定義域是R，設(shè)x為R任意實(shí)數(shù)，（）f(x) 的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱，    f1-(1-x)f1+(1-x) ，xR ，即f(x) f(2-x) ，    又 f(x)在R上為偶函數(shù)， f(-x)f(x)f(2-x)f(2+x)     f(x)是周期的

10、函數(shù)，且2是它的一個(gè)周期五、 函數(shù)的周期性與應(yīng)用例題：1、 求函數(shù) y = |sinx|+|cosx|的最小正周期解析：利用周期函數(shù)的定義       y = |sinx|+|cosx|=|-sinx|+|cosx| =|cos(x + /2)|+|sin(x + /2)|     即對(duì)于定義域的每一個(gè)x，當(dāng)x增加到(x + /2)時(shí)，函數(shù)值重復(fù)出現(xiàn)，因此函數(shù)的最小正周期是/2 3、 求函數(shù)y=sin3x+tan(2x/5) 的最小正周期解析：最小公倍數(shù)法和公式法，    （設(shè)f(x)、g(x) 是定義在公共集合上的兩上三角周期函數(shù)，T1、T2分別是它們的周期，且T1T2，則f(x)± g(x) 的最小正周期等于T1、T2的最小公倍數(shù)）（注：分?jǐn)?shù)的最小公倍數(shù) = 分子的最小公倍數(shù)/分母的最大公約數(shù)）由題意可知，sin3x的周期是T1= 2/3，tan(2x/5)的周期是T2=5/2，原函數(shù)的周期是T=10/1 =10 4、 求函數(shù)y=|tanx|的最小正周期解析：利用函數(shù)的圖象求函數(shù)的周期    函數(shù)y=|tanx|的簡(jiǎn)圖如