數(shù)學(xué)建模美國(guó)賽葉子的重量

1、2012A Cassify Leaf Shape and Estimate for Leaf MassAbstract本文主要從四方面建立模型解決問(wèn)題。針對(duì)第一問(wèn)我們主要應(yīng)用相關(guān)聚類(lèi)分析，首先從24個(gè)方面對(duì)樹(shù)木進(jìn)行一級(jí)聚類(lèi)，然后針對(duì)聚類(lèi)后的樹(shù)木類(lèi)別再分別從8個(gè)方面對(duì)該樣本樹(shù)木的樹(shù)葉進(jìn)行二級(jí)聚類(lèi)分析，這樣我們便從數(shù)學(xué)角度說(shuō)明了葉子為什么會(huì)具有各種形狀。針對(duì)第二問(wèn)我們主要應(yīng)用葉序和葉鑲嵌理論研究葉子的分布和葉子形狀之間的聯(lián)系，根據(jù)前人已經(jīng)證明了的植物的葉片在其實(shí)際的鑲嵌角下，覆蓋面積最大，達(dá)到一個(gè)最大曝光率的生長(zhǎng)模式這一結(jié)論，我們通過(guò)網(wǎng)格數(shù)計(jì)算出下層樹(shù)葉偏轉(zhuǎn)不同角度后它的光合作用面積，在計(jì)算出總的

2、光合作用曝光率，從而求出最佳曝光率, 根據(jù)最佳的面積曝光率對(duì)比樹(shù)葉的排列，二者存在相關(guān)性。針對(duì)第三問(wèn)，主要研究樹(shù)形與葉形的相關(guān)性，在這里我們指定3個(gè)指數(shù)，分別就葉形指數(shù)1、2和樹(shù)形指數(shù)進(jìn)行最小二乘法的函數(shù)回歸，研究結(jié)果發(fā)現(xiàn)二者呈現(xiàn)負(fù)相關(guān)的趨勢(shì)。針對(duì)第四問(wèn)，在前面我們已經(jīng)對(duì)葉子的形狀進(jìn)行了分類(lèi)，故在建立面積估算的模型時(shí)，我們能找到一個(gè)具有代表性的葉子進(jìn)行分析，同時(shí)我們考慮到同一棵樹(shù)葉子的年齡結(jié)構(gòu)，密度，大小的因素，建立了求單片葉片質(zhì)量的權(quán)重函數(shù)，然后主要采用插值和積分的思想，求出單片葉片的面積，然后利用基于L系統(tǒng)的植物建模改進(jìn)方法估算參數(shù)，結(jié)合單片葉片的質(zhì)量，從而計(jì)算出所有葉片的質(zhì)量。Key w

3、ords：因子分析 R型聚類(lèi)分析 線(xiàn)性回歸 葉序和葉鑲嵌理論 基于L系統(tǒng)的植物模型Problem backgrounds(introduction)葉片有多種多樣的形狀，例如針形、披針形、橢圓形、條形、扇形等。葉是樹(shù)木暴露在空氣中表面積最大的器官，和外界環(huán)境的接觸面積也是最大的，因此，外界環(huán)境條件對(duì)葉片的形態(tài)結(jié)構(gòu)有明顯的影響，樹(shù)木在進(jìn)化過(guò)程中適應(yīng)不同的生態(tài)環(huán)境，形成多種生態(tài)類(lèi)型的葉。在氣候干燥、土壤水分缺乏的干旱環(huán)境中，樹(shù)木為了適應(yīng)干燥的環(huán)境，旱生樹(shù)木葉片的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)主要是朝著降低蒸騰和儲(chǔ)藏水分兩個(gè)方面發(fā)展。因此旱生樹(shù)木的葉通常較小，以減少葉的蒸騰面積。樹(shù)木的生長(zhǎng)需要能量，獲得能量主要是靠他們的

4、葉子。樹(shù)葉在白天進(jìn)行光合作用，積累有機(jī)物。葉子數(shù)量的增加，有利于有機(jī)物的積累和樹(shù)木的生長(zhǎng)。但葉子數(shù)量的增加葉子重疊的陰影將會(huì)增大，葉面積指數(shù)降低，從而減小光合作用對(duì)有機(jī)物的積累并且增加了呼吸作用對(duì)于有機(jī)物的消耗。因此在長(zhǎng)期影響下，樹(shù)木會(huì)在葉子數(shù)量和葉面積指數(shù)兩方面達(dá)到一種均衡。樹(shù)葉的形狀不全是為了使重疊的樹(shù)蔭最小化，從而使日光照射最大化，而是為了達(dá)到最優(yōu)化的目標(biāo)。粗壯的枝能夠承受較大的壓力，離分支節(jié)點(diǎn)越遠(yuǎn)的分枝越短越細(xì)。分枝越細(xì)，能承受的葉子重量越小，葉片越小。離地面同一高度上同一等級(jí)分枝節(jié)間長(zhǎng)度越大，樹(shù)葉的形狀越大。離地面低的分枝上的葉子與它同一等級(jí)的分枝的葉子相比，由于光照強(qiáng)度弱，故為了增

5、強(qiáng)光合作用葉片較大。因此，樹(shù)葉在樹(shù)上和樹(shù)枝上的分布會(huì)影響樹(shù)葉的形狀?；谶@樣的生物學(xué)背景（葉片與樹(shù)木的關(guān)系密切相互影響），我們建立數(shù)學(xué)模型來(lái)完成下列題目：“一棵樹(shù)的葉子有多重?”怎么能估計(jì)樹(shù)的葉子（或者樹(shù)的任何其它部分）的實(shí)際重量?怎樣對(duì)葉子進(jìn)行分類(lèi)?建立一個(gè)數(shù)學(xué)模型來(lái)對(duì)葉子進(jìn)行描述和分類(lèi)。模型要考慮和回答下面的問(wèn)題： ·為什么葉子具有各種形狀？ · 葉子之間要是將相互重疊的部分最小化，以便可以最大限度的接觸到陽(yáng)光嗎？樹(shù)葉的分布以及樹(shù)干和枝杈的體積影響葉子的形狀嗎？·就輪廓來(lái)講，葉形（一般特征）是和樹(shù)的輪廓以及分枝結(jié)構(gòu)有關(guān)嗎？·你將如何估計(jì)一棵樹(shù)的葉子質(zhì)

6、量？葉子的質(zhì)量和樹(shù)的尺寸特征（包括和外形輪廓有關(guān)的高度、質(zhì)量、體積）有聯(lián)系嗎？)Problem analysis通過(guò)閱讀完題目后，我們將問(wèn)題劃分為四個(gè)小問(wèn)題去解決：·對(duì)不同形狀的葉子進(jìn)行分類(lèi)·研究葉子的分布和葉子形狀之間的聯(lián)系·研究樹(shù)的輪廓和葉子的形狀之間的聯(lián)系·計(jì)算所有葉子的質(zhì)量針對(duì)問(wèn)題一，首先我們從生物學(xué)的角度考慮到，不同物種的樹(shù)葉有多種多樣的形狀，是環(huán)境長(zhǎng)期影響的結(jié)果，如果直接從葉結(jié)構(gòu)的指標(biāo)入手對(duì)葉形進(jìn)行分類(lèi)，過(guò)程將相當(dāng)繁瑣。在這里我們采用兩次聚類(lèi)，分別涉及到樣本樹(shù)木本身對(duì)葉形的影響和葉結(jié)構(gòu)對(duì)樹(shù)木的影響。我們首先就24個(gè)指標(biāo)對(duì)樣本樹(shù)木進(jìn)行分類(lèi)，分析

7、聚為一類(lèi)的樣本樹(shù)木的葉片特點(diǎn)，然后針對(duì)每一類(lèi)樣本樹(shù)木的葉片的8項(xiàng)指標(biāo)進(jìn)行二級(jí)聚類(lèi)，根據(jù)聚類(lèi)結(jié)果，我們進(jìn)行分析總結(jié)；針對(duì)問(wèn)題二和三，主要是從研究?jī)煞矫媸挛锏南嚓P(guān)性入手，研究葉子的分布和葉子形狀之間的聯(lián)系時(shí)主要采用葉序和葉鑲嵌理論；研究樹(shù)的輪廓和葉子的形狀之間的聯(lián)系時(shí)，我們主要借助一些描述樹(shù)的輪廓和葉子的形狀的參數(shù)進(jìn)行先處理后擬合，從而從圖表中觀察相關(guān)性；針對(duì)問(wèn)題四，我們先從一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)葉片入手，利用插值和積分求出單個(gè)葉片的面積，同時(shí)應(yīng)用基于L系統(tǒng)的植物建模改進(jìn)方法，然后分析相關(guān)系數(shù)來(lái)推算葉片的個(gè)數(shù)，從而計(jì)算出樹(shù)葉的總質(zhì)量。Assumptions·在相同的環(huán)境影響下，同種樹(shù)木的形態(tài)基本相似，

8、即同一棵樹(shù)的樹(shù)葉只有大小的區(qū)別·在樹(shù)木的生長(zhǎng)過(guò)程中，外界營(yíng)養(yǎng)供給充裕，每個(gè)腋芽都能正常生長(zhǎng)，且側(cè)枝沒(méi)有死亡現(xiàn)象。·在樹(shù)木的生長(zhǎng)過(guò)程中，樹(shù)木的分支角度在一定范圍內(nèi)變化。Symbols description變量名稱(chēng)變量含義第j株樹(shù)的第i個(gè)性狀的數(shù)據(jù)性狀i在n個(gè)觀測(cè)值中的平均數(shù)性狀i在n個(gè)觀測(cè)值中的離差R樹(shù)形指數(shù)葉形指數(shù)1葉形指數(shù)2性狀p與q之間的相關(guān)系數(shù)某種年齡結(jié)構(gòu)下單片樹(shù)葉的面積某種年齡結(jié)構(gòu)下樹(shù)葉的密度Model design and solving ·Model 1:對(duì)樹(shù)木的一級(jí)聚類(lèi)和對(duì)樹(shù)葉的二級(jí)聚類(lèi)聚類(lèi)原理說(shuō)明：我們主要就有關(guān)樹(shù)木的24個(gè)變量，對(duì)樹(shù)木進(jìn)行分類(lèi)：

9、首先我們先找到有關(guān)樹(shù)木的幾項(xiàng)參數(shù)：中央直徑（mid-diameter），胸徑（the DBH），樹(shù)高(height of tree)，樹(shù)冠直徑(crown diameter)，樹(shù)冠長(zhǎng)度(Crown length)，冠幅平面積(Crown area)，樹(shù)冠表面積(Crown surface area)，樹(shù)冠體積(Canopy volume)，冠高比(Crown height)，冠徑比(Crown diameter ratio)，側(cè)枝總數(shù)(The total number of branches)。根據(jù)調(diào)查材料，計(jì)算出各株樣木的高徑比（樹(shù)高/胸徑），胸高形率（中央直徑/胸徑），冠長(zhǎng)（樹(shù)高-枝下高）

10、，平均輪間距（冠長(zhǎng)/枝輪數(shù)），枝條密度（側(cè)枝總數(shù)/冠長(zhǎng)），側(cè)枝長(zhǎng)粗比（枝長(zhǎng)/枝底徑），相對(duì)枝徑（枝底徑/胸徑），冠高比（樹(shù)冠直徑/樹(shù)高），冠徑比（樹(shù)冠直徑/胸徑），并以樹(shù)冠直徑，計(jì)算冠幅面積；以圓錐體公式，計(jì)算樹(shù)冠體積和樹(shù)冠表面積。在聚類(lèi)之前，由于24個(gè)變量，變量維數(shù)較多，操作較為復(fù)雜，因此，我們先進(jìn)行因子分析，對(duì)24個(gè)變量進(jìn)行降維處理，簡(jiǎn)便操作的同時(shí)不影響聚類(lèi)結(jié)果。下面我們根據(jù)這24個(gè)性狀，用R型聚類(lèi)法對(duì)所獲數(shù)據(jù)進(jìn)行聚類(lèi)，原理如下：將n株樣本樹(shù)木的m個(gè)（m=24）性狀數(shù)值表示為矩陣： 表示第j株樹(shù)的第i個(gè)性狀的數(shù)據(jù)令和分別表示性狀i在n個(gè)觀測(cè)值中的平均數(shù)和離差，則可將所有的進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化轉(zhuǎn)化，得

11、：則相應(yīng)的矩陣為：性狀p與q之間的相關(guān)系數(shù)為： p,q=1.2m相關(guān)矩陣為：=由于相關(guān)系數(shù)是相似系數(shù)的一種，因此，可以從相關(guān)矩陣出發(fā)，作R型（變量）聚類(lèi)分析。根據(jù)系統(tǒng)聚類(lèi)原理，以作為類(lèi)間參數(shù)，先將m個(gè)性狀各自看做一類(lèi)，選擇最相似的兩類(lèi)合并為一類(lèi)（即合并值最大的兩個(gè)性狀）。如此反復(fù)多次，直至所有性狀全部聚為一類(lèi)為止。那么，新的類(lèi)間參數(shù)可由類(lèi)平均法給出。其公式為：同理，我們就有關(guān)樹(shù)葉的八項(xiàng)指標(biāo)進(jìn)行二級(jí)聚類(lèi)：根據(jù)上面樣本樹(shù)木的聚類(lèi)結(jié)果，我們對(duì)聚成一類(lèi)的樣本樹(shù)木的葉子形態(tài)從這八項(xiàng)指標(biāo)進(jìn)行聚類(lèi)分析：縱橫軸比（aspect ratio），矩形度(rectangularity)，面積凹凸比(area con

12、vexity)，周長(zhǎng)凹凸比(perimeter convexity )，球狀性(sphericity)，圓形度(circularity)，偏心率(eccent ricity)，形狀參數(shù)(form factor)（該八項(xiàng)幾何特征參數(shù)都具有旋轉(zhuǎn)，平移和尺度不變性）根據(jù)這八項(xiàng)指標(biāo)的聚類(lèi)結(jié)果，很好的區(qū)分了葉子的形狀。根據(jù)兩次聚類(lèi)結(jié)果，我們發(fā)現(xiàn)同類(lèi)樣本樹(shù)木的葉片形狀大體相似，說(shuō)明樹(shù)木本身的形態(tài)對(duì)著生樹(shù)葉的形態(tài)有一定的影響，這一結(jié)論在生物學(xué)角度也是成立的；同時(shí)我們還發(fā)現(xiàn)，葉片本身的因素，例如葉脈密度，葉片長(zhǎng)度，寬度等對(duì)葉片的形狀也產(chǎn)生著不容忽視的影響。綜上我們的模型分別從這兩方面就葉片為何有不同的形狀進(jìn)行

13、了論述。·Model 2: 葉序和葉鑲嵌理論研究葉子的分布和葉子形狀之間的聯(lián)系葉序：葉在莖上排列的方式稱(chēng)為葉序。植物體通過(guò)一定的葉序，使葉均勻地、適合地排列，充分地接受陽(yáng)光，有利于光合作用的進(jìn)行。葉鑲嵌：同一個(gè)枝上的葉不論是那一種葉序，葉總是不相重疊而成鑲嵌狀態(tài)進(jìn)行排列的現(xiàn)象。通過(guò)王科等對(duì)32科64種被子植物分析，得到了葉序和葉鑲嵌的關(guān)系。我們選取其中具有代表性的（三葉輪生夾竹桃）一組如下：葉序代表植物相鄰角鑲嵌角輪生夾竹桃120°60°相鄰角：螺旋周的數(shù)目/葉循環(huán)中的葉數(shù)；鑲嵌角：360°/葉循環(huán)中的葉數(shù)。我們經(jīng)過(guò)對(duì)樹(shù)葉形狀的分析，假設(shè)一棵樹(shù)上的樹(shù)葉形

14、狀參數(shù)基本一致，只是大小的區(qū)分問(wèn)題。文獻(xiàn)9的方法，已經(jīng)證明了植物的葉片在其實(shí)際的鑲嵌角下，覆蓋面積最大，達(dá)到一個(gè)最大曝光率的生長(zhǎng)模式。下圖是他們的一個(gè)算法的圖形，通過(guò)網(wǎng)格數(shù)計(jì)算出下層樹(shù)葉偏轉(zhuǎn)不同角度后它的光合作用面積，在計(jì)算出總的光合作用曝光率。這是示意圖：Figure 1這是曝光率圖： Figure 2第一層，第二層往往形成了一個(gè)極大的曝光生長(zhǎng)模式，第三層在若以第二層為基準(zhǔn)，應(yīng)該繼續(xù)旋轉(zhuǎn)60°，此時(shí)則與第一層重疊（或者說(shuō)第一層遮住了第三層），所以樹(shù)木為了生長(zhǎng)必須增大葉的表面積去接受陽(yáng)光，也就是產(chǎn)生了比例大的樹(shù)葉。但此時(shí)的曝光量是否最佳就成了我們要研究的問(wèn)題了。我們對(duì)其方法進(jìn)行改進(jìn)，

15、將第一層下的樹(shù)葉的面積逐漸增大（觀測(cè)實(shí)物可發(fā)現(xiàn)樹(shù)葉的大小從上到下依次變大），觀測(cè)是否相同樹(shù)木上的不同大小樹(shù)葉的組合達(dá)到一個(gè)曝光率最大的問(wèn)題。下圖是我們的示意圖：Figure 3再通過(guò)計(jì)算面積曝光率可以容易得到此時(shí)的排列方式最優(yōu)。如下Figure4所以，這也就解釋了為什么樹(shù)木自身的分層會(huì)導(dǎo)致樹(shù)葉的大小不同。·Model 3: 研究樹(shù)的輪廓和葉子的形狀之間的聯(lián)系首先我們定義了樹(shù)形指數(shù)R和葉形指數(shù)和： 樹(shù)形指數(shù)R= =根據(jù)這些指數(shù)，我們研究?jī)蓛勺兞块g的相關(guān)性。分別取，作為因變量，R作為自變量，利用最小二乘法進(jìn)行一元線(xiàn)性回歸，通過(guò)觀察P值的大小（與進(jìn)行比較），來(lái)判定擬合的優(yōu)度。下面給出擬合好

16、的函數(shù)，并檢驗(yàn)了其準(zhǔn)確性。Table1樹(shù)編號(hào)樹(shù)形指數(shù)R葉形指數(shù)11.6430.9780.96821.4491.0020.99831.4041.1121.10941.7001.0141.01551.5651.0161.00761.6441.0231.03371.8161.0091.00981.4831.1521.14991.5771.0041.004101.6740.8990.899111.5601.0021.002121.5740.9640.954131.6301.0321.042141.5881.0451.049151.5861.0221.011根據(jù)表1的數(shù)據(jù)分別就R與，R與進(jìn)行相關(guān)性分析，

17、在這里我們采用的是一元線(xiàn)性回歸，得到方差表，擬合度檢驗(yàn)表以及圖像，如下：樹(shù)形指數(shù)與葉形指數(shù)1的相關(guān)性（R與）：Table2ANOVA平方和df均方FSig.回歸.0161.0166.805.022殘差.03113.002總計(jì).04714自變量為 樹(shù)形指數(shù)。系數(shù)未標(biāo)準(zhǔn)化系數(shù)標(biāo)準(zhǔn)化系數(shù)tSig.B標(biāo)準(zhǔn)誤Beta樹(shù)形指數(shù)-.445.171-.586-2.609.022（常數(shù)）1.716.2686.406.000Figure 5由于上表可以得到：P值為0.022小于0.05，所以拒絕原假設(shè)，顯著相關(guān)，變量之間的函數(shù)式擬和度良好，函數(shù)關(guān)系式為：樹(shù)形指數(shù)與葉形指數(shù)1的相關(guān)性（R與）：Table3ANOVA

18、平方和df均方FSig.回歸.0151.0155.549.035殘差.03413.003總計(jì).04914自變量為 樹(shù)形指數(shù)。系數(shù)未標(biāo)準(zhǔn)化系數(shù)標(biāo)準(zhǔn)化系數(shù)tSig.B標(biāo)準(zhǔn)誤Beta樹(shù)形指數(shù)-.423.180-.547-2.356.035（常數(shù)）1.680.2825.957.000Figure 6由于上表可以得到：P值為0.035小于0.05，所以拒絕原假設(shè)，顯著相關(guān)，變量之間的函數(shù)式擬和度良好，函數(shù)關(guān)系式為：綜上兩個(gè)擬合函數(shù)，我們發(fā)現(xiàn)第一個(gè)函數(shù)的擬合程度更優(yōu)，因此葉形指數(shù)1與樹(shù)形指數(shù)有顯著的負(fù)相關(guān)。·Model 4:計(jì)算所有葉片的質(zhì)量我們?cè)诘谝粏?wèn)中已經(jīng)對(duì)樹(shù)木和樹(shù)葉進(jìn)行了一個(gè)良好的分類(lèi)了，

19、也就是說(shuō)對(duì)于某一類(lèi)的樹(shù)木，我們可以選取其具有代表性的樹(shù)木形狀（其他樹(shù)木形狀與其具有一定的相似程度）和葉形狀為例來(lái)估算樹(shù)葉的總質(zhì)量。對(duì)于樹(shù)木：不同種類(lèi)的樹(shù)木具有不同的分枝方式，復(fù)制的規(guī)律不同。所以我們就分枝方式進(jìn)行了分析。樹(shù)木大致有以下三種分枝方式：Figure7A：頂芽不斷地向上旺盛的生長(zhǎng)，形成粗大的主干。而側(cè)芽也生長(zhǎng)成側(cè)枝，側(cè)枝再分枝。單軸分枝的主干一般比較挺直，各級(jí)側(cè)枝的生長(zhǎng)都不如它。楊樹(shù)、水杉等植物均為單軸分枝。B：頂芽形成一段枝條后，停止發(fā)育，由離其較近的兩個(gè)對(duì)生的腋芽同時(shí)發(fā)育為一對(duì)對(duì)生側(cè)枝，然后這對(duì)側(cè)枝上的頂芽、腋芽的生長(zhǎng)活動(dòng)又重復(fù)著同樣的過(guò)程。丁香、石竹、七葉樹(shù)等植物均在此列。C頂

20、芽經(jīng)過(guò)一段時(shí)間的生長(zhǎng)后，生長(zhǎng)速度減慢或死亡，或分化為花芽，用頂芽下面的腋芽代替頂芽的生長(zhǎng)，形成一段枝條。之后，這種分枝上的頂芽又停止生長(zhǎng)，其下面的腋芽又來(lái)代替，就這樣重復(fù)生長(zhǎng)。合軸分枝節(jié)間較短，常呈曲折狀。蘋(píng)果樹(shù)、梨樹(shù)、桃樹(shù)、杏樹(shù)等大多數(shù)被子植物存在這種分枝方式。我們采用基于L系統(tǒng)的植物建模改進(jìn)方法，它是由美國(guó)生物學(xué)家A.L.D于1968年提出，后由S為模擬植物而將其引入計(jì)算機(jī)圖形學(xué)?；贚系統(tǒng)的植物建模改進(jìn)方法側(cè)重于植物拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的表達(dá)，試圖用抽象出來(lái)的規(guī)則描述植物的形態(tài)及生長(zhǎng)規(guī)律。通過(guò)觀察樹(shù)木的整體發(fā)現(xiàn)，樹(shù)木都是由主干 、分枝、樹(shù)葉這些基本元素組成。之后按照遞歸規(guī)律，即：主干由主干上分生出第

21、一層分支，再由第一層分支上生出第二層分支，一層層分下去直至樹(shù)葉。然而，由于現(xiàn)實(shí)中樹(shù)木第二層以后的分布往往不具有規(guī)律性，也就是不一定呈現(xiàn)單軸分枝的情形了，但是一般都在一定范圍波動(dòng)。所以綜上，除了特定參數(shù)外，我們加上了主側(cè)枝長(zhǎng)度衰減，主側(cè)枝長(zhǎng)度衰減的參數(shù)，這樣與實(shí)際更相符。Table4參數(shù)名稱(chēng)類(lèi)型范圍主干長(zhǎng)度衰減系數(shù)double(0,1)主干寬度衰減系數(shù)double(0,1)側(cè)枝長(zhǎng)度衰減系數(shù)double(0,1)側(cè)枝寬度衰減系數(shù)double(0,1)枝條頂?shù)装霃奖萪ouble (0,1) 分支數(shù)int(2,n)層次數(shù)int (0,n) 側(cè)枝角度double(0,90位置分布隨機(jī)數(shù)組double(0

22、,1)通過(guò)榆樹(shù)生長(zhǎng)特點(diǎn)的調(diào)整確定了隨機(jī)的具體范圍：Table5參數(shù)名稱(chēng)類(lèi)型范圍主干長(zhǎng)度衰減系數(shù)double(0,1)主干寬度衰減系數(shù)double(0,1)側(cè)枝長(zhǎng)度衰減系數(shù)double(0,1)側(cè)枝寬度衰減系數(shù)double(0,1)枝條頂?shù)装霃奖萪ouble (0,1) 分支數(shù)int(3,12)層次數(shù)int (0,6) 側(cè)枝角度double(30,80位置分布隨機(jī)數(shù)組double(0,1)最終隨機(jī)模擬生成了榆樹(shù)的形態(tài)：Figure 8對(duì)于樹(shù)葉：通過(guò)查閱資料，我們選取四種常見(jiàn)樹(shù)葉，來(lái)求單片樹(shù)葉的面積。以榆樹(shù)葉為例我們運(yùn)用插值和積分的思想擬合出上下曲線(xiàn)函數(shù)和，橫坐標(biāo)范圍為a,b，則由積分法得到面積公

23、式為： (1)如圖9（a）, 圖9（b）插值圖：Figure9（a）實(shí)物對(duì)比圖：Figure9（b）通過(guò)計(jì)算可以得到樹(shù)葉的面積。函數(shù)見(jiàn)附錄1為了減少誤差，選取N片同棵樹(shù)相同高度的樹(shù)葉，用同樣的方法計(jì)算他們的面積，然后取他們面積的平均值作為每種樹(shù)葉的單片葉片的面積值： （2）由于葉片的年齡結(jié)構(gòu)百分比，大小，密度都存在一定的差異，導(dǎo)致不同層數(shù)的樹(shù)葉的葉面積不相同，因此我們?cè)谶@里將其分為三部分考慮：新年葉，壯年葉，老年葉，上式已經(jīng)得到壯年葉的單片葉片的面積，則用同樣的方法可以計(jì)算出新年葉的單片葉片的面積，老年葉的單片葉片的面積。最后得到整棵樹(shù)的單片葉子的平均質(zhì)量為： （3）我們選取了十片葉子（Tab

24、le5），Table6葉片編號(hào)面積（cm）119.35218.26319.36420.41519.42617.44719.33821.37918.421022.31通過(guò)公式（1）（2）（3），計(jì)算得到了壯年葉片的面積；同理計(jì)算得到 ， 下面我們給出一組參數(shù)表，如下Table7變量名稱(chēng)數(shù)值19.56711.740215.653657%23%20%0.17 0.14 0.12我們經(jīng)過(guò)對(duì)樹(shù)生長(zhǎng)的隨機(jī)模擬，得到了N=338564片葉子，則該樹(shù)的樹(shù)葉總質(zhì)量為：代入數(shù)據(jù)后，=897.1kgWeaknesses and strengths of the model我們對(duì)葉形的聚類(lèi)用了因子分析法，減少了變量的

25、數(shù)目，簡(jiǎn)化我們研究的工作量。我們利用少數(shù)幾個(gè)公共因子去解釋較多個(gè)要觀測(cè)變量中存在的復(fù)雜關(guān)系。我們運(yùn)用L系統(tǒng)模型抓住了樹(shù)木生長(zhǎng)的規(guī)律，較好地估計(jì)了一棵樹(shù)的樹(shù)葉的質(zhì)量。對(duì)于單片葉子面積的計(jì)算，考慮了葉片的年齡結(jié)構(gòu)百分比，大小，密度，使結(jié)果更接近實(shí)際，但是沒(méi)有考慮到葉子的蜷曲的影響。由于時(shí)間緊迫，我們僅對(duì)一些植物進(jìn)行了模擬，沒(méi)有找到大量的數(shù)據(jù)對(duì)我們的理論進(jìn)行驗(yàn)證。Reference1 M 一項(xiàng)有趣的觀察葉形與樹(shù)形的相關(guān) 呂政濤 山東省萊蕪市2 M A Correlation Cluster Analysis of Metasequoia Numerical Characters, Lu Xudong

26、 Li Shunwen Xu Dongheng Yan Yizang3 M 西瓜數(shù)量性狀間的相關(guān)聚類(lèi)分析，崔光泉，山東省德州農(nóng)科所4 J 中國(guó)西瓜甜瓜，1989，第2期5 M 濕地松數(shù)量性狀間的相關(guān)聚類(lèi)分析，涂忠虞，潘明建，樊叢梅，邱龍廣江蘇省林業(yè)科學(xué)研究所6 M Study on simulating virtual growth modeling of Sabian vulgaris 姜真杰7 J 基于L系統(tǒng)的植物建模方法改進(jìn)，中國(guó)圖像圖形學(xué)報(bào)，20028 M 葉序與葉鑲嵌，王科，張淑華，吉林9 M 葉片空間分布對(duì)葉片形狀的影響，李正雄，裘哲勇，馮學(xué)蕊，浙江杭州Appendix1：f1=

27、p1*x3 + p2*x2 + p3*x + p4;p1 = -0.000119;p2 = 0.04887;p3 = -6.732;p4 = 321.9;f(x) = p1*x3 + p2*x2 + p3*x + p4p1 = -6.917e-005 p2 = 0.0128 p3 = -0.9604 p4 = 148第一段上方函數(shù)0 145p1 = -6.793e-007 p2 = 0.0003849 p3 = -0.07429 p4 = 5.598 p5 = 81.26f(x) = p1*x4 + p2*x3 + p3*x2 + p4*x + p5下方函數(shù)f(x) = p1*x5 + p2*

28、x4 + p3*x3 + p4*x2 + p5*x + p6p1 = 6.377e-008 (-2.975e-006, 3.102e-006) p2 = -2.928e-005 (-0.001487, 0.001428) p3 = 0.005018 (-0.2666, 0.2766) p4 = -0.3741 (-24.91, 24.16) p5 = 8.201 (-1065, 1081) p6 = 278.9 (-1.79e+004, 1.845e+004)s1= 1.0732e+004第二段上方函數(shù)145 221f(x) = p1*x7 + p2*x6 + p3*x5 + p4*x4 +

29、p5*x3 + p6*x2 + p7*x + p8 p1 = -2.057e-009 p2 = 2.681e-006 p3 = -0.001492 p4 = 0.4597 p5 = -84.66 p6 = 9322 p7 = -5.68e+005 p8 = 1.478e+007s1= 6.8797e+006下方函數(shù)f(x) = p1*x8 + p2*x7 + p3*x6 + p4*x5 + p5*x4 + p6*x3 + p7*x2 + p8*x + p9; p1 = -4.824e-011 p2 = 6.906e-008 p3 = -4.309e-005 p4 = 0.0153 p5 = -3.38 p6 = 476 p7 = -4.17e+004 p8 = 2.078e+006 p9 = -4.51e+007第三段上方函數(shù)221 264f(x) = p1*x7 + p2*x6 + p3*x5 + p4*x4 +