第三章零息債券與附息債券

1、第三章 零息債券與附息債券第一節(jié) 零息債券 一、概念 零息票債券指到期一次還本付息的債券。不論計(jì)息與否，也不論單利或復(fù)利，只要到期一次還本付息，都屬于零息票債券。 二、復(fù)制出來的零息票債券 假設(shè)有一個(gè)10年期付息國債，票面利率為6%，1年支付一次利息，總面值10億。 復(fù)制零息票債券：該債券的現(xiàn)金流相當(dāng)于10個(gè)零息票債券，前9個(gè)零息票債券的面值 都是0.6億元，期限分別為1-9年，最后一個(gè)零息票債券，期限為10年，面值是10.6億元。 中介可以托這一國債，發(fā)行10個(gè)零息票債券。投資者很歡迎這一類沒有再投資風(fēng)險(xiǎn)、且沒有違約風(fēng)險(xiǎn)的債券。第二章 債券合成 零息票債券、附息債券和年金債券等非含權(quán)債券可以

2、統(tǒng)一起來。 一、用零息票債券復(fù)制含息債券 由上面的例子可知，任何確定的現(xiàn)金流都是零息票債券的復(fù)合物。其現(xiàn)值為： 其中dt、Ct分別為t期折現(xiàn)因子和當(dāng)期現(xiàn)金流。1itttVd C 例：不規(guī)則現(xiàn)金流的定價(jià)期限到期收益率折現(xiàn)因子現(xiàn)金流量現(xiàn)值14.05056%0.9569200191.3824.6753%0.9127300273.834.8377%0.8679500433.9344.9927%0.8229250205.7354.1404%0.7783150116.75合計(jì)1221.58 二、用附息債券復(fù)制零息債券 可以用做多某組附息債券和做空另一組附息債券的方法復(fù)制零息票債券。 1. 舉例：有下面三種

3、附息債券和一種零息債券：時(shí)間點(diǎn)現(xiàn)金流量 ABCD0-P-100.47-114.16-119.31-95.951C1510151002C25101153C31051100 問題：如何構(gòu)建一個(gè)零息債券：面值100,1年期限，如何投資? 也就是如何決定附息債券A、B、C的購買數(shù)量NA、NB、NC，使得組合的現(xiàn)金流量滿足以下要求: 解方程：NA=-25.3；NB=24.15；NC=-151015100510115010511000ABCABCABCNNNNNNNNN 債券合成的成本為95.69，低于95.95。在不考慮成本的情況下，投資者可以選擇合成債券。當(dāng)然也存在套利機(jī)會(huì)，每單零息票債券獲利0.26

4、元。 2. 合成債券的一般方法 令Cit為債券i在時(shí)間t產(chǎn)生的現(xiàn)金流，在全部Q個(gè)時(shí)點(diǎn)上，有Q個(gè)時(shí)點(diǎn)上，有Q個(gè)產(chǎn)生不同的現(xiàn)金流量的債券。一個(gè)債券由Q個(gè)債券組成，數(shù)量分別是N1，N2，NQ。 投資者希望在時(shí)點(diǎn)1產(chǎn)生現(xiàn)金流W1，在時(shí)點(diǎn)2產(chǎn)生現(xiàn)金流W2，在時(shí)點(diǎn)Q產(chǎn)生WQ現(xiàn)金流。 因此可以構(gòu)建： 這是個(gè)聯(lián)立方程組，有Q個(gè)變量，有Q個(gè)方程，投資者知道全部的Cit和Wi，求Ni。 如果市場超過Q種債券，那機(jī)會(huì)就更多。11122111112222221122QQQQQQQQQQN CN CN CWN CN CN CWN CN CN CW 三、用年金證券與零息票債券復(fù)制附息債券 1. 基于到期收益率比較不同附息

5、債券 例3-2，有三個(gè)證券，期限10年，面值100元，到期日相同，利息都在同一時(shí)點(diǎn)支付，票面利率如下，問哪個(gè)債券可投。基于到期收益率使用公式：0111 ()11()(1)(1)(1)nntnntFFyPCCyyyy面值債券票面利率價(jià)格到期收益率C(1+y)101/上式年金折現(xiàn)100A8%117.835.62%81.7276730.5788137.494428117.83674100B6%103.645.52%61.7113850.5843227.5304103.61459100C4%87.465.68%41.7375130.5755357.4729787.44541 2. 模擬再投資收益率評(píng)價(jià)

6、證券優(yōu)劣 分別計(jì)算4%、6%、8%下的總收益率。 基于再投資可使用下一公式：60(1)1(1*)nyCFPyy債券面值票面利率C價(jià)格4%現(xiàn)值6%現(xiàn)值8%現(xiàn)值A(chǔ)1008%8 117.835.22%117.8645.72%117.795016.24%117.8574B1006%6 103.645.20%103.62485.62%103.656616.07%103.688C1004%4 87.465.40%87.483735.73%87.4827926.09%87.45101 3. 用年金證券與零息票證券復(fù)制附息債券 有等額現(xiàn)金流的證券稱為年金證券。因此可以把附息債券分解為一個(gè)年金證券和一個(gè)零息票證

7、券。基于年金可使用公式： 兩式相減：01ntntPCdFd10101117.838100ttdd1010187.464100ttdd10130.374ttd1017.5925ttd1010057.09d B債券價(jià)值： B債券高估。 我們無法確定哪一個(gè)證券不合理，但是可以判斷哪個(gè)證券相對另兩個(gè)不合理。1010161006 7.5925 57.09 102.645BttPdd 四、用年金證券、零息債券、遠(yuǎn)期利率復(fù)制附息債券 前面分析基于完全一致的到期日，如果到期日不相同，則需要存在一個(gè)遠(yuǎn)期利率協(xié)議，就可以對價(jià)格計(jì)算。 例上例ABC債券，B債券到期日11年，如果存在第10期到11期遠(yuǎn)期利率10f11

8、，我們就可以得到d11。1110101111ddf當(dāng)堂作業(yè) 二、計(jì)算題2；4 第2題先不得出如何套利，而是計(jì)算價(jià)格是否合理。答案 2. a.可以視為零息票債券復(fù)制含息債券 由兩個(gè)零息債券得折現(xiàn)因子 顯然市場低估了附息債券C的價(jià)值。1itttVd C19 0 51 0 0 0d10 .9 0 5d28 0 01 0 0 0d20 .8d100 0.905 1100 0.8970.5CV b. 附息債券復(fù)制零息債券 市場高估了A的價(jià)值。01001000100011000BCBCNNNN1110BCNN 800 ( 11)955 10750 4. a. 直接計(jì)算到期收益率，利用公式：0111 ()1

9、1()(1)(1)(1)nntnntFFyPCCyyyy債券F票面利率CP0n求取yA1006%6 1005B1003%3 945C1005%5 995由于是4次以上的多項(xiàng)式，直接求不出來，只能求取近似值。 b. 年金證券與零息票證券復(fù)制附息證券 市場高估了C債券。01ntntPCdFd5511006100ttdd551943100ttdd512ttd510088d 55151005 28898ttdd 第三節(jié) 尋找套利機(jī)會(huì) 一、套利定義 指利用證券定價(jià)之間的不一致，進(jìn)行資金轉(zhuǎn)移，從中賺取無風(fēng)險(xiǎn)利潤的行為。要實(shí)實(shí)套利必須滿足以下條件： 第一是存在價(jià)差，即一物二價(jià)； 第二是同時(shí)性和等額性，即同時(shí)

10、買賣等額資產(chǎn)。 三種套利情況 第一種情況：在時(shí)點(diǎn)0實(shí)現(xiàn)凈現(xiàn)金流入，在其他時(shí)點(diǎn)，凈現(xiàn)金流為0； 第二種情況：在0時(shí)點(diǎn)融資，在1到n時(shí)點(diǎn)，可以得到凈現(xiàn)金流。 第三種情況：在0到n-1時(shí)點(diǎn)，投資者凈現(xiàn)金流都為0，在n時(shí)點(diǎn)實(shí)現(xiàn)現(xiàn)金流為正。 二、套利機(jī)會(huì)的尋找 例3-3：假定到期收益率曲線向下傾斜，有效年收益率為：y1=9.9%，y2=9.3%，y3=9.1%。已知票面利率為11%，債券價(jià)格為102，問是否存在套利機(jī)會(huì)，如何利用這一機(jī)會(huì)。 債券的價(jià)格為： 存在套利機(jī)會(huì)。以102價(jià)格買入債券，同時(shí)賣出面值為11元的1、2、3年的零息票債券。23111111104.691021.0991.0931.091

11、例3-4：在時(shí)點(diǎn)0有無風(fēng)險(xiǎn)債券A和B。債券 A在時(shí)點(diǎn)1,2,3各支付1元. A的價(jià)格為 2.24元。債券 B 在時(shí)點(diǎn)1和3支付1元，在時(shí)點(diǎn)2支付0元。B的價(jià)格為$1.6。 1） 計(jì)算2年期零息債券的到期收益率2）如果存在債券C，在時(shí)點(diǎn)2支付 1元 ，價(jià)格為0.74元. 如何獲得2元的無風(fēng)險(xiǎn)收益。A,B,C都可以賣空。時(shí)點(diǎn)0123A2.24111B1.6101C0.7401 1）由A-B可以得到如下現(xiàn)金流時(shí)點(diǎn)0123A2.24111B1.6101A-B0.640102210.64(1)y225%y 2）通過A-B復(fù)制了一個(gè)兩年期零息票債券。賣空一張C債券，購買復(fù)制的債券A-B，可以獲得0.1元，

12、擴(kuò)大20倍，就可以獲得2元無風(fēng)險(xiǎn)收益。具體而言，賣空20張C，賣空20張B，買入20張A債券。例3-6：假定你是一個(gè)無風(fēng)險(xiǎn)套利者。現(xiàn)有四個(gè)債券，都沒有違約風(fēng)險(xiǎn)，而且都在時(shí)點(diǎn)3或者之前到期。這四個(gè)債券的介格與現(xiàn)金流的情況如下表所示。時(shí)點(diǎn)0123A100.21010110B93100C92.855105D1101515115問：是否存在套利機(jī)會(huì)，如果有，如何實(shí)現(xiàn)這一機(jī)會(huì)？ 答：先求取折現(xiàn)因子，再給其他債券定價(jià)，如果定價(jià)結(jié)果與市場價(jià)格不一致，那么就存在套利機(jī)會(huì)。 1）B債券為一年期零息票債券，通過計(jì)算得：93=100d1；d1=0.93 2）C債券是兩年期債券，已知d1我們可以求出d2：92.85=

13、50.93+105d2；d2 =0.84 3）A債券為3年期債券，已經(jīng)知d1、d2，可求d3 ：100.2=100.93+100.84+110d3 d3=0.75 4）用上式求得的折現(xiàn)因子，對債券D定價(jià) 150.93+150.84+1150.75=112.8 市場價(jià)格為110。市場低估了債券D。存在套利機(jī)會(huì)。 套利方式：購買證券D，賣空A、B、C的資產(chǎn)組合。要求該組合的現(xiàn)金流量與D的現(xiàn)金流完全一樣。101005151010515110115ABCACANNNNNN231010;22231231ABCNNN 例3-7：一個(gè)退休基金賬戶，所有資產(chǎn)都是隨時(shí)可以交易的?，F(xiàn)在總規(guī)模是11000萬元。通過

14、精確計(jì)算，可知明年沒有退休，從后年起，需要支付的金額迅速增加，具體數(shù)額如下：時(shí)點(diǎn)1234支付0200045008000資產(chǎn)管管理人計(jì)劃精準(zhǔn)組合來免除風(fēng)險(xiǎn)，即完全吻合負(fù)債現(xiàn)金流的資產(chǎn)組合。多余的資金可以購買股票等風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)。根據(jù)零息票債券得到的折現(xiàn)因子如下時(shí)點(diǎn)1234折現(xiàn)因子0.90910.8000.71430.62501. 若用零息票債券構(gòu)筑組合，每種零息票債券購買多少？到期時(shí)間 零息債券數(shù)量價(jià)格成本100.90910220000.8001600345000.71433214.35480000.625050009814.35 2. 如果不用零息票債券構(gòu)建，而且下面?zhèn)鋺?zhàn)種債券，則如何構(gòu)建。價(jià)格現(xiàn)金

15、流量1234A98.08741111111B99.0805121212112C104.4055101215120D106.694035353535解答：現(xiàn)在的問題是如何構(gòu)建組合，使組合現(xiàn)金流與負(fù)債現(xiàn)金流一致，即：價(jià)格債券數(shù)量成本A98.0874-5-490.44B99.0805-1020.55-101116.60C104.40551000104405.5D106.694065.767016.29814.661112103501112123520001111215354500112120358000ABCDABCDABCDBCDNNNNNNNNNNNNNNN當(dāng)堂練習(xí) 課后題：5、6 第5題答：先

16、求取折現(xiàn)因子，再給其他債券定價(jià)，如果定價(jià)結(jié)果與市場價(jià)格不一致，那么就存在套利機(jī)會(huì)。 1）B債券為一年期零息票債券，通過計(jì)算得：93=100d1；d1=0.93 2）C債券是兩年期債券，已知d1我們可以求出d2：92.85=50.93+105d2；d2 =0.84 3）A債券為3年期債券，已經(jīng)知d1、d2，可求d3 ：100.2=100.93+100.84+110d3 d3=0.75 4）用上式求得的折現(xiàn)因子，對債券D定價(jià) 200.93+200.84+1200.75=125.4 市場價(jià)格為121.2。市場低估了債券D。存在套利機(jī)會(huì)。 套利方式：購買證券D，賣空A、B、C的資產(chǎn)組合。要求該組合的現(xiàn)金流量與D的現(xiàn)金流完全一樣。101005201010520110120ABCACANNNNNN122020;11231231ABCNNN第6題解答：1) 若用零息票債券構(gòu)