《方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)》課件

1、一種科學(xué)只有在成功地運(yùn)用數(shù)學(xué)時(shí)一種科學(xué)只有在成功地運(yùn)用數(shù)學(xué)時(shí), ,才算達(dá)到完善的地步才算達(dá)到完善的地步切莫忘，幾何代數(shù)統(tǒng)一體，永遠(yuǎn)聯(lián)系，莫分離切莫忘，幾何代數(shù)統(tǒng)一體，永遠(yuǎn)聯(lián)系，莫分離數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬(wàn)事休，數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬(wàn)事休，數(shù)與形，本是相倚依，焉能分作兩邊飛數(shù)與形，本是相倚依，焉能分作兩邊飛？3.1.1方程的根方程的根與與 函數(shù)的零點(diǎn)函數(shù)的零點(diǎn)數(shù)與形，本是相倚依，焉能分作兩邊飛？數(shù)與形，本是相倚依，焉能分作兩邊飛？數(shù)與形，本是相倚依，焉能分作兩邊飛數(shù)與形，本是相倚依，焉能分作兩邊飛？數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬(wàn)事休，數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬(wàn)事休，切莫忘，幾何代數(shù)統(tǒng)一體，永

2、遠(yuǎn)聯(lián)系，莫分離切莫忘，幾何代數(shù)統(tǒng)一體，永遠(yuǎn)聯(lián)系，莫分離一種科學(xué)只有在成功地運(yùn)用數(shù)學(xué)時(shí)一種科學(xué)只有在成功地運(yùn)用數(shù)學(xué)時(shí),才算達(dá)到完善的地步才算達(dá)到完善的地步數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微，數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬(wàn)事休，數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬(wàn)事休，數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微，數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微，數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微，數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微，學(xué)習(xí)目標(biāo)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.通過(guò)二次函數(shù)的圖像，了解二次函數(shù)與一元二通過(guò)二次函數(shù)的圖像，了解二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，能判斷一元二次方程根的存在性次方程的關(guān)系，能判斷一元二次方程根的存在性及根的個(gè)

3、數(shù)；及根的個(gè)數(shù)；2.了解函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的聯(lián)系，能利用函數(shù)了解函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的聯(lián)系，能利用函數(shù)零點(diǎn)與方程根的關(guān)系確定方程根的個(gè)數(shù)。零點(diǎn)與方程根的關(guān)系確定方程根的個(gè)數(shù)。0624053306513 xxxxx：ln)()(x(2)061)3x(2求下列方程的根求下列方程的根問(wèn)題問(wèn)題問(wèn)題問(wèn)題探究探究 今天我們可以從教科書(shū)中了解各今天我們可以從教科書(shū)中了解各式各樣方程的解法，但在數(shù)學(xué)發(fā)展史式各樣方程的解法，但在數(shù)學(xué)發(fā)展史上，方程的求解卻經(jīng)歷了相當(dāng)漫長(zhǎng)的上，方程的求解卻經(jīng)歷了相當(dāng)漫長(zhǎng)的歲月歲月. 我國(guó)古代數(shù)學(xué)家在約公元我國(guó)古代數(shù)學(xué)家在約公元50年年100年編成的年編成的九章算術(shù)九章算術(shù)，給出了求，

4、給出了求一次方程、二次方程和三次方程根的一次方程、二次方程和三次方程根的具體方法具體方法 花拉子米(約780約850)給出了一次方程和二次方程的一般解法。 阿貝爾(18021829)挪威數(shù)學(xué)家.證明了五次以上一般方程沒(méi)有求根公式。 卡爾達(dá)諾，意大利數(shù)學(xué)家，他第一個(gè)發(fā)卡爾達(dá)諾，意大利數(shù)學(xué)家，他第一個(gè)發(fā)表了三次代數(shù)方程一般解法的卡爾達(dá)諾表了三次代數(shù)方程一般解法的卡爾達(dá)諾公式，也稱卡當(dāng)公式（解法的思路來(lái)自公式，也稱卡當(dāng)公式（解法的思路來(lái)自塔塔利亞，兩人因此結(jié)怨，爭(zhēng)論多年）。塔塔利亞，兩人因此結(jié)怨，爭(zhēng)論多年）。他的學(xué)生費(fèi)拉里他的學(xué)生費(fèi)拉里第一個(gè)求出四次方程的第一個(gè)求出四次方程的代數(shù)解。代數(shù)解。 韋達(dá)是

5、韋達(dá)是法國(guó)法國(guó)十六世紀(jì)最有影響的十六世紀(jì)最有影響的數(shù)學(xué)家數(shù)學(xué)家之之一。第一個(gè)引進(jìn)系統(tǒng)的一。第一個(gè)引進(jìn)系統(tǒng)的代數(shù)代數(shù)符號(hào)，并對(duì)方符號(hào)，并對(duì)方程論做了改進(jìn)。程論做了改進(jìn)。韋達(dá)討論了方程根的各種韋達(dá)討論了方程根的各種有理變換，發(fā)現(xiàn)了方程根與系數(shù)之間的關(guān)有理變換，發(fā)現(xiàn)了方程根與系數(shù)之間的關(guān)系即系即“韋達(dá)定理韋達(dá)定理” 。 方程方程x22x+1=0 x22x+3=0y= x22x3y= x22x+1函數(shù)函數(shù)函函數(shù)數(shù)的的圖圖象象方程的實(shí)數(shù)根方程的實(shí)數(shù)根x1=1,x2=3x1=x2=1無(wú)實(shí)數(shù)根無(wú)實(shí)數(shù)根函數(shù)的圖象函數(shù)的圖象與與x軸的交點(diǎn)軸的交點(diǎn)(1,0)、(3,0)(1,0)無(wú)交點(diǎn)無(wú)交點(diǎn)x22x3=0 xy0

6、1321121234.xy0132112543.yx012112y= x22x+3問(wèn)題問(wèn)題探究探究問(wèn)題問(wèn)題2 2 求出表中一元二次方程的實(shí)數(shù)根，求出表中一元二次方程的實(shí)數(shù)根，畫(huà)出相應(yīng)的二次函數(shù)圖像的簡(jiǎn)圖，并寫(xiě)出畫(huà)出相應(yīng)的二次函數(shù)圖像的簡(jiǎn)圖，并寫(xiě)出函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象與x x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)方程方程ax2 +bx+c=0(a0)的根的根函數(shù)函數(shù)y= ax2 +bx+c(a0)的圖象的圖象判別式判別式 =b24ac0=00函數(shù)的圖象函數(shù)的圖象與與 x 軸的交點(diǎn)軸的交點(diǎn)有兩個(gè)相等的有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根實(shí)數(shù)根x1 = x2沒(méi)有實(shí)數(shù)根沒(méi)有實(shí)數(shù)根xyx1x20 xy0 x1xy0(x1,0) ,

7、(x2,0)(x1,0)沒(méi)有交點(diǎn)沒(méi)有交點(diǎn)兩個(gè)不相等兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根的實(shí)數(shù)根x1 、x2問(wèn)題問(wèn)題3 3 若將上面特殊的一元二次方程推廣到一般的若將上面特殊的一元二次方程推廣到一般的一元二次方程及相應(yīng)的二次函數(shù)的圖象與一元二次方程及相應(yīng)的二次函數(shù)的圖象與x x軸交點(diǎn)的軸交點(diǎn)的關(guān)系，上述結(jié)論是否仍然成立？關(guān)系，上述結(jié)論是否仍然成立？1.1.方程根的個(gè)數(shù)就是函數(shù)圖象與方程根的個(gè)數(shù)就是函數(shù)圖象與x x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)。軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)。2.2.方程的實(shí)數(shù)根就是函數(shù)圖象與方程的實(shí)數(shù)根就是函數(shù)圖象與x x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。 結(jié)論 對(duì)于函數(shù)對(duì)于函數(shù)y=f(x), 叫做函數(shù)叫做函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn)。的

8、零點(diǎn)。方程方程f(x)=0有實(shí)數(shù)根有實(shí)數(shù)根函數(shù)函數(shù)y=f(x)的圖象與的圖象與x軸有交點(diǎn)軸有交點(diǎn)函數(shù)函數(shù)y=f(x)有零點(diǎn)有零點(diǎn)使使f(x)=0的的實(shí)數(shù)實(shí)數(shù)x辨析辨析 : 函數(shù)的零點(diǎn)是不是交點(diǎn)？函數(shù)的零點(diǎn)是不是交點(diǎn)？概念概念形成形成 2-2和和71 示例示例練習(xí)練習(xí)代數(shù)法代數(shù)法 1lg3122145122 xxfxxxfxxxf求下列函數(shù)的零點(diǎn)求下列函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題問(wèn)題4 4 如圖是某地從如圖是某地從0 0點(diǎn)到點(diǎn)到1212點(diǎn)的氣溫變化圖，點(diǎn)的氣溫變化圖，假設(shè)氣溫是連續(xù)變化的，請(qǐng)將圖形補(bǔ)充成完假設(shè)氣溫是連續(xù)變化的，請(qǐng)將圖形補(bǔ)充成完整的函數(shù)圖象。這段時(shí)間內(nèi)，是否一定有某整的函數(shù)圖象。這段時(shí)間內(nèi)，是否

9、一定有某時(shí)刻的氣溫為時(shí)刻的氣溫為0 0度？為什么？度？為什么？問(wèn)題探究問(wèn)題探究 （有有或或無(wú)無(wú)）零零點(diǎn)點(diǎn)內(nèi)內(nèi)在在區(qū)區(qū)間間或或（有有或或無(wú)無(wú)）零零點(diǎn)點(diǎn)內(nèi)內(nèi)在在區(qū)區(qū)間間或或（有有或或無(wú)無(wú)）零零點(diǎn)點(diǎn)內(nèi)內(nèi)在在區(qū)區(qū)間間或或？圖圖像像是是連連續(xù)續(xù)還還是是間間斷斷的的觀觀察察函函數(shù)數(shù)的的圖圖像像 dcdfcfcbcfbfbabfaf,)(03,)(02,)(01結(jié)論結(jié)論abxy0ab0yxab0yxab0yx如果函數(shù)如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間在區(qū)間a,b上的圖象是上的圖象是連續(xù)不斷連續(xù)不斷的一條曲線的一條曲線，并且有，并且有f(a)f(b)0,那么，函數(shù)那么，函數(shù)y=f(x)在區(qū)間在區(qū)間(a,b)內(nèi)有零點(diǎn)，

10、即存在內(nèi)有零點(diǎn)，即存在 使得使得f(c)=0,這個(gè)這個(gè)c也就是方程也就是方程f(c)=0 的根。的根。 ,ca babb bbb bbbbbb bbbbbbxy0思考思考1 1：函數(shù)函數(shù)y=f(x)y=f(x)在區(qū)間在區(qū)間a,ba,b上的圖上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，若函數(shù)象是一條連續(xù)不斷的曲線，若函數(shù)y=f(x)y=f(x)在區(qū)間在區(qū)間(a, b)(a, b)內(nèi)有零點(diǎn)，一定能得出內(nèi)有零點(diǎn)，一定能得出f f( (a a) )f f( (b b)0)0的結(jié)論嗎？的結(jié)論嗎？ 結(jié)論結(jié)論：函數(shù)：函數(shù)y=f(x)y=f(x)在區(qū)間在區(qū)間a,ba,b上的圖象是連續(xù)不斷的一條上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線：

11、曲線：（1 1）f(a)f(a)f(b)0 f(b)0 函數(shù)函數(shù)y=f(x)y=f(x)在區(qū)間在區(qū)間(a,b)(a,b)內(nèi)有零點(diǎn)；內(nèi)有零點(diǎn)；（2 2）函數(shù)）函數(shù)y=f(x)y=f(x)在區(qū)間在區(qū)間(a,b)(a,b)內(nèi)有零點(diǎn)內(nèi)有零點(diǎn) f(a)f(a)f(b)0f(b)0。 思考思考2 2：如果函數(shù)如果函數(shù) y=f(x) y=f(x) 在在a,ba,b上是連續(xù)的上是連續(xù)的單調(diào)單調(diào)函數(shù)函數(shù), , 并且在閉區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)上的函數(shù)并且在閉區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)上的函數(shù)值互異即值互異即f(a)f(b)f(a)f(b)0,0, 那么這個(gè)函數(shù)在那么這個(gè)函數(shù)在(a,b)(a,b)內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)能確定嗎？?jī)?nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)能確

12、定嗎？由表由表3-13-1和圖和圖3.13.13 3可知可知f(2)0f(2)0， 即即f(2)f(2)f(3)0f(3)0,f(1.5)=f(1)=10,f(1.5)=2.8750,2.8750,所以所以f(x)=f(x)=x x3 33x+53x+5在區(qū)間在區(qū)間(1, 1.5)(1, 1.5)上有零點(diǎn)。又因?yàn)樯嫌辛泓c(diǎn)。又因?yàn)閒(x)f(x)是是( (, ,）上的減函數(shù)，所以在區(qū)間上的減函數(shù)，所以在區(qū)間(1, 1.5)(1, 1.5)上有上有且只有一個(gè)零點(diǎn)。且只有一個(gè)零點(diǎn)。xy0132112543圖像法圖像法問(wèn)題問(wèn)題6 6. . 的零點(diǎn)所在的大致區(qū)間的零點(diǎn)所在的大致區(qū)間函數(shù)函數(shù)利用函數(shù)的圖像

13、，指出利用函數(shù)的圖像，指出533 xxxf練習(xí)練習(xí)2：1 的零點(diǎn)個(gè)數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)請(qǐng)判斷出函數(shù)請(qǐng)判斷出函數(shù)xxxf23 問(wèn)題問(wèn)題7 7. .已知關(guān)于已知關(guān)于x x的二次方程的二次方程x x2 2+2mx+2m+1=0.+2mx+2m+1=0.(1)(1)若方程有兩根，其中一根在區(qū)間若方程有兩根，其中一根在區(qū)間( (1,0)1,0)內(nèi)，內(nèi)， 另一根在區(qū)間另一根在區(qū)間(1(1，2)2)內(nèi)，求內(nèi)，求m m的范圍的范圍. .(2)(2)若方程有一個(gè)根在若方程有一個(gè)根在(0,2)(0,2)內(nèi)內(nèi), ,求求m m的范圍的范圍. .(3)(3)若方程有一個(gè)根比若方程有一個(gè)根比2 2大大, ,另一個(gè)根比另一個(gè)根比2

14、 2小小, ,求求m m范圍范圍. .(4)(4)若方程兩根均在區(qū)間若方程兩根均在區(qū)間(0(0，1)1)內(nèi)，求內(nèi)，求m m的范圍的范圍. .【變式引申變式引申】 65,21,21056)2(, 024)1(, 02)1(, 012)0(mmRmmmfmffmf2165 m解：解：(1)(1)條件說(shuō)明拋物線條件說(shuō)明拋物線f(x)=xf(x)=x2 2+2mx+2m+1+2mx+2m+1與與x x軸的交點(diǎn)分別在區(qū)間軸的交點(diǎn)分別在區(qū)間( (1 1，0)0)和和(1(1，2)2)內(nèi)，內(nèi)，畫(huà)出示意圖，得畫(huà)出示意圖，得.問(wèn)題問(wèn)題7 7：已知關(guān)于已知關(guān)于x x的二次方程的二次方程x x2 2+2mx+2m+

15、1=0.+2mx+2m+1=0.(2)(2)若方程有一個(gè)根在若方程有一個(gè)根在(0,2)(0,2)內(nèi)內(nèi), ,求求m m的范圍的范圍. .(3)(3)若方程有一個(gè)根比若方程有一個(gè)根比2 2大大, ,另一個(gè)根比另一個(gè)根比2 2小小, ,求求m m范圍范圍. .(4)(4)若方程兩根均在區(qū)間若方程兩根均在區(qū)間(0(0，1)1)內(nèi)，求內(nèi)，求m m的范圍的范圍. .解解: :由題意得由題意得:f(0)f(2)0:f(0)f(2)0即即(2m+1)(6m+5)0(2m+1)(6m+5)0解得解得: :2165 m問(wèn)題問(wèn)題7 7：已知關(guān)于已知關(guān)于x x的二次方程的二次方程x x2 2+2mx+2m+1=0.+

16、2mx+2m+1=0.(3)(3)若方程有一個(gè)根比若方程有一個(gè)根比2 2大大, ,另一個(gè)根比另一個(gè)根比2 2小小, ,求求m m范圍范圍. .(4)(4)若方程兩根均在區(qū)間若方程兩根均在區(qū)間(0(0，1)1)內(nèi)，求內(nèi)，求m m的范圍的范圍. .解解: :由題意得由題意得:f(2)0:f(2)0即即6m+506m+50解得解得: :65 m問(wèn)題問(wèn)題7 7：已知關(guān)于已知關(guān)于x x的二次方程的二次方程x x2 2+2mx+2m+1=0.+2mx+2m+1=0.(4)(4)若方程兩根均在區(qū)間若方程兩根均在區(qū)間(0(0，1)1)內(nèi)，求內(nèi)，求m m的范圍的范圍. .解解: :由題意得由題意得: :解得解得

17、: : 10, 0, 0)1(, 0)0(mff . 01,2121,21,21mmmmm或或2121 m 對(duì)于函數(shù)對(duì)于函數(shù)y=f(x), 叫做函數(shù)叫做函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn)。的零點(diǎn)。方程方程f(x)=0有實(shí)數(shù)根有實(shí)數(shù)根函數(shù)函數(shù)y=f(x)的圖象與的圖象與x軸有交點(diǎn)軸有交點(diǎn)函數(shù)函數(shù)y=f(x)有零點(diǎn)有零點(diǎn)使使f(x)=0的實(shí)數(shù)的實(shí)數(shù)x如果函數(shù)如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間在區(qū)間a,b上的圖象是連續(xù)不斷上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有的一條曲線，并且有f(a)f(b)0,那么，函數(shù)那么，函數(shù)y=f(x)在區(qū)間在區(qū)間(a,b)內(nèi)有零點(diǎn)，即存在內(nèi)有零點(diǎn)，即存在 使得使得f(c)=0,這個(gè)這個(gè)c也就是方程也就是方程f(c)=0 的根。的根。 ,ca b零點(diǎn)存在定理零點(diǎn)存在定理函數(shù)函數(shù)y=f(x)y=f(x)在區(qū)間在區(qū)間a,ba,b上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線：上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線：（1 1）f(a)f(a)f(b)0 f(b)0 函數(shù)函數(shù)y=f(x)y=f(x)在區(qū)間在區(qū)間(a,b)(a,b)內(nèi)有零點(diǎn)；內(nèi)有零點(diǎn)；（2 2）函數(shù)）函數(shù)y=f(x)y=f(x)在區(qū)間在區(qū)間(a,b)(a,b)內(nèi)有零點(diǎn)內(nèi)有零點(diǎn) f(a)f(a)f(b)0f(b