概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)：第三章 多維隨機(jī)變量及其分布

1、第三章第三章 多維隨機(jī)變量及其分布多維隨機(jī)變量及其分布 二維隨機(jī)變量二維隨機(jī)變量 邊緣分布邊緣分布 隨機(jī)變量的獨(dú)立性隨機(jī)變量的獨(dú)立性 多維隨機(jī)變量的函數(shù)的分布多維隨機(jī)變量的函數(shù)的分布3.1 3.1 二維隨機(jī)變量及其分布二維隨機(jī)變量及其分布1 1、二維隨機(jī)變量、二維隨機(jī)變量 設(shè)設(shè)S=e是隨機(jī)試驗(yàn)是隨機(jī)試驗(yàn)E的樣本空間，的樣本空間，X=X(e)，Y=Y(e)是定義在是定義在S上的隨機(jī)變量，則由它們構(gòu)成的一上的隨機(jī)變量，則由它們構(gòu)成的一個(gè)二維向量個(gè)二維向量(X,Y)稱為二維隨機(jī)變量或二維隨機(jī)向量。稱為二維隨機(jī)變量或二維隨機(jī)向量。 二維隨機(jī)變量二維隨機(jī)變量(X,Y)的性質(zhì)不僅與的性質(zhì)不僅與X及及Y有關(guān)

2、，而有關(guān)，而且還依賴于這兩個(gè)隨機(jī)變量的相互關(guān)系。因此，單獨(dú)且還依賴于這兩個(gè)隨機(jī)變量的相互關(guān)系。因此，單獨(dú)討論討論X和和Y的性質(zhì)是不夠的，需要把的性質(zhì)是不夠的，需要把(X,Y)作為一個(gè)整作為一個(gè)整體來討論。隨機(jī)變量體來討論。隨機(jī)變量X常稱為一維隨機(jī)變量。常稱為一維隨機(jī)變量。 一、二維隨機(jī)變量及其分布函數(shù)一、二維隨機(jī)變量及其分布函數(shù) 定義定義3.13.1 設(shè)設(shè)(X,Y)是二維隨機(jī)變量，二元是二維隨機(jī)變量，二元實(shí)值函數(shù)實(shí)值函數(shù)F(x,y)=P(X xY y)=P(X x,Y y) x(- -,+),y(- -,+)稱為二維隨機(jī)變量稱為二維隨機(jī)變量(X,Y)的的分布函數(shù)分布函數(shù)，或稱為或稱為 X與與Y

3、的聯(lián)合分布函數(shù)。的聯(lián)合分布函數(shù)。即即F(x,y)為事件為事件X x與與Y y同時(shí)發(fā)生的概率。同時(shí)發(fā)生的概率。2 2、二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù)、二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù)幾何意義：幾何意義：若把二維隨機(jī)變量若把二維隨機(jī)變量(X,Y)看成平面上隨機(jī)點(diǎn)的坐標(biāo)，看成平面上隨機(jī)點(diǎn)的坐標(biāo)，則分布函數(shù)則分布函數(shù)F(x,y)在在(x,y)處的函數(shù)值處的函數(shù)值F(x0,y0)就表示就表示隨機(jī)點(diǎn)隨機(jī)點(diǎn)(X,Y)落在區(qū)域落在區(qū)域 - -X x0， - -Y y0中的概率。如圖陰影部分：中的概率。如圖陰影部分：(x0,y0)xyO 對(duì)于對(duì)于(x1, y1), (x2, y2) R2, (x1 x2， y1y2 )，

4、則隨機(jī)點(diǎn)，則隨機(jī)點(diǎn)(X,Y)落在矩形區(qū)域落在矩形區(qū)域x1X x2，y1Y y2內(nèi)的概率可用分內(nèi)的概率可用分布函數(shù)表示為布函數(shù)表示為P(x1X x2，y1Y y2)F(x2, y2)F(x1, y2) F (x2, y1)F (x1, y1)(x1, y1)(x2, y2)O x1 x2 xy1y2y分布函數(shù)分布函數(shù)F(x, y)具有如下性質(zhì)：具有如下性質(zhì)：0),(lim),(yxFFyx1),(lim),(yxFFyx0),(lim),(yxFyFx0),(lim),(yxFxFy(1)對(duì)任意對(duì)任意(x, y) R2 , 0 F(x, y) 1。(2)F(x, y)是變量是變量x或或y的非降函

5、數(shù)，即的非降函數(shù)，即 對(duì)任意對(duì)任意y R, 當(dāng)當(dāng)x1x2時(shí)，時(shí)，F(xiàn)(x1,y) F(x2,y)； 對(duì)任意對(duì)任意x R, 當(dāng)當(dāng)y1y2時(shí)，時(shí)，F(xiàn)(x,y1) F(x,y2)。(3),(),(lim), 0(000yxFyxFyxFxx),(),(lim)0,(000yxFyxFyxFyy(4)函數(shù)函數(shù)F(x,y)關(guān)于關(guān)于x是右連續(xù)的，關(guān)于是右連續(xù)的，關(guān)于y也也是右連續(xù)的，是右連續(xù)的，即對(duì)任意即對(duì)任意x R，y R，有，有(5)對(duì)于任意對(duì)于任意(x1, y1)，(x2, y2) R2，(x1x2，y12)解解 (1)由聯(lián)合分布函數(shù)性質(zhì)由聯(lián)合分布函數(shù)性質(zhì)2可知可知122),(lim),(CBAyxF

6、Fyx022),(CBAF022),(CBAF解得解得21A2B2C(2)2arctan1212arctan21),()(2xxxFxFX ),(x2arctan1212arctan2221),()(2yyyFyFY ),(y(3)(3)由由X的分布函數(shù)可得的分布函數(shù)可得4141211)2(1)2(1)2(XFXPXP故故2arctan22arctan21),(2yxyxF練習(xí)練習(xí) . .已知已知(X,Y)(X,Y)的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為 其它00101),(xyyeeyxxeeyxFyyyx求求F FX X(x)(x)與與F FY Y(y)(y)。二、二維離散型隨機(jī)變量及其分布二、二維離散

7、型隨機(jī)變量及其分布1、二維離散型隨機(jī)變量、二維離散型隨機(jī)變量 若二維隨機(jī)變量若二維隨機(jī)變量(X,Y)的所有可能取值是有限多對(duì)或的所有可能取值是有限多對(duì)或可列無限多對(duì)，則稱可列無限多對(duì)，則稱(X,Y)是二維離散型隨機(jī)變量。是二維離散型隨機(jī)變量。 2、聯(lián)合分布律、聯(lián)合分布律 設(shè)設(shè)(X,Y)是二維離散型隨機(jī)變量，其所有可能取值為是二維離散型隨機(jī)變量，其所有可能取值為 (xi,yj)，i=1,2,，j=1,2, 若若(X,Y)取數(shù)對(duì)取數(shù)對(duì)(xi,yj)的概率的概率P(X=xi, Y=yj)=pij，滿足，滿足 (1)pij0 ；(2) 111ijijp 則稱則稱P(X=xi, Y=yi)=pij ，i

8、=1,2,，j=1,2, 為二維離散型隨機(jī)變量為二維離散型隨機(jī)變量(X,Y)的分布律的分布律 或或隨機(jī)變量隨機(jī)變量X與與Y的聯(lián)合分布律的聯(lián)合分布律律律二維離散型隨機(jī)變量的聯(lián)合分布律也可用二維離散型隨機(jī)變量的聯(lián)合分布律也可用表格形式表示為：表格形式表示為： YXy1y2.yj.x1p11p12.p1j.x2p21p22.p2j.xipi1pi2.pij.例例3.3 3.3 設(shè)袋中有設(shè)袋中有a+b個(gè)球，個(gè)球，a只紅球，只紅球，b只白球。今從中任取一球，只白球。今從中任取一球，觀察其顏色后將球放回袋中，并再加入與所取的球相同顏色的球觀察其顏色后將球放回袋中，并再加入與所取的球相同顏色的球c只，然后再

9、從袋中任取一球，設(shè)只，然后再?gòu)拇腥稳∫磺颍O(shè) 第第一一次次所所取取的的球球?yàn)闉榘装浊蚯虻诘谝灰淮未嗡∪〉牡那蚯驗(yàn)闉榧t紅球球01X第二次所取的球?yàn)榘浊虻诙嗡〉那驗(yàn)榘浊虻诙嗡〉那驗(yàn)榧t球第二次所取的球?yàn)榧t球01Y求二維隨機(jī)變量求二維隨機(jī)變量(X,Y)的分布律。的分布律。 解解 X的可能取值為的可能取值為0，1，Y的可能取值為的可能取值為0，1。 cbacabaaXYPXPYXP) 11() 1() 1, 1(cbabbaaXYPXPYXP) 1|0() 1()0, 1(cbaababXYPXPYXP)01()0() 1, 0(cbacbbabXYPXPYXP)00()0()0, 0(二

10、維離散型隨機(jī)變量的邊緣分布律二維離散型隨機(jī)變量的邊緣分布律由由(X,Y)的聯(lián)合分布律的聯(lián)合分布律P(Xxi,Yyjpij，i,j1,2,11),()(,)(jjijjiiyYxXPyYUxXPxXPijijpp1i1,2,11),(),()(ijijiijyYxXPyYxXUPyYP1ijijppj1,2,其中其中pi.和和p.j分別為表示分別為表示的記號(hào)。的記號(hào)。1jijp1iijp它們分別是事件它們分別是事件(X=xi)和和(Y=yj) 的概率，且有的概率，且有pi.0，1111iijijippp.j0，1111jjiijjpp稱稱P(Xxi)pi.，(i1, 2, )為二維隨機(jī)變量為二維

11、隨機(jī)變量(X, Y)關(guān)于關(guān)于X的的邊緣分布律邊緣分布律；稱稱P(Yyj)p.j，(j1, 2, ) 為二維隨機(jī)變量為二維隨機(jī)變量(X, Y)關(guān)于關(guān)于Y的的邊緣分布律邊緣分布律。以表格形式表示為以表格形式表示為YXy1y2yjP(X=xi)x1p11p12p1jx2p21p22p1jxipi1pi1pijP(Y=yj)1111iipp122iipp1iijjpp111jjpp122jjpp1ijijpp例例3.63.6 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量(r.v.)X在在1，2，3，4四個(gè)整數(shù)中等可能地取四個(gè)整數(shù)中等可能地取值，另一個(gè)值，另一個(gè)r.v.在在1至至X中等可能地取一整數(shù)值，試求中等可能地取一整數(shù)值

12、，試求(X,Y)的聯(lián)的聯(lián)合分布律和邊緣分布律。合分布律和邊緣分布律。 解解 事件事件(X=i,Y=j)中中i的取值為的取值為1、2、3、4，而，而j取不大于取不大于i的整數(shù)，的整數(shù)，因此因此iiXjYiXPjYiXP141)(P)(),(i=1,2,3,4，ji1()4P Xi441)(jiijYPi=1,2,3,4j=1,2,3,4YX1234pi11/40001/421/81/8001/431/121/121/1201/441/161/161/161/161/4pj25/4813/487/483/48X和和Y的邊緣分布律分別為的邊緣分布律分別為X1234P1/41/41/41/4Y1234

13、P25/48 13/487/483/48注意：注意：聯(lián)合分布律可以確定邊緣分布律，而邊緣分布聯(lián)合分布律可以確定邊緣分布律，而邊緣分布律不一定能確定聯(lián)合分布律。律不一定能確定聯(lián)合分布律。二維連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度二維連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度1、定義、定義 設(shè)二維隨機(jī)變量設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為F(x,y)，若存在非負(fù)可積函數(shù)若存在非負(fù)可積函數(shù)f(x,y)，使對(duì)任意實(shí)數(shù)，使對(duì)任意實(shí)數(shù)x，y，有有 xydudvvufyxF),(),(則稱則稱 (X,Y)為二維連續(xù)型隨機(jī)變量，且稱函數(shù)為二維連續(xù)型隨機(jī)變量，且稱函數(shù)f(x,y)為二維隨機(jī)變量為二維隨機(jī)變量(X,Y)的密度函

14、數(shù)的密度函數(shù)(概率密概率密度度)，或，或X與與Y的的聯(lián)合概率密度聯(lián)合概率密度(聯(lián)合密度函數(shù)聯(lián)合密度函數(shù)) 可記為可記為 (X,Y) f (x,y)，(x,y) R22、聯(lián)合密度、聯(lián)合密度f(x, y)的性質(zhì)的性質(zhì)(1)非負(fù)性：非負(fù)性：f(x,y) 0，(x,y) R2;(2)歸一性：歸一性： ),(),(00),(200yxfyxyxFyx(3)若若f (x, y)在在(x0,y0) 處連續(xù)，則有處連續(xù)，則有事實(shí)上事實(shí)上 yxydvvxfdudvvufxxyxF),(),(),(),(),(),(2yxfdvvxfyyxyxFy),(1),( FdxdyyxfGdxdyyxfGYXP),(),

15、(4)設(shè)設(shè)G是平面上一個(gè)區(qū)域，則二維連續(xù)型隨機(jī)變是平面上一個(gè)區(qū)域，則二維連續(xù)型隨機(jī)變量量(X,Y)落在落在G內(nèi)的概率是概率密度函數(shù)內(nèi)的概率是概率密度函數(shù)f(x, y)在在G上的積分，即上的積分，即 例例3.73.7 設(shè)二維隨機(jī)變量設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合概率密度函數(shù)為的聯(lián)合概率密度函數(shù)為其它其它010),(2yxykxyxf(1)求常數(shù)求常數(shù)k；(2)求概率求概率P(X+Y1)。解解 (1) 1),(dxdyyxf 10121)(xdxydykx101:xyxD10421)2121(dxkxkx1)10161(1053kxkx解得解得k=15 21012115),() 1(dxydyxd

16、xdyyxfYXPxxyx64519215O 1 x1yy=xx+y=12101:xxyxD(2)練習(xí)：練習(xí)： 設(shè)二維隨機(jī)變?cè)O(shè)二維隨機(jī)變(X,Y)量具有概率密度量具有概率密度其其它它01),(22yxyCxyxf(1)確定常數(shù)確定常數(shù)C；(2)求概率求概率P(XY)。O xy=x2y=xy解解 (1) 1),(dxdyyxf 111212dxydyCxx421C(2)確定積分區(qū)域確定積分區(qū)域xxydyxdxYXP2203421)(21010:21xxyxD111:2xyxD二維連續(xù)型隨機(jī)變量的邊緣密度函數(shù)二維連續(xù)型隨機(jī)變量的邊緣密度函數(shù) 設(shè)設(shè)(X, Y)是二維連續(xù)型隨機(jī)變量，聯(lián)合密度為是二維連

17、續(xù)型隨機(jī)變量，聯(lián)合密度為f(x,y)，此時(shí)此時(shí)X、Y也是連續(xù)型隨機(jī)變量，也是連續(xù)型隨機(jī)變量，稱稱X的密度函數(shù)的密度函數(shù)fX(x)為為(X, Y)關(guān)于關(guān)于X的邊緣密度函數(shù)，且的邊緣密度函數(shù)，且有有 xXXdtdyytfdxdxFdxdxFdxdxf),(),()()(稱稱Y的密度函數(shù)的密度函數(shù)fY(y)為為(X, Y)關(guān)于關(guān)于Y的邊緣密度函數(shù)，且的邊緣密度函數(shù)，且有有 yYYdtdxtxfdydyFdydyFdydyf),(),()()(dxyxf),(dyyxf),(例例3.103.10 設(shè)二維隨機(jī)變量設(shè)二維隨機(jī)變量其其它它0, 1048),(),(23xyxxxyyxfYX求邊緣密度函數(shù)求邊

18、緣密度函數(shù)fX(x)和和fY(y)解解 當(dāng)當(dāng)0 x1時(shí)時(shí),dyyxfxfX),()()(24487523xxxydyxxO 1 x y1y=x2y=x3當(dāng)當(dāng)x0或或x1時(shí)，時(shí)，fX(x)=0，所以，所以其其它它010)(24)(75xxxxfX當(dāng)當(dāng)0y1時(shí)時(shí),)(2448),()(2353yyxydxdxyxfyfyyY當(dāng)當(dāng)y0或或y1時(shí)，時(shí)，fY(y)=0，所以，所以其它其它010)(24)(235yyyyfY二維連續(xù)型隨機(jī)變量的常用分布二維連續(xù)型隨機(jī)變量的常用分布1、均勻分布、均勻分布設(shè)設(shè)G為為xoy平面上的有界區(qū)域，平面上的有界區(qū)域，G的面積為的面積為A，若二維，若二維隨機(jī)變量隨機(jī)變量(

19、X, Y)的聯(lián)合密度函數(shù)為的聯(lián)合密度函數(shù)為 其它其它0),(1),(GyxAyxf則稱二維隨機(jī)變量則稱二維隨機(jī)變量(X, Y)在在G上服從均勻分布。上服從均勻分布。 若若G1是是G 內(nèi)內(nèi)面積為面積為A1的子區(qū)域，則的子區(qū)域，則 111),(),(GAAdxdyyxfGYXP即：此概率僅與即：此概率僅與G1的面積有關(guān)的面積有關(guān)(成正比成正比)，而與，而與G1在在G內(nèi)的位置無關(guān)。內(nèi)的位置無關(guān)。 例例3.113.11 設(shè)設(shè)(X,Y)服從如圖區(qū)域服從如圖區(qū)域G上上的均勻分布，的均勻分布，(1)求求(X,Y)的概率密度；的概率密度；(2)求求P(Y2X)；(3)求求F(0.5,0.5)。41121211

20、GA411412的面積的面積區(qū)域區(qū)域的面積的面積區(qū)域區(qū)域GGO 0.5 1 xG解解 (1)區(qū)域區(qū)域G的面積為的面積為1GyxGyxyxf),(0),(1),(2)G1y=2xy區(qū)域區(qū)域G1的面積為的面積為1P(Y0、 20| |1，則稱，則稱(X, Y) 服從參數(shù)為服從參數(shù)為 1， 1， 2， 2， 的二維正態(tài)分布的二維正態(tài)分布，記為，記為 2、正態(tài)分布、正態(tài)分布 若二維隨機(jī)變量若二維隨機(jī)變量(X, Y)的聯(lián)合密度函數(shù)為的聯(lián)合密度函數(shù)為2222212121212)()(2)()1(21221121),(yyxxeyxf);,(),(222121NYX二維正態(tài)分布的重要性質(zhì)二維正態(tài)分布的重要性

21、質(zhì)： 若若(X,Y)服從二維正態(tài)分布，服從二維正態(tài)分布，),(),(222121NYX則則),(211NX),(222NY22121()2211( )2xuXfxeedu21212)(121xe211(,)XN 同理可得同理可得),(222NY由此性質(zhì)看到，由此性質(zhì)看到，(X,Y)的邊緣分布都與的邊緣分布都與 無關(guān)，說明無關(guān)，說明 不同，得到的二維正態(tài)不同，得到的二維正態(tài)分布也不同，但其邊緣分布相同。因此邊緣分布是不能唯一確定聯(lián)合分布的，分布也不同，但其邊緣分布相同。因此邊緣分布是不能唯一確定聯(lián)合分布的，即使即使X,Y都是服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量，都是服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量， (X,Y)不一定是

22、服從二維正態(tài)分布。不一定是服從二維正態(tài)分布。 二維正態(tài)分布的邊緣分布必為一維正態(tài)分布，反之不真。二維正態(tài)分布的邊緣分布必為一維正態(tài)分布，反之不真。分布函數(shù)的概念可推廣到分布函數(shù)的概念可推廣到n維隨機(jī)變量的情形。維隨機(jī)變量的情形。事實(shí)上，對(duì)事實(shí)上，對(duì)n維隨機(jī)變量維隨機(jī)變量(X1, X2, , Xn)， F(x1, x2, , xn)P(X1 x1, X2 x2, , Xn xn)稱為的稱為的n維隨機(jī)變量維隨機(jī)變量(X1, X2, , Xn)的分布函數(shù)，的分布函數(shù)，或隨機(jī)變量或隨機(jī)變量X1,X2,Xn的聯(lián)合分布函數(shù)的聯(lián)合分布函數(shù)。定義定義 若若(X1, X2, , Xn)的全部可能取值為的全部可能

23、取值為Rn上的有上的有限或可列無限多個(gè)點(diǎn)，稱限或可列無限多個(gè)點(diǎn)，稱(X1, X2, , Xn)為為n維離散維離散型隨機(jī)變量，稱型隨機(jī)變量，稱P(X1=x1,X2=x2,.Xn=xn)，為為n維隨機(jī)變量維隨機(jī)變量(X1, X2, , Xn)的聯(lián)合分布律。的聯(lián)合分布律。則稱則稱(X1, X2, , Xn)為為n維連續(xù)型隨機(jī)變量，稱維連續(xù)型隨機(jī)變量，稱f(x1,x2,xn)為為n維隨機(jī)變量維隨機(jī)變量(X1, X2, ,Xn)的概率密度。的概率密度。定義定義 n維隨機(jī)變量維隨機(jī)變量(X1, X2, , Xn)，如果存在非負(fù)的如果存在非負(fù)的n元函數(shù)元函數(shù)f(x1,x2,xn)使對(duì)任意的使對(duì)任意的n元立方

24、體元立方體nnnbxabxaxxD,.,|,.,111 DnnndxdxxxxfDXXP.),.,(.1211求求(1)P(X 0)，(2)P(X 1)，(3)P(Y y0)其它其它00),(yxeyxfy練習(xí)練習(xí) 隨機(jī)變量隨機(jī)變量(X，Y)的概率密度為的概率密度為yD答答: P(X 0)=01101) 1(edyedxXPxy000)(000000yydyedxyYPyxyyO x1y0y0作業(yè) P71 3，7，93.2 隨機(jī)變量的獨(dú)立性隨機(jī)變量的獨(dú)立性一、兩個(gè)隨機(jī)變量的獨(dú)立性一、兩個(gè)隨機(jī)變量的獨(dú)立性定義定義 設(shè)設(shè)F(x,y)是二維隨機(jī)變量是二維隨機(jī)變量(X,Y)的分布函數(shù)，的分布函數(shù)，F(xiàn)X

25、(x)，F(xiàn)Y(y)分別是分別是X與與Y的邊緣分布函數(shù)，若對(duì)一切的邊緣分布函數(shù)，若對(duì)一切x,yR，均有，均有P(Xx,Yy)=P(Xx) P(Yy)即即 F(x,y)= FX(x)FY(y)則稱隨機(jī)變量則稱隨機(jī)變量X與與Y是相互獨(dú)立的。是相互獨(dú)立的。此時(shí)的邊緣分布可確定聯(lián)合分布此時(shí)的邊緣分布可確定聯(lián)合分布隨機(jī)變量隨機(jī)變量X與與Y是相互獨(dú)立的充要條件是事件是相互獨(dú)立的充要條件是事件(Xx)與與事件事件(Yy)相互獨(dú)立。相互獨(dú)立。 定理1 隨機(jī)變量X，Y相互獨(dú)立的充分必要條件 是X所生成的任何事件與Y所生成的任何事件相互獨(dú)立。即，對(duì)任意的實(shí)數(shù)集A，B有：PXA,YBPXAPBY定理2 如果隨機(jī)變量X

26、，Y相互獨(dú)立，則對(duì)任意函數(shù)g1(x), g2(y)有 g1(X), g2(Y)相互獨(dú)立* *若若(X,Y)是二維離散型隨機(jī)變量，其分布律為是二維離散型隨機(jī)變量，其分布律為P(X=xi,Y=yj)= pij ，i,j=1,2, 則則X與與Y相互獨(dú)立的充分必要條件是對(duì)任意相互獨(dú)立的充分必要條件是對(duì)任意i，j， P(X=xi,Y=yj)= P(X=xi)P(Y=yj)，即，即pij =pipj * *若若(X,Y)是二維連續(xù)型隨機(jī)變量，則是二維連續(xù)型隨機(jī)變量，則X與與Y相互獨(dú)相互獨(dú)立的充分必要條件是立的充分必要條件是 對(duì)任意的對(duì)任意的x和和 y f(x,y)=fX(x)fY(y) 。例例3.133.

27、13 已知已知(X,Y)的聯(lián)合分布律為的聯(lián)合分布律為YX1211/31/62a1/93b1/18X123P1/2a+1/9b+1/18Y12Pa+b+1/31/3試確定常數(shù)試確定常數(shù)a,b，使，使X與與Y相互獨(dú)立。相互獨(dú)立。解解 先求出先求出(X,Y)關(guān)于關(guān)于X和和Y的邊緣分布律的邊緣分布律要使要使X與與Y相互獨(dú)立，可用相互獨(dú)立，可用pij =pipj來確定來確定a,b 。P(X=2,Y=2)= P(X=2)P(Y=2)， P(X=3,Y=2)= P(X=3)P(Y=2)，即，即 31181181319191ba9192ba因此，因此， (X,Y)的聯(lián)合分布律和邊緣分布律為的聯(lián)合分布律和邊緣分

28、布律為YX12pi11/31/61/22a1/91/33b1/181/6pj2/31/3經(jīng)檢驗(yàn)，此時(shí)經(jīng)檢驗(yàn)，此時(shí)X與與Y是相互獨(dú)立的。是相互獨(dú)立的。例例3.143.14 設(shè)二維隨機(jī)變量設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)在矩形區(qū)域在矩形區(qū)域G=(x,y)|0 x 2,0 y 1上服從均勻分布，若上服從均勻分布，若YXYXU01YXYXV2021試求試求(U,V)的聯(lián)合分布律，并判斷的聯(lián)合分布律，并判斷U與與V是否相互獨(dú)立。是否相互獨(dú)立。解解 (X,Y)在在G上服從均勻分布，則聯(lián)合密度函數(shù)為上服從均勻分布，則聯(lián)合密度函數(shù)為O 1 2 xy1y=xx=2yGGyxGyxyxf),(0),(21),()()2,

29、()0, 0(YXPYXYXPVUP yxxdydxdxdyyxf1014121),(0)2,() 1, 0(YXYXPVUP)2()2,()0, 1(YXYPYXYXPVUPyxyyydxdydxdyyxf21024121),()2()2,() 1, 1(YXPYXYXPVUP yxxdydxdxdyyxf220202121),(U,V)的聯(lián)合分布律和邊緣分布律為的聯(lián)合分布律和邊緣分布律為VU01pi01/401/411/41/23/4pj1/21/2經(jīng)檢驗(yàn)，經(jīng)檢驗(yàn)， pijpi pj所以，所以，U和和V不是相互獨(dú)立的。不是相互獨(dú)立的。例例3.15 設(shè)二維隨機(jī)變量設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)具有

30、概率密度函數(shù)具有概率密度函數(shù) 其它其它0 01015),(2yxyxyxf(1)求求X,Y的邊緣概率密度；的邊緣概率密度；(2)問問X與與Y是否相互獨(dú)立？是否相互獨(dú)立？O 1 xy1解解 dyyxfxfX),()(其它其它0 0101512xydyxx其它其它0 010)(21542xxxdxyxffY),()y(其它其它0 0101502yydxxy其它其它0 01054yy由于由于f(x,y)與與fX(x)fY(y) 不相等，不相等，X與與Y不相互獨(dú)立。不相互獨(dú)立。例例3.163.16 若二維隨機(jī)變量若二維隨機(jī)變量);,; ,(),(222121NYX證明證明X與與Y相互獨(dú)立的充分必要條件

31、為相互獨(dú)立的充分必要條件為 =0證證 (X,Y)的聯(lián)合密度函數(shù)為的聯(lián)合密度函數(shù)為2222212121212)()(2)()1(21221121),(yyxxeyxfRyx,21212)(121)(xXexf22222)(221)(yYexf邊緣密度函數(shù)為邊緣密度函數(shù)為RxRyX與與Y相互獨(dú)立的充分必要條件是相互獨(dú)立的充分必要條件是f(x,y)=fX(x)fY(y)。而此題而此題f(x,y)=fX(x)fY(y)成立的充分必要條件是成立的充分必要條件是 =0，補(bǔ)充補(bǔ)充:二、二、n維隨機(jī)變量的獨(dú)立性維隨機(jī)變量的獨(dú)立性 設(shè)設(shè)n維隨機(jī)變量維隨機(jī)變量(X1,X2,Xn)，對(duì)任意實(shí)數(shù)，對(duì)任意實(shí)數(shù)(x1,x

32、2,xn)，有，有 P(X1x1,X2x2,Xnxn) =P(X1x1)P(X2x2)P(Xnxn)則稱隨機(jī)變量則稱隨機(jī)變量X1,X2,Xn是相互獨(dú)立的。是相互獨(dú)立的。 若若(X1,X2,Xn)的聯(lián)合分布函數(shù)以及關(guān)于的聯(lián)合分布函數(shù)以及關(guān)于Xi的邊緣的邊緣分布函數(shù)分別記為分布函數(shù)分別記為F(x1,x2,xn)，F(xiàn)Xk(xk)，k=1,2,n，則則X1,X2,Xn相互獨(dú)立等價(jià)表示為相互獨(dú)立等價(jià)表示為F(x1,x2,xn)= FX1(x1)FX2(x2) FXn(xn)。對(duì)于離散型隨機(jī)變量對(duì)于離散型隨機(jī)變量(X1,X2,Xn)的情形，的情形，X1,X2,Xn相相互獨(dú)立，當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)互獨(dú)立，當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)X

33、k的每個(gè)可能取值的每個(gè)可能取值 )(kikxk=1,2,n, 有等式有等式)()()(),()()2(2)1(1)()2(2)1(12121niniininiinnxXPxXPxXPxXxXxXP對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量(X1,X2,Xn)的聯(lián)合密度函數(shù)為的聯(lián)合密度函數(shù)為f(x1,x2,xn)， X1,X2,Xn相互獨(dú)立，當(dāng)且僅當(dāng)相互獨(dú)立，當(dāng)且僅當(dāng)f(x1,x2,xn)=fX1(x1)fX2(x2) fXn(xn)其中其中fXk(xk)，(k=1,2,n)是關(guān)于是關(guān)于Xk的邊緣密度函數(shù)。的邊緣密度函數(shù)。 設(shè)設(shè)n維隨機(jī)變量維隨機(jī)變量(X1,X2,Xn) ，m維隨機(jī)變量維隨機(jī)變量(Y1

34、,Y2,Ym)，如果對(duì)于任意的如果對(duì)于任意的(x1,x2,xn)Rn，以及任意的，以及任意的(y1,y2,ym)Rm，均有，均有P(X1x1,X2x2,Xnxn;Y1y1,Y2y2,Ymym)=P(X1x1,X2x2,Xnxn) P(Y1y1,Y2y2,Ymym)則稱則稱n維隨機(jī)變量維隨機(jī)變量(X1,X2,Xn)與與m維隨機(jī)變量維隨機(jī)變量(Y1,Y2,Ym)相互獨(dú)立。相互獨(dú)立。*設(shè)設(shè)(X1,X2,Xn)與與(Y1,Y2,Ym)相互獨(dú)立，則相互獨(dú)立，則Xi (i=1, 2, , n)與與Yi (i=1, 2, , m)相互獨(dú)立；相互獨(dú)立；又若又若h, g是連續(xù)函數(shù)，是連續(xù)函數(shù)，則則h (X1,X

35、2,Xn)與與g (Y1,Y2,Ym)相互獨(dú)立。相互獨(dú)立。用分布函數(shù)形式表示即為用分布函數(shù)形式表示即為F(x1,x2,xn,y1,y2,ym)=FX(x1,x2,xn)FY(y1,y2,ym)作業(yè) 78-79 1, 4(1)，83.3 二維隨機(jī)變量函數(shù)的分布二維隨機(jī)變量函數(shù)的分布已知隨機(jī)變量已知隨機(jī)變量(X,Y)的分布，求的分布，求Z=g(X,Y)的概率分布，的概率分布，其中其中z=g(x,y)是連續(xù)函數(shù)。是連續(xù)函數(shù)。一、兩個(gè)離散型隨機(jī)變量的函數(shù)的分布一、兩個(gè)離散型隨機(jī)變量的函數(shù)的分布例例3.193.19 已知隨機(jī)變量已知隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合分布律為的聯(lián)合分布律為試求試求Z1=X+Y，Z2

36、=max(X,Y)的分布律。的分布律。YX1211/51/5201/531/51/5解解 Z1的所有可能取值為的所有可能取值為2,3,4,5P(Z1=2)=P(X+Y=2)=P(X=1,Y=1)=1/5P(Z1=3)=P(X+Y=3)=P(X=1,Y=2)+ P(X=2,Y=1) =1/5P(Z1=4)=P(X+Y=4)=P(X=2,Y=2)+ P(X=3,Y=1) =2/5P(Z1=5)=P(X+Y=5)=P(X=3,Y=2)=1/5Z1的分布律為的分布律為Z12345P1/51/52/51/5YX1211/51/5201/531/51/5Z2=max(X,Y)的所有可能取值為的所有可能取值

37、為1,2,3P(Z2=1)=P(X=1,Y=1)=1/5P(Z2=2)=P(X=1,Y=2)+P(X=2,Y=1)+P(X=2,Y=2) =1/5+0+1/5=2/5P(Z2=3)=P(X=3,Y=1)+P(X=3,Y=2) =1/5+1/5=2/5Z2的分布律為的分布律為Z212 3P1/52/52/5例例3.203.20 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X與與Y相互獨(dú)立，它們分別服從參相互獨(dú)立，它們分別服從參數(shù)為數(shù)為1和和2的泊松分布，證明的泊松分布，證明Z=X+Y服從參數(shù)為服從參數(shù)為1+2的泊松分布。的泊松分布。證證11!)(111ekkXPk22!)(222ekkYPkk1=0,1,2,k2=0,

38、1,2,Z=X+Y的所有可能取值為的所有可能取值為0,1,2,3,XP(1)YP(2)kiikYiXPkYXPkZP0),()()(kiikYPiXP0)()(kiikieikei02121)!(!kiikiikikke021)()!( !121)(2121!)(ekk因此因此 ZP(1+2)k=0,1,2,二、兩個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量的函數(shù)的分布二、兩個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量的函數(shù)的分布設(shè)二維隨機(jī)向量設(shè)二維隨機(jī)向量(X,Y)f(x,y)，z=g(x,y)是連續(xù)函數(shù)，是連續(xù)函數(shù)，則隨機(jī)變量則隨機(jī)變量Z=g(X,Y)的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為)()(zZPzFZ),(zYXgPzyxgdxdyyxf),(),(即即FZ(z)可利用可利用f(x,y)在平面區(qū)域：在平面區(qū)域：G=(x,y)| g(x,y)z上的二重積分得到。上的二重積分得到。Z=g(X,Y)的密度函數(shù)為的密度函數(shù)為zyxgZZdxdyyxfdzdzFdzdzf),(),()()(三、常用的隨機(jī)變量的函數(shù)的分布三、常用的隨機(jī)變量的函數(shù)的分布1、和的分布、和的分布 設(shè)設(shè)(X,Y)f(x,y)，(x,y) R2, Z=X+Y，則，則Z是是連續(xù)型隨機(jī)變量，且連續(xù)型隨機(jī)變量，且Z的概率密度為的概率密度為dxxzxfzfZ),()(),(zdyyyzfzfZ),()(),(z此