第6章分支限界法

1、1第六章第六章 分支限界法分支限界法本章主要知識(shí)點(diǎn)：本章主要知識(shí)點(diǎn)： 6.1 分支限界法的基本思想 6.2 單源最短路徑問題 6.3 裝載問題 6.4 01背包問題 6.5 旅行售貨員問題26.1 分支限界法的基本思想分支限界法的基本思想1. 分支限界法與回溯法的不同（1）適合求解的問題不同適合求解的問題不同：回溯法適于找出解空間樹中滿足約束條件的所有解，而分支限界法適于找出滿足約束條件的一個(gè)解，或是在滿足約束條件的解中找出在某種意義下的最優(yōu)解。 （2）搜索方式不同搜索方式不同：回溯法以深度優(yōu)先的方式搜索解空間樹，而分支限界法則以廣度優(yōu)先或以最小耗費(fèi)優(yōu)先的方式搜索解空間樹。 36.1 分支限界

2、法的基本思想分支限界法的基本思想 2. 2. 分支限界法常以分支限界法常以廣度優(yōu)先廣度優(yōu)先或以或以最小耗費(fèi)（最最小耗費(fèi)（最大效益）優(yōu)先大效益）優(yōu)先的方式搜索問題的解空間樹。的方式搜索問題的解空間樹。 在分支限界法中，每一個(gè)活結(jié)點(diǎn)只有一次機(jī)會(huì)成為每一個(gè)活結(jié)點(diǎn)只有一次機(jī)會(huì)成為擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)?；罱Y(jié)點(diǎn)一旦成為擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)，就一次性產(chǎn)生其所有兒子結(jié)點(diǎn)。 在這些兒子結(jié)點(diǎn)中，導(dǎo)致不可行解或?qū)е路亲顑?yōu)解的兒子結(jié)點(diǎn)被舍棄，其余兒子結(jié)點(diǎn)被加入活結(jié)點(diǎn)表中。 依次從活結(jié)點(diǎn)表中取下一結(jié)點(diǎn)成為當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)，并重復(fù)上述結(jié)點(diǎn)擴(kuò)展過程。直至找到所需的解或活結(jié)點(diǎn)表為空時(shí)為止。 46.1 分支限界法的基本思想分支限界法的基本思想3.

3、 常見的兩種分支限界法（1 1）隊(duì)列式隊(duì)列式( (FIFO)FIFO)分支限界法分支限界法 按照隊(duì)列先進(jìn)先出（FIFO）原則選取下一個(gè)節(jié)點(diǎn)為擴(kuò)展節(jié)點(diǎn)。 （2 2）優(yōu)先隊(duì)列式分支限界法）優(yōu)先隊(duì)列式分支限界法 按照優(yōu)先隊(duì)列中規(guī)定的優(yōu)先級(jí)選取優(yōu)先級(jí)最高的節(jié)點(diǎn)成為當(dāng)前擴(kuò)展節(jié)點(diǎn)。56.2 單源最短路徑問題單源最短路徑問題1. 問題描述在有向圖在有向圖G G中，每一邊都有一個(gè)非負(fù)邊權(quán)。中，每一邊都有一個(gè)非負(fù)邊權(quán)。求：圖求：圖G G的從源頂點(diǎn)的從源頂點(diǎn)s s到目標(biāo)頂點(diǎn)到目標(biāo)頂點(diǎn)t t之間的最短路徑。之間的最短路徑。 66.2 單源最短路徑問題單源最短路徑問題優(yōu)先隊(duì)列式分支限界法求解優(yōu)先隊(duì)列式分支限界法求解解

4、空間樹解空間樹（每一個(gè)結(jié)點(diǎn)旁的數(shù)字表示該結(jié)點(diǎn)所對應(yīng)的當(dāng)前路長（下界）（每一個(gè)結(jié)點(diǎn)旁的數(shù)字表示該結(jié)點(diǎn)所對應(yīng)的當(dāng)前路長（下界）優(yōu)先級(jí)是結(jié)點(diǎn)所對應(yīng)的當(dāng)前路長76.2 單源最短路徑問題單源最短路徑問題2. 算法思想 解單源最短路徑問題的優(yōu)先隊(duì)列式分支限界法用一極小堆來存儲(chǔ)活結(jié)點(diǎn)表。其優(yōu)先級(jí)是結(jié)點(diǎn)所對應(yīng)的當(dāng)前路長。 算法從圖G的源頂點(diǎn)s和空優(yōu)先隊(duì)列開始。結(jié)點(diǎn)s被擴(kuò)展后，它的兒子結(jié)點(diǎn)被依次插入堆中。此后，算法從堆中取出具有最小當(dāng)前路長的結(jié)點(diǎn)作為當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)，并依次檢查與當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)相鄰的所有頂點(diǎn)。如果從當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)i到頂點(diǎn)j有邊可達(dá)，且從源出發(fā)，途經(jīng)頂點(diǎn)i再到頂點(diǎn)j的所相應(yīng)的路徑的長度小于當(dāng)前最優(yōu)路徑長度

5、，則將該頂點(diǎn)作為活結(jié)點(diǎn)插入到活結(jié)點(diǎn)優(yōu)先隊(duì)列中。這個(gè)結(jié)點(diǎn)的擴(kuò)展過程一直繼續(xù)到活結(jié)點(diǎn)優(yōu)先隊(duì)列為空時(shí)為止。86.2 單源最短路徑問題單源最短路徑問題3. 剪枝策略 在算法擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)的過程中，一旦發(fā)現(xiàn)一個(gè)結(jié)點(diǎn)的下界不小于當(dāng)前找到的最短路長，則算法剪去以該結(jié)點(diǎn)為根的子樹。 在算法中，利用結(jié)點(diǎn)間的控制關(guān)系進(jìn)行剪枝。從源頂點(diǎn)s出發(fā)，2條不同路徑到達(dá)圖G的同一頂點(diǎn)。由于兩條路徑的路長不同，因此可以將路長長的路徑所對應(yīng)的樹中的結(jié)點(diǎn)為根的子樹剪去。 96.2 單源最短路徑問題單源最短路徑問題 while (隊(duì)列不空) / 搜索問題的解空間 for (j 1 to n) if(aij Float.MAX_VALUE

6、& disti+aij distj) / 頂點(diǎn)i到頂點(diǎn)j可達(dá)，且滿足控制約束 distj disti +aij; pj i; /p數(shù)組記錄j的前一個(gè)結(jié)點(diǎn) heap.put(j); / 結(jié)點(diǎn)j加入活結(jié)點(diǎn)優(yōu)先隊(duì)列 if (heap.isEmpty() break; else heap.removeMin(); /取出隊(duì)列中首結(jié)點(diǎn)做為當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn) 頂點(diǎn)頂點(diǎn)i i和和j j間有邊，且此間有邊，且此路徑長小于原先從原點(diǎn)路徑長小于原先從原點(diǎn)到到j(luò) j的路徑長的路徑長 106.3 裝載問題裝載問題1. 問題描述有一批共n個(gè)集裝箱要裝上2艘載重量分別為C1和C2的輪船，其中集裝箱i的重量為Wi，且21

7、1ccwnii裝載問題要求確定是否有一個(gè)合理的裝載方案可將這個(gè)集裝箱裝上這2艘輪船。如果有，找出一種裝載方案。 容易證明：如果一個(gè)給定裝載問題有解，則采用下面的策略可得到最優(yōu)裝載方案。 (1)首先將第一艘輪船盡可能裝滿；(2)將剩余的集裝箱裝上第二艘輪船。 116.3 裝載問題裝載問題2. 隊(duì)列式分支限界法 在算法的while循環(huán)中，首先檢測當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)的左兒子結(jié)點(diǎn)是否為可行結(jié)點(diǎn)。如果是則將其加入到活結(jié)點(diǎn)隊(duì)列中。然后將其右兒子結(jié)點(diǎn)加入到活結(jié)點(diǎn)隊(duì)列中(右兒子結(jié)點(diǎn)一定是可行結(jié)點(diǎn))。2個(gè)兒子結(jié)點(diǎn)都產(chǎn)生后，當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)被舍棄。 活結(jié)點(diǎn)隊(duì)列中的隊(duì)首元素被取出作為當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)，隊(duì)列中每一層結(jié)點(diǎn)之后都加一個(gè)

8、尾部標(biāo)記-1，故在取隊(duì)首元素時(shí)，活結(jié)點(diǎn)隊(duì)列一定不空。當(dāng)取出的元素是-1時(shí)，再判斷當(dāng)前隊(duì)列是否為空。如果隊(duì)列非空，則將尾部標(biāo)記-1加入活結(jié)點(diǎn)隊(duì)列，算法開始處理下一層的活結(jié)點(diǎn)。126.3 裝載問題裝載問題w 2. 隊(duì)列式分支限界法while (隊(duì)列不空隊(duì)列不空) if (ew + wi = c) /ew存儲(chǔ)當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)相應(yīng)的重量存儲(chǔ)當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)相應(yīng)的重量 enQueue(ew + wi, i); / 檢查左兒子結(jié)點(diǎn)檢查左兒子結(jié)點(diǎn) xi=1 xi=1 加入隊(duì)列加入隊(duì)列 enQueue(ew, i); /右兒子結(jié)點(diǎn)總是可行的右兒子結(jié)點(diǎn)總是可行的xi=0 xi=0 ew queue.remove();

9、/ 取下一擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)取下一擴(kuò)展結(jié)點(diǎn) if (ew = -1) if (queue.isEmpty() return bestw; queue.put( -1); / 同層結(jié)點(diǎn)尾部標(biāo)志同層結(jié)點(diǎn)尾部標(biāo)志 ew queue.remove(); / 取下一擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)取下一擴(kuò)展結(jié)點(diǎn) i+; / 進(jìn)入下一層進(jìn)入下一層 136.3 裝載問題裝載問題3. 算法的改進(jìn) 節(jié)點(diǎn)的左子樹表示將此集裝箱裝上船，右子樹表示不將此集裝箱裝上船。設(shè)bestw是當(dāng)前最優(yōu)解；ew是當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)所相應(yīng)的重量；r是剩余集裝箱的重量。則當(dāng)ew+rbestw時(shí)，可將其右子樹剪去，因?yàn)榇藭r(shí)若要船裝最多集裝箱，就應(yīng)該把此箱裝上船。 另外，為了確

10、保右子樹成功剪枝，應(yīng)該在算法每一次進(jìn)入左子樹的時(shí)候更新bestw的值。146.3 裝載問題裝載問題3. 算法的改進(jìn)/ 檢查左兒子結(jié)點(diǎn) int wt ew + wi; if (wt bestw) bestw wt; / 加入活結(jié)點(diǎn)隊(duì)列 if (i bestw & i n) / 可能含最優(yōu)解 queue.put( ew); ew queue.remove(); / 取下一擴(kuò)展結(jié)點(diǎn) 右兒子剪枝右兒子剪枝 156.3 裝載問題裝載問題4. 構(gòu)造最優(yōu)解 為了在算法結(jié)束后能方便地構(gòu)造出與最優(yōu)值相應(yīng)的最優(yōu)解，算法必須存儲(chǔ)相應(yīng)子集樹中從活結(jié)點(diǎn)到根結(jié)點(diǎn)的路徑。為此目的，可在每個(gè)結(jié)點(diǎn)處設(shè)置指向其父結(jié)點(diǎn)的指

11、針，并設(shè)置左、右兒子標(biāo)志。 private static class QNode QNode parent; / 父結(jié)點(diǎn) boolean leftChild; / 左兒子標(biāo)志 int weight; / 結(jié)點(diǎn)所相應(yīng)的載重量166.3 裝載問題裝載問題找到最優(yōu)值后，可以根據(jù)parent回溯到根節(jié)點(diǎn)，找到最優(yōu)解。/ 構(gòu)造當(dāng)前最優(yōu)解 for (j n to 0) xj (e.leftChild) ? 1 : 0; e e.parent; 176.3 裝載問題裝載問題5. 優(yōu)先隊(duì)列式分支限界法 解裝載問題的優(yōu)先隊(duì)列式分支限界法用最大優(yōu)先隊(duì)列存儲(chǔ)活結(jié)點(diǎn)表?；罱Y(jié)點(diǎn)x在優(yōu)先隊(duì)列中的優(yōu)先級(jí)定義為從根結(jié)點(diǎn)到結(jié)點(diǎn)

12、x的路徑所相應(yīng)的載重量再加上剩余集裝箱的重量之和。 優(yōu)先隊(duì)列中優(yōu)先級(jí)最大的活結(jié)點(diǎn)成為下一個(gè)擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)。以結(jié)點(diǎn)x為根的子樹中所有結(jié)點(diǎn)相應(yīng)的路徑的載重量不超過它的優(yōu)先級(jí)。子集樹中葉結(jié)點(diǎn)所相應(yīng)的載重量與其優(yōu)先級(jí)相同。 在優(yōu)先隊(duì)列式分支限界法中，一旦有一個(gè)葉結(jié)點(diǎn)成為當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)，則可以斷言該葉結(jié)點(diǎn)所相應(yīng)的解即為最優(yōu)解。此時(shí)可終止算法。 186.4 0-1背包問題背包問題w算法的思想 首先，要對輸入數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理，將各物品依其單位重量價(jià)值從大到小從大到小進(jìn)行排列。 在下面描述的優(yōu)先隊(duì)列分支限界法中，節(jié)點(diǎn)的優(yōu)先級(jí)由已裝袋的物品價(jià)值加上剩下的最大單位重量價(jià)值的物品裝滿剩余容量的價(jià)值和（上界）（上界）。 算法首

13、先檢查當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)的左兒子結(jié)點(diǎn)的可行性。如果該左兒子結(jié)點(diǎn)是可行結(jié)點(diǎn)，則將它加入到子集樹和活結(jié)點(diǎn)優(yōu)先隊(duì)列中。當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)的右兒子結(jié)點(diǎn)一定是可行結(jié)點(diǎn)，僅當(dāng)右兒子結(jié)點(diǎn)滿足上界約束上界約束時(shí)才將它加入子集樹和活結(jié)點(diǎn)優(yōu)先隊(duì)列。當(dāng)擴(kuò)展到葉節(jié)點(diǎn)時(shí)為問題的最優(yōu)值。196.4 0-1背包問題背包問題上界函數(shù)bound(i)while (i = n & wi = cleft) / n表示物品總數(shù)，表示物品總數(shù)，cleft為剩余空間為剩余空間 cleft -= wi; /wi表示物品表示物品i所占空間所占空間 b += pi; /pi表示物品表示物品i的價(jià)值的價(jià)值 i+; if (i = n) b += p

14、i / wi * cleft; / 裝填剩余容量裝滿背包裝填剩余容量裝滿背包return b; /b為上界函數(shù)為上界函數(shù)206.4 0-1背包問題背包問題 while (i != n + 1) /搜索子集樹搜索子集樹 / 非葉結(jié)點(diǎn)非葉結(jié)點(diǎn) double wt = cw + wi; if (wt bestp) bestp = cp + pi; addLiveNode(up,cp+pi,cw+wi,i+1, enode, true); / enode是當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)，是當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)，cw、cp是擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)相應(yīng)的重量和是擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)相應(yīng)的重量和價(jià)值，價(jià)值，up是價(jià)值上界，是價(jià)值上界，bestp是當(dāng)前最大價(jià)值

15、是當(dāng)前最大價(jià)值 up = bound(i + 1); if (up = bestp) /檢查右兒子節(jié)點(diǎn)檢查右兒子節(jié)點(diǎn) addLiveNode(up,cp,cw,i + 1, enode, false); / 取下一個(gè)擴(kuò)展節(jié)點(diǎn)（略）取下一個(gè)擴(kuò)展節(jié)點(diǎn)（略）分支限界搜分支限界搜索過程索過程216.5 旅行售貨員問題旅行售貨員問題1. 問題描述 某售貨員要到若干城市去推銷商品，已知各城市之間的路程(或旅費(fèi))。他要選定一條從駐地出發(fā)，經(jīng)過每個(gè)城市一次，最后回到駐地的路線，使總的路程(或總旅費(fèi))最小。 路線是一個(gè)帶權(quán)圖。圖中各邊的費(fèi)用（權(quán)）為正數(shù)。圖的一條周游路線是包括V中的每個(gè)頂點(diǎn)在內(nèi)的一條回路。周游路

16、線的費(fèi)用是這條路線上所有邊的費(fèi)用之和。 旅行售貨員問題的解空間可以組織成一棵樹，從樹的根結(jié)點(diǎn)到任一葉結(jié)點(diǎn)的路徑定義了圖的一條周游路線。旅行售貨員問題要在圖G中找出費(fèi)用最小的周游路線。226.5 旅行售貨員問題旅行售貨員問題2. 算法描述 算法開始時(shí)創(chuàng)建一個(gè)最小堆，用于表示活結(jié)點(diǎn)優(yōu)先隊(duì)列。堆中每個(gè)結(jié)點(diǎn)的子樹費(fèi)用的下界lcost值是優(yōu)先隊(duì)列的優(yōu)先級(jí)。接著算法計(jì)算出圖中每個(gè)頂點(diǎn)的最小費(fèi)用出邊并用minout記錄。如果所給的有向圖中某個(gè)頂點(diǎn)沒有出邊，則該圖不可能有回路，算法即告結(jié)束。如果每個(gè)頂點(diǎn)都有出邊，則根據(jù)計(jì)算出的minout作算法初始化。lcost=當(dāng)前費(fèi)用cc+剩余的最小費(fèi)用出邊之和。 236

17、.5 旅行售貨員問題旅行售貨員問題 1 1、首先考慮、首先考慮s=n-1s=n-1的情形，此時(shí)當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)是排的情形，此時(shí)當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)是排列樹中某個(gè)葉結(jié)點(diǎn)的父結(jié)點(diǎn)。如果該葉結(jié)點(diǎn)相應(yīng)一條可列樹中某個(gè)葉結(jié)點(diǎn)的父結(jié)點(diǎn)。如果該葉結(jié)點(diǎn)相應(yīng)一條可行回路且行回路且費(fèi)用小于當(dāng)前最小費(fèi)用費(fèi)用小于當(dāng)前最小費(fèi)用，則，則將該葉結(jié)點(diǎn)插入到將該葉結(jié)點(diǎn)插入到優(yōu)先隊(duì)列優(yōu)先隊(duì)列中，否則舍去該葉結(jié)點(diǎn)。中，否則舍去該葉結(jié)點(diǎn)。算法的算法的whilewhile循環(huán)體完成對排列樹內(nèi)部結(jié)點(diǎn)的擴(kuò)展。對于循環(huán)體完成對排列樹內(nèi)部結(jié)點(diǎn)的擴(kuò)展。對于當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)，算法分當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)，算法分2 2種情況種情況進(jìn)行處理進(jìn)行處理x1:sx1:s ： 2 2

18、、當(dāng)、當(dāng)sn-1sn-1時(shí)，算法依次產(chǎn)生當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)的所有兒時(shí)，算法依次產(chǎn)生當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)的所有兒子結(jié)點(diǎn)。由于當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)所相應(yīng)的路徑是子結(jié)點(diǎn)。由于當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)所相應(yīng)的路徑是x1:sx1:s，其可其可行兒子結(jié)點(diǎn)是從剩余頂點(diǎn)行兒子結(jié)點(diǎn)是從剩余頂點(diǎn)xs+1:nxs+1:n中選取的頂點(diǎn)中選取的頂點(diǎn)xixi，且且( (xsxs，xi)xi)是所給有向圖是所給有向圖G G中的一條邊。對于當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)中的一條邊。對于當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)的每一個(gè)可行兒子結(jié)點(diǎn)，計(jì)算出其前綴點(diǎn)的每一個(gè)可行兒子結(jié)點(diǎn)，計(jì)算出其前綴( (x1:sx1:s，xi)xi)的費(fèi)用的費(fèi)用cccc和相應(yīng)的下界和相應(yīng)的下界lcostlcost。當(dāng)當(dāng)lcostlcost bestcbestc時(shí)，將這個(gè)時(shí)，將這個(gè)可行兒子結(jié)點(diǎn)插入到活結(jié)點(diǎn)優(yōu)先隊(duì)列可行兒子結(jié)點(diǎn)插入到活結(jié)點(diǎn)優(yōu)先隊(duì)列中。中。 246.5 旅行售貨員問題旅行售貨員問題 算法中算法中whilewhile循環(huán)的循環(huán)的終止條件是排列樹的一終止條件是排列樹的一個(gè)葉結(jié)點(diǎn)成為當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)個(gè)葉結(jié)點(diǎn)成為當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)。當(dāng)。當(dāng)s=ns=n