-空間問題解答

1、土木工程與力學(xué)學(xué)院 蔣一萱12022-6-12第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答土木工程與力學(xué)學(xué)院 蔣一萱22022-6-12主要內(nèi)容主要內(nèi)容土木工程與力學(xué)學(xué)院 蔣一萱32022-6-128.1 按位移求解空間問題按位移求解空間問題按位移求解空間問題按位移求解空間問題 取位移分量為基本未知函數(shù)，并通過消元法，取位移分量為基本未知函數(shù)，并通過消元法，導(dǎo)出彈性體區(qū)域內(nèi)求解位移的基本微分方程和相導(dǎo)出彈性體區(qū)域內(nèi)求解位移的基本微分方程和相應(yīng)的邊界條件。應(yīng)的邊界條件。 對空間問題來說，這就要從對空間問題來說，這就要從1515個基本方程中消個基本方程中消去應(yīng)力分量和變形分量，得出包含去應(yīng)力分量和變

2、形分量，得出包含3 3個位移分量的個位移分量的微分方程。微分方程。 將幾何方程代入物理方程得出用位移分量表示將幾何方程代入物理方程得出用位移分量表示的應(yīng)力分量的彈性方程的應(yīng)力分量的彈性方程土木工程與力學(xué)學(xué)院 蔣一萱42022-6-128.1 按位移求解空間問題按位移求解空間問題1,21,212xyzyzzxxyuxvywzwvyzuwzxvuxy，幾何方程幾何方程物理方程物理方程代入;112;112;112;2 1;2 1;2 1xxyyzzxyxyyzyzzxzxEEEEEE土木工程與力學(xué)學(xué)院 蔣一萱52022-6-128.1 按位移求解空間問題按位移求解空間問題用位移分量表示的應(yīng)力分量的彈

3、性方程用位移分量表示的應(yīng)力分量的彈性方程其中：uvwxyz1121121122 12 12 1xxxyzzxxyEuxEvyEwzEwvyzEuwzxEvuxy（81）000yxxzxxxyyzyyyzxzzzfxyzfxyzfxyz平衡微分方程平衡微分方程代入土木工程與力學(xué)學(xué)院 蔣一萱62022-6-128.1 按位移求解空間問題按位移求解空間問題按位移求解空間問題的基本微分方程按位移求解空間問題的基本微分方程222102 11 2102 11 2102 11 2xyzEufxEvfyEwfz（82）位移邊界條件：位移邊界條件： ,sssuuvvww（79）其中：其中：2222222xyz

4、拉普拉斯算子拉普拉斯算子（8 82 2）和（）和（7 79 9）就是按位移求解空間問題的一般提法）就是按位移求解空間問題的一般提法土木工程與力學(xué)學(xué)院 蔣一萱72022-6-128.1 按位移求解空間問題按位移求解空間問題同理得到按位移求解空間軸對稱問題時的基本微分方程同理得到按位移求解空間軸對稱問題時的基本微分方程將幾何方程代入物理方程，得出彈性方程將幾何方程代入物理方程，得出彈性方程,11 211 2,11 211 2zzzuuEEuuEEz（83）其中：zuuuz再將（再將（83）代入空間軸對稱基本微分方程）代入空間軸對稱基本微分方程222102 11 2102 11 2zzuEufEuf

5、z（84）按位移求解空間軸對稱問題的基本微分方程按位移求解空間軸對稱問題的基本微分方程土木工程與力學(xué)學(xué)院 蔣一萱82022-6-128.1 按位移求解空間問題按位移求解空間問題按位移求解空間問題的按位移求解空間問題的基本步驟基本步驟（1）根據(jù)實際問題，設(shè)位移分量；）根據(jù)實際問題，設(shè)位移分量；（2）使位移分量滿足按位移求解的基本微分方程（代入微分方程）；）使位移分量滿足按位移求解的基本微分方程（代入微分方程）；（3）求解微分方程；）求解微分方程；（4）求出含參數(shù)的應(yīng)力表達式；）求出含參數(shù)的應(yīng)力表達式；（5）根據(jù)邊界條件（應(yīng)力、位移）求出參數(shù)）根據(jù)邊界條件（應(yīng)力、位移）求出參數(shù)（6）整理結(jié)果。）整

6、理結(jié)果。土木工程與力學(xué)學(xué)院 蔣一萱92022-6-128.2 半空間體受重力及均布壓力半空間體受重力及均布壓力問題描述：問題描述：g0 xzhq圖：81如圖，密度 ，受均布壓力q體力分量：0,0,xyzfffg 0,0,uvww z（1）按位移求解，試假設(shè)位移分量）按位移求解，試假設(shè)位移分量uvwxyz220,0,d wxyzdz土木工程與力學(xué)學(xué)院 蔣一萱102022-6-128.2 半空間體受重力及均布壓力半空間體受重力及均布壓力（2）代入基本微分方程（）代入基本微分方程（82），并化簡），并化簡前兩式自動滿足；第三式為：前兩式自動滿足；第三式為：2222102 11 2Ed wd wgdz

7、dz（3）求解微分方程；）求解微分方程；211 2111 221gdwzAdzEgwzABE 化簡：化簡：2211 21gd wdzE （b）（c）（d）222102 11 2102 11 2102 11 2xyzEufxEvfyEwfz土木工程與力學(xué)學(xué)院 蔣一萱112022-6-128.2 半空間體受重力及均布壓力半空間體受重力及均布壓力（4）求出含參數(shù)的應(yīng)力表達式；求出含參數(shù)的應(yīng)力表達式；,10 xyzyzzxxyg zAg zA （e）（5）根據(jù)邊界條件（應(yīng)力、位移）求出參數(shù)根據(jù)邊界條件（應(yīng)力、位移）求出參數(shù)考察應(yīng)力邊界條件（根據(jù)（考察應(yīng)力邊界條件（根據(jù)（75）得到）得到）0zzq將邊界

8、條件代入（將邊界條件代入（e）qAg11 22 111 22 111 22 1xyzxzxxxyEuEwvxyzEvEuwyzxEwEvuzxy211 2111 221gdwzAdzEgwzABE 土木工程與力學(xué)學(xué)院 蔣一萱122022-6-128.2 半空間體受重力及均布壓力半空間體受重力及均布壓力鉛直位移：鉛直位移：211 221gqwzBEg （g）要確定要確定B必須利用位移邊界條件，假定在距邊界必須利用位移邊界條件，假定在距邊界h處沒有位移處沒有位移則邊界條件為則邊界條件為： 0z hw帶入（帶入（g）求出）求出B211 221gqBhEg 鉛直位移：鉛直位移：2211 2212gwq

9、 hzhzE （h）（6）結(jié)果整理與討論）結(jié)果整理與討論,10 xyzyzzxxyqgzg qgz （f）應(yīng)力：應(yīng)力：土木工程與力學(xué)學(xué)院 蔣一萱132022-6-128.2 半空間體受重力及均布壓力半空間體受重力及均布壓力討論討論（1 1）應(yīng)力分量和位移分量完全確定，并且滿足所有）應(yīng)力分量和位移分量完全確定，并且滿足所有條件正確；條件正確；（2 2）最大位移發(fā)生在邊界上：）最大位移發(fā)生在邊界上： 2max011 2112zwwqhghE（3 3）側(cè)壓系數(shù)）側(cè)壓系數(shù)1yxzz土木工程與力學(xué)學(xué)院 蔣一萱142022-6-12半無限體受法向集中力半無限體受法向集中力位移解法位移解法 布希涅斯克解答布

10、希涅斯克解答半無限體受法向分布力半無限體受法向分布力位移解法位移解法布希涅斯克解答推廣布希涅斯克解答推廣土木工程與力學(xué)學(xué)院 蔣一萱152022-6-128.3 按應(yīng)力求解空間問題按應(yīng)力求解空間問題按應(yīng)力求解空間問題按應(yīng)力求解空間問題 取應(yīng)力分量為基本未知函數(shù)。對空間問題來說，就是要取應(yīng)力分量為基本未知函數(shù)。對空間問題來說，就是要從從1515個基本方程中消去位移分量和變形分量，得出只包含個基本方程中消去位移分量和變形分量，得出只包含6 6個應(yīng)力分量的方程。個應(yīng)力分量的方程。從幾何方程中消去位移分量從幾何方程中消去位移分量11,21,22xzxxyyzyzuxuwvuzxvwyzwzxyyv，33

11、22222222yyzzzvwvwy zyy zz yy zzy 利用上面三個紅色的式子，消去位移利用上面三個紅色的式子，消去位移土木工程與力學(xué)學(xué)院 蔣一萱162022-6-128.3 按應(yīng)力求解空間問題按應(yīng)力求解空間問題同理得到其它兩個方程同理得到其它兩個方程222222222222222yyzzxzxzyxyxzyy zxzz xyxx y （810）（810）就是就是相容方程相容方程將（將（78）的后三式分別對）的后三式分別對 求導(dǎo)求導(dǎo), ,x y z111,222yzzxxyxyzwvuwvuuvwxyzyzzxxy，（78）土木工程與力學(xué)學(xué)院 蔣一萱172022-6-128.3 按應(yīng)

12、力求解空間問題按應(yīng)力求解空間問題222222,xyyzzxuwvuyz yx yzx zy zwvxy xz x （2）（3）（1）得得22yzxyzxuxyzy z 上式對上式對 再求導(dǎo)再求導(dǎo)x2222yzxyzxxuxyxxyzyzz 同理，得到其余兩式，組成另外一組相容方程同理，得到其余兩式，組成另外一組相容方程222222yzxyzxxxyyzyzxxyyzxzzxxyzy zyyzxz xzzxyx y （811）土木工程與力學(xué)學(xué)院 蔣一萱182022-6-128.3 按應(yīng)力求解空間問題按應(yīng)力求解空間問題將物理方程（將物理方程（712）帶入相容方程（）帶入相容方程（810）和（）和（

13、811）22222222222222222222222222212 112 112 11yyzzxzxzyxyxzyzyy zxzxzz xyxyxx yx 22211111yzxyzxxxyzyzxyxyyzzxzxyzy zyyzxz xzzxyx y （c）（d）土木工程與力學(xué)學(xué)院 蔣一萱192022-6-128.3 按應(yīng)力求解空間問題按應(yīng)力求解空間問題利用平衡微分方程（利用平衡微分方程（7 71 1）簡化上式，得到）簡化上式，得到米歇爾相容方程米歇爾相容方程2222222222222112111211121111yxzxyxzyyxzzyzyzzxfffxxyzfffyyzxfffzz

14、xyffy zyz 22111xzyxxyffz xzxffx yxy （812）土木工程與力學(xué)學(xué)院 蔣一萱202022-6-128.3 按應(yīng)力求解空間問題按應(yīng)力求解空間問題在體力為零時，方程（在體力為零時，方程（8 81212）簡化成）簡化成貝爾特拉米相容方程貝爾特拉米相容方程222222222222222101010101010 xyzyzzxxyxyzy zz xx y （813）土木工程與力學(xué)學(xué)院 蔣一萱212022-6-128.3 按應(yīng)力求解空間問題按應(yīng)力求解空間問題按應(yīng)力求解空間問題，必須使按應(yīng)力求解空間問題，必須使6 6個應(yīng)力分量在彈性體區(qū)域內(nèi)個應(yīng)力分量在彈性體區(qū)域內(nèi)滿足滿足（1

15、 1）微分方程（）微分方程（7 71 1）；）；（2 2）相容方程（）相容方程（8 81212）或（）或（8 81313）；）；（2 2）應(yīng)力邊界條件（）應(yīng)力邊界條件（7 75 5）。土木工程與力學(xué)學(xué)院 蔣一萱222022-6-128.4 桿件彈性扭轉(zhuǎn)桿件彈性扭轉(zhuǎn)1.問題的提出問題的提出2.等截面直桿扭轉(zhuǎn)等截面直桿扭轉(zhuǎn)3.薄膜比擬法薄膜比擬法4.橢圓截面桿扭轉(zhuǎn)橢圓截面桿扭轉(zhuǎn)5.矩形截面桿扭轉(zhuǎn)矩形截面桿扭轉(zhuǎn)土木工程與力學(xué)學(xué)院 蔣一萱232022-6-121.問題的提出問題的提出 柱體的扭轉(zhuǎn)問題在航空、土建及機械工程中是常見的。柱體的扭轉(zhuǎn)問題在航空、土建及機械工程中是常見的。汽車傳動軸汽車傳動軸汽

16、車方向盤汽車方向盤8.4 桿件彈性扭轉(zhuǎn)桿件彈性扭轉(zhuǎn)土木工程與力學(xué)學(xué)院 蔣一萱242022-6-128.4 桿件彈性扭轉(zhuǎn)桿件彈性扭轉(zhuǎn) 機械的傳動機構(gòu)中，軸是傳遞扭矩機械的傳動機構(gòu)中，軸是傳遞扭矩的一個重要部件。軸的扭轉(zhuǎn)問題屬于僅的一個重要部件。軸的扭轉(zhuǎn)問題屬于僅在端面上受外力的柱體平衡問題。在端面上受外力的柱體平衡問題。 扭轉(zhuǎn)變形是指圓柱體和棱柱體受扭轉(zhuǎn)變形是指圓柱體和棱柱體受到大小相等到大小相等, ,方向相反且方向相反且作用平面垂作用平面垂直于柱體軸線的力偶作用直于柱體軸線的力偶作用, ,使柱體的使柱體的橫截面繞軸線產(chǎn)生轉(zhuǎn)動。橫截面繞軸線產(chǎn)生轉(zhuǎn)動。 土木工程與力學(xué)學(xué)院 蔣一萱252022-6-

17、128.4 桿件彈性扭轉(zhuǎn)桿件彈性扭轉(zhuǎn) 圓形截面柱體的扭轉(zhuǎn)，在材料力學(xué)中已經(jīng)進行過圓形截面柱體的扭轉(zhuǎn)，在材料力學(xué)中已經(jīng)進行過討論。其特點是扭轉(zhuǎn)變形前后的截面都是圓形而且每討論。其特點是扭轉(zhuǎn)變形前后的截面都是圓形而且每一個截面只作剛體轉(zhuǎn)動，在小變形條件下，沒有軸向一個截面只作剛體轉(zhuǎn)動，在小變形條件下，沒有軸向位移。取坐標(biāo)系為位移。取坐標(biāo)系為x,y,z,且柱體的軸線為且柱體的軸線為z方向，方向，z方向方向的位移是的位移是w,即即w(x,y,z)=0 這樣變形后截面的半徑及柱體的長度基本不變。這樣變形后截面的半徑及柱體的長度基本不變。土木工程與力學(xué)學(xué)院 蔣一萱262022-6-128.4 桿件彈性扭轉(zhuǎn)

18、桿件彈性扭轉(zhuǎn) 非圓形截面柱體的扭轉(zhuǎn)情況要復(fù)雜的多。由于截非圓形截面柱體的扭轉(zhuǎn)情況要復(fù)雜的多。由于截面的非對稱形式，在扭轉(zhuǎn)過程中，截面不再保持為平面的非對稱形式，在扭轉(zhuǎn)過程中，截面不再保持為平面，而發(fā)生了垂直于截面的面，而發(fā)生了垂直于截面的翹曲變形翹曲變形，即，即 ( , , )0w x y z 兩個基本假設(shè)：兩個基本假設(shè)：（1 1）假設(shè)柱體在每個橫截面）假設(shè)柱體在每個橫截面內(nèi)做剛體旋轉(zhuǎn)運動內(nèi)做剛體旋轉(zhuǎn)運動.( , )wx y為單位長度的扭轉(zhuǎn)角，( , )x y為翹曲函數(shù)土木工程與力學(xué)學(xué)院 蔣一萱272022-6-128.4 桿件彈性扭轉(zhuǎn)桿件彈性扭轉(zhuǎn)等截面柱體扭轉(zhuǎn)的基本解法等截面柱體扭轉(zhuǎn)的基本解

19、法半逆解法半逆解法按應(yīng)力函數(shù)求解按應(yīng)力函數(shù)求解（2 2）圓截面的柱體沿軸線方向）圓截面的柱體沿軸線方向的翹曲的翹曲( (即位移即位移) )為零為零, ,非圓截面翹非圓截面翹曲值不為零曲值不為零. .兩個基本假設(shè)：兩個基本假設(shè)：土木工程與力學(xué)學(xué)院 蔣一萱282022-6-128.4 桿件彈性扭轉(zhuǎn)桿件彈性扭轉(zhuǎn)2.等截面直桿的扭轉(zhuǎn)等截面直桿的扭轉(zhuǎn)一 應(yīng)力函數(shù) 設(shè)有等截面直桿，體力不計，設(shè)有等截面直桿，體力不計，在兩端平面內(nèi)受扭矩在兩端平面內(nèi)受扭矩M M作用。取桿作用。取桿的一端平面為的一端平面為 xyxy面，圖示。橫截面，圖示。橫截面上除了切應(yīng)力面上除了切應(yīng)力zxzx、zyzy以外，以外，其余的應(yīng)力

20、分量為零其余的應(yīng)力分量為零0 xyzyx將應(yīng)力分量及體力將應(yīng)力分量及體力X=Y=Z=0X=Y=Z=0代入平代入平衡方程，得衡方程，得xMMoyz土木工程與力學(xué)學(xué)院 蔣一萱292022-6-128.4 桿件彈性扭轉(zhuǎn)桿件彈性扭轉(zhuǎn) )()(zyzxyx根據(jù)前兩方程可見，根據(jù)前兩方程可見，zxzx、zyzy只是只是x x和和y y的函數(shù)，與的函數(shù)，與z z無關(guān)，由第三式無關(guān)，由第三式0, 0, 0yxzzzyzxyzxz000ZyxzYxzyXzyxyzxzzxyzyyzxyxx注：空間問題平衡微分方程根據(jù)微分方程理論，一定存在一根據(jù)微分方程理論，一定存在一個函數(shù)個函數(shù)x,yx,y ，使得，使得,yx

21、zxzy函數(shù)函數(shù)x,yx,y 稱為稱為扭轉(zhuǎn)問題的應(yīng)扭轉(zhuǎn)問題的應(yīng)力函數(shù)力函數(shù)。 a 土木工程與力學(xué)學(xué)院 蔣一萱302022-6-128.4 桿件彈性扭轉(zhuǎn)桿件彈性扭轉(zhuǎn)0)1 (0)1 (0)1 (222222yxxzzyxyzxyz0)1 (0)1 (0)1 (222222222zyxzyx注：體力為零時，空間問題應(yīng)力分量表示的相容方程 將應(yīng)力分量代入不計體力的將應(yīng)力分量代入不計體力的相容方程，可見：前三式及最后相容方程，可見：前三式及最后一式得到滿足，其余二式要求一式得到滿足，其余二式要求0022yx即C2 b ,yxzxzy土木工程與力學(xué)學(xué)院 蔣一萱312022-6-128.4 桿件彈性扭轉(zhuǎn)桿

22、件彈性扭轉(zhuǎn)二 邊界條件 在桿的側(cè)面上在桿的側(cè)面上，將，將 n=n=0 0，及面，及面力分量為零代入邊界條件，可見前力分量為零代入邊界條件，可見前兩式總能滿足，而第三式要求兩式總能滿足，而第三式要求注：空間問題應(yīng)力邊界條件0)()(szyszxml0ssxmyl即由于在邊界上sxmsyldd,ddZnmlYnmlXnmlszsyzsxzszysysxyszxsyxsx土木工程與力學(xué)學(xué)院 蔣一萱322022-6-128.4 桿件彈性扭轉(zhuǎn)桿件彈性扭轉(zhuǎn)0ddddddssxxsyyss于是有于是有說明在橫截面的邊界上，應(yīng)力函數(shù)說明在橫截面的邊界上，應(yīng)力函數(shù)為常量，由于應(yīng)力為常量，由于應(yīng)力函數(shù)減一個常數(shù)，

23、應(yīng)力分量不受影響，因此在單連通截函數(shù)減一個常數(shù)，應(yīng)力分量不受影響，因此在單連通截面（實心桿）時可設(shè)面（實心桿）時可設(shè)0s c 在桿的任一端在桿的任一端，剪應(yīng)力合成為扭矩，剪應(yīng)力合成為扭矩土木工程與力學(xué)學(xué)院 蔣一萱332022-6-128.4 桿件彈性扭轉(zhuǎn)桿件彈性扭轉(zhuǎn)()()zxzyyXxY dxdyyxdxdyM 考慮上表面考慮上表面l=m=0,n=-1l=m=0,n=-1土木工程與力學(xué)學(xué)院 蔣一萱342022-6-128.4 桿件彈性扭轉(zhuǎn)桿件彈性扭轉(zhuǎn)自動滿足自動滿足也自動滿足也自動滿足同同理理土木工程與力學(xué)學(xué)院 蔣一萱352022-6-128.4 桿件彈性扭轉(zhuǎn)桿件彈性扭轉(zhuǎn)()d d()d d

24、ddddzxzyMyxxyyxxyyxx yyy xxyx xxxxxxxyyyyyyyBBAABBAAdddddd分部積分，并注意分部積分，并注意在邊界上為零在邊界上為零最后得到最后得到 Myxdd2 d 土木工程與力學(xué)學(xué)院 蔣一萱362022-6-12三 位移公式土木工程與力學(xué)學(xué)院 蔣一萱372022-6-128.4 桿件彈性扭轉(zhuǎn)桿件彈性扭轉(zhuǎn)三 位移公式 根據(jù)應(yīng)力、應(yīng)變、位移的關(guān)系可以得到根據(jù)應(yīng)力、應(yīng)變、位移的關(guān)系可以得到000zwyvxu011yuxvyGxwzuxGzvyw積分后得到積分后得到KxzzxvvKyzyzuuxzzy000 xyzyx,yxzxzy土木工程與力學(xué)學(xué)院 蔣一萱

25、382022-6-128.4 桿件彈性扭轉(zhuǎn)桿件彈性扭轉(zhuǎn)不計剛體位移不計剛體位移上兩式可用來求出位移分量上兩式可用來求出位移分量w wKxzvKyzu e 用柱坐標(biāo)表示用柱坐標(biāo)表示0,ruuKrz可見，橫截面在可見，橫截面在 面上的投影形狀不改變，只是轉(zhuǎn)動一個角度面上的投影形狀不改變，只是轉(zhuǎn)動一個角度桿的單位長度的扭轉(zhuǎn)角桿的單位長度的扭轉(zhuǎn)角xyKzdKdz11wvyzGxuwzxGy 土木工程與力學(xué)學(xué)院 蔣一萱392022-6-128.4 桿件彈性扭轉(zhuǎn)桿件彈性扭轉(zhuǎn)上兩式分別對上兩式分別對y y和和x x求導(dǎo)，再相減，得求導(dǎo)，再相減，得22G 可見前面公式可見前面公式 b b 中中C2C=-2GK

26、.KxxGywKyyGxw11 f 土木工程與力學(xué)學(xué)院 蔣一萱402022-6-128.4 桿件彈性扭轉(zhuǎn)桿件彈性扭轉(zhuǎn)小結(jié)：為了求得扭應(yīng)力，只須求出應(yīng)力小結(jié)：為了求得扭應(yīng)力，只須求出應(yīng)力函數(shù)，使它滿足方程函數(shù)，使它滿足方程可求得：可求得：0s泊松方程泊松方程邊界條件邊界條件222222GKxy Myxdd2,yxzxzy土木工程與力學(xué)學(xué)院 蔣一萱412022-6-128.4 桿件彈性扭轉(zhuǎn)桿件彈性扭轉(zhuǎn)KxxGywKyyGxw11 f KxzvKyzu e 位移位移：小結(jié)小結(jié)(續(xù)續(xù))：土木工程與力學(xué)學(xué)院 蔣一萱422022-6-128.4 桿件彈性扭轉(zhuǎn)桿件彈性扭轉(zhuǎn)3.薄膜比擬法薄膜比擬法 Prand

27、tl提出：彈性扭轉(zhuǎn)問題用應(yīng)力函數(shù)寫出提出：彈性扭轉(zhuǎn)問題用應(yīng)力函數(shù)寫出的微分方程，與表面受壓力作用時的薄膜的撓度方的微分方程，與表面受壓力作用時的薄膜的撓度方程在形式上完全相似。因而求解扭轉(zhuǎn)問題時，就可程在形式上完全相似。因而求解扭轉(zhuǎn)問題時，就可以用解張緊的薄膜的撓度問題來比擬。這樣對一些以用解張緊的薄膜的撓度問題來比擬。這樣對一些截面形狀復(fù)雜的桿件扭轉(zhuǎn)就可以避開數(shù)學(xué)上的困難，截面形狀復(fù)雜的桿件扭轉(zhuǎn)就可以避開數(shù)學(xué)上的困難，而采用這種比擬的實驗方法求出扭轉(zhuǎn)問題的解。而采用這種比擬的實驗方法求出扭轉(zhuǎn)問題的解。薄膜比擬法薄膜比擬法 假定在一塊板上開一個與桿件斷面形狀相同的孔假定在一塊板上開一個與桿件斷

28、面形狀相同的孔（尺寸不必相同），孔上敷以張緊的均勻薄膜，支持（尺寸不必相同），孔上敷以張緊的均勻薄膜，支持在邊界上，則薄膜受均勻壓力在邊界上，則薄膜受均勻壓力q時，薄膜各點都將發(fā)時，薄膜各點都將發(fā)生微小的垂度。生微小的垂度。土木工程與力學(xué)學(xué)院 蔣一萱432022-6-128.4 桿件彈性扭轉(zhuǎn)桿件彈性扭轉(zhuǎn) 取薄膜的一個微小部分取薄膜的一個微小部分abcdabcd圖示，它在圖示，它在xyxy面上的投影是一個面上的投影是一個矩形，矩形的邊長分別是矩形，矩形的邊長分別是dxdx和和dydy。設(shè)薄膜單位寬度上的拉力為設(shè)薄膜單位寬度上的拉力為 T T，則由則由z z方向的平衡條件方向的平衡條件 得得0Z0

29、qdxdyyzTdxdyyzzyTdxxzTdydxxzzxTdy簡化后得簡化后得02222qyzxzT土木工程與力學(xué)學(xué)院 蔣一萱442022-6-128.4 桿件彈性扭轉(zhuǎn)桿件彈性扭轉(zhuǎn)即即Tqz2此外，薄膜在邊界上的垂度顯然等于零，即此外，薄膜在邊界上的垂度顯然等于零，即0sz由于由于q/Tq/T為常量，所以以上兩式可改寫為為常量，所以以上兩式可改寫為0, 012szqTzqT a 而扭轉(zhuǎn)問題應(yīng)力函數(shù)所滿足的微分方程和邊界條件為而扭轉(zhuǎn)問題應(yīng)力函數(shù)所滿足的微分方程和邊界條件為 22,0sG土木工程與力學(xué)學(xué)院 蔣一萱452022-6-128.4 桿件彈性扭轉(zhuǎn)桿件彈性扭轉(zhuǎn)其中其中GkGk也是常量，故

30、也可改寫為也是常量，故也可改寫為21 0,022sGG b 將式 b 與式 a 對比，可見 與 決定于同樣的微分方程和邊界條件，因而必然具有相同的解答。于是有2GzqT2TzGq即2/Gzq T c 土木工程與力學(xué)學(xué)院 蔣一萱462022-6-128.4 桿件彈性扭轉(zhuǎn)桿件彈性扭轉(zhuǎn) 設(shè)薄膜及其邊界平面之間的體積為設(shè)薄膜及其邊界平面之間的體積為V V，并注意到，并注意到 Myxdd2則有則有24qqMVzdxdydxdyGTGT從而有從而有22/MGVqT d 由由xyzyyzzxxz,又可得又可得2/zxzGyq T e 2/Gzq T土木工程與力學(xué)學(xué)院 蔣一萱472022-6-128.4 桿件

31、彈性扭轉(zhuǎn)桿件彈性扭轉(zhuǎn)物理問題彈性扭轉(zhuǎn)薄膜比擬基本方程比擬條件對應(yīng)的物理量2222zzqxyT 22222GKxy 0s0sz 22Vzdxdy2Mdxdy2qGKTz,yxzziiyx M2V,yxzxzy土木工程與力學(xué)學(xué)院 蔣一萱482022-6-128.4 桿件彈性扭轉(zhuǎn)桿件彈性扭轉(zhuǎn) 1 1 扭桿的應(yīng)力函數(shù)扭桿的應(yīng)力函數(shù) 等于薄膜的垂度等于薄膜的垂度z z。 2 2 扭桿所受的扭矩扭桿所受的扭矩M M等于該薄膜及其邊界平面之等于該薄膜及其邊界平面之間的體積的兩倍。間的體積的兩倍。 3 3 扭桿橫截面上某一點處的沿任意方向的剪應(yīng)力，扭桿橫截面上某一點處的沿任意方向的剪應(yīng)力，就等于該薄膜在對應(yīng)點

32、處的沿垂直方向的斜率。就等于該薄膜在對應(yīng)點處的沿垂直方向的斜率。結(jié)論：假定我們調(diào)整薄膜所受的壓力結(jié)論：假定我們調(diào)整薄膜所受的壓力q q，使，使得薄膜的得薄膜的q/Tq/T等于扭轉(zhuǎn)柱的等于扭轉(zhuǎn)柱的2GK土木工程與力學(xué)學(xué)院 蔣一萱492022-6-128.4 桿件彈性扭轉(zhuǎn)桿件彈性扭轉(zhuǎn)4.橢圓截面桿扭轉(zhuǎn)橢圓截面桿扭轉(zhuǎn)等截面扭轉(zhuǎn)問題提法如下：等截面扭轉(zhuǎn)問題提法如下：22222GKxy 控制方程：控制方程：邊界條件：邊界條件：側(cè)面?zhèn)让娑嗣娑嗣?s2Mdxdy未知量：應(yīng)力函數(shù)和單位長度扭轉(zhuǎn)角未知量：應(yīng)力函數(shù)和單位長度扭轉(zhuǎn)角土木工程與力學(xué)學(xué)院 蔣一萱502022-6-128.4 桿件彈性扭轉(zhuǎn)桿件彈性扭轉(zhuǎn) 橢

33、圓的半軸分別為橢圓的半軸分別為a a和和b b，其邊界方程為，其邊界方程為012222byax應(yīng)力函數(shù)在邊界上應(yīng)等于零，故取應(yīng)力函數(shù)在邊界上應(yīng)等于零，故取12222byaxm代入C2 1 土木工程與力學(xué)學(xué)院 蔣一萱512022-6-128.4 桿件彈性扭轉(zhuǎn)桿件彈性扭轉(zhuǎn)得得求得求得CbabamCbmam)(22222222回代入回代入 1 1 式式得得1)( 222222222byaxCbaba Myxdd2由由12222byaxmC212222byaxm土木工程與力學(xué)學(xué)院 蔣一萱522022-6-128.4 桿件彈性扭轉(zhuǎn)桿件彈性扭轉(zhuǎn)MyxyxybyxxaCbaba)dddd1dd1(22222

34、222可得可得3322)(2baMbaC于是得于是得12222byaxabM最后得最后得土木工程與力學(xué)學(xué)院 蔣一萱532022-6-128.4 桿件彈性扭轉(zhuǎn)桿件彈性扭轉(zhuǎn)最后得到解答最后得到解答xbaMyabMyzxz332,2橫截面上任意一點的合剪應(yīng)力是橫截面上任意一點的合剪應(yīng)力是21424221222byaxabMzyzxxyzyyzzxxz,于是由于是由12222byaxabM土木工程與力學(xué)學(xué)院 蔣一萱542022-6-128.4 桿件彈性扭轉(zhuǎn)桿件彈性扭轉(zhuǎn) 假想有一薄膜，張在橢圓的邊界上，受有均布假想有一薄膜，張在橢圓的邊界上，受有均布壓力，則薄膜的最大斜率將發(fā)生在壓力，則薄膜的最大斜率將

35、發(fā)生在A、B點，而方向點，而方向垂直于邊界。根據(jù)薄膜比擬，扭轉(zhuǎn)橫截面上最大的垂直于邊界。根據(jù)薄膜比擬，扭轉(zhuǎn)橫截面上最大的剪應(yīng)力也發(fā)生在剪應(yīng)力也發(fā)生在A、B點，但方向平行于邊界。點，但方向平行于邊界。最大剪應(yīng)力：最大剪應(yīng)力：21424221222byaxabMzyzxmax22ABMab土木工程與力學(xué)學(xué)院 蔣一萱552022-6-128.4 桿件彈性扭轉(zhuǎn)桿件彈性扭轉(zhuǎn)形變和位移形變和位移2233()2CabMKGa b G 12222byaxabM土木工程與力學(xué)學(xué)院 蔣一萱562022-6-128.4 桿件彈性扭轉(zhuǎn)桿件彈性扭轉(zhuǎn)土木工程與力學(xué)學(xué)院 蔣一萱572022-6-128.4 桿件彈性扭轉(zhuǎn)桿件彈性扭轉(zhuǎn)5.矩形截面桿扭轉(zhuǎn)矩形截面桿扭轉(zhuǎn)一一 狹長矩形截面桿的扭轉(zhuǎn)狹長矩形截面桿的扭轉(zhuǎn) 設(shè)矩形截面的邊長為設(shè)矩形截面的邊長為a a和和b b。若。若a ab b ( (圖示圖示) )，