剛體力學(xué)學(xué)習(xí)

1、例例6-3 質(zhì)量為質(zhì)量為m的空間站的空間站 沿半徑為沿半徑為 r的圓周繞月運(yùn)動(dòng)的圓周繞月運(yùn)動(dòng).在圓軌道在圓軌道P點(diǎn)向前發(fā)射一質(zhì)量點(diǎn)向前發(fā)射一質(zhì)量m1的物體以使空間站在月球表面登陸。的物體以使空間站在月球表面登陸。求求m1的發(fā)射速度的發(fā)射速度v1(已知月球質(zhì)量已知月球質(zhì)量mm半徑半徑Rm)月球月球p空間站發(fā)射空間站發(fā)射m1的物體的物體,軌道切線方向動(dòng)量守恒軌道切線方向動(dòng)量守恒01 11202mmvmvmm vmmvmrr空而G空間站在空間站在新橢圓軌道，對(duì)月球中心點(diǎn)角動(dòng)量守恒新橢圓軌道，對(duì)月球中心點(diǎn)角動(dòng)量守恒11Rmmm v rmm v R空空間站在空間站在新橢圓軌道，機(jī)械能守恒新橢圓軌道，機(jī)械

2、能守恒1122111122mmRmmm mmm mmm vGmm vGrR空212MmEmvGr例例6-2 人造衛(wèi)星繞地球作圓周運(yùn)動(dòng)，受空氣摩擦阻力，衛(wèi)星人造衛(wèi)星繞地球作圓周運(yùn)動(dòng)，受空氣摩擦阻力，衛(wèi)星速度和軌道半徑如何變化？速度和軌道半徑如何變化？22MvmGmrr衛(wèi)星受空氣摩擦阻力，阻力的元功衛(wèi)星受空氣摩擦阻力，阻力的元功2212000fMmAdEmvGrMmmvdvGdrmvdvrdvdr 22MM2vGvdvGdrrr 質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量y方向分量守恒方向分量守恒012ymvmvmv 011111011cossin2cossin3xyyxyxLmvkmrvmLijv ivjmLvmLv

3、kvvv xBryA1v1v2v繩伸直時(shí)，質(zhì)點(diǎn)繩伸直時(shí)，質(zhì)點(diǎn)A對(duì)固定點(diǎn)對(duì)固定點(diǎn)B角動(dòng)量守恒角動(dòng)量守恒11211111121231sin22xxyyvvvvvvvvvvvv4 4一圓錐擺的擺線長(zhǎng)為一圓錐擺的擺線長(zhǎng)為 L，擺錘的質(zhì)量為，擺錘的質(zhì)量為 m ，圓錐的半頂，圓錐的半頂角為角為。試求當(dāng)擺錘從圖中位置。試求當(dāng)擺錘從圖中位置 A 沿圓周勻速運(yùn)動(dòng)到位置沿圓周勻速運(yùn)動(dòng)到位置 B 的過(guò)程中張力的沖量。的過(guò)程中張力的沖量。解：設(shè)繩中張力為解：設(shè)繩中張力為 ，擺錘的運(yùn)動(dòng)周期為，擺錘的運(yùn)動(dòng)周期為 。FT對(duì)擺錘應(yīng)用牛頓第二定律：對(duì)擺錘應(yīng)用牛頓第二定律：其中，其中，sinRl 又知：又知：02 Rv Tcos

4、Fmg豎直方向：豎直方向：20sinvFmR水平方向：水平方向：4從從 到到 位置應(yīng)用對(duì)擺錘應(yīng)用動(dòng)量定理：位置應(yīng)用對(duì)擺錘應(yīng)用動(dòng)量定理：AB00()mgFmvmvIIii即即 022FTmgmvkIi解得：解得：g2 sincoscosFlmmlgIik57.1 剛體運(yùn)動(dòng)的描述剛體運(yùn)動(dòng)的描述 第七章第七章 剛體力學(xué)剛體力學(xué) 7.1.2 剛體繞固定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)剛體繞固定軸的轉(zhuǎn)動(dòng) 7.1.1 剛體的平動(dòng)剛體的平動(dòng) 7.1.3 角速度矢量角速度矢量 7.1.4 剛體的平面運(yùn)動(dòng)剛體的平面運(yùn)動(dòng) 剛體剛體是受力時(shí)不改變形狀和體積的物體是受力時(shí)不改變形狀和體積的物體. 是理是理 想模型想模型.特點(diǎn)特點(diǎn)(1)是一個(gè)

5、質(zhì)點(diǎn)組（剛體可以看成由許多質(zhì)點(diǎn)是一個(gè)質(zhì)點(diǎn)組（剛體可以看成由許多質(zhì)點(diǎn) 組成，每一個(gè)質(zhì)點(diǎn)叫做剛體的一個(gè)質(zhì)元組成，每一個(gè)質(zhì)點(diǎn)叫做剛體的一個(gè)質(zhì)元.）(2)組內(nèi)任意兩點(diǎn)間的距離保持不變組內(nèi)任意兩點(diǎn)間的距離保持不變.第七章第七章 剛體力學(xué)剛體力學(xué) 7.1.1 剛體的平動(dòng)剛體的平動(dòng) Ojririjr平動(dòng)平動(dòng)剛體運(yùn)動(dòng)時(shí)剛體運(yùn)動(dòng)時(shí),剛體內(nèi)任一直線恒保持平行的剛體內(nèi)任一直線恒保持平行的 運(yùn)動(dòng)運(yùn)動(dòng).7.1 剛體運(yùn)動(dòng)的描述剛體運(yùn)動(dòng)的描述 動(dòng)畫(huà)演示動(dòng)畫(huà)演示trtrijdddd ijvv ijaa 2222ddddtrtrij ,的的矢矢量量指指向向質(zhì)質(zhì)元元表表示示質(zhì)質(zhì)元元圖圖中中jirijijijrrr 為為恒恒矢矢量

6、量由由平平動(dòng)動(dòng)定定義義ijr取參考點(diǎn)取參考點(diǎn)O 結(jié)論：結(jié)論：剛體平動(dòng)時(shí)剛體平動(dòng)時(shí),其上各點(diǎn)具有相同的速度、加速其上各點(diǎn)具有相同的速度、加速度及相同的軌跡度及相同的軌跡.可用一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)代替剛體的運(yùn)可用一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)代替剛體的運(yùn)動(dòng)動(dòng).Ojririjrtrtrijdddd ijvv ijaa 2222ddddtrtrij ,的的矢矢量量指指向向質(zhì)質(zhì)元元表表示示質(zhì)質(zhì)元元圖圖中中jirijijijrrr 為為恒恒矢矢量量由由平平動(dòng)動(dòng)定定義義ijr取參考點(diǎn)取參考點(diǎn)O 結(jié)論：結(jié)論：剛體平動(dòng)時(shí)剛體平動(dòng)時(shí),其上各點(diǎn)具有相同的速度、加速其上各點(diǎn)具有相同的速度、加速度及相同的軌跡度及相同的軌跡.可用一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)

7、動(dòng)代替剛體的運(yùn)可用一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)代替剛體的運(yùn)動(dòng)動(dòng).Ojririjr轉(zhuǎn)動(dòng)：轉(zhuǎn)動(dòng)：剛體運(yùn)動(dòng)時(shí)剛體運(yùn)動(dòng)時(shí),其上各質(zhì)元其上各質(zhì)元都繞同一直線作圓周運(yùn)動(dòng)都繞同一直線作圓周運(yùn)動(dòng).這種這種運(yùn)動(dòng)稱運(yùn)動(dòng)稱轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng).該直線稱為轉(zhuǎn)軸該直線稱為轉(zhuǎn)軸.若若轉(zhuǎn)軸不動(dòng)，稱轉(zhuǎn)軸不動(dòng)，稱定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定軸轉(zhuǎn)動(dòng).7.1.2剛體繞固定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)剛體繞固定軸的轉(zhuǎn)動(dòng) OO(1)剛體上各點(diǎn)都在垂直于固定軸的平面內(nèi)剛體上各點(diǎn)都在垂直于固定軸的平面內(nèi)(轉(zhuǎn)動(dòng)平面轉(zhuǎn)動(dòng)平面)做圓周運(yùn)動(dòng)做圓周運(yùn)動(dòng).其圓心都在一條固定不動(dòng)的直線其圓心都在一條固定不動(dòng)的直線(轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)軸)上上. (2)剛體上各點(diǎn)到轉(zhuǎn)軸的垂直線在同樣的時(shí)間內(nèi)所轉(zhuǎn)過(guò)剛體上各點(diǎn)到轉(zhuǎn)軸的垂直線在同樣的時(shí)

8、間內(nèi)所轉(zhuǎn)過(guò)的角度都相同的角度都相同.因而因而用角量描述剛體的運(yùn)動(dòng)用角量描述剛體的運(yùn)動(dòng).1.定軸轉(zhuǎn)動(dòng)特征定軸轉(zhuǎn)動(dòng)特征 xO p 稱稱角位置或角坐標(biāo)角位置或角坐標(biāo).規(guī)定逆時(shí)針轉(zhuǎn)向規(guī)定逆時(shí)針轉(zhuǎn)向 為正為正.2. 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的描述定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的描述 (1) 角坐標(biāo)角坐標(biāo) 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程 (2) 角位移角位移 為為 t時(shí)間內(nèi)剛體所轉(zhuǎn)過(guò)的角度時(shí)間內(nèi)剛體所轉(zhuǎn)過(guò)的角度. = (t) xOp(3) 角速度角速度 tttddlim0 在定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中在定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中,轉(zhuǎn)向只可能有兩轉(zhuǎn)向只可能有兩個(gè)方向個(gè)方向.取逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)取逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng) 0，順順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng) 0.rad/s30602nn 每分

9、轉(zhuǎn)每分轉(zhuǎn)n轉(zhuǎn)轉(zhuǎn) 角速度角速度 xO P(t)P(t+ t ) + (4) 角加速度角加速度 tttddlim0 可正可負(fù)可正可負(fù), 當(dāng)當(dāng) 與與 同號(hào)時(shí)同號(hào)時(shí),轉(zhuǎn)動(dòng)加快轉(zhuǎn)動(dòng)加快,異號(hào)時(shí)減慢異號(hào)時(shí)減慢. 角加速度角加速度2021tt 勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)勻變速轉(zhuǎn)動(dòng) =常量常量 ）（02022 t 0與質(zhì)點(diǎn)勻變速直線運(yùn)動(dòng)公式相對(duì)應(yīng)與質(zhì)點(diǎn)勻變速直線運(yùn)動(dòng)公式相對(duì)應(yīng).tt d)(d tt d)(d ttt00d)( ttt00d)( (5)剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)方程剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)方程勻速轉(zhuǎn)動(dòng)勻速轉(zhuǎn)動(dòng) =常量常量 t 0(6) 角量與線量的關(guān)系角量與線量的關(guān)系線量線量質(zhì)點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)的位移質(zhì)點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)的位移r、速度、速度

10、v、加速度、加速度a 角量角量描述剛體轉(zhuǎn)動(dòng)整體運(yùn)動(dòng)的描述剛體轉(zhuǎn)動(dòng)整體運(yùn)動(dòng)的rs rrva22n ra t rv 注注: r 的原點(diǎn)必須在轉(zhuǎn)軸上的原點(diǎn)必須在轉(zhuǎn)軸上. 弧長(zhǎng)弧長(zhǎng) 線速度線速度 切向加速度切向加速度 法向加速度法向加速度 ，r sOtexy角量與線量的矢量關(guān)系式為角量與線量的矢量關(guān)系式為 rv rta ddt )(nra )(ddntrrtaaa OP rrv rta ddt )(nra 7.1.3角速度矢量角速度矢量 O 角速度是矢量，其方向沿轉(zhuǎn)角速度是矢量，其方向沿轉(zhuǎn)軸且與剛體轉(zhuǎn)動(dòng)方向成右手螺旋軸且與剛體轉(zhuǎn)動(dòng)方向成右手螺旋系統(tǒng)系統(tǒng). 若剛體同時(shí)參與兩個(gè)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)，若剛體同時(shí)參與兩個(gè)

11、軸的轉(zhuǎn)動(dòng)，則合成角速度按平行四邊形法則進(jìn)則合成角速度按平行四邊形法則進(jìn)行合成行合成.O 2 1 AAA注：注：角速度總是與無(wú)限小角位移角速度總是與無(wú)限小角位移相聯(lián)系相聯(lián)系,無(wú)限小角位移是矢量無(wú)限小角位移是矢量,所以所以角速度也是矢量角速度也是矢量.而有限角位移不而有限角位移不是矢量是矢量.角速度和角加速度在直角坐標(biāo)系的正交分解式為角速度和角加速度在直角坐標(biāo)系的正交分解式為 k j i zyx k j i zyx txxdd 其中其中 tyydd tzzdd 剛體作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，令轉(zhuǎn)軸與剛體作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，令轉(zhuǎn)軸與 z 軸重合，軸重合， 有有k z k z 0 yx 7.1.4剛體的平面運(yùn)動(dòng)剛體的平面運(yùn)

12、動(dòng) 剛體的平面運(yùn)動(dòng)剛體的平面運(yùn)動(dòng)剛體內(nèi)所有的點(diǎn)都平行于某一平剛體內(nèi)所有的點(diǎn)都平行于某一平面而運(yùn)動(dòng)面而運(yùn)動(dòng). 如車輪滾動(dòng)等如車輪滾動(dòng)等.動(dòng)畫(huà)演示動(dòng)畫(huà)演示1.剛體的平面運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)：剛體的平面運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)： (1)每一質(zhì)元軌跡都是一條平面曲線，質(zhì)心始終落在每一質(zhì)元軌跡都是一條平面曲線，質(zhì)心始終落在 一個(gè)平面上一個(gè)平面上.(3)剛體內(nèi)垂直于固定平面的直線上的各點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)狀剛體內(nèi)垂直于固定平面的直線上的各點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)狀況都相同況都相同.(2)轉(zhuǎn)軸總是保持平行，并與固定平面垂直轉(zhuǎn)軸總是保持平行，并與固定平面垂直.(4)可用與固定平面平行的平面在剛體內(nèi)截出一平面可用與固定平面平行的平面在剛體內(nèi)截出一平面圖形來(lái)代表剛體圖

13、形來(lái)代表剛體.2. 平面運(yùn)動(dòng)的方程平面運(yùn)動(dòng)的方程 剛體平面運(yùn)動(dòng)剛體平面運(yùn)動(dòng) = B點(diǎn)平動(dòng)點(diǎn)平動(dòng) + 繞繞B點(diǎn)軸轉(zhuǎn)動(dòng)點(diǎn)軸轉(zhuǎn)動(dòng) 建立坐標(biāo)系建立坐標(biāo)系Oxyz，使平面圖形在，使平面圖形在Oxyz面內(nèi)面內(nèi), z軸軸與屏幕垂直與屏幕垂直. 在平面上任取一點(diǎn)在平面上任取一點(diǎn)B，稱為基點(diǎn)，以基點(diǎn)，稱為基點(diǎn)，以基點(diǎn)B為原為原點(diǎn)建各坐標(biāo)軸平行于點(diǎn)建各坐標(biāo)軸平行于Oxyz的動(dòng)坐標(biāo)系的動(dòng)坐標(biāo)系Bx y z .BBrBBr AAA A122 jtyitxtrBBB)()()( )(t Oxyx y 點(diǎn)點(diǎn)的的位位矢矢點(diǎn)點(diǎn)相相對(duì)對(duì)是是BAr 3. 平面運(yùn)動(dòng)的剛體上任意一點(diǎn)的速度平面運(yùn)動(dòng)的剛體上任意一點(diǎn)的速度 平面上平面上

14、A點(diǎn)相對(duì)于點(diǎn)相對(duì)于Oxyz系的位置矢量系的位置矢量 rrrB vvtrtrtrvBB dddddd剛體繞過(guò)基點(diǎn)的角速度剛體繞過(guò)基點(diǎn)的角速度 rv rvvB 4.無(wú)滑滾動(dòng)無(wú)滑滾動(dòng)(純滾動(dòng)純滾動(dòng))條件條件 (1)有滑動(dòng)滾動(dòng)和無(wú)滑動(dòng)滾動(dòng)有滑動(dòng)滾動(dòng)和無(wú)滑動(dòng)滾動(dòng) 有滑滾動(dòng)有滑滾動(dòng)接觸面之間有相對(duì)滑動(dòng)的滾動(dòng)接觸面之間有相對(duì)滑動(dòng)的滾動(dòng)(摩擦力不夠大摩擦力不夠大). 無(wú)滑滾動(dòng)無(wú)滑滾動(dòng)接觸面之間無(wú)相對(duì)滑動(dòng)的滾動(dòng)接觸面之間無(wú)相對(duì)滑動(dòng)的滾動(dòng)(摩擦力足夠摩擦力足夠 大大) 也稱純滾動(dòng)也稱純滾動(dòng). 無(wú)滑滾動(dòng)條件無(wú)滑滾動(dòng)條件: rvzcy razcy rvvc 當(dāng)邊緣上一點(diǎn)當(dāng)邊緣上一點(diǎn)P與支承面接觸的瞬時(shí)，與支承面接觸的

15、瞬時(shí)，0 v證證 以圓柱體中心軸線上一點(diǎn)以圓柱體中心軸線上一點(diǎn)C為基點(diǎn)為基點(diǎn),則邊緣上一點(diǎn)則邊緣上一點(diǎn) rvzcy 0 rvc AxyOCr cvvr cvvr cvP實(shí)際上實(shí)際上,當(dāng)柱體繞中心轉(zhuǎn)動(dòng)當(dāng)柱體繞中心轉(zhuǎn)動(dòng),其中心軸前進(jìn)的距離其中心軸前進(jìn)的距離 ryc rvc rac rryC2 r微分微分 7.2 剛體的動(dòng)量和質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理剛體的動(dòng)量和質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理7.2.1 剛體的質(zhì)心剛體的質(zhì)心 7.2.2 剛體的動(dòng)量和質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理剛體的動(dòng)量和質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理7.2 剛體的動(dòng)量和質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理剛體的動(dòng)量和質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理7.2.1 剛體的質(zhì)心剛體的質(zhì)心 在在O-xyz坐標(biāo)中，質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)心坐標(biāo)為坐標(biāo)中，質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)

16、心坐標(biāo)為 iiicmxmx iiicmymy iiicmzmz對(duì)質(zhì)量連續(xù)分布的剛體對(duì)質(zhì)量連續(xù)分布的剛體, VVcmmxxdd VVcmmyydd VVcmmzzdd剛體是特殊質(zhì)點(diǎn)系，上述各式同樣適用于剛體剛體是特殊質(zhì)點(diǎn)系，上述各式同樣適用于剛體. VVcVVxxdd 引入體密度引入體密度 VVcVVyydd VVcVVzzdd 均質(zhì)物體均質(zhì)物體 VVxxVc dVVyyVc dVVzzVc d例題例題1求質(zhì)量均勻，半徑為求質(zhì)量均勻，半徑為R的半球的質(zhì)心位置的半球的質(zhì)心位置.解解 設(shè)半球的密度為設(shè)半球的密度為 ，將半球分割成許多厚為，將半球分割成許多厚為dx的圓的圓片，任取其一片，任取其一xxR

17、xyVd)(dd222 R83 3/2d)(3022RxxRxR 33323421RRV VVxxVc d由對(duì)稱性得由對(duì)稱性得 0 cczyxROyzyxxd例題例題2 在半徑為在半徑為R的均質(zhì)等厚大圓板的一側(cè)挖掉半徑為的均質(zhì)等厚大圓板的一側(cè)挖掉半徑為R/2的小圓板的小圓板,大小圓板相切大小圓板相切,如圖所示如圖所示.求余下部分的質(zhì)心求余下部分的質(zhì)心.xyO解解 由對(duì)稱性，由對(duì)稱性，yc= 0 余下部分余下部分0 cx2141Rm 2/1Rxc 2243Rm 2222432410RxRRRc 62Rxc 2Rm 設(shè)平板面密度為設(shè)平板面密度為 ,大圓板大圓板小圓板小圓板7.2.2 剛體的動(dòng)量和質(zhì)

18、心運(yùn)動(dòng)定理剛體的動(dòng)量和質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理剛體動(dòng)量剛體動(dòng)量 cvmp 質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定律質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定律cciamtvmF dd質(zhì)心加速度質(zhì)心加速度剛體的總質(zhì)量剛體的總質(zhì)量剛體所受的外力矢量和剛體所受的外力矢量和例題例題3一圓盤(pán)形均質(zhì)飛輪質(zhì)量為一圓盤(pán)形均質(zhì)飛輪質(zhì)量為m=5.0kg，半徑為，半徑為r=0.15m,轉(zhuǎn)速為轉(zhuǎn)速為n=400r/min.飛輪作勻速轉(zhuǎn)動(dòng)飛輪作勻速轉(zhuǎn)動(dòng).飛輪質(zhì)心飛輪質(zhì)心距轉(zhuǎn)軸距轉(zhuǎn)軸d=0.001m，求飛輪作用于軸承的壓力，求飛輪作用于軸承的壓力.計(jì)入飛輪計(jì)入飛輪質(zhì)量但不考慮飛輪重量（這意味著僅計(jì)算由于飛輪的轉(zhuǎn)質(zhì)量但不考慮飛輪重量（這意味著僅計(jì)算由于飛輪的轉(zhuǎn)動(dòng)使軸承受到的壓力，不考慮飛輪所受重

19、力對(duì)該壓力的動(dòng)使軸承受到的壓力，不考慮飛輪所受重力對(duì)該壓力的影響）影響）.rad/s 9 .41rad/s301416. 340030 n 解解 根據(jù)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理根據(jù)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理N 8 . 8N001. 09 .410 . 522 dmF 7.3 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量7.3.1 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)軸上一點(diǎn)的角動(dòng)量剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)軸上一點(diǎn)的角動(dòng)量7.3.2 剛體對(duì)一定轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量剛體對(duì)一定轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量7.3.3 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理和轉(zhuǎn)動(dòng)定理剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理和轉(zhuǎn)動(dòng)定理7.3.4 剛體的重心剛體的重心7.3.5 典型例子典型例子7.3 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角

20、動(dòng)量剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量7.3.1 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)軸上一點(diǎn)的角動(dòng)量剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)軸上一點(diǎn)的角動(dòng)量1.轉(zhuǎn)軸為對(duì)稱軸轉(zhuǎn)軸為對(duì)稱軸 zm1m2Or1r2 2r1r L1L2L如圖如圖,對(duì)對(duì)O點(diǎn)點(diǎn) k 1111vmrL 2222vmrL 1111vmrL 2222vmrL 因因m1= m2= m kLL coscos222111vmrvmrL 22mr rrr 21rvv 21故總角動(dòng)量故總角動(dòng)量 2.轉(zhuǎn)軸為非對(duì)稱軸轉(zhuǎn)軸為非對(duì)稱軸 zm1m2O 2 12r 1r L1L2Lk 如圖如圖, 對(duì)對(duì)O點(diǎn)同樣有點(diǎn)同樣有 1111vmrL 2222vmrL 1111vmrL 2222vmrL 2

21、1LLL 總角動(dòng)量與轉(zhuǎn)軸成總角動(dòng)量與轉(zhuǎn)軸成 角角. 剛體繞對(duì)稱軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，剛體上任一點(diǎn)的角動(dòng)量剛體繞對(duì)稱軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，剛體上任一點(diǎn)的角動(dòng)量與角速度方向相同與角速度方向相同.一般情況，剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)軸上一般情況，剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)軸上一點(diǎn)的角動(dòng)量并不一定沿角速度的方向，而是與之一點(diǎn)的角動(dòng)量并不一定沿角速度的方向，而是與之成一定夾角成一定夾角.7.3.2 剛體對(duì)一定轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量剛體對(duì)一定轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量iiiivmrL 質(zhì)點(diǎn)系對(duì)點(diǎn)的角動(dòng)量質(zhì)點(diǎn)系對(duì)點(diǎn)的角動(dòng)量 設(shè)剛體繞設(shè)剛體繞Oz 軸轉(zhuǎn)動(dòng)，剛體角動(dòng)量在軸轉(zhuǎn)動(dòng)，剛體角動(dòng)量在 z 軸的投影軸的投影 iizzLL iiirm )(2ziizrv 2iizrmI剛體對(duì)

22、剛體對(duì) z 軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 剛體對(duì)剛體對(duì) z 軸角動(dòng)量軸角動(dòng)量 zzzIL 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是轉(zhuǎn)動(dòng)慣性的量度轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是轉(zhuǎn)動(dòng)慣性的量度. 22ML mkg 單單位位：1.轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 質(zhì)量連續(xù)質(zhì)量連續(xù)分布的剛體分布的剛體 VmSmlmmrJddddddd2 體體面面線線其中其中 、 、 分別為質(zhì)量的線密度、面密度和體分別為質(zhì)量的線密度、面密度和體密度密度.轉(zhuǎn)軸的位置轉(zhuǎn)軸的位置; 質(zhì)量分布質(zhì)量分布. 總質(zhì)量；總質(zhì)量；轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的決定因素：轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的決定因素：(1) 轉(zhuǎn)軸過(guò)中心與桿垂直轉(zhuǎn)軸過(guò)中心與桿垂直 取質(zhì)元：取質(zhì)元： xlmmdd d d2222 llxlmxmrJ(2) 轉(zhuǎn)軸過(guò)棒一端與棒垂直轉(zhuǎn)

23、軸過(guò)棒一端與棒垂直 31d d2022lmxlmxmrJl 例例1: 1: 勻質(zhì)細(xì)桿的勻質(zhì)細(xì)桿的 J 。 OxxOxdmxdxdmxd 1212lm J例例1求均質(zhì)圓盤(pán)求均質(zhì)圓盤(pán)(m,R)過(guò)圓心且與板面垂直的轉(zhuǎn)軸的過(guò)圓心且與板面垂直的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 .解解242121mRhR xyzrdr盤(pán)由許多環(huán)組成盤(pán)由許多環(huán)組成 mrIdd2 mrId2 rhrrd22 Rrrh03d2 2.幾種典型形狀剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量幾種典型形狀剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 圓筒圓筒 )(212221RRmI 圓環(huán)圓環(huán)I=mR2 RmO O 圓柱圓柱 221mRI LRR2R12121mlI 細(xì)圓棒細(xì)圓棒lR圓球圓球 252m

24、RI 球殼球殼 R232mRI 3. 回轉(zhuǎn)半徑回轉(zhuǎn)半徑 任何轉(zhuǎn)動(dòng)慣量均有任何轉(zhuǎn)動(dòng)慣量均有 I = mk2 k稱為回轉(zhuǎn)半徑稱為回轉(zhuǎn)半徑 Rk52 圓球圓球Rk21 圓柱圓柱質(zhì)量相同的剛體，質(zhì)量相同的剛體，I ，k (1)平行軸定理平行軸定理 ABCdxmi i i i iiCmI2 對(duì)對(duì)C A軸平行軸平行C 軸（質(zhì)心軸）軸（質(zhì)心軸）對(duì)對(duì)AiiAmI2 由圖由圖 iiiidd cos2222 iiAmI2 )cos2(22iiiiddm dmdmmiiiiii2cos22 iiiiixmm cos故：故： 2mdIIcA 平行軸定理平行軸定理 0 cmx4.反映轉(zhuǎn)動(dòng)慣量性質(zhì)的定理反映轉(zhuǎn)動(dòng)慣量性質(zhì)的

25、定理 (2)垂直軸定理（正交軸定理）垂直軸定理（正交軸定理）mi ixyz yixiOzxyIII(3)可疊加原理可疊加原理 若一個(gè)復(fù)雜形狀的物體是由許多簡(jiǎn)單形體組成，若一個(gè)復(fù)雜形狀的物體是由許多簡(jiǎn)單形體組成，則這個(gè)復(fù)雜物體的對(duì)某軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等于各簡(jiǎn)單形則這個(gè)復(fù)雜物體的對(duì)某軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等于各簡(jiǎn)單形體對(duì)同一轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量之疊加體對(duì)同一轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量之疊加.LR例例 質(zhì)量為質(zhì)量為m半徑為半徑為R長(zhǎng)為長(zhǎng)為l的實(shí)圓柱體對(duì)中心直徑的實(shí)圓柱體對(duì)中心直徑的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量取取x-x+dx處質(zhì)量處質(zhì)量dm的薄盤(pán)的薄盤(pán)2222222222222211241+x411+xdx+x4411412xzzlzlmmd

26、mdvR dxdxR lldIdmRdIdmRdIdmRdmmmIdmRdmRdxllmRml由垂直軸定理又由平行軸定理7.3.3 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理和轉(zhuǎn)動(dòng)定理剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理和轉(zhuǎn)動(dòng)定理zzzizIttLM dddd iizzLLzziiiIrm )(2剛體對(duì)定軸的角動(dòng)量剛體對(duì)定軸的角動(dòng)量 角動(dòng)量定理微分形式角動(dòng)量定理微分形式 0dzzzzzIItM 角動(dòng)量定理積分形式角動(dòng)量定理積分形式 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng) I = 常量常量zzizIM 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)定理剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)定理說(shuō)明：說(shuō)明：地地位位相相當(dāng)當(dāng)與與amFIM )1(式式中中各各量量對(duì)對(duì)同同一一轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)軸軸)2(.

27、00 , ,3轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)第第一一定定律律恒恒量量，若若則則常常量量）（ MMI IM 注意：注意：1. 1. 隔離法分析研究對(duì)象，建立坐標(biāo)系。隔離法分析研究對(duì)象，建立坐標(biāo)系。2. 2. 對(duì)剛體列轉(zhuǎn)動(dòng)定律方程，對(duì)質(zhì)點(diǎn)列牛頓定律方程。對(duì)剛體列轉(zhuǎn)動(dòng)定律方程，對(duì)質(zhì)點(diǎn)列牛頓定律方程。3. 3. 列出輔助方程。列出輔助方程。七七、轉(zhuǎn)動(dòng)定律的應(yīng)用轉(zhuǎn)動(dòng)定律的應(yīng)用（重點(diǎn)）（重點(diǎn)） 力矩和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量必須對(duì)同一轉(zhuǎn)軸而言。力矩和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量必須對(duì)同一轉(zhuǎn)軸而言。 選定轉(zhuǎn)軸正方向選定轉(zhuǎn)軸正方向, , 以確定力矩、角加速度、角速度的正負(fù)。以確定力矩、角加速度、角速度的正負(fù)。 當(dāng)系統(tǒng)中既有轉(zhuǎn)動(dòng)物體，又有平動(dòng)物體時(shí)當(dāng)系統(tǒng)中既有轉(zhuǎn)動(dòng)物體

28、，又有平動(dòng)物體時(shí), , 用隔離法解題。用隔離法解題。 對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)物體用轉(zhuǎn)動(dòng)定律建立方程對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)物體用轉(zhuǎn)動(dòng)定律建立方程, , 對(duì)平動(dòng)物體則用牛頓定律對(duì)平動(dòng)物體則用牛頓定律 建立方程。建立方程。解解: : 隔離法隔離法 列出運(yùn)動(dòng)方程列出運(yùn)動(dòng)方程 amTgm111 Ra 從以上各式解得從以上各式解得 2/21f21221f21mmmRMgmmRJmmRMgmma T2T1m1gm2gm2m1a輔助方程：輔助方程： amgmT222 f21 JMRTRT :1 m :2 m: m T1T2RmO fM m2m1aRm例例 4 4:已知已知, 1m, 2mT.a,R,m,m1張張力力加加速速度度求求定定滑滑輪

29、輪:,m2 一一、質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律和剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)規(guī)律的對(duì)比質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律和剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)規(guī)律的對(duì)比 (一一)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)速度速度角速度角速度加速度加速度角加速度角加速度質(zhì)量質(zhì)量 m , 力力 F轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 J , , 力矩力矩 M力的功力的功力矩的功力矩的功動(dòng)能動(dòng)能轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能勢(shì)能勢(shì)能轉(zhuǎn)動(dòng)勢(shì)能轉(zhuǎn)動(dòng)勢(shì)能trvdd tdd tvadd tdd 221mvEk 221 JEk barFAd baMA dmghEp cpmghE 質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律和剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)規(guī)律的對(duì)比質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律和剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)規(guī)律的對(duì)比(二二)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)牛頓定律牛頓定律

30、轉(zhuǎn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)定律動(dòng)量定理動(dòng)量定理角動(dòng)量定理角動(dòng)量定理動(dòng)量守恒動(dòng)量守恒角動(dòng)量守恒角動(dòng)量守恒動(dòng)能定理動(dòng)能定理轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理機(jī)械能守恒機(jī)械能守恒機(jī)械能守恒機(jī)械能守恒amF JM 00diiitivmvmtF const pk EE2022121mvmvA iiiiiivmvm02022121 JJA const pk EE tJJtM000d 00 JJ 7.3.4 剛體的重心剛體的重心重心重心剛體處于不同方位時(shí)剛體處于不同方位時(shí),重力作用線都要通過(guò)的那重力作用線都要通過(guò)的那 一點(diǎn)一點(diǎn). 如圖如圖,被懸掛剛體處于靜止被懸掛剛體處于靜止,C為重心為重心,因因C不動(dòng)不動(dòng),可視為可視為轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)軸.

31、因?yàn)閯傮w靜止因?yàn)閯傮w靜止,所以諸體元重力對(duì)所以諸體元重力對(duì)C 軸合力矩為零軸合力矩為零.xzCiWyABDWCCABDW0)( ciixxWWzWziic gmWii 則重心坐標(biāo)與質(zhì)心坐標(biāo)同，但概念不同則重心坐標(biāo)與質(zhì)心坐標(biāo)同，但概念不同. 質(zhì)心是質(zhì)量質(zhì)心是質(zhì)量中心，其運(yùn)動(dòng)服從質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理中心，其運(yùn)動(dòng)服從質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理. 重心是重力合力作重心是重力合力作用線通過(guò)的那一點(diǎn)用線通過(guò)的那一點(diǎn).WxWxiic WyWyiic 若取若取例題例題2如圖如圖(a)表示半徑為表示半徑為R的放水弧形閘門(mén)，可繞圖的放水弧形閘門(mén)，可繞圖中左方支點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，總質(zhì)量為中左方支點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，總質(zhì)量為m,質(zhì)心在距轉(zhuǎn)軸質(zhì)心在距轉(zhuǎn)軸 處，處

32、，閘門(mén)及鋼架對(duì)質(zhì)點(diǎn)的總轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為閘門(mén)及鋼架對(duì)質(zhì)點(diǎn)的總轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 ,可用鋼可用鋼絲繩將弧形閘門(mén)提起放水，近似認(rèn)為在開(kāi)始提升時(shí)鋼絲繩將弧形閘門(mén)提起放水，近似認(rèn)為在開(kāi)始提升時(shí)鋼架部分處于水平，弧形部分的切向加速度為架部分處于水平，弧形部分的切向加速度為a=0.1g，g為重力加速度為重力加速度,不計(jì)摩擦不計(jì)摩擦,不計(jì)水浮力不計(jì)水浮力.297mRI R32圖圖(a) （1）求開(kāi)始提升時(shí)的瞬時(shí)，鋼絲繩對(duì)弧形閘門(mén)的拉力）求開(kāi)始提升時(shí)的瞬時(shí)，鋼絲繩對(duì)弧形閘門(mén)的拉力和支點(diǎn)對(duì)閘門(mén)鋼架的支承力和支點(diǎn)對(duì)閘門(mén)鋼架的支承力.（2）若以同樣加速度提升同樣重量的平板閘門(mén)）若以同樣加速度提升同樣重量的平板閘門(mén)圖圖(b)需拉力是

33、多少？需拉力是多少？TF W圖圖(b) xyONFTFW圖圖(a) 解解（1）以弧形閘門(mén)及鋼架）以弧形閘門(mén)及鋼架為隔離體，受力如圖為隔離體，受力如圖(a)所示所示. 建立直角坐標(biāo)系建立直角坐標(biāo)系Oxy，camWFF NT向向x及及y軸投影得軸投影得 根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)定理根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)定理xcxmaF NzmRRmgRF 2T9732 ycymaFmgF NT0 xcaRaz Razcy 32 起動(dòng)時(shí)起動(dòng)時(shí)根據(jù)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理根據(jù)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理 即起動(dòng)瞬時(shí)繩對(duì)閘板的拉力為即起動(dòng)瞬時(shí)繩對(duì)閘板的拉力為 ，質(zhì)點(diǎn)，質(zhì)點(diǎn)O 對(duì)閘門(mén)鋼對(duì)閘門(mén)鋼架的支承力豎直向上，大小等于架的支承力豎直向上，大小等于29mg/90.mg9067T

34、F W圖圖(b) mgFy9029N mgF9067T 0N xF(2) 用用 表示提升平板形閘門(mén)所用的拉力，對(duì)閘門(mén)應(yīng)表示提升平板形閘門(mén)所用的拉力，對(duì)閘門(mén)應(yīng)用牛頓第二定律，得：用牛頓第二定律，得：TF mgF1011T 比較上面結(jié)果，可見(jiàn)提升弧形閘門(mén)比較上面結(jié)果，可見(jiàn)提升弧形閘門(mén)所用的拉力較小所用的拉力較小.mamgF T例題例題3如圖表示一種用實(shí)驗(yàn)方法測(cè)量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的裝置。如圖表示一種用實(shí)驗(yàn)方法測(cè)量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的裝置。待測(cè)剛體裝在轉(zhuǎn)動(dòng)架上，線的一端繞在轉(zhuǎn)動(dòng)架的輪軸上，待測(cè)剛體裝在轉(zhuǎn)動(dòng)架上，線的一端繞在轉(zhuǎn)動(dòng)架的輪軸上，線與線軸垂直，輪軸的軸體半徑為線與線軸垂直，輪軸的軸體半徑為r，線的另一端通過(guò)定，

35、線的另一端通過(guò)定滑輪懸掛質(zhì)量為滑輪懸掛質(zhì)量為m的重物，已知轉(zhuǎn)動(dòng)架慣量為的重物，已知轉(zhuǎn)動(dòng)架慣量為I0 ，并測(cè)得，并測(cè)得m自靜止開(kāi)始下落自靜止開(kāi)始下落 h 高度的時(shí)間為高度的時(shí)間為 t ,求待測(cè)物體的轉(zhuǎn)動(dòng)求待測(cè)物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量慣量I，不計(jì)兩軸承處的摩擦，不計(jì)滑輪和線的質(zhì)量，線，不計(jì)兩軸承處的摩擦，不計(jì)滑輪和線的質(zhì)量，線的長(zhǎng)度不變的長(zhǎng)度不變.hII0rm解解分別以質(zhì)點(diǎn)分別以質(zhì)點(diǎn) m 和轉(zhuǎn)動(dòng)系統(tǒng)和轉(zhuǎn)動(dòng)系統(tǒng) I+I0 作為研究對(duì)象，作為研究對(duì)象，受力分析如圖受力分析如圖.xyONF1TF2TFWmaFmg 2T )(01TIIrF 2T1TFF ra 221gth 022)12(IhgtmrI ddddz

36、izzzzLMIItt角動(dòng)量定理微分形式角動(dòng)量定理微分形式 0dzzzzzzzM td III角動(dòng)量定理積分形式角動(dòng)量定理積分形式 例例P236 7-8o1o2211111011 122222202221111012222201 1221212FRdtIIImRFR dtIIIm RIIRRIIRR7.4剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理 7.4.1力矩的功力矩的功 7.4.2 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理 7.4.3 剛體的重力勢(shì)能剛體的重力勢(shì)能 ddrFdsFA對(duì)有限角位移對(duì)有限角位移 dd00 zMrFA作用于剛體的外力的功，可用外作用于剛體的外力的功，可用外力

37、對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩力對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩 所做的功來(lái)計(jì)算所做的功來(lái)計(jì)算.力矩的功率：力矩的功率：zzzMtMtAP dddd7.4.1力矩的功力矩的功 剛體中剛體中P點(diǎn)在力點(diǎn)在力 的作用下位移的作用下位移 則則力元功力元功 FrdFOzrF F dzFPr 7.4.2 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理 當(dāng)剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)當(dāng)剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),其動(dòng)能為所有質(zhì)點(diǎn)作圓其動(dòng)能為所有質(zhì)點(diǎn)作圓周運(yùn)動(dòng)動(dòng)能的總和周運(yùn)動(dòng)動(dòng)能的總和.2k21 zIE 2kk21iiivmEE 2221 iirm 22)(21 iirm2k21iiivmE 任意質(zhì)元的動(dòng)能為：任意質(zhì)元的動(dòng)能為：1. 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的動(dòng)能定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的動(dòng)能

38、 剛體的動(dòng)能剛體的動(dòng)能 2. 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的動(dòng)能定理定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的動(dòng)能定理 2022121 zziIIAA 外外外外 zzIM d0iziMA外外外外 ddd tIz 0d zI 作用于剛體的外力對(duì)固定軸的力矩所做的功等作用于剛體的外力對(duì)固定軸的力矩所做的功等于剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能的改變量于剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能的改變量. dzI不變質(zhì)點(diǎn)系不變質(zhì)點(diǎn)系,內(nèi)力做功之和為零內(nèi)力做功之和為零7.4.3 剛體的重力勢(shì)能剛體的重力勢(shì)能 cmgyE p 剛體的重力勢(shì)能與質(zhì)量集中在質(zhì)心上的一個(gè)質(zhì)點(diǎn)剛體的重力勢(shì)能與質(zhì)量集中在質(zhì)心上的一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的重力勢(shì)能相同的重力勢(shì)能相同. iigymEpgymii)( mgymmii)

39、( 剛體的重力勢(shì)能剛體的重力勢(shì)能 例題例題1裝置如圖所示，均質(zhì)圓柱體質(zhì)量為裝置如圖所示，均質(zhì)圓柱體質(zhì)量為m1，半徑為，半徑為R，重錘質(zhì)量為重錘質(zhì)量為m2 ，最初靜止，后將重錘釋放下落并帶動(dòng)，最初靜止，后將重錘釋放下落并帶動(dòng)柱體旋轉(zhuǎn)，求重錘下落柱體旋轉(zhuǎn)，求重錘下落 h 高度時(shí)的速率高度時(shí)的速率v，不計(jì)阻力，不計(jì)阻力，不計(jì)繩的質(zhì)量及伸長(zhǎng)不計(jì)繩的質(zhì)量及伸長(zhǎng).1m2mhR解解 方法方法1. 利用質(zhì)點(diǎn)和剛體轉(zhuǎn)利用質(zhì)點(diǎn)和剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理求解動(dòng)的動(dòng)能定理求解.22T221vmhFghm 2212T4121 RmIRF 由質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能定理由質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能定理 由剛體動(dòng)能定理由剛體動(dòng)能定理 約束關(guān)系約束關(guān)系 Rv hR

40、 聯(lián)立得聯(lián)立得 21222mmghmv 方法方法2. 利用質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理求解利用質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理求解 將轉(zhuǎn)動(dòng)柱體、下落物體視作質(zhì)點(diǎn)系將轉(zhuǎn)動(dòng)柱體、下落物體視作質(zhì)點(diǎn)系 由質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理由質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理 221222222)21(21212121 RmvmIvmghm 約束關(guān)系約束關(guān)系 Rv hR 聯(lián)立得聯(lián)立得 21222mmghmv 例題例題2均質(zhì)桿的質(zhì)量為均質(zhì)桿的質(zhì)量為m，長(zhǎng)為，長(zhǎng)為l,一端為光滑的支點(diǎn)一端為光滑的支點(diǎn).最最初處于水平位置，釋放后桿向下擺動(dòng)，如圖所示初處于水平位置，釋放后桿向下擺動(dòng)，如圖所示.（1）求桿在圖示的豎直位置時(shí)，其下端點(diǎn)的線速度）求桿在圖示的豎直位置時(shí)，其下端點(diǎn)的線速度v

41、；（2）求桿在圖示的豎直位置時(shí)，桿對(duì)支點(diǎn)的作用力）求桿在圖示的豎直位置時(shí)，桿對(duì)支點(diǎn)的作用力.ONFnete解解(1)由機(jī)械能守恒得由機(jī)械能守恒得221 Imghc lhc21 231mlI 聯(lián)立得聯(lián)立得 glv3 CEp=0W(2)根據(jù)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理根據(jù)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理 camWF NNttt000ccFmaMa分量式分量式 ccrvmmgF2Nn 例：質(zhì)量為例：質(zhì)量為M ，長(zhǎng)長(zhǎng) l 的勻質(zhì)細(xì)桿一端懸掛于光滑的的勻質(zhì)細(xì)桿一端懸掛于光滑的O點(diǎn)點(diǎn)，質(zhì)量為質(zhì)量為 m 的子彈以水平速度的子彈以水平速度 v 從從 A 點(diǎn)射入桿并陷入其中點(diǎn)射入桿并陷入其中，使桿使桿轉(zhuǎn)動(dòng)的最大角度為轉(zhuǎn)動(dòng)的最大角度為 30。已知已

42、知 OA = l，求求：子彈入射速度子彈入射速度。 )31(22lmMllmv 桿擺動(dòng)過(guò)程僅重力矩做功，桿擺動(dòng)過(guò)程僅重力矩做功，系統(tǒng)機(jī)械能守恒系統(tǒng)機(jī)械能守恒：)30cos1)(2()31(21222 lmglMglmMl 聯(lián)立聯(lián)立 解得：解得： )3)(2)(32(6122lmMllmMlglmv ov30Al Mgmg解：兩個(gè)物理過(guò)程解：兩個(gè)物理過(guò)程 子彈以子彈以 v 射入桿內(nèi)與桿獲得共同角速度射入桿內(nèi)與桿獲得共同角速度 的過(guò)程，的過(guò)程，系統(tǒng)角動(dòng)量守恒系統(tǒng)角動(dòng)量守恒： p241 p241 例例7-11 7-11 ：222011()33MlMlml環(huán)環(huán)mm與桿與桿系統(tǒng)在環(huán)從系統(tǒng)在環(huán)從A A到到

43、B B 的過(guò)程的過(guò)程系統(tǒng)機(jī)械能守恒系統(tǒng)機(jī)械能守恒：2222201 11 11()()2 32 32sinMlMlmvlvBA 環(huán)環(huán)mm與桿與桿系統(tǒng)在環(huán)從系統(tǒng)在環(huán)從A A到到B B 的過(guò)程，的過(guò)程，系統(tǒng)系統(tǒng)角動(dòng)量守恒角動(dòng)量守恒：7.5 剛體平面運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)剛體平面運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué) 7.5.1 剛體平面運(yùn)動(dòng)的基本動(dòng)力學(xué)方程剛體平面運(yùn)動(dòng)的基本動(dòng)力學(xué)方程 7.5.2 作用于剛體上的力作用于剛體上的力 7.5.3 剛體平面運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能剛體平面運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能 7.5.4 滾動(dòng)摩擦力偶矩滾動(dòng)摩擦力偶矩 7.5.5 汽車輪的受力汽車的極限速度汽車輪的受力汽車的極限速度 7.5 剛體平面運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)剛體平面運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)

44、7.5.1 剛體平面運(yùn)動(dòng)的基本動(dòng)力學(xué)方程剛體平面運(yùn)動(dòng)的基本動(dòng)力學(xué)方程 平面運(yùn)動(dòng)平面運(yùn)動(dòng) = 平動(dòng)平動(dòng)+定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定軸轉(zhuǎn)動(dòng) 1.求質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)求質(zhì)心的運(yùn)動(dòng) 根據(jù)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定律根據(jù)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定律 ciamF cxixmaF cyiymaFm 剛體的質(zhì)量剛體的質(zhì)量. 所有外力的矢量和所有外力的矢量和, iF剛體作平面運(yùn)動(dòng)，受力必是平面力剛體作平面運(yùn)動(dòng)，受力必是平面力 直角坐標(biāo)系中的分量式直角坐標(biāo)系中的分量式 (7.5.1)2. 剛體繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)剛體繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng) 在質(zhì)心系中剛體作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)在質(zhì)心系中剛體作定軸轉(zhuǎn)動(dòng). 選質(zhì)心坐標(biāo)系選質(zhì)心坐標(biāo)系 Cxyz ,設(shè)設(shè)z為過(guò)質(zhì)心而垂直于固為過(guò)質(zhì)心而垂直于固定平面的軸定平面

45、的軸. 在質(zhì)心系中在質(zhì)心系中tLMMzidd 慣慣外外 M外外i 外力對(duì)質(zhì)心的力矩外力對(duì)質(zhì)心的力矩,又又 M慣慣= 0 M慣慣 慣性力對(duì)質(zhì)心力矩慣性力對(duì)質(zhì)心力矩. zzczzcziItItLM d)(ddd外外zzciIM 外外 即剛體相對(duì)于質(zhì)心的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)同樣服從定軸轉(zhuǎn)即剛體相對(duì)于質(zhì)心的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)同樣服從定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律動(dòng)定律. 式式(7.5.1)和和(7.5.2)稱剛體平面運(yùn)動(dòng)的基本動(dòng)稱剛體平面運(yùn)動(dòng)的基本動(dòng)力學(xué)方程力學(xué)方程.(7.5.2)7.5.2 作用于剛體上的力作用于剛體上的力 1.作用于剛體上力的兩種效果作用于剛體上力的兩種效果 滑移矢量滑移矢量 (1) 施于剛體的力的特點(diǎn)施于剛體的力的特點(diǎn)

46、 作用力通過(guò)質(zhì)心，對(duì)質(zhì)心軸上的作用力通過(guò)質(zhì)心，對(duì)質(zhì)心軸上的力矩為零，使剛體產(chǎn)生平動(dòng)力矩為零，使剛體產(chǎn)生平動(dòng). 力作質(zhì)心軸的力矩使剛體產(chǎn)力作質(zhì)心軸的力矩使剛體產(chǎn)生角加速度生角加速度. 施于剛體的某個(gè)點(diǎn)的力施于剛體的某個(gè)點(diǎn)的力,決不可以隨便移到另一點(diǎn)去決不可以隨便移到另一點(diǎn)去.AFBF(2) 施于剛體的力是滑移矢量施于剛體的力是滑移矢量 右圖中右圖中,施于施于A點(diǎn)的力點(diǎn)的力F 可用施于可用施于B點(diǎn)的力點(diǎn)的力F 代替代替,即力可沿作用線滑移即力可沿作用線滑移.ABC作用于剛體的力的三要素：作用于剛體的力的三要素： FFF大小、方向和作用線大小、方向和作用線. 2.力偶和力偶矩力偶和力偶矩 力偶力偶:

47、大小相等方向相反彼此平行的一對(duì)力大小相等方向相反彼此平行的一對(duì)力. 21FF 2211FrFrM 力偶力偶121)(Frr 112Fr 大小大小 FdrM sin12力偶力偶與參考點(diǎn)的選擇無(wú)關(guān)與參考點(diǎn)的選擇無(wú)關(guān). Odm1m22r12r1r2F1F 一般作用于剛體的力等效一般作用于剛體的力等效于一作用線通過(guò)質(zhì)心的力和一于一作用線通過(guò)質(zhì)心的力和一力偶，這力的方向和大小與原力偶，這力的方向和大小與原力相同，而力偶矩等于原力對(duì)力相同，而力偶矩等于原力對(duì)質(zhì)心軸的力矩質(zhì)心軸的力矩. 7.5.3 剛體平面運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能剛體平面運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能 22k2121 ccImvE 動(dòng)能動(dòng)能 動(dòng)能定理動(dòng)能定理 )2121(2

48、2 ccImvA 外外222121 cccImvmghE 機(jī)機(jī)械械 如果剛體不太大，若剛體在運(yùn)動(dòng)中只有保守力如果剛體不太大，若剛體在運(yùn)動(dòng)中只有保守力作功，則系統(tǒng)的機(jī)械能也守恒作功，則系統(tǒng)的機(jī)械能也守恒.例題例題1如圖，固定斜面傾角為如圖，固定斜面傾角為 ，質(zhì)量為，質(zhì)量為 m 半徑為半徑為 R 的均質(zhì)圓柱體順斜面向下作無(wú)滑滾動(dòng)，求圓柱體質(zhì)心的的均質(zhì)圓柱體順斜面向下作無(wú)滑滾動(dòng)，求圓柱體質(zhì)心的加速度加速度ac 及斜面作用于柱體的摩擦力及斜面作用于柱體的摩擦力F .x yOCx y 解解NFFW根據(jù)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理根據(jù)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理camFWF Ny 軸上投影軸上投影cmaFW sin對(duì)質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)定理對(duì)質(zhì)

49、心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)定理 Rac sin31 sin32mgFgac 221mRIFR 無(wú)滑滾動(dòng)無(wú)滑滾動(dòng) 例題例題2質(zhì)量為質(zhì)量為m的汽車在水平路面上急剎車，前后輪均的汽車在水平路面上急剎車，前后輪均停止轉(zhuǎn)動(dòng)停止轉(zhuǎn)動(dòng). 前后輪相距前后輪相距L，與地面的摩擦因數(shù)為，與地面的摩擦因數(shù)為 .汽車質(zhì)汽車質(zhì)心離地面高度為心離地面高度為h，與前輪軸水平距離為，與前輪軸水平距離為l .求前后車輪對(duì)求前后車輪對(duì)地面的壓力地面的壓力.OCxyx y 1F2F1NF2NF解解 汽車受力如圖汽車受力如圖. camFFFFW 2N1N02N1N WFFy 軸投影軸投影2N21N1 FFFF 0)()(1N2N21 lFlLFhF

50、F對(duì)質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)定理對(duì)質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)定理根據(jù)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理根據(jù)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理LhlmgFLhlLmgF/ )(/ )(2N1N 由上面方程可解出由上面方程可解出根據(jù)牛頓第三定律，前后輪對(duì)地面的壓力大小分別為根據(jù)牛頓第三定律，前后輪對(duì)地面的壓力大小分別為FN1、FN2 ，但方向向下，但方向向下.例題例題3 在例題在例題1中，設(shè)圓柱體自靜止開(kāi)始滾下，求質(zhì)中，設(shè)圓柱體自靜止開(kāi)始滾下，求質(zhì)心下落高度心下落高度 h 時(shí)，圓柱體質(zhì)心的速率時(shí)，圓柱體質(zhì)心的速率.x yOCx y NFFW解解 因?yàn)槭菬o(wú)滑滾動(dòng)，靜摩因?yàn)槭菬o(wú)滑滾動(dòng)，靜摩擦力擦力F 不做功，只有重力不做功，只有重力W做功，機(jī)械能守恒做功，機(jī)械能守恒.2224121 mRmvc Rvc ghvc332 222)21(2121 mRmvmghc 無(wú)滑滾動(dòng)條件無(wú)滑滾動(dòng)條件例例7-15質(zhì)量為質(zhì)量為m, 長(zhǎng)為長(zhǎng)為