第六章圖形變換的矩陣方法

1、1第六章第六章 圖形變換的矩陣方法圖形變換的矩陣方法 1 概述概述 2 二維圖形變換二維圖形變換 3 三維圖形變換三維圖形變換 本章小結本章小結2mnmmnnxxxxxxxxx212222111211該向量集合實際上就是一個矩陣。該向量集合實際上就是一個矩陣。 如果這些點代表一個空間圖形的頂點，也就是說，如果這些點代表一個空間圖形的頂點，也就是說，我們可以用我們可以用矩陣來描述（表示）空間中的圖形矩陣來描述（表示）空間中的圖形。1 1 概述概述一、空間圖形的矩陣表示一、空間圖形的矩陣表示 若用一個行向量若用一個行向量 x1 x2 xn 表示表示n維空間中一個點維空間中一個點坐標，那么坐標，那么

2、n維空間中維空間中m個點坐標就可以表示為一個向量個點坐標就可以表示為一個向量集合：集合： 3 對于二維空間，用對于二維空間，用表示圖形表示圖形( 其中其中xi yi是頂點坐標）是頂點坐標）。nnyxyxyx2211 例：如圖所示的例：如圖所示的ABC，用矩陣表示為，用矩陣表示為 133311CBA C(3,1)A (1,1)B (3,3)二、圖形變換二、圖形變換 是指對圖形進行平移、旋轉、縮放、投影（透視）等是指對圖形進行平移、旋轉、縮放、投影（透視）等變換。變換。 圖形變換的實質是圖形變換的實質是改變圖形的各個頂點的坐標改變圖形的各個頂點的坐標。4 因此，圖形變換可以因此，圖形變換可以通過對

3、表示圖形坐標的矩陣進通過對表示圖形坐標的矩陣進行運算來實現(xiàn)行運算來實現(xiàn)，稱為，稱為矩陣變換法矩陣變換法。 矩陣變換法的一般形式：矩陣變換法的一般形式：坐坐標標矩矩陣陣圖圖形形頂頂點點原原來來的的 矩陣矩陣變換變換= 坐標矩陣坐標矩陣圖形頂點圖形頂點變換后的變換后的 本章討論的問題：如何利用變換矩陣實現(xiàn)對二維、三本章討論的問題：如何利用變換矩陣實現(xiàn)對二維、三維圖形的各種變換。維圖形的各種變換。52 2 二維圖形變換二維圖形變換 分為兩類：二維基本變換，二維組合變換。分為兩類：二維基本變換，二維組合變換。 二維基本變換二維基本變換：比例變換（縮放）、對稱變換、錯切：比例變換（縮放）、對稱變換、錯切

4、變換、旋轉變換、平移變換。變換、旋轉變換、平移變換。 二維組合變換二維組合變換：由多種基本變換組合而成的變換。：由多種基本變換組合而成的變換。一、二維基本變換一、二維基本變換 矩陣變換法的形式為：矩陣變換法的形式為：22211nnnyxyxyx 22dcba= 22211nnnyxyxyx6 通過對變換矩陣通過對變換矩陣 T 中各元素的不同取值，可以實現(xiàn)中各元素的不同取值，可以實現(xiàn)各種不同的二維基本變換。各種不同的二維基本變換。比例變換（縮放變換）比例變換（縮放變換） 變換矩陣：變換矩陣： daT00 設二維平面的一個點坐標為設二維平面的一個點坐標為x y，對其進行矩陣變，對其進行矩陣變換：換

5、：dybxcyaxdcbayxdybxycyaxx變換后該點的坐標為：變換后該點的坐標為：7dyaxdayx00dyyaxx即即比例變換（縮放變換）比例變換（縮放變換）其中，其中，a為為x方向的縮放因子，方向的縮放因子，d為為y方向的縮放因子。方向的縮放因子。 根據根據a、d取值的不同，分為幾種情況：取值的不同，分為幾種情況： 當當a=d，圖形沿，圖形沿x方向和方向和y方向等比例縮放方向等比例縮放 當當a=d1，圖形沿，圖形沿x、y方向等比例放大方向等比例放大ABC例：設例：設ABC對應的矩陣為對應的矩陣為122100CBA設設2002TCBACBA2442002002122100，對，對AB

6、C進行變換：進行變換：ABC8byaxdayx00dyyaxx即即比例變換（縮放變換）比例變換（縮放變換） 當當a=d，圖形沿，圖形沿x方向和方向和y方向等比例縮放方向等比例縮放 當當a=d1，圖形沿，圖形沿x、y方向等比例放大方向等比例放大 當當0a=d1，圖形沿，圖形沿x、y方向等比例放大方向等比例放大 當當0a=d0，沿，沿x方向錯切（移動）；方向錯切（移動）； cy0，沿，沿y方向錯切（移動）；方向錯切（移動）； bx0，沿，沿y方向錯切（移動）；方向錯切（移動）； b=0即即bx=0，不錯切（恒等變換）。，不錯切（恒等變換）。22錯切變換（可以理解為沿某個方向的移動）錯切變換（可以理

7、解為沿某個方向的移動） 包括兩種：沿包括兩種：沿x方向錯切，沿方向錯切，沿y方向的錯切。方向的錯切。 沿沿y方向錯切方向錯切例：設矩形例：設矩形ABCD對應的矩陣為對應的矩陣為11110101DCBA設設T中的中的b2，對矩形，對矩形ABCD進行變換：進行變換：DCBADCBA31112121102111110101DABC,101bT變換矩陣變換矩陣,bxyxbyx101bxyyxx即即ABCD23DABCABCD錯切變換（可以理解為沿某個方向的移動）錯切變換（可以理解為沿某個方向的移動） 包括兩種：沿包括兩種：沿x方向錯切，沿方向錯切，沿y方向的錯切。方向的錯切。 沿沿y方向錯切方向錯切變

8、換特點：變換特點： 變換后點的變換后點的x坐標不變，坐標不變，y坐坐標平移了標平移了bx； 平行于平行于y軸的直線變換后仍平軸的直線變換后仍平行于行于y軸；軸； 平行于平行于x軸的直線變換后，軸的直線變換后，x=0的點不動的點不動(不動點不動點)，x0的點沿的點沿y方向平移了方向平移了bx，形成與，形成與x軸夾角為軸夾角為的直線，且的直線，且 tgbx / xb。,101bT變換矩陣變換矩陣,bxyxbyx101bxyyxx即即bxx24旋轉旋轉變換變換 二維圖形的旋轉，一般是指圖形繞二維圖形的旋轉，一般是指圖形繞坐標原點坐標原點的旋轉。的旋轉。并規(guī)定：逆時針方向旋轉時角度并規(guī)定：逆時針方向旋

9、轉時角度取正值；取正值； 順時針方向旋轉時角度順時針方向旋轉時角度取負值。取負值。cossinsincosT變變換換矩矩陣陣cossinsincoscossinsincosyxyxyxcossinsincosyxyyxx注意：注意：繞繞非原點非原點的任意一點的旋轉變換屬于組合變換。的任意一點的旋轉變換屬于組合變換。25旋轉旋轉變換變換 二維圖形的旋轉，一般是指圖形繞二維圖形的旋轉，一般是指圖形繞坐標原點坐標原點的旋轉。的旋轉。并規(guī)定：逆時針方向旋轉時角度并規(guī)定：逆時針方向旋轉時角度取正值；取正值； 順時針方向旋轉時角度順時針方向旋轉時角度取負值。取負值。設設=30866050508660303

10、03030.cossinsincosTcossinsincosT變變換換矩矩陣陣例：設矩形例：設矩形ABCD對應的矩陣為對應的矩陣為5105120200.DCBAABCDDABC旋轉變換后的矩陣為旋轉變換后的矩陣為DCBA.299175029929820173210026 對上述比例變換、對稱變換、錯切變換、旋轉變換四對上述比例變換、對稱變換、錯切變換、旋轉變換四種基本變換進行小結：種基本變換進行小結： 變換矩陣的一般形式為變換矩陣的一般形式為dcbaTdaT00 比例變換比例變換v 當當a=d，圖形等比例縮放，圖形等比例縮放 對稱變換對稱變換v 對坐標軸的對稱變換對坐標軸的對稱變換v 對直線

11、的對稱變換對直線的對稱變換v對坐標原點的對稱變換對坐標原點的對稱變換v 當當ad，圖形畸變，圖形畸變1001Tx:軸軸1001Ty:軸軸0110Txy:0110Txy:1001T27 對上述比例變換、對稱變換、錯切變換、旋轉變換四對上述比例變換、對稱變換、錯切變換、旋轉變換四種基本變換進行小結：種基本變換進行小結： 變換矩陣的一般形式為變換矩陣的一般形式為dcbaT 錯切變換錯切變換v 沿沿x方向錯切方向錯切 旋轉變換旋轉變換101cT101bTcossinsincosTv 沿沿y方向錯切方向錯切28 （五）齊次坐標表示法和平移變換（五）齊次坐標表示法和平移變換 1. 齊次坐標表示法齊次坐標表

12、示法 在變換矩陣在變換矩陣 的條件下，討論了的條件下，討論了平面圖形的比例、平面圖形的比例、對稱和旋轉變換對稱和旋轉變換，為何沒有，為何沒有討論圖形的討論圖形的平移變換平移變換呢？原因呢？原因是是T T 不具備對圖形進行平移變換的功能。不具備對圖形進行平移變換的功能。 欲想實現(xiàn)平面圖形的平移，那么圖形上任意一點的坐欲想實現(xiàn)平面圖形的平移，那么圖形上任意一點的坐標，平移前后的必須滿足：標，平移前后的必須滿足：22Tmyylxx29從矩陣的乘法可知，要想得到從矩陣的乘法可知，要想得到 myylxx那么，平移變換應具有如下形式：那么，平移變換應具有如下形式：令：令： ， ，則有，則有1, 0bc1

13、damldcbayxmdybxlcyax為了得到為了得到myylxx30mylxmlyx10011 由上可知，把向量由上可知，把向量x y 改寫為改寫為x y 1，就可進行平移，就可進行平移變換了。變換了。 在此將在此將 x y 1 稱為平面坐標點稱為平面坐標點x y的齊次坐標表示法。的齊次坐標表示法。一般情況下：一般情況下：用用n+1維向量表示維向量表示n維向量，第維向量，第n+1個分量取個分量取為常數(shù)（齊次項）的表示方法為齊次坐標表示法。為常數(shù)（齊次項）的表示方法為齊次坐標表示法。 標準化齊次坐標表示法：標準化齊次坐標表示法：若齊次項為若齊次項為1，則為標準化齊，則為標準化齊次坐標表示法。

14、次坐標表示法。31 變換矩陣 ，其中其中l(wèi)、m為平移參數(shù)為平移參數(shù)。mlT1001 2. 2.平移變換平移變換 對任意一點對任意一點x y 1，則，則x y 1 =x+l y+m （注意：形式上與（注意：形式上與x y 1并不統(tǒng)一）。并不統(tǒng)一）。 一般將變換矩陣擴充為一般將變換矩陣擴充為T33，使其具備更多的功能，使其具備更多的功能，它的一般形式為：它的一般形式為：ml100132smlqdcpbaT33(比例、對稱、錯切和旋轉變換比例、對稱、錯切和旋轉變換)(透視變換透視變換)(全比例變全比例變換換)(平移變換平移變換)相應的平移矩陣：相應的平移矩陣： 101000133mlT 110100

15、01 1mylxmlyx， 引入引入 后，不僅增加了功能，而且使變換前后的坐標后，不僅增加了功能，而且使變換前后的坐標形式統(tǒng)一。形式統(tǒng)一。33T33 如果坐標變換結果是非標準化齊次坐標表示，應將其化如果坐標變換結果是非標準化齊次坐標表示，應將其化為標為標準齊次坐標表示。方法是所有項都除以齊次項準齊次坐標表示。方法是所有項都除以齊次項。如：。如： 100010001 1sysxsyxsyx由此可知，當： sss11(全比例縮小全比例縮小)；(全比例放大全比例放大)；(縮至原點縮至原點)。34二、二維組合變換二、二維組合變換 在圖形變換中，往往需要一些比基本變換更復雜的變在圖形變換中，往往需要一些

16、比基本變換更復雜的變換。我們稱換。我們稱由多個二維基本變換組成的復雜變換為二維組由多個二維基本變換組成的復雜變換為二維組合變換合變換（二維基本變換的級聯(lián)）。（二維基本變換的級聯(lián)）。 已經證明：已經證明：任何二維組合變換均可分解為多個基本變任何二維組合變換均可分解為多個基本變換的乘積換的乘積。 二維組合變換矩陣二維組合變換矩陣TT1T2Tm（Ti 是基本變是基本變換矩陣，具不可交換性）。由此可知，進行二維組合變換換矩陣，具不可交換性）。由此可知，進行二維組合變換的關鍵問題是求的關鍵問題是求T（m個基本變換矩陣）。個基本變換矩陣）。 下面通過兩個例子介紹組合變換：下面通過兩個例子介紹組合變換： 繞

17、坐標原點以外的任意一點繞坐標原點以外的任意一點P(x0 y0)旋轉旋轉角的旋轉角的旋轉變換變換35 繞坐標原點以外的任意一點繞坐標原點以外的任意一點P(x0 y0)旋轉旋轉角的旋轉角的旋轉變換變換 可分解為：可分解為：P(x0 y0)ABCDABCD 平移變換平移變換 使旋轉中心使旋轉中心P平移到坐平移到坐標原點。標原點。1010001001yxTP(0 0)ABCDABCD 旋轉變換旋轉變換 繞坐標原點旋轉繞坐標原點旋轉角。角。100002cossinsincosT36 繞坐標原點以外的任意一點繞坐標原點以外的任意一點P(x0 y0)旋轉旋轉角的旋轉角的旋轉變換變換 可分解為：可分解為：P(

18、x0 y0)ABCD 平移變換平移變換 使旋轉中心使旋轉中心P回到原來回到原來的位置。的位置。1010001003yxTP(0 0)ABCD 組合變換矩陣組合變換矩陣TT1 T2 T3ABCDP(x0 y0)111000000)cos(sinsin)cos(cossinsincosyxyxT37 2. 對任意直線的對稱變換對任意直線的對稱變換 設直線方程為：設直線方程為：AxByC0 (A0，B0)，直線在，直線在x軸上的截距為軸上的截距為C / A，在，在y軸上的截距為軸上的截距為C / B , 直線與直線與x軸的夾角軸的夾角= arctg( A / B) 。 可分解為：可分解為： 平移變換

19、平移變換 沿沿x軸方向平移軸方向平移 C / A，使直，使直線通過坐標原點。線通過坐標原點。ABCoxyABCC / BC / A100100011ACT/38 旋轉變換旋轉變換 繞坐標原點旋轉繞坐標原點旋轉-角，使直線與角，使直線與x軸重合。軸重合。100002)cos()sin()sin()cos(T 對對x軸進行對稱變換軸進行對稱變換1000100013T 旋轉變換旋轉變換 繞坐標原點旋轉繞坐標原點旋轉+角。角。 100004cossinsincosT39 平移變換平移變換 沿沿x方向平移方向平移C / A，使直線回到原位置。，使直線回到原位置。100100015ACT/ 因此，因此，對

20、任意直線的對稱變換矩陣對任意直線的對稱變換矩陣TT1 T2 T3 T4 T5，即：，即：12sin) 12(cos02cos2sin02sin2cosACACT40 二維組合變換二維組合變換 1. 繞坐標原點以外的任意一點的旋轉變換。繞坐標原點以外的任意一點的旋轉變換。 2. 對任意直線的對稱變換。對任意直線的對稱變換。注意：注意： 1. 二維組合變換可分解為多個二維基本變換，組合變二維組合變換可分解為多個二維基本變換，組合變換矩陣是基本變換矩陣的乘積；換矩陣是基本變換矩陣的乘積； 2. 分解時，使用的基本變換類型及其組合順序并不唯分解時，使用的基本變換類型及其組合順序并不唯一。一。41snm

21、lrjihqfedpcbaT443 3 三維圖形變換三維圖形變換 三維圖形變換是二維圖形變換在三維空間中的擴展，三維圖形變換是二維圖形變換在三維空間中的擴展，因此，它和二維圖形變換類似。因此，它和二維圖形變換類似。 仿照二維圖形變換，用仿照二維圖形變換，用四維齊次坐標四維齊次坐標x y z 1表示三表示三維空間的點維空間的點x y z，其變換形式為：，其變換形式為：三 維 基 本 變 換三 維 基 本 變 換（比例、對稱、（比例、對稱、錯切、旋轉）錯切、旋轉）透視變換透視變換平移變換平移變換全比例變換全比例變換1144zyxTzyx42一、三維基本變換一、三維基本變換 1. 比例變換比例變換1

22、00000000000044jeaT1144jzeyaxTzyx 當當 a=e=j1，各向等比例縮放，各向等比例縮放 a=e=j=1，恒等變換，恒等變換aej，各向縮放比例不同，產生形變，各向縮放比例不同，產生形變(畸變畸變)0s1，全比例縮小，全比例縮小;s0）。）。 1-2 對對yoz平面投影平面投影xyz1-2 對對yoz平面投影平面投影最終最終圖形圖形旋轉平移前旋轉平移前xyz65zzylyx0因此側視投影的變換矩陣為：因此側視投影的變換矩陣為：10001000001000010001000010000110000100000100101000010000100000llT側視側視yo

23、z投影變換投影變換 繞繞z旋轉旋轉90o沿沿x平移變換平移變換11zyxTzyx側視側視66 ， 俯視投影俯視投影 視點位于物體的正上方，視點位于物體的正上方， 向向xoy坐標平面坐標平面進行投影。進行投影。各點的各點的z坐標變?yōu)樽鴺俗優(yōu)? ， x、y坐標不變坐標不變。 考慮繪圖時的統(tǒng)一性，考慮繪圖時的統(tǒng)一性，將圖形繪在同一個坐標平面將圖形繪在同一個坐標平面上，作如下處理：上，作如下處理：1-3對對xoy平面投影平面投影xyz 將將xoy平面上的俯視圖繞平面上的俯視圖繞x軸旋轉軸旋轉-90度。度。 為了與為了與xoz平面上已有的圖形保持一定的間距，再平面上已有的圖形保持一定的間距，再沿沿z軸平

24、移軸平移-n（n0）。）。67nyzyxx010000000100000110001000010000110000010010000011000000000100001nnT俯視俯視xoy投影變換投影變換 繞繞x旋轉旋轉-90o沿沿z平移變換平移變換因此俯視投影的變換矩陣為：因此俯視投影的變換矩陣為：11zyxTzyx側視側視68投投影影平行投影平行投影透視投影透視投影一點透視一點透視兩點透視兩點透視三點透視三點透視斜平行投影斜平行投影斜軸側斜軸側斜二軸側斜二軸側斜等軸側斜等軸側正平行投影正平行投影正軸側投影正軸側投影正投影正投影(正視、側視、俯視正視、側視、俯視)正三軸側正三軸側正等軸側正等

25、軸側正二軸側正二軸側69 2. 軸測投影變換軸測投影變換 使正視圖、側視圖、俯視圖投影到同一個投影平面上使正視圖、側視圖、俯視圖投影到同一個投影平面上稱為軸側投影。稱為軸側投影。 包括包括正軸側投影正軸側投影和和斜軸側投影斜軸側投影兩種方式。兩種方式。 正軸測投影變換正軸測投影變換 該變換是使物體該變換是使物體先繞先繞 z 軸旋轉軸旋轉角角，再繞再繞x軸旋轉軸旋轉- (0 )角角，最后向最后向xoz平面投影平面投影。因此，其變換矩陣為三個。因此，其變換矩陣為三個基本變換矩陣的乘積：基本變換矩陣的乘積：1000010000000001100000000001100001000000cossins

26、incoscossinsincos正正T繞繞z軸旋轉軸旋轉繞繞x軸旋轉軸旋轉向向xoz面投影面投影7010000000000cossincossinsinsincos正正T 例：設例：設 、 ，對單位立方體進行正軸測投影，對單位立方體進行正軸測投影變換。變換。o60o3011111011110110011110101011001000HGFEDCBAS單位正方體各單位正方體各頂點齊次坐標頂點齊次坐標矩陣：矩陣：xyzABCDEFGH711000086600002500866004330050.正正THGFEDCBA.118300366016830036601433005014330050161

27、600866012500866018660001000SxyABCDEFGHzA單位立方體正軸測投影單位立方體正軸測投影xBzCDGEFH72xyABCDEFGHzA單位立方體正軸測投影單位立方體正軸測投影xBzCDGEFH 軸側投影的圖形會產生形變，軸側投影的圖形會產生形變，形變程度用變形系數(shù)衡量。形變程度用變形系數(shù)衡量。 各軸的各軸的軸向變形系數(shù)軸向變形系數(shù)如下：如下：222sinsincosAEEAx222sincossinACCAycosABBAz 根據軸向變形系數(shù)之間的關系，根據軸向變形系數(shù)之間的關系，軸側投影可分為軸側投影可分為等軸側等軸側、二軸側二軸側等等投影方式。投影方式。73

28、222sinsincosx222sincossinycosz 正等軸測投影：正等軸測投影： 由由x=y=z 可求得可求得= 45o、= = 35o16，代入正軸，代入正軸測投影變換矩陣測投影變換矩陣 T正正，得：，得：當當x=y=z 時時1000081600004080070700408007070.正等正等TxyABCDEFGHz單位立方體正等軸測投影單位立方體正等軸測投影xz74222sinsincosx222sincossinycosz 正二軸測投影：正二軸測投影： 由由x=2y=z 可求得可求得= 20o42、= = 19o28，代入正，代入正軸測投影變換矩陣軸測投影變換矩陣T正正 ，

29、得：，得：當當x=2y=z 時時1000000094300000003120035400118009350.正正二二TxyABCDEFGHz單位立方體正二軸測投影單位立方體正二軸測投影xzo75 2. 軸測投影變換軸測投影變換 正軸測投影變換正軸測投影變換 斜軸測投影變換斜軸測投影變換 如何將正視圖、側視圖、俯視圖投影到同一個投影平如何將正視圖、側視圖、俯視圖投影到同一個投影平面上呢？面上呢？ 該變換是使物體該變換是使物體先沿先沿x含含y錯切錯切，再沿再沿z含含y錯切錯切，最后最后向向xoz平面投影平面投影。因此，其變換矩陣也是三個基本變換矩。因此，其變換矩陣也是三個基本變換矩陣的乘積：陣的乘

30、積：錯切錯切含含沿沿斜斜yxdT100001000010001錯切錯切含含沿沿yzf10000100010000110000100000001fd面投影面投影向向xoz100001000000000176 在變換矩陣在變換矩陣T斜斜中，當中，當d、f 取不同的值時可得到各種取不同的值時可得到各種不同的斜軸側透視圖：不同的斜軸側透視圖： 同樣，斜軸側投影的圖形也會產生形變。各軸的同樣，斜軸側投影的圖形也會產生形變。各軸的軸向軸向變形系數(shù)變形系數(shù)如下：如下：221fdyzx, 根據軸向變形系數(shù)之間的關系，斜軸側投影也可分為根據軸向變形系數(shù)之間的關系，斜軸側投影也可分為斜等軸側斜等軸側、斜二軸側斜二

31、軸側(常用形式常用形式)等投影方式。等投影方式。（a）d=1，f=1；（；（b）d=1，f=-1；（；（c）d=-1，f=-1；（；（d）d=-1，f=177221fdyzx, 斜二軸測投影：斜二軸測投影： 由由x=2y=z 可求得可求得d = f = = 0.354，代入斜軸測投，代入斜軸測投影變換矩陣影變換矩陣T斜斜 ，得：，得：當當x=2y=z 時時1000010003540035400001.斜斜T78投投影影平行投影平行投影透視投影透視投影一點透視一點透視兩點透視兩點透視三點透視三點透視斜平行投影斜平行投影斜軸側斜軸側斜二軸側斜二軸側斜等軸側斜等軸側正平行投影正平行投影正軸側投影正軸

32、側投影正投影正投影(正視、側視、俯視正視、側視、俯視)正三軸側正三軸側正等軸側正等軸側正二軸側正二軸側79 3. 透視投影變換透視投影變換 對于一個空間物體，若用軸測投影，物體的平行邊投對于一個空間物體，若用軸測投影，物體的平行邊投影后仍然保持平行，這與人的視覺是有差異的。影后仍然保持平行，這與人的視覺是有差異的。 為解決視覺差異，提出透視投影。為解決視覺差異，提出透視投影。 透視投影后物體的平行邊不一定保持平行，這些不平透視投影后物體的平行邊不一定保持平行，這些不平行的邊延長后將匯聚于一點，稱之為行的邊延長后將匯聚于一點，稱之為滅點滅點。 根據滅點的個數(shù)，透視投影可分為根據滅點的個數(shù)，透視投

33、影可分為一點透視、二點透一點透視、二點透視、三點透視視、三點透視。 一點透視投影變換一點透視投影變換 先對物體作透視變換先對物體作透視變換，然后向然后向xoz平面投影平面投影。變換矩。變換矩陣為：陣為：80透視變換透視變換1000010001000011qT其中：其中：q滅點到投影面垂直距離的倒數(shù)。滅點到投影面垂直距離的倒數(shù)。 q0，滅點位于物體內側。，滅點位于物體內側。為符合人們的視覺習慣，一般取為符合人們的視覺習慣，一般取q0。 一點透視投影變換一點透視投影變換 先對物體作透視變換先對物體作透視變換，然后向然后向xoz平面投影平面投影。變換矩。變換矩陣為：陣為：面投影面投影向向xoz100

34、0010000000001100001000000001q81 另外，在畫透視圖時，若物體的空間位置不足以反映另外，在畫透視圖時，若物體的空間位置不足以反映物體的空間形態(tài)，常常物體的空間形態(tài)，常常先把物體平移到合適的位置先把物體平移到合適的位置，然后然后再進行投影變換再進行投影變換。 這時，一點透視的變換矩陣為：這時，一點透視的變換矩陣為：透視投影內外側滅點透視投影內外側滅點滅點滅點( q0)82平移變換平移變換10100001000011nmlT 例：取例：取l = 1，m = -1，n = -2，q = -0.35，對單位立方體，對單位立方體作一點透視投影。作一點透視投影。35120101

35、0035000000011.T1011111111011001101011101100100087654321一點透視投影一點透視投影100001000000001q平移下的一點透視投影平移下的一點透視投影1001000000001mqnlq12 34 56 7 8單位立方體單位立方體一點透視投影圖一點透視投影圖xzo83 兩點透視投影變換兩點透視投影變換 先使物體繞先使物體繞z軸旋轉軸旋轉角角，并考慮物體的平移并考慮物體的平移，最后作最后作一點透視投影一點透視投影。因此，二點透視投影的變換矩陣為：。因此，二點透視投影的變換矩陣為： 角角軸旋轉軸旋轉繞繞zT1000010000002cossinsincos平移變換平移變換1010000100001nml一點透視投影一點透視投影100001000000001q)(cossinsincos01001000000qmqnlqq一般取一