第8章_有限脈沖響應(yīng)濾波器的設(shè)計

1、數(shù)字信號處理數(shù)字信號處理Enjoy ScienceEnjoy Science1有限脈沖響應(yīng)濾波器的單位脈沖響應(yīng)長度是有限的，有限脈沖響應(yīng)濾波器的單位脈沖響應(yīng)長度是有限的，它的差分方程或輸入輸出方程是它的差分方程或輸入輸出方程是其輸出沒有反饋。有限脈沖響應(yīng)濾波器的系統(tǒng)函數(shù)是其輸出沒有反饋。有限脈沖響應(yīng)濾波器的系統(tǒng)函數(shù)是其系統(tǒng)函數(shù)的分母為其系統(tǒng)函數(shù)的分母為1 1。故設(shè)計有限脈沖響應(yīng)濾波器。故設(shè)計有限脈沖響應(yīng)濾波器不適合采用無限脈沖響應(yīng)濾波器的設(shè)計方法。不適合采用無限脈沖響應(yīng)濾波器的設(shè)計方法。第第8章章 有限脈沖響應(yīng)濾波器的設(shè)計有限脈沖響應(yīng)濾波器的設(shè)計) 1( )()()(10NmnxmhnyNm階

2、為)1( )()(10上個零點，極點都在原點有NznhzHNnn(8.1)(8.2)數(shù)字信號處理數(shù)字信號處理Enjoy ScienceEnjoy Science2從有限脈沖響應(yīng)濾波器的差分方程從有限脈沖響應(yīng)濾波器的差分方程(8.1)和系統(tǒng)函數(shù)和系統(tǒng)函數(shù)(8.2)來看，有限脈沖響應(yīng)濾波器具有來看，有限脈沖響應(yīng)濾波器具有3個主要優(yōu)點：個主要優(yōu)點：（1）系統(tǒng)肯定是穩(wěn)定的，系統(tǒng)肯定是穩(wěn)定的，（2）容易得到因果系統(tǒng)，）容易得到因果系統(tǒng)，（3）能獲得線性相位的性能。）能獲得線性相位的性能。正是由于有限脈沖響應(yīng)濾波器的這些特殊性，在設(shè)計正是由于有限脈沖響應(yīng)濾波器的這些特殊性，在設(shè)計有限脈沖響應(yīng)濾波器時，一般

3、使用另一種頻譜表示法。有限脈沖響應(yīng)濾波器時，一般使用另一種頻譜表示法。8.1 系統(tǒng)頻譜的本質(zhì)系統(tǒng)頻譜的本質(zhì)單位脈沖響應(yīng)代表系統(tǒng)的性能，也代表系統(tǒng)，其系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)代表系統(tǒng)的性能，也代表系統(tǒng)，其系統(tǒng)函數(shù)和系統(tǒng)頻譜都是系統(tǒng)的一種描述，都代表系統(tǒng)函數(shù)和系統(tǒng)頻譜都是系統(tǒng)的一種描述，都代表系統(tǒng)，它們之間的關(guān)系是復(fù)數(shù)它們之間的關(guān)系是復(fù)數(shù)z和虛指數(shù)和虛指數(shù)ej的關(guān)系。的關(guān)系。 數(shù)字信號處理數(shù)字信號處理Enjoy ScienceEnjoy Science38.1.1 系統(tǒng)頻譜的含意系統(tǒng)頻譜的含意不管是信號還是單位脈沖響應(yīng)，它們的傅里葉變換都不管是信號還是單位脈沖響應(yīng)，它們的傅里葉變換都是復(fù)數(shù)，可以用實部和虛

4、部來表示，也可以用幅度和是復(fù)數(shù)，可以用實部和虛部來表示，也可以用幅度和相位來表示，相位來表示，極坐標(biāo)方式能夠直觀地體現(xiàn)正弦成分的幅度和初始相極坐標(biāo)方式能夠直觀地體現(xiàn)正弦成分的幅度和初始相位。位。從顯示信號的正弦波成分方面來看，從顯示信號的正弦波成分方面來看，該方程表示合成序列該方程表示合成序列x(n)的正弦波成分是的正弦波成分是)(arg | )(|)(Im)(Re)()(arg表示相位XjeXXjXX)( )(21)(20積分的本質(zhì)是求和deXnxnj)(arg| )(|21)(21XnjnjedXdeX(8.3)(8.4)(8.5)數(shù)字信號處理數(shù)字信號處理Enjoy ScienceEnjo

5、y Science4改寫正弦成分的總相位，改寫正弦成分的總相位，頻譜相位和時間的關(guān)系就顯現(xiàn)出來了：相位除以角頻頻譜相位和時間的關(guān)系就顯現(xiàn)出來了：相位除以角頻率的商具有時間的概念。率的商具有時間的概念。如果如果argX()0，表示這個，表示這個頻率頻率的正弦波將沿著時序軸的正弦波將沿著時序軸n n向右移位，這種現(xiàn)象叫向右移位，這種現(xiàn)象叫做延時。做延時。除了信號頻譜的意義外，作為處理信號的系統(tǒng)頻譜除了信號頻譜的意義外，作為處理信號的系統(tǒng)頻譜H()還有另一層的意義，這層意義就是：系統(tǒng)會按照還有另一層的意義，這層意義就是：系統(tǒng)會按照系統(tǒng)頻譜系統(tǒng)頻譜H()的幅度改變信號成分的大小，并且按照的幅度改變信號

6、成分的大小，并且按照系統(tǒng)頻譜系統(tǒng)頻譜H()的相位改變信號成分的初始位置。的相位改變信號成分的初始位置。)(arg)(argXnXn(8.6)數(shù)字信號處理數(shù)字信號處理Enjoy ScienceEnjoy Science5從系統(tǒng)函數(shù)來看，從系統(tǒng)函數(shù)來看，根據(jù)卷積定理根據(jù)卷積定理(3.132)，它表示信號它表示信號x(n)經(jīng)過線性時不變系統(tǒng)經(jīng)過線性時不變系統(tǒng)h(n)處理后得到處理后得到信號信號y(n)，而，而y(n)的頻譜的頻譜Y()幅度按照幅度按照H()的幅度改的幅度改變，變，y(n)的頻譜的頻譜Y()初始位置按照初始位置按照H()的相位改變。的相位改變。如果如果|H()|1，則輸入的正弦波成分將

7、被系統(tǒng)減弱；，則輸入的正弦波成分將被系統(tǒng)減弱；如果如果argH()0，則表示輸入的正弦波經(jīng)過系統(tǒng)后相，則表示輸入的正弦波經(jīng)過系統(tǒng)后相位滯后了。位滯后了。)()()()()()(XHYnxnhny)(8.7( | )(| )(|)(8.3( | )(| )(| )(|)()(arg)(arg)(arg)(arg)(arg利用利用XHjXjHjYjeXHeXeHeYY(8.7)(8.8)數(shù)字信號處理數(shù)字信號處理Enjoy ScienceEnjoy Science6從單位脈沖響應(yīng)來看，假設(shè)輸入信號是幅度為從單位脈沖響應(yīng)來看，假設(shè)輸入信號是幅度為A和初和初始相位為始相位為的正弦波，的正弦波，經(jīng)過線性時

8、不變系統(tǒng)經(jīng)過線性時不變系統(tǒng)h(n)處理后的信號是處理后的信號是其頻率與輸入其頻率與輸入x(n)的相同。的相同。)()(njAenx) )3 . 8( | )(|) )80. 3( )()() )9 . 8( )()()()(arg)()(利用公式根據(jù)頻譜的定義利用公式HnjmmjnjmmnjmeHAemhAemhAemhmnxny(8.9)(8.10)數(shù)字信號處理數(shù)字信號處理Enjoy ScienceEnjoy Science78.1.2 系統(tǒng)的延時系統(tǒng)的延時系統(tǒng)處理信號總是需要時間的。系統(tǒng)處理信號總是需要時間的。這是系統(tǒng)的延時。數(shù)這是系統(tǒng)的延時。數(shù)學(xué)上將信號學(xué)上將信號x(n)經(jīng)過系統(tǒng)延時后得

9、到的信號經(jīng)過系統(tǒng)延時后得到的信號y(n)寫成寫成這種延時的信號這種延時的信號y(n)與原來的信號與原來的信號x(n)的變化規(guī)律相的變化規(guī)律相同，不存在失真。同，不存在失真。假設(shè)線性時不變系統(tǒng)的假設(shè)線性時不變系統(tǒng)的|H()|=r為常數(shù)，輸入信號是為常數(shù)，輸入信號是典型正弦波，則該系統(tǒng)的輸出典型正弦波，則該系統(tǒng)的輸出它與它與x(n)的幅度比例的幅度比例r不隨時序不隨時序n變化，而變化，而y(n)和和x(n)的的)(8.9)( )()(對比與典型正弦波njAreny)( )()(是延時參數(shù)比例參數(shù)，rnxrny(8.11)(8.12)數(shù)字信號處理數(shù)字信號處理Enjoy ScienceEnjoy Sc

10、ience8相位存在時序差別相位存在時序差別/。這個差別就是系統(tǒng)對頻率是。這個差別就是系統(tǒng)對頻率是的輸入正弦波的延時。的輸入正弦波的延時。系統(tǒng)的相位系統(tǒng)的相位與輸入正弦波的頻率與輸入正弦波的頻率有關(guān)，同理，系統(tǒng)有關(guān)，同理，系統(tǒng)的延時也與輸入正弦波的頻率有關(guān)。的延時也與輸入正弦波的頻率有關(guān)。（1）如果系統(tǒng)函數(shù)的相位）如果系統(tǒng)函數(shù)的相位與角頻率與角頻率成正比，即成正比，即它是一條過原點的直線，并且系統(tǒng)的它是一條過原點的直線，并且系統(tǒng)的|H()|=r，r是常是常數(shù)，則這種系統(tǒng)對于典型正弦波數(shù)，則這種系統(tǒng)對于典型正弦波(8.9)的輸出將是的輸出將是它對任何輸入頻率的延時都是相同的，延時量它對任何輸入頻

11、率的延時都是相同的，延時量=-a。這種相位與頻率成正比的系統(tǒng)，對于由許多頻率分量這種相位與頻率成正比的系統(tǒng)，對于由許多頻率分量組成的輸入信號來說不會產(chǎn)生失真。組成的輸入信號來說不會產(chǎn)生失真。)( )(arg是常數(shù)斜率aaH)13. 8()(8.12( )()(和根據(jù)公式anjAreny(8.13)(8.14)數(shù)字信號處理數(shù)字信號處理Enjoy ScienceEnjoy Science9（2）如果系統(tǒng)函數(shù)的相位如果系統(tǒng)函數(shù)的相位是角頻率是角頻率的普通直線方的普通直線方程，不一定是過原點的直線，即程，不一定是過原點的直線，即系統(tǒng)的系統(tǒng)的|H()|=r，r是常數(shù)，則典型正弦波是常數(shù)，則典型正弦波(8

12、.9)經(jīng)過這經(jīng)過這種系統(tǒng)后將變?yōu)榉N系統(tǒng)后將變?yōu)橛捎谘訒r項由于延時項=-(a+b/)與角頻率與角頻率有關(guān)，普通直線相位有關(guān)，普通直線相位系統(tǒng)的輸出系統(tǒng)的輸出y(n)對不同頻率的輸入將產(chǎn)生不同的延時。對不同頻率的輸入將產(chǎn)生不同的延時。這種系統(tǒng)對于輸入信號可能會產(chǎn)生失真。這種系統(tǒng)對于輸入信號可能會產(chǎn)生失真。不過，在實際的通信系統(tǒng)中，在我們感興趣的頻帶內(nèi)不過，在實際的通信系統(tǒng)中，在我們感興趣的頻帶內(nèi)的信號成分的延時相同，我們的通信就不會失真。的信號成分的延時相同，我們的通信就不會失真。)( )(arg都是常數(shù)和縱截距斜率babaH)15. 8()(8.12( )()(和根據(jù)公式banjAreny(8.

13、15)(8.16)數(shù)字信號處理數(shù)字信號處理Enjoy ScienceEnjoy Science10下面以調(diào)幅波為例，說明普通直線相位系統(tǒng)對無線電下面以調(diào)幅波為例，說明普通直線相位系統(tǒng)對無線電信號所產(chǎn)生的影響。信號所產(chǎn)生的影響。為了直觀，現(xiàn)在把典型的正弦波為了直觀，現(xiàn)在把典型的正弦波(8.9)用我們熟悉的實用我們熟悉的實數(shù)形式表示，數(shù)形式表示，它輸入直線相位和常數(shù)幅度的系統(tǒng)得到的輸出它輸入直線相位和常數(shù)幅度的系統(tǒng)得到的輸出(8.16)也用實數(shù)形式表示，也用實數(shù)形式表示，考慮給這種系統(tǒng)輸入一個簡單的抑制載波的雙邊帶調(diào)考慮給這種系統(tǒng)輸入一個簡單的抑制載波的雙邊帶調(diào)幅波，即幅波，即)sincos( )

14、cos()(算更方便于三角函數(shù)的運比用nAnx)(8.16( )(cos)(的實部取公式banArny)( )cos()cos()(cscs遠(yuǎn)小于載波頻率信號頻率nnAnx(8.17)(8.18)(8.19)數(shù)字信號處理數(shù)字信號處理Enjoy ScienceEnjoy Science11根據(jù)三角函數(shù)和差積的關(guān)系，將根據(jù)三角函數(shù)和差積的關(guān)系，將x(n)變?yōu)閮蓚€分量，變?yōu)閮蓚€分量，根據(jù)線性系統(tǒng)的疊加性質(zhì)和公式根據(jù)線性系統(tǒng)的疊加性質(zhì)和公式(8.18)，該系統(tǒng)輸出，該系統(tǒng)輸出對比輸入信號對比輸入信號(8.19)和輸出信號和輸出信號(8.20)，可知直線相位，可知直線相位系統(tǒng)對這種窄帶信號系統(tǒng)對這種窄帶

15、信號x(n)產(chǎn)生兩種影響：一是滯后頻產(chǎn)生兩種影響：一是滯后頻率是率是c的載波的載波cos(cn)；二是滯后調(diào)制在載波上的頻；二是滯后調(diào)制在載波上的頻率是率是s的信號的信號cos(sn)，但是這種滯后并沒有使傳輸，但是這種滯后并沒有使傳輸?shù)男盘柕男盘朿os(sn)發(fā)生波形失真。發(fā)生波形失真。)cos(2)cos(2)(scscnAnAnx)( )(cos)(cos)(cos(2)(cos(2)(csscsc三角函數(shù)和差積的關(guān)系bananArbanrAbanrAny(8.19)(8.20)數(shù)字信號處理數(shù)字信號處理Enjoy ScienceEnjoy Science128.2 有限脈沖響應(yīng)濾波器的頻

16、譜有限脈沖響應(yīng)濾波器的頻譜有限脈沖響應(yīng)濾波器能夠獲得線性相位或直線相位。有限脈沖響應(yīng)濾波器能夠獲得線性相位或直線相位。線性相位系統(tǒng)的好處是它不會改變有用信號的波形。線性相位系統(tǒng)的好處是它不會改變有用信號的波形。8.2.1 有限脈沖響應(yīng)濾波器的頻譜表示法有限脈沖響應(yīng)濾波器的頻譜表示法一般線性相位也叫做直線相位，線性相位系統(tǒng)的相頻一般線性相位也叫做直線相位，線性相位系統(tǒng)的相頻特性是特性是為了方便設(shè)計有限脈沖響應(yīng)濾波器，可用另一種表示為了方便設(shè)計有限脈沖響應(yīng)濾波器，可用另一種表示頻譜的方法：頻譜的方法：這種表示法的這種表示法的A()是實數(shù)，叫做幅度函數(shù)。是實數(shù)，叫做幅度函數(shù)。)( )()()(是實數(shù)

17、其中AeAHj)( )(都是常數(shù)和縱截距斜率baba(8.28)(8.29)數(shù)字信號處理數(shù)字信號處理Enjoy ScienceEnjoy Science13實數(shù)的幅度函數(shù)可以方便我們分析和設(shè)計有限脈沖響實數(shù)的幅度函數(shù)可以方便我們分析和設(shè)計有限脈沖響應(yīng)濾波器。應(yīng)濾波器。我們需要的線性相位的選頻濾波器有低通、帶通、高我們需要的線性相位的選頻濾波器有低通、帶通、高通等濾波器，它們的頻譜幅度在有用信號的頻段內(nèi)為通等濾波器，它們的頻譜幅度在有用信號的頻段內(nèi)為常數(shù)或者為常數(shù)或者為1，在沒用信號的頻段內(nèi)為，在沒用信號的頻段內(nèi)為0。在設(shè)計這種。在設(shè)計這種分段常數(shù)幅度的選頻濾波器時，只要能保證在有用頻分段常數(shù)幅

18、度的選頻濾波器時，只要能保證在有用頻段的系統(tǒng)相位是線性的，一般來說，它們選出的有用段的系統(tǒng)相位是線性的，一般來說，它們選出的有用信號就不會失真。如何讓有限脈沖響應(yīng)濾波器成為線信號就不會失真。如何讓有限脈沖響應(yīng)濾波器成為線性相位的呢？性相位的呢？數(shù)字信號處理數(shù)字信號處理Enjoy ScienceEnjoy Science148.2.2 實現(xiàn)線性相位的方法實現(xiàn)線性相位的方法線性相位的有限脈沖響應(yīng)濾波器有兩種：一種是相位線性相位的有限脈沖響應(yīng)濾波器有兩種：一種是相位直線過零點的，另一種是相位直線不過零點的。直線過零點的，另一種是相位直線不過零點的。（1）相位直線過零點的濾波器）相位直線過零點的濾波器

19、如果我們讓有限脈沖響應(yīng)系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)如果我們讓有限脈沖響應(yīng)系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)h(n)滿滿足偶對稱條件，足偶對稱條件，即即那么，該系統(tǒng)的相位函數(shù)將是一條過零點的直線，即那么，該系統(tǒng)的相位函數(shù)將是一條過零點的直線，即這種線性相位稱為第一類線性相位，它的群延時這種線性相位稱為第一類線性相位，它的群延時a等等于該系統(tǒng)脈沖響應(yīng)的對稱點。于該系統(tǒng)脈沖響應(yīng)的對稱點。)2/ ) 1( )1()(是脈沖響應(yīng)的長度，對稱點在NNnnNhnh)2/ ) 1( )(Naa群延時(8.30)(8.31)數(shù)字信號處理數(shù)字信號處理Enjoy ScienceEnjoy Science15讓我們從離散時間的傅里葉變換來看這

20、個問題，由于讓我們從離散時間的傅里葉變換來看這個問題，由于因果系統(tǒng)的頻譜為因果系統(tǒng)的頻譜為根據(jù)有限長脈沖響應(yīng)的偶對稱條件根據(jù)有限長脈沖響應(yīng)的偶對稱條件(8.30)，公式，公式(8.32)也可以寫為也可以寫為)80. 3( )()(10換的定義參考離散時間傅里葉變NnnjenhH10)1(10)()1( )1()(NnnNjNmmjenhmNnemNhH做變量代換用(8.32)(8.33)數(shù)字信號處理數(shù)字信號處理Enjoy ScienceEnjoy Science16合并上面兩個頻譜公式，合并上面兩個頻譜公式，或者將它寫成或者將它寫成)21( )(cos)(2)(3.5( )()()(21010

21、)21()21(2)1(10)1(NaanenheeenheenhHNnjaNnNnjNnjNjNnnNjnj其利用歐拉公式)(10)()(cos)()(jjaNneAeannhH(8.34)(8.35)數(shù)字信號處理數(shù)字信號處理Enjoy ScienceEnjoy Science17這個偶對稱脈沖響應(yīng)的頻譜說明：只要這個偶對稱脈沖響應(yīng)的頻譜說明：只要h(n)是實數(shù)的，是實數(shù)的，那么，它的幅度函數(shù)那么，它的幅度函數(shù)也是實數(shù)的，并代表系統(tǒng)的幅度響應(yīng)；這種系統(tǒng)的相也是實數(shù)的，并代表系統(tǒng)的幅度響應(yīng)；這種系統(tǒng)的相位函數(shù)位函數(shù)是一條過零點的直線，是線性相位的。是一條過零點的直線，是線性相位的。（2）相位直

22、線不過零點的濾波器）相位直線不過零點的濾波器如果我們讓有限長脈沖響應(yīng)系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)如果我們讓有限長脈沖響應(yīng)系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)h(n)滿足奇對稱條件滿足奇對稱條件10)(cos)()(NnannhA)2/ ) 1( )(Naa群延時(8.36)(8.37)數(shù)字信號處理數(shù)字信號處理Enjoy ScienceEnjoy Science18那么，該系統(tǒng)的相位函數(shù)將是一條不過零點的直線，那么，該系統(tǒng)的相位函數(shù)將是一條不過零點的直線，即即這種線性相位稱為第二類線性相位，它的群延時這種線性相位稱為第二類線性相位，它的群延時a等等于該系統(tǒng)脈沖響應(yīng)的對稱點。于該系統(tǒng)脈沖響應(yīng)的對稱點。有限脈沖響應(yīng)濾波器的對稱

23、關(guān)系對設(shè)計線性相位濾波有限脈沖響應(yīng)濾波器的對稱關(guān)系對設(shè)計線性相位濾波器是很有用的，我們可以根據(jù)線性相位的要求來確定器是很有用的，我們可以根據(jù)線性相位的要求來確定h(n)的對稱關(guān)系，降低設(shè)計時推算脈沖響應(yīng)的對稱關(guān)系，降低設(shè)計時推算脈沖響應(yīng)h(n)的工的工作量。作量。)2/ ) 1( )1()(是脈沖響應(yīng)的長度，對稱點在NNnnNhnh)2/ ) 1( 2)(Naa群延時(8.38)(8.39)數(shù)字信號處理數(shù)字信號處理Enjoy ScienceEnjoy Science198.2.3 線性相位濾波器的幅度特性線性相位濾波器的幅度特性線性相位濾波器的幅度函數(shù)具有某種對稱性，這些特線性相位濾波器的幅度

24、函數(shù)具有某種對稱性，這些特性有助于我們設(shè)計有限脈沖響應(yīng)濾波器。性有助于我們設(shè)計有限脈沖響應(yīng)濾波器。對于因果系統(tǒng)的有限脈沖響應(yīng)濾波器來說，它的對稱對于因果系統(tǒng)的有限脈沖響應(yīng)濾波器來說，它的對稱位置比較特殊：由于有限長濾波器位置比較特殊：由于有限長濾波器h(n)的有效時序在的有效時序在n=0N-1，所以它的對稱點不在，所以它的對稱點不在n=0。如果函數(shù)。如果函數(shù)A()的對稱中心位置是在的對稱中心位置是在=a的話，那么它的偶對稱數(shù)學(xué)的話，那么它的偶對稱數(shù)學(xué)表達(dá)式將是表達(dá)式將是同理，同理，A()關(guān)于關(guān)于=a的奇對稱數(shù)學(xué)表達(dá)式將是的奇對稱數(shù)學(xué)表達(dá)式將是)( )2()(是常數(shù)aaAA)2()(aAA(8.

25、45)(8.46)數(shù)字信號處理數(shù)字信號處理Enjoy ScienceEnjoy Science20根據(jù)相位函數(shù)的直線是否過零點，線性相位分為第一根據(jù)相位函數(shù)的直線是否過零點，線性相位分為第一類線性相位和第二類線性相位，兩者的幅度函數(shù)類線性相位和第二類線性相位，兩者的幅度函數(shù)A()各有特點，如表各有特點，如表8.1所示。所示。相位特點相位特點系統(tǒng)長度系統(tǒng)長度NA()的對稱性的對稱性A()的固定的固定零點零點適用范圍適用范圍第一類線性相第一類線性相位位h(n)=h(N-1-n)奇數(shù)奇數(shù)對于對于=0和和皆皆偶對稱偶對稱無無各種濾波器各種濾波器偶數(shù)偶數(shù)對于對于=0偶對稱，偶對稱，對于對于=奇對稱奇對稱

26、A()=0低通和帶通低通和帶通濾波器濾波器第二類線性相第二類線性相位位h(n)=-h(N-1-n)奇數(shù)奇數(shù)對于對于=0和和皆皆奇對稱奇對稱A(0)=A()=0帶通濾波器帶通濾波器偶數(shù)偶數(shù)對于對于=0奇對稱，奇對稱，對于對于=偶對稱偶對稱A(0)=0高通和帶通高通和帶通濾波器濾波器表表8.1數(shù)字信號處理數(shù)字信號處理Enjoy ScienceEnjoy Science21幅度函數(shù)的對稱性證明，只要從幅度函數(shù)幅度函數(shù)的對稱性證明，只要從幅度函數(shù)(8.36)和和(8.43)出發(fā)，利用余弦函數(shù)和正弦函數(shù)的特點，事情出發(fā)，利用余弦函數(shù)和正弦函數(shù)的特點，事情就迎刃而解了。就迎刃而解了。下面舉兩個例子下面舉兩

27、個例子。（1）奇數(shù)長度的第一類線性相位系統(tǒng)）奇數(shù)長度的第一類線性相位系統(tǒng)從第一類線性相位的幅度函數(shù)從第一類線性相位的幅度函數(shù)(8.36)出發(fā)，按照對稱出發(fā)，按照對稱位置在位置在=的寫法，參照公式的寫法，參照公式(8.45)和和(8.46)，用，用2-替換公式替換公式(8.36)中的中的，得到，得到)36. 8( )()2)cos( )(cos)()( )()(2cos)()( )(2cos()()2(101010參考公式的周期是偶函數(shù)也是整數(shù)是整數(shù)是奇數(shù)，所以由于AxannhananannhaNannhANnNnNn(8.47)數(shù)字信號處理數(shù)字信號處理Enjoy ScienceEnjoy Sc

28、ience22將它與公式將它與公式(8.45)對比就知道，第一類線性相位的幅對比就知道，第一類線性相位的幅度函數(shù)在奇數(shù)度函數(shù)在奇數(shù)N時對于時對于=是偶對稱的。是偶對稱的。（2）偶數(shù)長度的第二類線性相位系統(tǒng)）偶數(shù)長度的第二類線性相位系統(tǒng)從第二類線性相位的幅度函數(shù)從第二類線性相位的幅度函數(shù)(8.43)出發(fā)，按照對稱出發(fā)，按照對稱位置在位置在=的寫法，參照公式的寫法，參照公式(8.45)和和(8.46)，用，用2-替換公式替換公式(8.43)中的中的，就可以得到，就可以得到將它與公式將它與公式(8.45)對比你就知道，第二類線性相位的對比你就知道，第二類線性相位的幅度函數(shù)在偶數(shù)幅度函數(shù)在偶數(shù)N時是關(guān)

29、于時是關(guān)于=的偶對稱。的偶對稱。有限脈沖響應(yīng)濾波器的長度有限脈沖響應(yīng)濾波器的長度N和幅度函數(shù)的對稱性都和幅度函數(shù)的對稱性都很重要，如果能巧妙地運用表很重要，如果能巧妙地運用表8.1所列的特性，就可以所列的特性，就可以提高設(shè)計選頻濾波器的效率，避免盲目設(shè)計。提高設(shè)計選頻濾波器的效率，避免盲目設(shè)計。)43. 8( )()2(對比公式AA(8.48)數(shù)字信號處理數(shù)字信號處理Enjoy ScienceEnjoy Science238.3 在時域設(shè)計濾波器在時域設(shè)計濾波器從一個無限長序列中截取一段，就像裁剪一塊布，當(dāng)從一個無限長序列中截取一段，就像裁剪一塊布，當(dāng)然，不同的然，不同的“裁法裁法”將會得到不

30、同的頻譜。將會得到不同的頻譜。8.3.1 截取一段序列截取一段序列這種方法叫窗口設(shè)計法，其原理是：首先，求出希望這種方法叫窗口設(shè)計法，其原理是：首先，求出希望得到的選頻濾波器的單位脈沖響應(yīng)得到的選頻濾波器的單位脈沖響應(yīng)hd(n)；然后，截取；然后，截取其中數(shù)值較大的一段作為我們需要的濾波器序列，并其中數(shù)值較大的一段作為我們需要的濾波器序列，并設(shè)法使它符合因果關(guān)系。設(shè)法使它符合因果關(guān)系。例題例題8.3 某礦山的探測設(shè)備需要一個數(shù)字某礦山的探測設(shè)備需要一個數(shù)字FIR低通濾波低通濾波器，它的截止頻率器，它的截止頻率c=0.2，長度，長度N=21。請用矩形窗。請用矩形窗設(shè)計這個低通濾波器，要求該濾波器

31、的相位是線性的。設(shè)計這個低通濾波器，要求該濾波器的相位是線性的。數(shù)字信號處理數(shù)字信號處理Enjoy ScienceEnjoy Science24解解 根據(jù)表根據(jù)表8.1，奇數(shù)，奇數(shù)N的低通濾波器頻譜只能是第一的低通濾波器頻譜只能是第一類線性相位的，它的幅度函數(shù)在角頻率類線性相位的，它的幅度函數(shù)在角頻率=0的地方呈的地方呈偶對稱?？紤]到作為設(shè)計模型的理想濾波器相位是否偶對稱?？紤]到作為設(shè)計模型的理想濾波器相位是否是零，下面介紹兩種設(shè)計方法。是零，下面介紹兩種設(shè)計方法。（1）理想濾波器的相位不為零）理想濾波器的相位不為零在角頻率在角頻率的主值區(qū)間的主值區(qū)間-, )，理想低通模型的頻率響，理想低通模

32、型的頻率響應(yīng)應(yīng)根據(jù)長度根據(jù)長度N=21和公式和公式(8.31)，選擇群延時，選擇群延時a=(N-1)/2=10。其相位函數(shù)其相位函數(shù)d()的直線只需在通帶上定義。的直線只需在通帶上定義。)( 0)( )(ccd其它jaeH(8.50)數(shù)字信號處理數(shù)字信號處理Enjoy ScienceEnjoy Science25根據(jù)離散時間的傅里葉反變換根據(jù)離散時間的傅里葉反變換(3.81)和頻譜和頻譜(8.50)，在，在主值區(qū)間計算理想模型的單位脈沖響應(yīng)，得到主值區(qū)間計算理想模型的單位脈沖響應(yīng)，得到它是無限長的非因果序列，對稱中心在它是無限長的非因果序列，對稱中心在n=10的地方。的地方。根據(jù)題目根據(jù)題目N

33、=21的要求，截取的要求，截取hd(n)數(shù)值較大的數(shù)值較大的n=020這一段作為我們需要的因果序列，這一段作為我們需要的因果序列，)5 . 3( )()(sin21)(cdcc用歐拉公式anandeenhnjja(8.51)圖圖8.7數(shù)字信號處理數(shù)字信號處理Enjoy ScienceEnjoy Science26相當(dāng)于相當(dāng)于hd(n)乘上矩形窗乘上矩形窗R21(n)，即，即相當(dāng)于用剪刀從相當(dāng)于用剪刀從hd(n)的的n=0和和n=20兩個地方直接剪下兩個地方直接剪下去。圖去。圖8.7右圖是用矩形窗截取右圖是用矩形窗截取hd(n)的效果，的效果，h(n)在在n=10的左右偶對稱，滿足第一類線性相位

34、的條件。的左右偶對稱，滿足第一類線性相位的條件。這這個濾波器個濾波器h(n)的頻譜的頻譜H()可用可用幅度函數(shù)幅度函數(shù)A()和相位函和相位函數(shù)數(shù)()描述，描述，)()10()10(sin)()()(21c21dnRnnnRnhnh(8.52)數(shù)字信號處理數(shù)字信號處理Enjoy ScienceEnjoy Science27幅度函數(shù)幅度函數(shù)A()的數(shù)值在通帶內(nèi)近似等于的數(shù)值在通帶內(nèi)近似等于1，有些像理，有些像理想的幅度函數(shù)想的幅度函數(shù)Ad()；濾波器；濾波器h(n)的相位函數(shù)的相位函數(shù)()是過是過原點的直線。原點的直線。造成實際頻譜造成實際頻譜H()和理想頻譜和理想頻譜Hd()之之間差別的原因是：

35、實際的間差別的原因是：實際的h(n)只是理想的只是理想的hd(n)的一段。的一段。圖圖8.8數(shù)字信號處理數(shù)字信號處理Enjoy ScienceEnjoy Science28（2）理想濾波器的相位為零）理想濾波器的相位為零在角頻率的主值區(qū)間在角頻率的主值區(qū)間-, )的理想頻譜的理想頻譜根據(jù)離散時間的傅里葉反變換根據(jù)離散時間的傅里葉反變換(3.81)，零相位的理想，零相位的理想低通模型低通模型(8.53)的單位脈沖響應(yīng)的單位脈沖響應(yīng)它的波形如圖它的波形如圖8.9左圖所示，對稱中心在左圖所示，對稱中心在n=0。為了得。為了得到有限長的因果線性相位濾波器到有限長的因果線性相位濾波器h(n)，)( 0)

36、( 1)(ccd其它H)5 . 3( )sin(121)(cdcc用歐拉公式nndenhnj(8.53)(8.54)數(shù)字信號處理數(shù)字信號處理Enjoy ScienceEnjoy Science29可以直接剪下可以直接剪下hd(n)的的n=-1010的最大數(shù)值部分，它的的最大數(shù)值部分，它的長度長度N=21點。點。減下的部分還要向右移動減下的部分還要向右移動a=(N-1)/2=10點，使它成為因果序列。點，使它成為因果序列。這個結(jié)果的數(shù)學(xué)表達(dá)式是這個結(jié)果的數(shù)學(xué)表達(dá)式是它就是按題目要求設(shè)計的低通濾波器。它就是按題目要求設(shè)計的低通濾波器。)10( )()10()10(2 . 0sin)(21是群延時其

37、中nRnnnh圖圖8.9(8.55)數(shù)字信號處理數(shù)字信號處理Enjoy ScienceEnjoy Science308.3.2 截斷序列的后果截斷序列的后果實際剪裁或截斷序列時，為了保證實際剪裁或截斷序列時，為了保證h(n)滿足線性相位滿足線性相位條件，是用一個對稱的有限長序列條件，是用一個對稱的有限長序列w(n)乘以被剪裁的乘以被剪裁的原始序列原始序列hd(n)，這個有限長序列，這個有限長序列w(n)叫做窗序列。不叫做窗序列。不同的窗函數(shù)對原始序列性能的影響是不同的。同的窗函數(shù)對原始序列性能的影響是不同的。常用的窗序列是矩形窗，它表達(dá)式是常用的窗序列是矩形窗，它表達(dá)式是漢寧窗的表達(dá)式是漢寧窗

38、的表達(dá)式是)( )(0) 10(1)()(rectangle是窗口長度其它NnNnnRnwN)( )()12cos(1 5 . 0)(Hanning是窗口長度NnRnNnwN(8.56)(8.57)數(shù)字信號處理數(shù)字信號處理Enjoy ScienceEnjoy Science31漢明窗的表達(dá)式是漢明窗的表達(dá)式是布萊克曼窗的表達(dá)式是布萊克曼窗的表達(dá)式是)( )()12cos(46. 054. 0)(Hamming是窗口長度NnRnNnwN)()14cos(08. 0)12cos(5 . 042. 0)(BlackmannRnNnNnwN圖圖8.10(8.58)(8.59)數(shù)字信號處理數(shù)字信號處理E

39、njoy ScienceEnjoy Science32用一個短序列代替一個長序列總是有失真的。用一個短序列代替一個長序列總是有失真的。觀察加窗序列觀察加窗序列h(n)=hd(n)w(n)的頻譜的頻譜H()時，可利用時，可利用離散時間傅里葉變換的頻域卷積定理，離散時間傅里葉變換的頻域卷積定理，該積分顯示，窗函數(shù)的頻譜該積分顯示，窗函數(shù)的頻譜W()對截取序列的頻譜的對截取序列的頻譜的質(zhì)量有很大的影響。質(zhì)量有很大的影響。例題例題8.4 已知截止頻率已知截止頻率c=0.2的理想低通濾波器的單的理想低通濾波器的單位脈沖響應(yīng)是位脈沖響應(yīng)是)( )()(21)()(21)(dd是積分變量WHdWHH)21(

40、 )()(sin)(cdNaanannh群延時(8.60)(8.61)數(shù)字信號處理數(shù)字信號處理Enjoy ScienceEnjoy Science33如果分別用矩形窗和漢明窗對如果分別用矩形窗和漢明窗對hd(n)加窗，獲取長度加窗，獲取長度N=21的因果線性相位低通濾波器，請分析這兩種窗口的因果線性相位低通濾波器，請分析這兩種窗口對我們設(shè)計的濾波器將帶來什么頻譜影響？對我們設(shè)計的濾波器將帶來什么頻譜影響？解解 已知窗口法設(shè)計的系統(tǒng)頻譜已知窗口法設(shè)計的系統(tǒng)頻譜H()正比于理想頻譜正比于理想頻譜Hd()和窗函數(shù)頻譜和窗函數(shù)頻譜W()的卷積，而且根據(jù)公式的卷積，而且根據(jù)公式(8.51)和和(8.50

41、)知道，理想低通濾波器的頻譜是知道，理想低通濾波器的頻譜是那么我們就可以分析這兩種窗口對設(shè)計的濾波器帶來那么我們就可以分析這兩種窗口對設(shè)計的濾波器帶來的頻譜影響。的頻譜影響。)21( )(0)()(ccdNaeHja群延時其它(8.62)數(shù)字信號處理數(shù)字信號處理Enjoy ScienceEnjoy Science34（1）矩形窗的影響）矩形窗的影響根據(jù)離散時間傅里葉變換，根據(jù)離散時間傅里葉變換，矩形窗序列矩形窗序列wrectangle(n)的的頻譜是頻譜是根據(jù)頻域卷積定理，用矩形窗設(shè)計的濾波器頻譜根據(jù)頻域卷積定理，用矩形窗設(shè)計的濾波器頻譜)21( )2/sin()2/sin()(8.56)(

42、)()(10rectanglerectangleNaeNeenwWjaNnnjnnj和等比級數(shù)運用cccc)(212/ )sin(2/)sin(21)()(21)(rectanglerectangleddAedNedWHHjaja(8.63)(8.64)數(shù)字信號處理數(shù)字信號處理Enjoy ScienceEnjoy Science35它的相位函數(shù)是線性的，它的相位函數(shù)是線性的，它的幅度函數(shù)它的幅度函數(shù)A()正比于正比于圖圖8.11數(shù)字信號處理數(shù)字信號處理Enjoy ScienceEnjoy Science36矩形窗的幅度函數(shù)矩形窗的幅度函數(shù)Arectangle(-)在通帶在通帶-c, c上的上的

43、積分，積分，也就是矩形窗的幅度函數(shù)曲線在通帶上的面積。也就是矩形窗的幅度函數(shù)曲線在通帶上的面積。幅度函數(shù)圖顯示，幅度函數(shù)圖顯示，Arectangle(-)的波動通過積分會引的波動通過積分會引起加窗序列起加窗序列h(n)的幅度函數(shù)的幅度函數(shù)A()也產(chǎn)生波動。也產(chǎn)生波動。A()的過渡帶寬度正比于的過渡帶寬度正比于Arectangle(-)的主瓣寬度，的主瓣寬度，因為主瓣越寬，它移出積分邊界因為主瓣越寬，它移出積分邊界c需要的過程就越需要的過程就越長。長。（2）漢明窗的影響）漢明窗的影響為了容易理解，下面采用幅度函數(shù)直接進(jìn)行分析。已為了容易理解，下面采用幅度函數(shù)直接進(jìn)行分析。已知模型序列知模型序列h

44、d(n)的幅度函數(shù)的幅度函數(shù))62. 8( )(0)(1)(ccd根據(jù)公式其它A(8.65)數(shù)字信號處理數(shù)字信號處理Enjoy ScienceEnjoy Science37參考偶對稱序列的幅度函數(shù)參考偶對稱序列的幅度函數(shù)(8.36)，漢明窗的幅度函，漢明窗的幅度函數(shù)數(shù)運用頻域卷積定理運用頻域卷積定理(8.60)，對模型序列，對模型序列hd(n)加漢明窗加漢明窗得到的序列得到的序列h(n)的幅度函數(shù)的幅度函數(shù)用計算機(jī)幫忙，計算這個幅度函數(shù)用計算機(jī)幫忙，計算這個幅度函數(shù)A()，以及理想模，以及理想模型型hd(n)和漢明窗和漢明窗wHamming(n)的頻譜幅度，得到的頻譜幅度，得到10Hammin

45、gHamming)(cos)()(NnannwAcc)(21)()(21)(HammingHammingddAdAAA(8.66)(8.67)數(shù)字信號處理數(shù)字信號處理Enjoy ScienceEnjoy Science38肥胖的漢明窗主瓣導(dǎo)致肥胖的漢明窗主瓣導(dǎo)致A()的過渡帶比圖的過渡帶比圖8.11的過渡的過渡帶更寬。帶更寬。圖圖8.12數(shù)字信號處理數(shù)字信號處理Enjoy ScienceEnjoy Science398.4 在頻域設(shè)計濾波器在頻域設(shè)計濾波器對于頻譜復(fù)雜的濾波器，從頻域設(shè)計濾波器或許更直對于頻譜復(fù)雜的濾波器，從頻域設(shè)計濾波器或許更直接、更方便。接、更方便。8.4.1 設(shè)計單位脈沖

46、響應(yīng)設(shè)計單位脈沖響應(yīng)用頻率采樣法來設(shè)計濾波器的單位脈沖響應(yīng)時，首先用頻率采樣法來設(shè)計濾波器的單位脈沖響應(yīng)時，首先要在主值區(qū)間要在主值區(qū)間0, 2)對我們期望的頻譜對我們期望的頻譜Hd()等間隔采等間隔采樣，采樣頻譜樣，采樣頻譜然后，對然后，對H(k)作離散傅里葉逆變換，即作離散傅里葉逆變換，即)1 , , 1 , 0( | )()(2d是采樣點數(shù)，NNkHkHkN) 1 , , 1 , 0( )(1)(102NnekHNnhNkknNj(8.77)(8.78)數(shù)字信號處理數(shù)字信號處理Enjoy ScienceEnjoy Science40這樣就可以得到我們需要的有限脈沖響應(yīng)濾波器。這這樣就可以

47、得到我們需要的有限脈沖響應(yīng)濾波器。這個濾波器的頻譜個濾波器的頻譜H()接近我們希望的頻譜接近我們希望的頻譜Hd()。頻率采樣定理指出：對頻譜等間隔采樣，如果采樣點頻率采樣定理指出：對頻譜等間隔采樣，如果采樣點數(shù)大于或等于這個被采樣頻譜的時域序列長度，則采數(shù)大于或等于這個被采樣頻譜的時域序列長度，則采樣的頻譜才能準(zhǔn)確地恢復(fù)被采樣頻譜的序列。一般來樣的頻譜才能準(zhǔn)確地恢復(fù)被采樣頻譜的序列。一般來說，說，Hd()的時域序列的時域序列hd(n)是很長的，為了降低成本，是很長的，為了降低成本，實際設(shè)計的序列實際設(shè)計的序列h(n)不能取得太長；也就是說，采樣不能取得太長；也就是說，采樣點數(shù)點數(shù)N可以是個較小

48、的數(shù)，這就是導(dǎo)致可以是個較小的數(shù)，這就是導(dǎo)致H()近似等于近似等于Hd()的原因。的原因。合理選擇合理選擇N的數(shù)值是降低計算成本和滿足技術(shù)指標(biāo)的的數(shù)值是降低計算成本和滿足技術(shù)指標(biāo)的關(guān)鍵。判斷濾波器長度關(guān)鍵。判斷濾波器長度N的方法是的方法是過渡帶的采樣點數(shù)由設(shè)計者根據(jù)具體情況來確定。過渡帶的采樣點數(shù)由設(shè)計者根據(jù)具體情況來確定。)( 2是過渡帶的采樣點數(shù)kkN(8.79)數(shù)字信號處理數(shù)字信號處理Enjoy ScienceEnjoy Science41例題例題8.7 請你利用頻率采樣法，設(shè)計一個線性相位的請你利用頻率采樣法，設(shè)計一個線性相位的數(shù)字高通濾波器的單位脈沖響應(yīng)。這個濾波器在主值數(shù)字高通濾波

49、器的單位脈沖響應(yīng)。這個濾波器在主值區(qū)間區(qū)間0, 2)的理想頻率特性是的理想頻率特性是工程上要求濾波器的過渡帶工程上要求濾波器的過渡帶=0.06，過渡帶的采樣，過渡帶的采樣點數(shù)點數(shù)k=1。解解 首先根據(jù)公式首先根據(jù)公式(8.79)和和k=1，求濾波器的長度，求濾波器的長度)( 0)5 . 15 . 0( )(d其它jaeH)34( 33.33106. 02數(shù)應(yīng)該取大于它的最小整N(8.80)(8.81)數(shù)字信號處理數(shù)字信號處理Enjoy ScienceEnjoy Science42已知理想頻譜已知理想頻譜(8.80)是第一類線性相位的，根據(jù)幅度是第一類線性相位的，根據(jù)幅度函數(shù)的表函數(shù)的表8.1，

50、如果第一類線性相位的，如果第一類線性相位的N是偶數(shù)，則幅是偶數(shù)，則幅度函數(shù)在度函數(shù)在=處有零點；而高通濾波器不允許在處有零點；而高通濾波器不允許在=處有零點，所以，取處有零點，所以，取N=35才是正確的。才是正確的。接下來按照公式接下來按照公式(8.77)的方式對理想頻譜的方式對理想頻譜Hd()進(jìn)行采進(jìn)行采樣，即樣，即然后再按照離散傅里葉逆變換然后再按照離散傅里葉逆變換(4.69)或公式或公式(8.78)計算計算H(k)的時域序列，得到的時域序列，得到)1721( )25 . 13427( 0)5 . 15 . 0269( )5 . 0080( 0)(2NakkekkHkNja內(nèi)采樣，在內(nèi)采樣

51、，在內(nèi)采樣，在(8.82)數(shù)字信號處理數(shù)字信號處理Enjoy ScienceEnjoy Science43這就是高通濾波器的時域表達(dá)式。參照這就是高通濾波器的時域表達(dá)式。參照DTFT的公式的公式(3.80)進(jìn)行計算，得進(jìn)行計算，得h(n)的幅度譜的幅度譜|H()|，)( )()17(35sin35)17(3518sin) 1()5 . 3(340( )(351)(35)1(340352剩下的工作交給計算機(jī)公式，利用等比級數(shù)和歐拉nRnnnekHnhnkknj(8.83)圖圖8.18數(shù)字信號處理數(shù)字信號處理Enjoy ScienceEnjoy Science44幅度譜幅度譜|H()|在采樣點在采

52、樣點=2k/N處的數(shù)值處的數(shù)值H(k)與期望與期望的頻譜的頻譜Hd()相吻合，但在采樣點之間卻不相同，表相吻合，但在采樣點之間卻不相同，表現(xiàn)為波動。現(xiàn)為波動。如果要求設(shè)計的頻譜復(fù)雜，不是分段常數(shù)的，采樣頻如果要求設(shè)計的頻譜復(fù)雜，不是分段常數(shù)的，采樣頻譜譜H(k)的時間序列的時間序列h(n)可能就沒有簡單的表達(dá)式。怎可能就沒有簡單的表達(dá)式。怎么辦呢？用計算機(jī)計算是個好辦法，只要按照離散傅么辦呢？用計算機(jī)計算是個好辦法，只要按照離散傅里葉逆變換來計算里葉逆變換來計算h(n)的值就可以了，因為真實的數(shù)的值就可以了，因為真實的數(shù)字濾波器需要的只是字濾波器需要的只是h(n)的具體數(shù)字。的具體數(shù)字。頻率采

53、樣法得到的頻率采樣法得到的H()在采樣點與期望的頻率響應(yīng)在采樣點與期望的頻率響應(yīng)Hd()是吻合的，但是無法保證采樣點是吻合的，但是無法保證采樣點=2k/N之間之間的的H()和和Hd()相同。如何妥善地解決這個問題呢？相同。如何妥善地解決這個問題呢？增加采樣數(shù)量增加采樣數(shù)量N是個辦法，減緩過渡帶的變化也是一是個辦法，減緩過渡帶的變化也是一個辦法。個辦法。數(shù)字信號處理數(shù)字信號處理Enjoy ScienceEnjoy Science458.4.2 設(shè)計系統(tǒng)函數(shù)設(shè)計系統(tǒng)函數(shù)用頻率采樣法來設(shè)計濾波器的系統(tǒng)函數(shù)，就是用頻域用頻率采樣法來設(shè)計濾波器的系統(tǒng)函數(shù)，就是用頻域采樣值采樣值H(k)來表示系統(tǒng)函數(shù)來表

54、示系統(tǒng)函數(shù)H(z)。為了達(dá)到這個目的，為了達(dá)到這個目的，讓我們對讓我們對N點長的脈沖響應(yīng)點長的脈沖響應(yīng)(8.78)求求z變換，即變換，即它就是用頻率采樣法直接得到的濾波器的系統(tǒng)函數(shù)。它就是用頻率采樣法直接得到的濾波器的系統(tǒng)函數(shù)。該法的優(yōu)點是：如果我們希望調(diào)整濾波器的局部頻率該法的優(yōu)點是：如果我們希望調(diào)整濾波器的局部頻率響應(yīng)形狀，只要修改公式響應(yīng)形狀，只要修改公式(8.84)中相應(yīng)的中相應(yīng)的H(k)參數(shù)就可參數(shù)就可以了。以了。10121010101021)(1)( )(1)( )(1)(NkkNNNjNNkNnnknNNnnNkknNjzWkHNzeWzWkHNzekHNzH和等比級數(shù)運用交換累

55、加符號的次序(8.84)數(shù)字信號處理數(shù)字信號處理Enjoy ScienceEnjoy Science46觀察公式觀察公式(8.84)你會發(fā)現(xiàn)，并聯(lián)子系統(tǒng)的極點你會發(fā)現(xiàn)，并聯(lián)子系統(tǒng)的極點WN-k都都在單位圓上，可能會造成系統(tǒng)不穩(wěn)定。在單位圓上，可能會造成系統(tǒng)不穩(wěn)定。為了保證系統(tǒng)的穩(wěn)定，可將單位圓上的零點半徑和極為了保證系統(tǒng)的穩(wěn)定，可將單位圓上的零點半徑和極點半徑都縮短一些，即點半徑都縮短一些，即還有一個實際問題需要考慮：系數(shù)還有一個實際問題需要考慮：系數(shù)H(k)和和WN-k一般是一般是復(fù)數(shù)，它們會增加數(shù)字系統(tǒng)處理信號的計算量，必須復(fù)數(shù)，它們會增加數(shù)字系統(tǒng)處理信號的計算量，必須想辦法將它們轉(zhuǎn)換為實

56、數(shù)。運用分式的共軛對稱性可想辦法將它們轉(zhuǎn)換為實數(shù)。運用分式的共軛對稱性可以解決這個問題。以解決這個問題。) 1( 1)(1)(101rzrWkHNzrzHNkkNNN半徑(8.85)數(shù)字信號處理數(shù)字信號處理Enjoy ScienceEnjoy Science47例題例題8.8 海豚使用頻率在海豚使用頻率在200350千赫的超聲波進(jìn)行回千赫的超聲波進(jìn)行回音定位。偵察這種聲音信號時需要窄帶數(shù)字帶通濾波音定位。偵察這種聲音信號時需要窄帶數(shù)字帶通濾波器。假設(shè)該濾波器的長度器。假設(shè)該濾波器的長度N=32，通帶，通帶=0.450.5；請你用頻率采樣法來設(shè)計該濾波器的系統(tǒng)函數(shù)，要求請你用頻率采樣法來設(shè)計該濾

57、波器的系統(tǒng)函數(shù)，要求它是第二類線性相位，并且半徑它是第二類線性相位，并且半徑r=0.999。解解 首先按照離散頻率首先按照離散頻率k=2k/N，k=0N-1，選擇通帶，選擇通帶在在0, )的采樣點的采樣點k=7和和8，它們在，它們在, 2)的對稱點是的對稱點是k=25和和24。這個第二類線性相位的理想濾波器的頻譜。這個第二類線性相位的理想濾波器的頻譜樣本樣本)( 0)2/ ) 1(25 24, , 8 , 7( )()22(kNakekHkNaj其它，群延時(8.86)數(shù)字信號處理數(shù)字信號處理Enjoy ScienceEnjoy Science48然 后 ， 運 用 實 序 列然 后 ， 運

58、用 實 序 列 h ( n ) 的 頻 譜 樣 本 對 稱 性 質(zhì)的 頻 譜 樣 本 對 稱 性 質(zhì)H(k)=H*(-k)N=H*(N-k)N和旋轉(zhuǎn)因子的周期性和旋轉(zhuǎn)因子的周期性WN-k=WNN-k，準(zhǔn)備該系統(tǒng)函數(shù)的并聯(lián)子系統(tǒng)，即，準(zhǔn)備該系統(tǒng)函數(shù)的并聯(lián)子系統(tǒng)，即最后，綜合已知條件和公式最后，綜合已知條件和公式(8.85)(8.87)，寫出該濾波，寫出該濾波器的系統(tǒng)函數(shù)器的系統(tǒng)函數(shù))82cos(21)8(Re)8(Re)72cos(21)7(Re)7(Re21)7(*1)8(*1)8(1)7(1)(2211822117171818173101zrzNrzWHrHzrzNrzWHrHzrWHzrW

59、HzrWHzrWHzrWkHNNNNNNkkN)998. 01706. 0707. 0998. 039. 01634. 0634. 0(16968. 01)(2121132zzzzzzzH(8.87)(8.88)數(shù)字信號處理數(shù)字信號處理Enjoy ScienceEnjoy Science49它的頻譜如圖它的頻譜如圖8.21所示，在通帶所示，在通帶=0.450.5的幅值的幅值波動小于波動小于3分貝，并且相位是線性的；分貝，并且相位是線性的；圖圖8.21數(shù)字信號處理數(shù)字信號處理Enjoy ScienceEnjoy Science508.5 最優(yōu)化設(shè)計最優(yōu)化設(shè)計常用的優(yōu)化準(zhǔn)則有兩種：一種是最小均方誤

60、差準(zhǔn)則，常用的優(yōu)化準(zhǔn)則有兩種：一種是最小均方誤差準(zhǔn)則，它強(qiáng)調(diào)希望的頻譜它強(qiáng)調(diào)希望的頻譜Hd()和設(shè)計的頻譜和設(shè)計的頻譜H()之間的誤之間的誤差的均方值達(dá)到最??；另一種是最小化最大誤差準(zhǔn)則，差的均方值達(dá)到最??；另一種是最小化最大誤差準(zhǔn)則，它強(qiáng)調(diào)它強(qiáng)調(diào)Hd()和和H()之間的誤差的最大值變?yōu)樽钚　Ｖg的誤差的最大值變?yōu)樽钚?。最小均方誤差準(zhǔn)則的典型應(yīng)用是窗口設(shè)計法。窗口設(shè)最小均方誤差準(zhǔn)則的典型應(yīng)用是窗口設(shè)計法。窗口設(shè)計法的做法是用窗序列截取一段希望的濾波器序列計法的做法是用窗序列截取一段希望的濾波器序列hd(n)作為實際的濾波器序列作為實際的濾波器序列h(n)，兩者之間在整個時，兩者之間在整個時域的