-任意項級數(shù)的審斂法

1、二、絕對收斂與條件收斂二、絕對收斂與條件收斂第三節(jié)一、交錯級數(shù)及其審斂法一、交錯級數(shù)及其審斂法 任意項級數(shù)的審斂法 第十一章第十一章 一、交錯級數(shù)及其審斂法一、交錯級數(shù)及其審斂法 nnuuuu1321)1(交錯級數(shù)交錯級數(shù) :定理定理11.6 (萊布尼茨審斂法萊布尼茨審斂法) 若若交錯級數(shù)交錯級數(shù)滿足滿足:則則; ),2,1()11 nuunn,0lim)2 nnunnnu 11)1(收斂收斂 , 且其和且其和 ,1uS 其余項滿足其余項滿足.1 nnur）（0 nu1. 定義定義稱滿足條件稱滿足條件1), 2)的級的級數(shù)為數(shù)為萊布尼萊布尼茨交錯級數(shù)茨交錯級數(shù))()(43212uuuuSn )

2、()(543212uuuuuSn 1u 單調增加且有上界單調增加且有上界2nS12limuSSnn 22 nSnu2 1 先證先證部分和數(shù)列部分和數(shù)列S2n單調增加且有上界單調增加且有上界.)(212nnuu )(1222 nnuu)(21222nnnuuS 0 un 遞減遞減證證證明思路：證明思路：,lim2SSnn SSnn 12limSSnn lim+故級數(shù)收斂于故級數(shù)收斂于S, 且且,1uS :的余項的余項nSnnSSr )(21 nnuu 21nnnuur.1 nu,limSSnn 仍為萊布尼茨仍為萊布尼茨 交錯級數(shù)交錯級數(shù)2 再證再證SSnn 12lim又又12lim nnSnnS

3、2lim S )(lim122 nnnuS注注1 萊布尼茨定理中的條件萊布尼茨定理中的條件(1)可換成：可換成：)(1Nnuunn 不單調不單調2nu 反例：反例：，對對于于nnnn2)1(2)1(11 nnnu2) 1(2 0不單調，不單調，雖然雖然nu事實上，事實上，;)0()1(11發(fā)散發(fā)散 nnnnuu單調增加單調增加3nu;)0()1(11發(fā)散發(fā)散 nnnnuu)0lim( nnu121221 kkuk222 ,2322kku nnnu2) 1(2 nnnn2)1(2)1(11 但但21)21(11nnn 收斂收斂 111)1(npnn 例例1 證明交錯級數(shù)：證明交錯級數(shù)： pp31

4、211 pnn1)1(1).0( p常數(shù)常數(shù)收斂，并估計其余項收斂，并估計其余項 rn解解pnnu1 因因),(0 npnnu1 且且 111 npun由由萊萊布布尼尼茨茨審審斂斂法法 pnnnur111 且且知知級級數(shù)數(shù)收收斂斂，需證需證un遞減趨于零遞減趨于零注注 1 用萊布尼茨判別法判斷交錯級數(shù)用萊布尼茨判別法判斷交錯級數(shù))0()1(11 nnnnuu是否收斂時，要考察是否收斂時，要考察 un 是否單調減少，通常是否單調減少，通常有以下有以下三種三種方法：方法：比值法：比值法：)1()(1?1Nnuunn 差值法：差值法：)2()(0?1Nnuunn 函數(shù)法：函數(shù)法：)3(由由un 找一

5、個可導函數(shù)找一個可導函數(shù) f (x),)(nunf 使使?0)( xf再考察再考察得得收收斂斂級級數(shù)數(shù)取取, 1 p 111nnn即即和和為為, 2ln 2ln111 nnn231211 nn111注注 1(第五節(jié)第五節(jié)) 11,1)1(nnn收斂收斂.11發(fā)散發(fā)散但但 nn絕對值級數(shù)絕對值級數(shù)問題問題:斂斂散散性性的的關關系系？與與 11nnnnuu二、絕對收斂與條件收斂二、絕對收斂與條件收斂 1. 定義定義 111)1(npnn 1nnu若若收斂收斂 ； 11nnu）（ 12nnu）（條件收斂條件收斂,例如：例如：絕對收斂：絕對收斂：條件收斂條件收斂: 1nnu發(fā)散發(fā)散. 1nnu若若收斂

6、，但收斂，但絕對收斂絕對收斂,.11發(fā)發(fā)散散但但 npn 11,1) 1(npnn收收斂斂；10 p. 1 p收斂收斂 11npn 例例2解解nnnnuvnnu)1(10 ，10 nnun需判定需判定遞遞減減、趨趨于于零零分析分析),(nf令令 10 nnun)0(10)( xxxxf2)10()10(21)( xxxxxf2)10(210 xxx)10(0 x單單調調減減少少，時時，當當)(10 xfx 時，時，故當故當10 n)()1(nfnf )10(1 nuunn即即 nnulim又又10lim nnnnnn101lim 由由萊萊尼尼布布茨茨判判別別法法知知 110)1(nnnn 收斂

7、收斂. . 0 2. 定理定理 (絕對收斂與收斂的關系絕對收斂與收斂的關系)證證 設設 1nnunv令令 0 1nnv收斂收斂, 12nnv,2nnnvuu 而而 1nnu 1nnu收斂收斂.)(21nnuu nv,nu 收斂收斂 ,定理定理11.7 若級數(shù)若級數(shù) 絕對收斂，絕對收斂， 1nnu則該級數(shù)必收斂則該級數(shù)必收斂.則則由收斂級數(shù)的基本性質，由收斂級數(shù)的基本性質，注注 收斂收斂1nnu絕對收斂絕對收斂 1nnu?由比較審斂法知由比較審斂法知,1 nnu 12nnv均收斂均收斂 12!sinnnn級級數(shù)數(shù),1!sin22nnnun 解解例例3.!sin12 nnn絕絕對對收收斂斂即即,1

8、12收收斂斂而而 nn 12!sinnnn收收斂斂條件收斂、條件收斂、絕對收斂還是發(fā)散？絕對收斂還是發(fā)散？ 例例4解解nnnnuvnnu)1(10 ，絕對收斂性絕對收斂性110 nnuvnn)1(101 nn,1011發(fā)散發(fā)散而而 nn發(fā)散發(fā)散 1nnv由例2）知 110)1(nnnn 收斂收斂. . 綜合綜合1, 2 可知：可知： 110)1(nnnn 條件收斂條件收斂. . 條件收斂性條件收斂性22 關系關系收斂收斂 1nnu發(fā)散發(fā)散 1nnu發(fā)散發(fā)散 1nnu收斂收斂 1nnu?（一般地）（一般地）但但特殊地，特殊地，有有定理定理11.9設任意項級數(shù)設任意項級數(shù)滿足滿足 1nnu1lim

9、1 uunnn)1lim( unnn或或則級數(shù)則級數(shù),1發(fā)散發(fā)散 nnu.1發(fā)散發(fā)散且且 nnu, 1lim1 uunnn由由),(1Nnuunn 可得可得, 0lim nnu于是于是, 0lim nnu從而從而.1發(fā)散發(fā)散故故 nnu發(fā)散發(fā)散 1nnu發(fā)散發(fā)散 1nnu說明說明:（用比值法或（用比值法或 根值法判）根值法判）證證 ,!11 nnnnnnnnnnnuu1lim 又又nnn)11(lim 知知，由由定定理理9 .11 散？散？收斂、條件收斂還是發(fā)收斂、條件收斂還是發(fā)是絕對是絕對級數(shù)級數(shù) 1!nnnn例例5解解 nnnnnnn!11lim1 , 1 e .!1發(fā)發(fā)散散 nnnn ,

10、!11發(fā)發(fā)散散 nnnnnnnn比值法判定比值法判定1. 利用部分和極限利用部分和極限:3. 利用正項級數(shù)審斂法利用正項級數(shù)審斂法0lim nnu比值審斂法比值審斂法根值審斂法根值審斂法比較審斂法比較審斂法內容小結內容小結（任意項級數(shù)審斂法）（任意項級數(shù)審斂法）2. 利用收斂的必要條件利用收斂的必要條件:發(fā)散發(fā)散 不存在不存在SSnnlim 發(fā)散發(fā)散收斂收斂收斂收斂判判 1nnu收斂收斂 1nnu發(fā)散發(fā)散判判 1nnu發(fā)散發(fā)散 1nnu4. 萊布尼茨萊布尼茨判別法判別法: 收斂收斂交錯級數(shù)交錯級數(shù)nnnu 1)1(由正項級數(shù)由正項級數(shù) 1nnu收斂收斂, 能否推出能否推出 12nnu收斂收斂

11、?注意注意反之不成立反之不成立. 例如例如, 121nn收斂收斂 , 11nn發(fā)散發(fā)散 .思考題思考題解解, 00 nu由由),(1Nnun 得得,02nnuu 于是于是由比較法知由比較法知 12nnu收斂收斂 . )(212小小較較因因收斂，收斂，猜猜nnnnuuu 11!1)1()2nnn nnn2) 1(222112 1!1)2nn 12)3nnn發(fā)散發(fā)散;收斂收斂;收斂收斂.備用題備用題例例1-1 判定下列級數(shù)的斂散性：判定下列級數(shù)的斂散性： !31!211 !1)1(1nn 112) 1() 3nnnn問題問題 上述級數(shù)的絕對值級數(shù)上述級數(shù)的絕對值級數(shù) 是否收斂是否收斂 ? 1nnv 111)