第4章向量組的線性相關性

1、線性代數(shù)4 41 1 向量組及其線性組合向量組及其線性組合第四章第四章 向量組的線性相關性向量組的線性相關性4 43 3 向量組的秩向量組的秩4 42 2 向量組的線性相關性向量組的線性相關性4 45 5 向量空間向量空間4 44 4 線性方程組解的結構線性方程組解的結構第四章第四章 向量組的線性相關性向量組的線性相關性4-1 4-1 向量組及其線性組合向量組及其線性組合一、向量一、向量 定義定義 n個有次序的數(shù)個有次序的數(shù)a1 a2 an所組成的數(shù)組稱為所組成的數(shù)組稱為n維向量維向量 這這n個數(shù)稱為該向量的個數(shù)稱為該向量的n個分量個分量 第第i個數(shù)個數(shù)ai稱為第稱為第i個分量個分量。分量全為

2、復數(shù)的向量稱為分量全為復數(shù)的向量稱為復向量復向量。分量全為實數(shù)的向量稱為分量全為實數(shù)的向量稱為實向量實向量，例如例如), 3 , 2 , 1(n例如例如)1(,32 ,21(innii 1 1、n維向量的概念維向量的概念第四章第四章 向量組的線性相關性向量組的線性相關性2 2、向量的表示、向量的表示12(,)Tnaa aa n維向量寫成一行，稱為行向量維向量寫成一行，稱為行向量(即行矩陣），即行矩陣），通常用等表示，如：通常用等表示，如：,TTTTab n維向量寫成一列，稱為列向量（即列矩陣），維向量寫成一列，稱為列向量（即列矩陣），通常用等表示，如：通常用等表示，如：, , ,a b 12n

3、aaaa第四章第四章 向量組的線性相關性向量組的線性相關性注意注意、行向量和列向量總被看作是兩個不同的向量；、行向量和列向量總被看作是兩個不同的向量；、行向量和列向量都按照矩陣的運算法則進行運算；、行向量和列向量都按照矩陣的運算法則進行運算；、當沒有明確說明是行向量還是列向量時，都當作列向量、當沒有明確說明是行向量還是列向量時，都當作列向量. .第四章第四章 向量組的線性相關性向量組的線性相關性1 1、向量組、向量組 若干個若干個同維數(shù)同維數(shù)的列向量（或同維數(shù)的行向量）所組成的集的列向量（或同維數(shù)的行向量）所組成的集合，稱為合，稱為向量組。向量組。 12111maaa 22212maaa mn

4、nnaaa21 二、向量組及其線性組合二、向量組及其線性組合 aaaaaaaaaaaaAmnmjmmnjnj212222211112111a2ajana1a2ajana 一個一個m n矩陣矩陣A，對應一個對應一個m維列向量組：維列向量組：第四章第四章 向量組的線性相關性向量組的線性相關性類似類似一個一個m n矩陣矩陣A，對應一個對應一個n維行向量組：維行向量組： aaaaaaaaaaaaAmnmminiinn212122221112111T2TTiTm1T2TTiTm )( )()(212222111211mnmmnnaaaaaaaaa 第四章第四章 向量組的線性相關性向量組的線性相關性2 2

5、、向量組的線性組合、向量組的線性組合 給定向量組給定向量組A 對于任何一組實數(shù)對于任何一組實數(shù)k1 k2 km，表達式表達式12,ma aa 1212mmaakkk a稱為向量組稱為向量組A的一個的一個線性組合線性組合. k1 k2 km為該線性組合的系數(shù)為該線性組合的系數(shù).第四章第四章 向量組的線性相關性向量組的線性相關性1122mmkkbaaka則稱則稱向量向量b能由向量組能由向量組A線性表示線性表示 三、向量組的線性表示三、向量組的線性表示 定理定理4-14-1 向量向量b能由向量組能由向量組A a1 a2 am線性表示的充分線性表示的充分必要條件是矩陣必要條件是矩陣 與矩陣與矩陣 的秩

6、相等的秩相等 即即R(A) R(B) 12(,)mAa aa 12( , )mBa aab 定義：定義：如果向量如果向量b是向量組是向量組A的線性組合：的線性組合：1 1、向量、向量 能由向量組能由向量組A線性表示線性表示b第四章第四章 向量組的線性相關性向量組的線性相關性 例例4-14-1 設設 證明向量證明向量b能由向量組能由向量組 線性表示線性表示 并求出表示式并求出表示式。12311111210,21432301aaab 123,a a a 解解 123(,)Aa a a 123( , )Ba a a b 設設1 1111 21 02 1432 301Br1 1110 1210 000

7、0 000( )( )2R AR Br1 0320 1210 0000 000向量向量b能由向量組能由向量組 線性表示線性表示。123,a a a 第四章第四章 向量組的線性相關性向量組的線性相關性3221cxcc由由B最簡形可得線性方程組最簡形可得線性方程組 解為解為123(,)a a axbAxb 即即得表達式得表達式123(,)ba a ax 1233221()+()cacaca第四章第四章 向量組的線性相關性向量組的線性相關性2 2、向量組、向量組B能由向量組能由向量組A線性表示線性表示 定義：定義：若向量組若向量組 中每一個向量都能由向量組中每一個向量都能由向量組 線性表示，則稱線性

8、表示，則稱向量組向量組B能由向量組能由向量組 A線性表示。線性表示。12,nAa aa12:,mB b bb 若向量組若向量組B組能由向量組組能由向量組A線性表示線性表示 含義是存在矩陣含義是存在矩陣K (kij) 使使 1112121222121212(,)(,)lllmmmm lkkkkkkb bba aakkk , 矩陣矩陣K稱為這一線性表示的系數(shù)矩陣稱為這一線性表示的系數(shù)矩陣( (注意系數(shù)矩陣的位置注意系數(shù)矩陣的位置) ) 這就是說矩陣方程這就是說矩陣方程 AX B 有解，由第三章定理有解，由第三章定理6 6立即可得立即可得R(A) R(A B) ，即：，即：第四章第四章 向量組的線性

9、相關性向量組的線性相關性若若C=AB，則矩陣，則矩陣C的列向量組能由矩陣的列向量組能由矩陣A的列向量線的列向量線性表示，性表示，B為這一表示的系數(shù)矩陣。即為這一表示的系數(shù)矩陣。即 1112121222121212(,)(,)nnnllll nbbbbbbc cca aabbb ,注注 111211112111121212222122221222121212nlnnlnmmm nmmm llll ncccaaabbbcccaaabbbcccaaabbb,1c2cnc1a2ala第四章第四章 向量組的線性相關性向量組的線性相關性若若C=AB，則矩陣，則矩陣C的行向量組能由矩陣的行向量組能由矩陣B的

10、行向量線的行向量線性表示，性表示，A為這一表示的系數(shù)矩陣。即為這一表示的系數(shù)矩陣。即 注注 111211112111121212222122221222121212nlnnlnmmm nmmm llll ncccaaabbbcccaaabbbcccaaabbb,1112121222112122TTTmlllmmm lTTTaaaaaaaaa,1T2TTm1T2TTl第四章第四章 向量組的線性相關性向量組的線性相關性 定理定理4-24-2向量組向量組 能由向量組能由向量組 線性表示的充要條件是線性表示的充要條件是R(A) R(A B) 。12,nAa aa 12:,mB b bb 定理定理4-3

11、4-3向量組向量組 能由向量組能由向量組 線性表示，則線性表示，則R(B)R(A) 。12,nAa aa 12:,mB b bb 第四章第四章 向量組的線性相關性向量組的線性相關性四、向量組的等價四、向量組的等價 定義定義 若向量組若向量組A與與B能相互線性表示能相互線性表示 則稱這則稱這兩個向量組等價兩個向量組等價。 若矩陣若矩陣A A與與B B 行行等價等價 則這兩個矩陣的則這兩個矩陣的行向量組等價行向量組等價 矩陣等價與向量組等價的關系矩陣等價與向量組等價的關系若矩陣若矩陣A A與與B B 列列等價等價 則這兩個矩陣的則這兩個矩陣的列向量組等價列向量組等價 向量組等價的判據(jù)向量組等價的判

12、據(jù)12,nAa aa 12:,mB b bb 定理定理4-24-2推論：推論：向量組向量組 與向量組與向量組 等價的充要條件是等價的充要條件是R(A) R(B)=R(A B) 。第四章第四章 向量組的線性相關性向量組的線性相關性 例例4-24-2 設設 證明向量組證明向量組 與向量組與向量組 等價等價。121231321311011,1110213120aabbb 12,a a 解解 r123,b b b 設設 ，并對（，并對（B, ,A）實施行）實施行初等變換化為最簡形：初等變換化為最簡形：12(,),Aa a 123( ,)Bb b b 2131301111( ,)1021112013B

13、A10211011110000000000( )( ,)2R BR B A( )2R A 易易知知: :( )( )( ,)2R AR BR B A所以兩向量組所以兩向量組等價等價。第四章第四章 向量組的線性相關性向量組的線性相關性 定理定理4-14-1 向量向量b能由向量組能由向量組A a1 a2 am線性表示的充要條件線性表示的充要條件 是矩陣是矩陣 與矩陣與矩陣 的秩相等的秩相等 即即R(A) R(B) 12(,)mAa aa 12( , )mBa aab 定理定理3-53-5 線性方程組線性方程組 有解有解的充要條件是的充要條件是 Axb()(, )R AR A b 定理定理4-24-

14、2向量組向量組 能由向量組能由向量組 線性表示的充要條件是線性表示的充要條件是R(A) R(A B) 。12,nAa aa 12:,mB b bb 定理定理3-63-6 矩陣方程矩陣方程AX=B有解有解的充要條件是的充要條件是 ()(,)R AR A B第四章第四章 向量組的線性相關性向量組的線性相關性 定理定理4-34-3向量組向量組 能由向量組能由向量組 線性表示，則線性表示，則R(B)R(A) 。12,nAa aa 12:,mB b bb 定理定理3-73-7 設設B=AK ，則，則()min(),()R BR AR K第四章第四章 向量組的線性相關性向量組的線性相關性 例例4-34-3

15、證明證明 n維單位坐標向量組維單位坐標向量組E e1 e2 en能由能由n維向量維向量組組A a1 a2 am線性表示的充分必要條件是線性表示的充分必要條件是R(A) n 而而 R(A E) R(E) n 證證 根據(jù)根據(jù)定理定理4-24-2 向量組向量組e1 e2 en能由向量組能由向量組A線性表示的線性表示的充分必要條件是充分必要條件是R(A) R(A E) 。 又矩陣又矩陣(A E)含含n行行 知知R(A E) nR(A E) nR(A)=(A E) n第四章第四章 向量組的線性相關性向量組的線性相關性4-2 4-2 向量組的線性相關性向量組的線性相關性一、向量組線性相關性的概念一、向量組

16、線性相關性的概念 定義定義 給定向量組給定向量組 如果存在不全為零的數(shù)如果存在不全為零的數(shù) k1 k2 km 使使12:,mA a aa 1212mmaaaOkkk注意：注意：（1 1）若向量組若向量組A是是線性無關線性無關 只有只有 k1= k2= = km=0=0時才有時才有1212mmaaaOkkk（2 2）對于任意向量組不對于任意向量組不是是線性相關線性相關 就是純線性無關。就是純線性無關。則稱向量組則稱向量組A是是線性相關線性相關的的 否則稱它否則稱它線性無關線性無關。第四章第四章 向量組的線性相關性向量組的線性相關性（4 4）含零向量的向量組必線性相關含零向量的向量組必線性相關。（

17、6）向量組向量組 (m 2)線性相關線性相關 即在向量組即在向量組A中中 至少有一個向量能由其余至少有一個向量能由其余m 1個向量線性表示個向量線性表示。12:,mA a aa （5 5）兩個非零向量兩個非零向量 線性相關線性相關 ( (即對應分量成比例即對應分量成比例) )。12,a a 21aka（3 3）向量組只有一個向量向量組只有一個向量 時，線性相關時，線性相關 。a0a 第四章第四章 向量組的線性相關性向量組的線性相關性二、向量組線性相關性的判定二、向量組線性相關性的判定 定理定理4-44-4向量組向量組 線性相關的充分必要條件是線性相關的充分必要條件是 它所構成的矩陣它所構成的矩

18、陣 的秩小于向量個數(shù)的秩小于向量個數(shù)m 向量組線性無關的充分必要條件是向量組線性無關的充分必要條件是R(A) m。 12:,mA a aa12,mAa aa 向量組向量組 (m 2)線性相關的充要條件是向量組線性相關的充要條件是向量組A中中至少至少有一個向量能由其余有一個向量能由其余m 1個向量線性表示個向量線性表示。12:,mA a aa 向量組向量組線性相關的線性相關的判據(jù)：判據(jù)： 這是因為這是因為 向量組向量組A a1 a2 am線性相關線性相關 R(A) m x1a1 x2a2 xmam 0即即Ax 0有非零解。有非零解。第四章第四章 向量組的線性相關性向量組的線性相關性n維單位坐標向

19、量組構成的矩陣為維單位坐標向量組構成的矩陣為 例例4-44-4試討論試討論n維單位坐標向量組的線性相關性維單位坐標向量組的線性相關性 解解 是是n階階單位矩陣單位矩陣。12( ,)nEe ee 易知易知R(E) n 即即R(E)= = n（向量組中向量個數(shù)向量組中向量個數(shù)）。所以此向量組是線性無關的所以此向量組是線性無關的。第四章第四章 向量組的線性相關性向量組的線性相關性 例例4-54-5已知已知1231021 ,2 ,4157aaa 試討論向量組試討論向量組 及向量組及向量組 的線性相關性的線性相關性 123,a a a 12,a a 解解 123102(,)124137a a a r10

20、2011000123(,)2R a a a 123,a a a 線性相關線性相關 12(,)2R a a 12,a a 線性無關線性無關 第四章第四章 向量組的線性相關性向量組的線性相關性 例例4-64-6已知向量組已知向量組 線性無關，且線性無關，且 試證明向量組試證明向量組 線性無關。線性無關。 123,a a a 112223331,baa baa baa123,b b b 證法一證法一 顯然顯然123123101( ,)(,) 110011b b ba a a 記作記作B AK( )( )R AR B( )( )3R BR A因為因為K可逆，由矩陣秩的性質知可逆，由矩陣秩的性質知又因為

21、又因為A的列向量組線性無關，故的列向量組線性無關，故( )3R A 由由定理定理4-44-4知，知，B的的3 3個列向量組個列向量組 線性無關。線性無關。123,b b b 第四章第四章 向量組的線性相關性向量組的線性相關性 證法二證法二 設有設有x1 x2 x3使使000322131xxxxxx 由于此方程組的系數(shù)行列式由于此方程組的系數(shù)行列式02110011101 故方程組只有零解故方程組只有零解 x1 x2 x3 01 1223 30 x bx bx b 即即112223331()()()0 x aax aax aa131122233()()()0 xx axx axx a因為因為 線性

22、無關線性無關 故有故有123,a a a 所以向量組所以向量組 線性無關線性無關 123,b b b 第四章第四章 向量組的線性相關性向量組的線性相關性 定理定理4-54-5 (1)(1)若向量組若向量組 線性相關線性相關 則向量組則向量組B： 也線性相關也線性相關。反之反之 若向量組若向量組B線性無線性無關關 則向量組則向量組A也線性無關也線性無關。12:,mA aaa211,mmaa aa 這個結論可一般地敘述為這個結論可一般地敘述為 一個向量組若有線性相關的一個向量組若有線性相關的部分組部分組 則該向量組線性相關則該向量組線性相關( (小相則大相小相則大相) ) 一個向量組若一個向量組若

23、線性無關線性無關 則它的任何部分組都線性無關則它的任何部分組都線性無關( (大無則小無大無則小無) ) 特別地特別地 含零向量的向量組必線性相關含零向量的向量組必線性相關 第四章第四章 向量組的線性相關性向量組的線性相關性 定理定理4-54-5 (2)(2)m個個n維向量組成的向量組維向量組成的向量組 當維數(shù)當維數(shù)n小于向量個數(shù)小于向量個數(shù)m時一定線性相關時一定線性相關。特別地特別地 n 1個個n維向量一定線性相關維向量一定線性相關。 (1)(1)若向量組若向量組 線性相關線性相關 則向量組則向量組B： 也線性相關也線性相關。反之反之 若向量組若向量組B線性無線性無關關 則向量組則向量組A也線

24、性無關也線性無關。12:,mA aaa211,mmaa aa 若若n m 則則R(A) m 故故m個向量個向量a1 a2 am線性相關線性相關 這是因為這是因為 m個個n維向量維向量 構成矩陣構成矩陣12,ma aa有有R(A) n 12(,)n mmAa aa第四章第四章 向量組的線性相關性向量組的線性相關性 定理定理4-54-5 (2)(2)m個個n維向量組成的向量組維向量組成的向量組 當維數(shù)當維數(shù)n小于向量個數(shù)小于向量個數(shù)m時一定線性相關時一定線性相關。特別地特別地 n 1個個n維向量一定線性相關維向量一定線性相關。 (1)(1)若向量組若向量組 線性相關線性相關 則向量組則向量組B：

25、也線性相關也線性相關。反之反之 若向量組若向量組B線性無線性無關關 則向量組則向量組A也線性無關也線性無關。12:,mA aaa211,mmaa aa (3)(3)設向量組設向量組 線性無關線性無關 而向量組而向量組B： 線性相關線性相關 則向量則向量 必能由向量組必能由向量組A線性表線性表示示 且表示式是唯一的且表示式是唯一的。 12:,mA aaa12,mabaab第四章第四章 向量組的線性相關性向量組的線性相關性 這是因為這是因為 若記若記即向量即向量b能由向量組能由向量組A線性表示線性表示 且表示式唯一且表示式唯一 有唯一解有唯一解。因此方程組因此方程組 R(B) R(A) m m R

26、(A) R(B) m 1 則有則有12(,)mAa aa12(, )mBa aab12(,)ma aaxb第四章第四章 向量組的線性相關性向量組的線性相關性 例例4-74-7 設向量組設向量組a1 a2 a3線性相關線性相關 向量組向量組a2 a3 a4線性無線性無關關 證明證明 (1)(1) a1能由能由a2 a3線性表示線性表示 (2)(2) a4不能由不能由a1 a2 a3線性表示線性表示 證明證明 (1)(1)因為因為a2 a3 a4線性無關線性無關 所以所以a2 a3也線性無關也線性無關 又又a1 a2 a3線性相關線性相關 所以所以a1能由能由a2 a3線性表示線性表示 第四章第四

27、章 向量組的線性相關性向量組的線性相關性 (2)(2)用反證法：用反證法：假設假設 能由能由 線性表示線性表示123,a aa4a而由而由(1)(1)知知 能由能由 線性表示線性表示23,aa1a因此因此 能由能由 線性表示線性表示 這與這與 線性無關矛盾線性無關矛盾 23,aa4a234,aa a第四章第四章 向量組的線性相關性向量組的線性相關性第四章第四章 向量組的線性相關性向量組的線性相關性 定理定理4-14-1 向量向量b能由向量組能由向量組A a1 a2 am線性表示的充要條件線性表示的充要條件 是矩陣是矩陣 與矩陣與矩陣 的秩相等的秩相等 即即R(A) R(B) 12(,)mAa

28、aa 12( , )mBa aab 定理定理4-24-2向量組向量組 能由向量組能由向量組 線性表示的充要條件是線性表示的充要條件是R(A) R(A B) 。12,nAa aa 12:,mB b bb 12,nAa aa 12:,mB b bb 定理定理4-24-2推論：推論：向量組向量組 與向量組與向量組 等價的充要條件是等價的充要條件是R(A) R(B)=R(A B) 。 定理定理4-44-4向量組向量組 線性相關的充分必要條件是線性相關的充分必要條件是 它所構成的矩陣它所構成的矩陣 的秩小于向量個數(shù)的秩小于向量個數(shù)m 向量組線性無關的充分必要條件是向量組線性無關的充分必要條件是R(A)

29、m。 12:,mA a aa12,mAa aa 第四章第四章 向量組的線性相關性向量組的線性相關性 定理定理4-54-5 (2)(2)m個個n維向量組成的向量組維向量組成的向量組 當維數(shù)當維數(shù)n小于向量個數(shù)小于向量個數(shù)m時一定線性相關時一定線性相關。特別地特別地 n 1個個n維向量一定線性相關維向量一定線性相關。 (1)(1)若向量組若向量組 線性相關線性相關 則向量組則向量組B： 也線性相關也線性相關。反之反之 若向量組若向量組B線性無線性無關關 則向量組則向量組A也線性無關也線性無關。12:,mA aaa211,mmaa aa (3)(3)設向量組設向量組 線性無關線性無關 而向量組而向量

30、組B： 線性相關線性相關 則向量則向量 必能由向量組必能由向量組A線性表線性表示示 且表示式是唯一的且表示式是唯一的。 12:,mA aaa12,mabaab第四章第四章 向量組的線性相關性向量組的線性相關性4-3 4-3 向量組的秩向量組的秩 上兩節(jié)在討論向量組的線性組合和線性相關性時上兩節(jié)在討論向量組的線性組合和線性相關性時 矩矩陣的秩陣的秩起了十分重要的作用起了十分重要的作用。為使討論進一步深入為使討論進一步深入 下面下面把秩的概念引進向量組把秩的概念引進向量組。第四章第四章 向量組的線性相關性向量組的線性相關性一、最大無關組和向量組的秩一、最大無關組和向量組的秩 定義定義 設有向量組設

31、有向量組A 如果在如果在A中能選出中能選出r個向量個向量 ,滿足滿足12,ra aa (2)(2)向量組向量組A中任意中任意r 1個向量都線性相關個向量都線性相關 (1)(1)向量組向量組 線性無關線性無關 102:,ra aAa 則向量組則向量組A0稱為向量組稱為向量組A的一個的一個最大無關組最大無關組 最大無關組最大無關組所含向量的個數(shù)所含向量的個數(shù)r稱為稱為向量組向量組A的秩的秩 記作記作RA 只含零向量的向量組沒有最大無關組只含零向量的向量組沒有最大無關組 規(guī)定它的秩為規(guī)定它的秩為0 0 向量組的最大無關組一般向量組的最大無關組一般不是唯一不是唯一的的. .第四章第四章 向量組的線性相

32、關性向量組的線性相關性1231021 ,2 ,4157aaa 如如 例例4-54-5 123102(,)124137a a a r102011000 線性相關線性相關 而而 、 和和 都是線性無關組。都是線性無關組。13,a a 23,a a123,a a a 12,a a 所以所以 、 和和 都是向量組都是向量組 的最大無關組的最大無關組。123,a a a 13,a a 23,a a12,a a 第四章第四章 向量組的線性相關性向量組的線性相關性二、矩陣的秩與向量組的秩關系二、矩陣的秩與向量組的秩關系 定理定理4-64-6 矩陣的秩等于它的列向量組的秩矩陣的秩等于它的列向量組的秩 也等于它

33、的行也等于它的行向量組的秩向量組的秩。證明：證明： 則由則由r階子式階子式Dr 0知知Dr所在的所在的r列線性無關列線性無關 又由又由A中所有中所有r 1階子式均為零階子式均為零 知知A中任意中任意r 1 1個列向量個列向量都線性相關都線性相關。 因此因此Dr所在的所在的r列是列是A的列向量組的一個最大無關組的列向量組的一個最大無關組 所以所以A的列向量組的秩等于的列向量組的秩等于r。 類似可證矩陣類似可證矩陣A的行向量組的秩也等于的行向量組的秩也等于R(A)。 設矩陣設矩陣 R(A) r 12(,)mAa aa第四章第四章 向量組的線性相關性向量組的線性相關性結論結論 若若Dr是矩陣是矩陣A

34、的一個最高階非零子式的一個最高階非零子式 則則Dr所在的所在的r列即列即是是A的列向量組的一個最大無關組的列向量組的一個最大無關組 Dr所在的所在的r行即是行即是A的行向的行向量組的一個最大無關組量組的一個最大無關組。 將向量組中的向量作為列向量構成一個矩陣，然后進將向量組中的向量作為列向量構成一個矩陣，然后進行初等行變換化為行階梯形。行初等行變換化為行階梯形。求向量組的秩以及最大無關組的方法求向量組的秩以及最大無關組的方法向量組與其最大無關組向量組與其最大無關組等價等價。第四章第四章 向量組的線性相關性向量組的線性相關性 例例4-84-8 設設 求向量組求向量組 的一個最大無關組的一個最大無

35、關組 解解 123452111211214,4622436979aaaaa 21112112144622436979Ar10104011030001300000 設設12345,a a a a a 對對A施行初等行變換變?yōu)樾凶詈喰尉仃嚕菏┬谐醯刃凶儞Q變?yōu)樾凶詈喰尉仃嚕?2345(,)Aa aa aa 第四章第四章 向量組的線性相關性向量組的線性相關性 三個非零行的首個非零元所對三個非零行的首個非零元所對應的列向量應的列向量a1 a2 a4為列向量組的一個最大無關組。為列向量組的一個最大無關組。即即A向量組的一個最大無關組為：向量組的一個最大無關組為：124211111,462367aaa 第四

36、章第四章 向量組的線性相關性向量組的線性相關性 我們知道我們知道n維維單位坐標向量單位坐標向量構成的向量組構成的向量組 例例4-94-9 全體全體n維向量構成的向量組記作維向量構成的向量組記作Rn 求求Rn的一個的一個最大無關組及最大無關組及Rn的秩的秩 因此因此 向量組向量組E是是Rn的一個最大無關組的一個最大無關組 且且Rn的秩等于的秩等于n。 顯然顯然 Rn的最大無關組很多的最大無關組很多 任何任何n個線性無關的個線性無關的n維向維向量都是量都是Rn的最大無關組的最大無關組。 解解 是線性無關的是線性無關的 12:,nE e ee 第四章第四章 向量組的線性相關性向量組的線性相關性三、最

37、大無關組的等價定義三、最大無關組的等價定義 (1)(1)向量組向量組A0線性無關線性無關 (2)(2)向量組向量組A的任一向量都能由向量組的任一向量都能由向量組A0線性表示線性表示 那么向量組那么向量組A0便是向量組便是向量組A的一個最大無關組的一個最大無關組 推論推論 設向量組設向量組 是向量組是向量組A的一個部分組的一個部分組 且滿足且滿足 012:,rAaaa 只要證向量組只要證向量組A中任意中任意r 1 1個向量線性相關個向量線性相關 證證 設設 是是A中任意中任意r 1個個向量向量 由條件由條件(2)(2)知這知這r 1 1個向量能由向量組個向量能由向量組A0線性表示線性表示 由由定

38、理定理4-34-3知，有知，有121,rb bb 12112( ,)( ,)rrR b bbR a aa 1rr第四章第四章 向量組的線性相關性向量組的線性相關性因此向量組因此向量組A0是向量組是向量組A A的一個最大無關組的一個最大無關組。從而從而r 1個向量個向量 線性相關。線性相關。121,rb bb 第四章第四章 向量組的線性相關性向量組的線性相關性 例例4-104-10 設齊次線性方程組設齊次線性方程組0750 3202243214214321xxxxxxxxxxx的全體解向量構成的向量組為的全體解向量構成的向量組為S 求求S的秩的秩 解解 先求線性方程組的通解先求線性方程組的通解

39、得得121223011157Ar1034012300001342343423xxxxxx 第四章第四章 向量組的線性相關性向量組的線性相關性線性方程組的通解為線性方程組的通解為 4321xxxx1034012321cc 把上式記作把上式記作 則則1 122xcc1 12212,Sx xccc cR 因為因為 的四個分量顯然不成比例的四個分量顯然不成比例 故故 線性無關線性無關 21, 21, 又因為又因為S能由向量組能由向量組 線性表示線性表示。21, 所以所以 是是S的最大無關組的最大無關組 從而從而RS 2。21, 第四章第四章 向量組的線性相關性向量組的線性相關性四、四、用向量組的秩陳述

40、的幾個定理用向量組的秩陳述的幾個定理 定理定理4-14-1 向量向量b能由向量組能由向量組 線性表示的充分線性表示的充分必要條件是：必要條件是：12,ma aa 定理定理4-24-2 向量組向量組 能由向量組能由向量組 線性表示線性表示的充分必要條件是的充分必要條件是12,ma aa 12,lb bb 定理定理4-34-3 向量組向量組 能由向量組能由向量組 線性線性表示則：表示則：12,ma aa 12,lb bb 定理定理4-44-4 向量組向量組 線性相關的充分必要條件是線性相關的充分必要條件是12,ma aa 1212(,)(, )mmR a aaR a aab 121212(,)(,

41、)mmlR a aaR a aab bb 1212( ,)( ,)lmR b bbR a aa 12(,)mR a aam 第四章第四章 向量組的線性相關性向量組的線性相關性 例例4-114-11 設矩陣設矩陣求矩陣求矩陣A的列向量組的一個最大無關組的列向量組的一個最大無關組 并把不屬于最大無并把不屬于最大無關組的列向量用最大無關組線性表示關組的列向量用最大無關組線性表示 解解 21112112144622436979A21112112144622436979Ar10104011030001300000 對對A施行初等行變換變?yōu)樾凶詈喰尉仃囀┬谐醯刃凶儞Q變?yōu)樾凶詈喰尉仃?AF 三個非零行的首非

42、零元所對三個非零行的首非零元所對應的列向量應的列向量a1 a2 a4為列向量組的一個最大無關組。為列向量組的一個最大無關組。即即FA第四章第四章 向量組的線性相關性向量組的線性相關性A列向量的一個最大無關組為：列向量的一個最大無關組為：124211111,462367aaa 因此因此不妨設不妨設A的最簡形矩陣的最簡形矩陣12345(,)FAb b b b b 則向量則向量 之間與向量之間與向量 之間之間有相同的線性關系有相同的線性關系。 而而12345,a a a a a 12345,b bbbb312,bbb 5124433bbbb312,aaa 5124433aaaa第四章第四章 向量組的

43、線性相關性向量組的線性相關性4-4 4-4 線性方程組解的結構線性方程組解的結構 (1)(1)n個未知數(shù)的齊次線性方程組個未知數(shù)的齊次線性方程組 有非零解的有非零解的 充要條件是系數(shù)矩陣的秩充要條件是系數(shù)矩陣的秩R(A) n 0Ax (2)(2)n個未知數(shù)的非齊次線性方程組個未知數(shù)的非齊次線性方程組 有解的有解的 充要條件是充要條件是 且且Axb( )( , )R AR A b 當當 n時方程組有唯一解時方程組有唯一解；( )( , )R AR A b( )( , )R AR A b當當 n時方程組有無限多解時方程組有無限多解。第四章第四章 向量組的線性相關性向量組的線性相關性、解向量的概念、

44、解向量的概念設有齊次線性方程組設有齊次線性方程組 000221122221211212111nmnmmnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa或寫成或寫成（1）一、齊次線性方程組解的性質一、齊次線性方程組解的性質0.Ax （2）第四章第四章 向量組的線性相關性向量組的線性相關性1112211,nnxxx若若為方程為方程 的解，則的解，則0Ax 112111nx稱為方程組稱為方程組(1) (1) 的的解向量解向量，它也就是向量方程，它也就是向量方程(2)(2)的解的解第四章第四章 向量組的線性相關性向量組的線性相關性、齊次線性方程組解的性質、齊次線性方程組解的性質（1 1）若若 為為 的解，

45、則的解，則12,xx0Ax 12x也是也是 的解的解. .0Ax （2 2）若若 為為 的解，的解， 為實數(shù)，則為實數(shù)，則kx0Ax xk也是也是 的解的解. .0Ax 由以上兩個性質可知，方程組的全體解向量所組成的集由以上兩個性質可知，方程組的全體解向量所組成的集合，對于合，對于加法和數(shù)乘運算是封閉加法和數(shù)乘運算是封閉的，因此構成一個向量空間，的，因此構成一個向量空間，稱此向量空間為齊次線性方程組稱此向量空間為齊次線性方程組 的的解空間解空間0Ax 第四章第四章 向量組的線性相關性向量組的線性相關性（1 1）方程方程 的任一解都可由的任一解都可由S0線性表示線性表示 0Ax 1 122ttx

46、kkk 設設S是方程是方程 的解的集合的解的集合 是是S的的一個最大無關組一個最大無關組 則有則有: : 0Ax 012:,tS （2 2）S0的任何線性組合的任何線性組合因此因此 是方程是方程 的的通解通解。 1 122ttxkkk0Ax 都是方程都是方程 的解的解。0Ax 第四章第四章 向量組的線性相關性向量組的線性相關性二、基礎解系及其求法二、基礎解系及其求法、基礎解系的定義、基礎解系的定義 齊次線性方程組的解集的最大無關組稱為該齊次線性齊次線性方程組的解集的最大無關組稱為該齊次線性方程組的方程組的基礎解系基礎解系。12,t （1 1） 是是 一組一組線性表無關解線性表無關解 0Ax （

47、2 2） 的的任一解都可用任一解都可用 線性表示。線性表示。0Ax 12,t 是齊次線性方程組是齊次線性方程組 的基礎解系，則的基礎解系，則0Ax 12,t 第四章第四章 向量組的線性相關性向量組的線性相關性、線性方程組基礎解系的求法、線性方程組基礎解系的求法111,1,10010000n rrr n rbbbbB 設齊次線性方程組的系數(shù)矩陣為設齊次線性方程組的系數(shù)矩陣為A，并不妨設，并不妨設A的的前前r個列向量線性無關。個列向量線性無關。于是于是 A可化為行最簡形：可化為行最簡形：第四章第四章 向量組的線性相關性向量組的線性相關性1111,21,100100000n rrr n rnxbbx

48、bbx 11111,11,rn rnrrrr n rnxb xbxxb xbx 0Ax （3）第四章第四章 向量組的線性相關性向量組的線性相關性現(xiàn)對現(xiàn)對 取下列取下列n-r組數(shù)：組數(shù)：nrx,x1 , 001 nrrxxx21., 100, 010代入（代入（3 3）式，依次可得）式，依次可得 rxx1.bb,rn,rrn, 1,bbr 212,bbr 111第四章第四章 向量組的線性相關性向量組的線性相關性,1111100rbb,1222010rbb,.1001n rr n rn rbb合起來便得到基礎解系合起來便得到基礎解系 ：,1 122n rn rxccc從而得到方程組從而得到方程組（

49、1 1）的通解的通解 ：齊次線性方程組的基礎解系不是唯一的。齊次線性方程組的基礎解系不是唯一的。第四章第四章 向量組的線性相關性向量組的線性相關性說明說明 （2 2） R(A) RS n。 定理定理4-74-7設設m n矩陣矩陣A的秩的秩R(A) r 則則n元齊次線性方程組元齊次線性方程組 的解集的解集S的秩的秩RS n r。0Ax （1 1）當當R(A) r n時時 方程組方程組 的任何的任何n r個線性無個線性無關的解都可構成它的基礎解系關的解都可構成它的基礎解系。0Ax 第四章第四章 向量組的線性相關性向量組的線性相關性 例例4-124-12 求齊次線性方程組求齊次線性方程組037702

50、3520432143214321xxxxxxxxxxxx的基礎解系與通解的基礎解系與通解 解解 對系數(shù)矩陣對系數(shù)矩陣A作初等行變換，變?yōu)樾凶詈喰危鹤鞒醯刃凶儞Q，變?yōu)樾凶詈喰危?r111125327731A231077540177000013423423775477xxxxxx第四章第四章 向量組的線性相關性向量組的線性相關性令令3410,01xx 122377,5477xx 1275,7102374701基礎解系為：基礎解系為： 方程組的通解為：方程組的通解為： 12112234xxccxx12237754771001cc第四章第四章 向量組的線性相關性向量組的線性相關性 例例4-134-13

51、 設設Am nBn l 0， 證明證明R(A) R(B) n 。所以所以 R(A) R(B) n。又因為又因為RS n R(A) 證證 即即表明矩陣表明矩陣B的的l個列向量都是齊次方程個列向量都是齊次方程 的解的解。0Ax 記記 則則 12( ,)lBb bb 12( ,)lA b bbO (1,2, )iAbOil 設方程設方程 的解集為的解集為S 由由bi S 知有知有 即即R(B) RS。 0Ax 12( ,)lSR b bbR 第四章第四章 向量組的線性相關性向量組的線性相關性三、非齊次線性方程組的解三、非齊次線性方程組的解1212,30 xxAxbxAx設設及及都都是是的的解解 則則

52、為為性性質質對對應應的的齊齊次次方方程程的的解解. .非齊次線性方程組解的性質非齊次線性方程組解的性質,0,.4 xAxbxAxxAxb設設是是方方程程的的解解是是方方程程的的解解則則仍仍是是方方程程質質的的解解性性第四章第四章 向量組的線性相關性向量組的線性相關性2 2、非齊次線性方程組解的結構、非齊次線性方程組解的結構 1 1n rn rxkk其中其中 為對應齊次線性方程組的通解，為對應齊次線性方程組的通解， 為非齊次線性方程組的任意一個特解為非齊次線性方程組的任意一個特解. .11nrnrkk Axb非非齊齊次次線線性性方方程程組組的的通通解解為為: :第四章第四章 向量組的線性相關性向

53、量組的線性相關性、與方程組、與方程組 有解等價的命題有解等價的命題Axb12,; nba aa向向量量 能能由由向向量量組組線線性性表表示示1212,;nna aaa aab 向向量量組組與與向向量量組組等等價價1212,.nnAa aaBa aab 矩矩陣陣與與矩矩陣陣的的秩秩相相等等線性方程組線性方程組 有解有解Axb第四章第四章 向量組的線性相關性向量組的線性相關性、線性方程組的解法、線性方程組的解法（1 1）應用應用克拉默法則克拉默法則（2 2）利用利用初等變換初等變換特點：只適用于系數(shù)行列式不等于零的情形，計算量大，特點：只適用于系數(shù)行列式不等于零的情形，計算量大，容易出錯，但有重要

54、的理論價值，可用來證明很多命題容易出錯，但有重要的理論價值，可用來證明很多命題特點：適用于方程組有唯一解、無解以及有無窮多解的特點：適用于方程組有唯一解、無解以及有無窮多解的各種情形，全部運算在一個矩陣（數(shù)表）中進行，計算簡單，各種情形，全部運算在一個矩陣（數(shù)表）中進行，計算簡單，易于編程實現(xiàn)，是有效的計算方法易于編程實現(xiàn)，是有效的計算方法第四章第四章 向量組的線性相關性向量組的線性相關性 例例4-164-16 求解方程組求解方程組 解解 對增廣矩陣對增廣矩陣B作行初等變換作行初等變換 化為行最簡形：化為行最簡形：可見可見R（A）= =R（B）=2=2 方程組有解。并有方程組有解。并有1234

55、123412340311232xxxxxxxxxxxx1111011131111232Br111012100122000001243412122xxxxx第四章第四章 向量組的線性相關性向量組的線性相關性241310,2xxxx取取得得，則方程組的，則方程組的特解特解：*11, 0, 022T而對應的齊次線性方程組的而對應的齊次線性方程組的基礎解系基礎解系：124342xxxxx11,1, 0, 0T21, 0, 2,1T原方程組的通解為：原方程組的通解為：12123411121000212010 xxccxx第四章第四章 向量組的線性相關性向量組的線性相關性4-5 4-5 向量空間向量空間一

56、、向量空間的概念一、向量空間的概念說明說明（2 2）n 維向量的集合是一個向量空間維向量的集合是一個向量空間, ,記作記作Rn。 定義定義 設設V為為n維向量的集合，如果集合維向量的集合，如果集合V非空非空，且集合，且集合V對對于于加法及乘數(shù)兩種運算封閉加法及乘數(shù)兩種運算封閉，那么就稱集合，那么就稱集合V為為向量空間向量空間. .（1 1）集合集合V對于加法及乘數(shù)兩種運算對于加法及乘數(shù)兩種運算封閉封閉指指,;VVV若若 則則,;VRV若若 則則第四章第四章 向量組的線性相關性向量組的線性相關性v向量空間舉例向量空間舉例 例例 判別下列集合是否為向量空間：判別下列集合是否為向量空間：,( ),1

57、2201TnnVxxxxxR,( ),22212TnnVxxxxxR( (3) )齊次線性方程組的解集齊次線性方程組的解集0SxAx( (4) )非齊次線性方程組的解集非齊次線性方程組的解集SxAxb不是不是向量空間。向量空間。是是向量空間向量空間不是不是向量空間向量空間是是向量空間向量空間第四章第四章 向量組的線性相關性向量組的線性相關性,1 12 212m mmVxaaaR 一般地，由向量組一般地，由向量組 所生成的向量空間為所生成的向量空間為,12ma aa ,VxabR ( (5) )設設 為兩個已知的為兩個已知的n維向量，集合維向量，集合,a b是一個向量空間。是一個向量空間。第四章

58、第四章 向量組的線性相關性向量組的線性相關性二、向量空間的基與維數(shù)二、向量空間的基與維數(shù) 定義定義 設設V是向量空間，如果是向量空間，如果r個向量個向量 ，且滿足且滿足,12ra aaV (1) (1) 線性無關線性無關,12ra aa(2) (2) V中任一向量都可由中任一向量都可由 線性表示。線性表示。,12ra aa 則向量組則向量組 就稱為向量空間就稱為向量空間V的一個的一個基基，r稱為向量空間稱為向量空間V的的維數(shù)維數(shù)，并稱，并稱V為為r維向量空間維向量空間。,12ra aa第四章第四章 向量組的線性相關性向量組的線性相關性,1 12 21rrrVxaaaR （1 1）只含有零向量的向量空間稱為只含有零向量的向量空間稱為0維向量空間，因維向量空間，因此它沒有基。此它沒有基。說明說明 （3 3）若向