固定收益證券4創(chuàng)新

1、 債券價(jià)格的波動(dòng)性債券價(jià)格的波動(dòng)性 債券價(jià)格的利率敏感性 基點(diǎn)價(jià)格值和價(jià)格變化的收益值 債券的久期 債券的凸性 債券價(jià)格的利率敏感性債券價(jià)格的利率敏感性n 債券價(jià)格的利率敏感性債券價(jià)格的利率敏感性 定義定義：利率變化導(dǎo)致的債券價(jià)格的變化，反映了利率的價(jià)格風(fēng)險(xiǎn)。n最重要的普遍性規(guī)律（復(fù)習(xí)） 1）債券價(jià)格與投資者要求的收益率之間存在反向變動(dòng)關(guān)系：當(dāng)收益上升時(shí)，債券價(jià)格下降；當(dāng)收益下降時(shí)，債券價(jià)格上升；2）隨著到期日的臨近，債券的價(jià)格趨向于面值票面利率貼現(xiàn)率 價(jià)格面值 折價(jià)債券票面利率=貼現(xiàn)率 價(jià)格= 面值 平價(jià)債券票面利率貼現(xiàn)率 價(jià)格面值 溢價(jià)債券 債券定價(jià)法則債券定價(jià)法則n債券定價(jià)法則債券定價(jià)法

2、則關(guān)于債券價(jià)格的利率敏感性，以下4條法則已經(jīng)得到證明：1.除除永久債券永久債券外，外， 債券的債券的票面利率票面利率越低，越低，由收益率變動(dòng)引起的價(jià)格變動(dòng)的百分比越由收益率變動(dòng)引起的價(jià)格變動(dòng)的百分比越大，利率風(fēng)險(xiǎn)就越大。也就是說，票面利大，利率風(fēng)險(xiǎn)就越大。也就是說，票面利率較低的債券，其價(jià)格的利率敏感性高于率較低的債券，其價(jià)格的利率敏感性高于票面利率較高的債券。票面利率較高的債券。n例例1：A、B兩種債券，半年付息一次，下一次付息在半年后，還有零息債券C，相關(guān)資料如下： A B C票面利率 8 10 0%面值（元） 100 100 100信用評(píng)級(jí) Aa Aa Aa到期時(shí)間 10年 10年 10

3、年收益率 8 8 8價(jià)格（元） 100.00 113.59 45.64請(qǐng)計(jì)算收益率上升兩個(gè)百分點(diǎn)時(shí)債券的價(jià)格波動(dòng)百分比？n解：當(dāng)收益率上升到10時(shí)， PA=41-(1+5%)-20/5%+100/(1+5%)20 =87.54（元）PB=51-(1+5%)-20/5%+100/(1+5%)20 =100（元）Pc=100/ (1+5%)20 =37.69（元）VA=(87.54-100)/100=-12.46%VB=(100-113.59)/113.59=-11.96%VC=(37.69-45.64)/45.64=-17.42%票面利率的大小與利率風(fēng)險(xiǎn)票面利率的大小與利率風(fēng)險(xiǎn)n票面利率越低，利

4、率風(fēng)險(xiǎn)越大 $0$50$100$150$2001%3%5%7%9%11%13%15%RatePrice低利率高利率n原因：原因：息票率越低，付本金前所有利息息票率越低，付本金前所有利息收入的現(xiàn)值在整個(gè)債券價(jià)格構(gòu)成中占比收入的現(xiàn)值在整個(gè)債券價(jià)格構(gòu)成中占比重越低，本金現(xiàn)值的比重越大。本金是重越低，本金現(xiàn)值的比重越大。本金是現(xiàn)金流最主要的組成部分，其現(xiàn)值受利現(xiàn)金流最主要的組成部分，其現(xiàn)值受利率的影響最大率的影響最大 。1(1)(1)ntntCFVrrn永久性債券nP0=C/R0 P1=C/R1 n(P1-P0)/P0n=(C/R1- C/R0)/C/R0n=(R0-R1)/R1 與C無關(guān)2.債券的債

5、券的償還期償還期越長，收益率變動(dòng)越長，收益率變動(dòng)引起的價(jià)格變動(dòng)的百分比越大，引起的價(jià)格變動(dòng)的百分比越大，利率風(fēng)險(xiǎn)就越大。即長期債券比利率風(fēng)險(xiǎn)就越大。即長期債券比短期債券具有更強(qiáng)的利率敏感性。短期債券具有更強(qiáng)的利率敏感性。但隨著償還期的延長，敏感性增但隨著償還期的延長，敏感性增大的速度在下降。大的速度在下降。例例2： A、B、C三種債券，半年付息一次，下一次付息在半年后，D為無限期債券相關(guān)資料如下： A B C D票面利率 8 8 8% 8% 面值（元） 100 100 100 100信用評(píng)級(jí) Aa Aa Aa Aa到期時(shí)間 5年 10年 15年 無限期收益率 8 8 8 8價(jià)格（元） 100

6、100 100 100請(qǐng)計(jì)算收益率上升兩個(gè)百分點(diǎn)時(shí)債券的價(jià)格波動(dòng)百分比？n解：當(dāng)利率上升到10時(shí)， PA=41-(1+5%)-10/5%+100/(1+5%)10 =92.28（元）PB=41-(1+5%)-20/5%+100/(1+5%)20 = 87.54（元）Pc= 41-(1+5%)-30/5%+100/(1+5%)30 =84.63（元）PD=4/5%=80（元）VA=(92.28-100)/100=-7.72%VB=(87.54-100)/100=-12.46%VC=(84.63-100)/100=-15.37%VD=(80-100)/100=-20%nAs maturity in

7、creases, price sensitivity increases at a decreasing rate See previous ex. The price change for B is 4.74% higher than A, but the price change for C is only 2.91% higher than B.債券期限長度和利率風(fēng)險(xiǎn)債券期限長度和利率風(fēng)險(xiǎn)n債券期限越長，利率風(fēng)險(xiǎn)越大$0$50$100$150$200$2500%2%4%6%8%10%12%14%16%RatePrice15 Year10 Year5 Year 原因原因1：長期債券由于期限

8、長，利率對(duì)其長期債券由于期限長，利率對(duì)其價(jià)格的作用大。價(jià)格的作用大。n原因原因2：本金是最大數(shù)量的現(xiàn)金流，它受：本金是最大數(shù)量的現(xiàn)金流，它受市場(chǎng)利率的影響最大。當(dāng)期限增加時(shí)，市場(chǎng)利率的影響最大。當(dāng)期限增加時(shí)，本金現(xiàn)值占總現(xiàn)值的比重變小，重要性本金現(xiàn)值占總現(xiàn)值的比重變小，重要性程度下降。所以，債券價(jià)格受利率影響程度下降。所以，債券價(jià)格受利率影響雖然加大，但雖然加大，但增速遞減增速遞減。3. 當(dāng)債券的當(dāng)債券的初始初始收益率（市場(chǎng)利率收益率（市場(chǎng)利率or 到期到期收益率）越低時(shí)，價(jià)格的利率敏感性越高，收益率）越低時(shí)，價(jià)格的利率敏感性越高，利率的風(fēng)險(xiǎn)越大。利率的風(fēng)險(xiǎn)越大。例3： 有A債券，一年付息一次

9、，下一次付息在一年后，相關(guān)資料如下： A 票面利率 6 面值（元） 100 到期時(shí)間 10年 收益率 6（貼現(xiàn)率） 價(jià)格（元） 100 請(qǐng)計(jì)算收益率分別為6、5、4、3、2時(shí)，當(dāng)利率增長0.25時(shí)，債券價(jià)格變動(dòng)的百分比？到期收益率到期收益率 價(jià)格（元）價(jià)格（元） 波動(dòng)率波動(dòng)率 2% 135.93 2.25% 133.25 -1.97% 3% 125.59 3.25% 123.16 -1.93% 4% 116.22 4.25% 114.02 -1.90% 5% 107.72 5.25% 105.72 -1.86% 6% 100.00 6.25% 98.18 -1.82% 價(jià)格 收益率4、債券收益

10、變化引起的價(jià)格變化具有、債券收益變化引起的價(jià)格變化具有不對(duì)不對(duì)稱性稱性，由收益上升引起的價(jià)格下降幅度低，由收益上升引起的價(jià)格下降幅度低于由收益的等規(guī)模下降引起的價(jià)格上升的于由收益的等規(guī)模下降引起的價(jià)格上升的幅度。即債券價(jià)格對(duì)于收益率的降低比對(duì)幅度。即債券價(jià)格對(duì)于收益率的降低比對(duì)收益率的上升更敏感。收益率的上升更敏感。例4：例2中的A、B、C三種債券，收益率都為8，分別計(jì)算收益率上升兩個(gè)點(diǎn)至10和下降兩個(gè)點(diǎn)至6時(shí)債券價(jià)格的波動(dòng)率。債券債券 到期收益率到期收益率 價(jià)格（元）價(jià)格（元） 波動(dòng)率波動(dòng)率 A 8% 100.00 A 10% 92.28 -7.72% A 6% 108.53 8.53% B

11、 8% 100.00 B 10% 87.54 -12.46% B 6% 114.88 14.88% C 8% 100.00 C 10% 84.63 -15.37% C 6% 119.60 19.60% 價(jià)格 收益率 影響利率敏感性的因素 上述4條法則中的前面3條指出了影響利率敏感性的三個(gè)主要因素，即到期期限、息票利率到期期限、息票利率和初始收益率初始收益率。從下表中的數(shù)據(jù)可以看出這三個(gè)因素是如何影響利率敏感性的。同時(shí)，第4條法則也能夠由表中的數(shù)據(jù)得到體現(xiàn)。 表1: 9種債券的價(jià)格息票利率（）到期期限（年）收益率（）10.009.008.007.000.00561.3964.3967.5670.

12、890.001523.1426.7030.8335.630.00305.357.139.5112.698.00592.2896.04100.00104.168.001584.6391.86100.00109.208.003081.0789.68100.00112.4710.005100.00103.96108.11112.4710.0015100.00108.14117.29127.5710.0030100.00110.32122.62137.42 基點(diǎn)價(jià)格值基點(diǎn)價(jià)格值（Price Value of a Basis Point）n定義：定義：基點(diǎn)價(jià)格值(PVBP)是指要求的到期收益率變化一個(gè)基

13、點(diǎn)，也就是0.01個(gè)百分點(diǎn)時(shí)，債券價(jià)格的變化額。它是一個(gè)絕對(duì)值指標(biāo)。n例5：期限5年，票面利率8%（半年支付），面值100元，平價(jià)發(fā)行。求該債券的基點(diǎn)價(jià)格值。 n解：目前的到期收益率為8%。到期收益率增加1個(gè)基點(diǎn)，為8.01% ,債券新的價(jià)格n基點(diǎn)價(jià)格值 = 99.9595 100 = -0.0405元n到期收益率減少1個(gè)基點(diǎn)，為7.99% ,債券新的價(jià)格n基點(diǎn)價(jià)格值 = 100.0406 100 = 0.0406元10101410099.9595(10.04005)1.04005ttP101014100100.0406(10.03995)1.03995ttPn例6：A、B、C三種債券，半年付

14、息一次，下次付息在半年后， A B C 票面利率 8 8 8% 面值（元） 100 100 100 信用評(píng)級(jí) Aa Aa Aa 到期時(shí)間 5年 10年 15年 收益率 8 8 8 價(jià)格（元） 100 100 100 請(qǐng)計(jì)算收益率變動(dòng)100個(gè)基點(diǎn)時(shí)債券的價(jià)格波動(dòng)值。債券債券 到期收益率到期收益率 價(jià)格（元）價(jià)格（元） 價(jià)格變動(dòng)價(jià)格變動(dòng) 波動(dòng)平均值波動(dòng)平均值 A 8% 100.00 （價(jià)格波動(dòng)值） A 9% 96.0436 -3.9564 A 7% 104.1583 4.1583 4.0574 B 8% 100.00 B 9% 93.4960 -6.5040 B 7% 107.1062 7.106

15、2 6.8051 C 8% 100.00 C 9% 91.8556 -8.1444 C 7% 109.1960 9.1960 8.6702不對(duì)稱性，債券價(jià)格對(duì)收益率的下降更敏感 n例7:求以下債券組合的基點(diǎn)價(jià)格值： A B C每張債券基點(diǎn)價(jià)格值 0.0406 0.0680 0.0865持有量（張） 100 300 1000每種債券基點(diǎn)價(jià)格值 4.06 20.40 86.50組合的基點(diǎn)價(jià)格值（元） 4.0620.40+86.50=110.96 價(jià)格波動(dòng)的收益率價(jià)值價(jià)格波動(dòng)的收益率價(jià)值（Yield Value of a Price Change）n定義：定義：價(jià)格波動(dòng)的收益率價(jià)值，是指?jìng)瘍r(jià)格發(fā)生

16、一定金額變化所對(duì)應(yīng)的到期收益率變化的幅度。它仍然是一個(gè)絕對(duì)值指標(biāo)。價(jià)格變化的收益值越大，基點(diǎn)價(jià)格值越小。n例8：期限5年，票面利率9%（半年支付）， 收益率為9% ，對(duì)應(yīng)價(jià)格為$100。價(jià)格上升1/32，收益率的變動(dòng)值。n價(jià)格波動(dòng)的收益率價(jià)值= 8.992%9%=-0.008%n思考：價(jià)格波動(dòng)的收益率價(jià)值是對(duì)稱的嗎？1010114.510010032(1/2)(1/2)8.992%ttyyyPVBP的應(yīng)用套期保值n例9：一個(gè)交易者買了一張面值為10000元的債券，他計(jì)算了當(dāng)時(shí)債券的PVBP是5.46元，問他需賣出多少面值為10000元，PVBP是2.73元的債券以規(guī)避利率變動(dòng)風(fēng)險(xiǎn)？n解：5.4

17、6/2.73=2 21000020000（元）n當(dāng)利率上升一個(gè)基點(diǎn)時(shí)，他在持有的債券上將損失5.46元，在賣空債券上賺回5.46元。n由于PVBP會(huì)隨著利率水平的變化而變化，因而交易者應(yīng)根據(jù)利率變化的情況隨時(shí)調(diào)整套保頭寸。 PVBP的局限性的局限性nPVBP的局限性：假設(shè)投資者持有一種債券的PVBP是5.50元，持有另一種債券的PVBP是4.00元，我們無法說前一種債券的利率敏感性大于后一種債券，因?yàn)槲覀儾恢榔涑钟辛扛魇嵌嗌伲ㄓ捎谄涫且粋€(gè)絕對(duì)值指標(biāo)）。因此，找一個(gè)不依賴于持有量的價(jià)格敏感度度量方法很重要。 Exercisen1. 一個(gè)債券期限4年，票面利率9（半年支付），價(jià)格為100元，平價(jià)

18、發(fā)行n1）求債券的基點(diǎn)價(jià)格值；n2）求收益率變動(dòng)100個(gè)基點(diǎn)時(shí)的價(jià)格波動(dòng)值；n2.一個(gè)投資者買了100張債券，他計(jì)算了手中債券的PVBP是3.54元，問他需賣出多少張PVBP是0.0118元的債券以規(guī)避利率變動(dòng)風(fēng)險(xiǎn)？ 債券的久期債券的久期n久期的含義久期的含義 久期（duration)也稱為麥考利期限，也有將其譯為持續(xù)期。它是衡量債券價(jià)格風(fēng)險(xiǎn)的重要指標(biāo)，用以測(cè)度債券的利率敏感性。 D=-(P/P)/(1+Y)/(1+Y) =-(P/P)/Y/(1+Y) P/P-D/(1+Y) YP: 價(jià)格價(jià)格Y: 收益率收益率 久期的推導(dǎo)久期的推導(dǎo)1(1)TtttC FPy1111/(1)1(1)TTtttt

19、tttCFtCFdP dyyyy 11(/)(1/)(1/)1(1)TttttCFdP dyPPyy 一張T年期債券，t時(shí)刻的現(xiàn)金支付為CFt(1tT)，與債券的風(fēng)險(xiǎn)程度相適應(yīng)的收益率為y。則債券的價(jià)格為：continued11 /(1)TttttC FDPy債券久期為：nMacaulay（麥考利）久期是債券現(xiàn)金流（每期息票利息或本金支付）時(shí)間的加權(quán)平均，權(quán)重是每一時(shí)點(diǎn)的現(xiàn)金流的現(xiàn)值在總現(xiàn)值（即債券價(jià)格）中所占的比例。它是債券的有效到期時(shí)間。Duration: CalculationtttwCFyice()1PrCFCash Flowforperiodtt1Pr(1)tTtticeyCF1Tt

20、tDt wExamplen例10：面值1000元，到期期限2年，半年付息，票面利率為8和零息票兩種債券，到期收益率10。下表給出了這兩種債券久期的計(jì)算。 名稱(1)至支付的時(shí)間/期(2)支付/元(3)現(xiàn)值/元 (4)權(quán)重(5)(1)(4)久期債券A8債券 1 40 38.095 0.0395 0.0395 2 40 36.281 0.0376 0.0752 3 40 34.553 0.0358 0.1074 4 1040 855.611 0.8871 3.5484總計(jì) 964.540 1.0000 3.7705債券B 3.7705/2=1.8853零息票債券 13 0 0 0 0 4 1000

21、 822.70 1.0 4總計(jì) 822.70 1.0 4/2=2CF/(1+y)t(3)/Pn結(jié)果表明，零息票債券的久期就等于它的到期期限，而息票債券的久期比它的到期期限短，Why?n思考：在上面的例子中，2年期息票債券的久期（年）為1.8853。如果有期限為1.8853年的一張零息票債券，兩者的利率敏感性是否相同？n思考：結(jié)合上例，如何來理解久期與到期期限的區(qū)別？ 久期與到期期限久期與到期期限n我們知道，到期期限是影響利率敏感性的一個(gè)重要指標(biāo)（越長，敏感性越大），但用其作為測(cè)量利率敏感性大小的指標(biāo)是不完善的。對(duì)于無期權(quán)的息票債券而言，久期是債券對(duì)利率變動(dòng)敏感性的更高的測(cè)度標(biāo)準(zhǔn)。n到期期限僅考

22、慮最后的現(xiàn)金流，而久期還包括了其他的因素，諸如息票支付的規(guī)模、時(shí)間以及利率(到期收益率)水平。n久期不同于到期期限，它將告訴我們對(duì)于一給定的到期收益率的變動(dòng)，債券價(jià)格的大致變動(dòng)比例。Why duration is important?nMeasures the interest rate risk of a bondnAllows comparison across bonds that differ in coupon rate, yield and maturitynAn essential concept in bond portfolio management, particularl

23、y in immunization strategies (protecting bond portfolios from interest rate risk) Macaulay久期法則久期法則 影響利率敏感性的因素包括到期期限、息票利率和到期收益率。以下的法則歸納了久期與這三個(gè)因素之間的關(guān)系。 久期法則久期法則1：零息票債券的久期等于它的到期時(shí)間。 久期法則久期法則2：保持其他因素不變，票面利率越低，息票債券的久期越長。 久期法則久期法則3：保持其他因素不變，債券的到期收益率越低時(shí)，息票債券的久期越長。 久期法則久期法則4：保持其他因素不變，債券的久期通常隨著債券到期期限的增加而增加，但久

24、期的增加速度慢于到期期限的增加速度。 n思考：將下列兩類債券按久期長短排序。n1. 債券A：息票率為8%，2 0年到期，按面值出售。債券B：息票率為8%，2 0年到期，折價(jià)出售。nA: YTM=8%， nB: YTM8%（可能是信用風(fēng)險(xiǎn)不同）nA的久期長于B的久期n2. 債券A: 2 0年期，不可贖回債券，息票率為8%，按面值出售。債券B: 2 0年期，可贖回債券，息票率為9%，也按面值出售。n息票率：AB，A的久期大于B的久期；nB可贖回，期限可能短于20年，A的久期大于B的久期。n所以，A的久期大于B的久期。 久期法則久期法則5：息票債券的久期可用下式簡(jiǎn)化計(jì)算 這里，c為每期票面利率，T為

25、支付次數(shù)，y是每期到期收益率。 久期法則久期法則6：當(dāng)息票債券以面值出售時(shí)，票面利率與到期收益率相等，法則5可簡(jiǎn)化為 11()(1)1TyyT cyycyy111(1)Tyyy 久期法則久期法則7：穩(wěn)定年金（無本金償還）的久期由下式給出： 這里，T為支付次數(shù)，y是每個(gè)支付期的年金收益率。久期法則久期法則8：無限期債券(永續(xù)年金)的久期為： 1yy1(1)1TyTyyExamplen例11-1：面值為100元，票面利率為8的三年期債券，半年付息一次，下次付息在半年后，年到期收益率為10，計(jì)算它的久期。n解： 即：久期（年）2.717561 5%(1 5%) 6 (4% 5%)()5.43495%

26、4%(1 5%)15%D 半年Continuedn例11-2：假設(shè)其平價(jià)出售，則到期收益率為8，久期（半年）為：n即：久期（年）2.7259。61 4%115.45184%(1 4%)Continuedn例11-3：假設(shè)11-1中該債券無本金償還，是3年期的每半年支付一次的普通年金，求久期（半年）n例11-4: 如果假設(shè)是永續(xù)年金，求久期（半年）61 5%63.35795%(1 5%)115215 修正久期修正久期(Modified Duration) 久期公式推導(dǎo)中有式令D*=D/(1+y)，上式可以寫為 通常定義D*=D/(1+y)為“修正久期” 。上式表明，債券價(jià)債券價(jià)格變化的百分比恰好

27、等于修正久期與債券到期收益率變格變化的百分比恰好等于修正久期與債券到期收益率變化（絕對(duì)額）的乘積?；ń^對(duì)額）的乘積。因此，修正久期可以用來直接測(cè)度債券在利率變化時(shí)的風(fēng)險(xiǎn)暴露程度。*PDyP 1PDyPyModified Duration/Price RelationshipnModified Duration can be used to estimate the percentage change in price for a given change in yield:yDPP* Example: y = +100 basis points, D* = 5 P/P = - 5 x 0.0

28、1 = -0.05 or 5% 可贖回債券的久期可贖回債券的久期n對(duì)于以可贖回債券為代表的具有“內(nèi)含期權(quán)”的債券，要根據(jù)麥考利的定義來分析他們的久期是比較困難的。主要原因在于：由于期權(quán)的存在，未來現(xiàn)金流由于期權(quán)的存在，未來現(xiàn)金流變得不可測(cè)知。變得不可測(cè)知?，F(xiàn)金流的隨機(jī)性，使我現(xiàn)金流的隨機(jī)性，使我們無法對(duì)未來現(xiàn)金流的時(shí)間做加權(quán)平均，們無法對(duì)未來現(xiàn)金流的時(shí)間做加權(quán)平均，也就無法計(jì)算麥考利久期。也就無法計(jì)算麥考利久期。 有效久期有效久期n華爾街的慣例是計(jì)算內(nèi)含期權(quán)債券的有效久期(effective duration)n有效久期定義為債券價(jià)格變化率與市場(chǎng)利率變化量之比 有效久期-(P/P)/rExam

29、plen例例12：假設(shè)有一種贖回價(jià)格是1050美元的可贖回債券以980美元的價(jià)格出售。如果市場(chǎng)利率上升0.5%，債券價(jià)格降至950元；如果下降0.5%，債券價(jià)格升至1030元。計(jì)算有效久期。nr0.5%- (-0.5%)=1%=0.01 P=950-1030=-80美元 有效久期（年）-(P/P)/r-(-80/980)/0.01 =8.16當(dāng)前利率變化1%將引起債券價(jià)格變化8.16%(近似解近似解) 資產(chǎn)組合的久期資產(chǎn)組合的久期n資產(chǎn)組合的久期是個(gè)別債券的久期以價(jià)值為權(quán)重求得的加權(quán)平均值。例例13：投資組合包括三種債券，已知各債券的市場(chǎng)價(jià)值和修正久期 債券債券當(dāng)前當(dāng)前市值市值權(quán)重權(quán)重修正修正

30、久期久期加權(quán)加權(quán)值值收益收益率率變化變化價(jià)值價(jià)值變化變化收益收益率率變化變化價(jià)值價(jià)值變化變化A50 0000.334.831.61-0.5%1206.50-0.5%1206.50B78 9000.535.172.72-0.5%2039.17-0.6%2447.00C21 1000.147.491.05-0.5%789.77-0.1%-157.95總額150 0001.00 5.38-0.5%4035.443495.55n組合的價(jià)值變化當(dāng)前市場(chǎng)值組合的修正久期收益率變化值，n只有投資組合中所有債券的市場(chǎng)要求收益率都發(fā)生相同幅度的改變時(shí)，在計(jì)算組合價(jià)值變化時(shí)，加權(quán)平均的修正久期才適用。當(dāng)收益率變化

31、對(duì)不同的債券不同，則組合的價(jià)值變化不能用組合的修正久期計(jì)算。 利用久期估計(jì)價(jià)格波動(dòng)利用久期估計(jì)價(jià)格波動(dòng)n例例14：一債券面值為100元，票面利率為8，到期時(shí)間為5年，半年付息一次，到期收益率為8，利用久期計(jì)算收益率變動(dòng)1個(gè)、100個(gè)基點(diǎn)時(shí)，債券的價(jià)格波動(dòng)（久期可采用簡(jiǎn)化計(jì)算公式）。n解： D （半年） = (1+4%)/4%1-1/(1+4%)10=8.4353 D* （半年） =8.4353/(1+0.04)=8.1109 1）上升1個(gè)基點(diǎn)，從88.01， -8.11090.005%-0.0406% 2）下降1個(gè)基點(diǎn)，從87.99， -8.1109(-0.005%)0.0406%n實(shí)際波動(dòng)百

32、分比分別為-0.0405%和0.0406%，與利用修正久期計(jì)算的結(jié)果基本一致。P/PP/P3）上升100個(gè)基點(diǎn)，從89， -8.11090.5%-4.0555%4）下降100個(gè)基點(diǎn)，從87， -8.1109(-0.5%)4.0555%n實(shí)際波動(dòng)百分比分別為-3.9564%和4.1583%，當(dāng)收益率變動(dòng)較大時(shí)，利用修正久期計(jì)算的結(jié)果與實(shí)際相差較大。n利用久期估計(jì)不能體現(xiàn)價(jià)格波動(dòng)的不對(duì)稱性。P/PP/PnDURATION(settlement,maturity,coupon,yld,frequency,basis)nMDURATION(settlement,maturity,coupon,yld,

33、frequency,basis) Exercise n1. 一種收益率為10%的9年期債券，久期為7.194年。如果市場(chǎng)收益率改變50個(gè)基本點(diǎn)，債券價(jià)格改變的百分比是多少？n2. 已知一種息票率為6%的債券每年付息，如果它離債券到期還有三年且到期收益率為 6%，求該債券的久期。如果到期收益率為10%，久期又為多少？n3. 一種債券的息票率為6%，每年付息，修正久期（年）為10，以800元售出，按到期收益率8%定價(jià)。如果到期收益率增至9%，利用久期的概念，估計(jì)價(jià)格會(huì)是多少？ 久期的局限性久期的局限性 n久期的局限性 根據(jù)式 ，債券價(jià)格變化的百分比作為到期收益率變化的函數(shù)，其圖形是一條斜率為-D*

34、的直線。因此，當(dāng)債券收益變化時(shí)，可以用這條直線對(duì)新產(chǎn)生的價(jià)格進(jìn)行估計(jì)。*PDyP n特點(diǎn)特點(diǎn)1：債券價(jià)格變化的百分比與收益變化之間的關(guān)系并不是線性的，這使得對(duì)于債券收益的較大變化，利用久期對(duì)利率敏感性的測(cè)度將產(chǎn)生明顯的誤差。n債券A和債券B在初始處有相同的久期，相應(yīng)的兩條曲線在這一點(diǎn)相切。n對(duì)于債券收益的微小變化，久期可以給出利率敏感性的精確測(cè)度。n隨著收益變化程度的增加，對(duì)應(yīng)于債券A和債券B的兩條曲線與久期近似直線之間的“間隔”不斷擴(kuò)大，表明久期法則越來越不準(zhǔn)確。n特點(diǎn)特點(diǎn)2：久期近似值總是在債券實(shí)際價(jià)格的下方。也就是說，當(dāng)收益率下降時(shí)，它低估債券價(jià)格的增長程度，當(dāng)收益率上升時(shí)，它高估債券價(jià)

35、格的下跌程度。n對(duì)于較大的收益變化，債券A比債券B有更大的價(jià)格增長或更小的價(jià)格下跌。這是因?yàn)閭疉比債券B具有更大的凸性。 凸性的數(shù)學(xué)推導(dǎo)凸性的數(shù)學(xué)推導(dǎo)n收益率變化導(dǎo)致價(jià)格的變化，用泰勒級(jí)數(shù)展開：n泰勒級(jí)數(shù)公式：2221/ 2()dPd PdPdydydydy( )20000000( )( )( )( )( )()().()0!1!2!nnf xf xf xfxf xx xx xx xn 2221()( )()2dPd PP yyP ydydydydyn兩邊同除以P，得到：n令C表示凸性n上式寫為：n凸性是對(duì)債券價(jià)格利率敏感性的二階估計(jì)。在價(jià)格收益率出現(xiàn)大幅度變動(dòng)時(shí)，它們的波動(dòng)幅度呈非線性關(guān)系

36、。由久期作出的預(yù)測(cè)將有所偏離。凸性就是對(duì)這個(gè)偏離的修正。21*()2PDyCyPP 221dPCd yP222111/ 2()dPdPd PdydyPdy PdyPP*1dPDdy P *PDyP 凸性實(shí)際上是價(jià)格-收益曲線斜率的變化率，即價(jià)格收益曲線的彎曲度。 由此可知，對(duì)于有一正凸性的債券（不含期權(quán)的債券都有正的凸性），無論收益率是上升還是下降，第二項(xiàng)總是正的。這就解釋了久期近似值為什么在收益率下降時(shí)低估債券價(jià)格的增長程度，而在收益率上升時(shí)高估債券價(jià)格的下跌程度。凸性的修正會(huì)在一定程度上消除這種高估或低估。 n由此定義，可得付息周期數(shù)為N，周期收益率為y的普通債券的凸性計(jì)算公式如下(求二階

37、導(dǎo)數(shù)）：令：則：21(1)1(1)(1)Ttttt tCFCPyy(1)tttCFWyP2211()(1)NttCttWy221dPCd yP11/1(1)TttttCFdP dyyy n例例15：面值1000元，票面利率為10的5年期債券，一年付息一次，下一次付息在一年后。如果到期收益率為14，計(jì)算其久期和凸性。n解：11 /(1)TttttCFDPy21(1)1(1)(1)Ttttt tCFCPyy 時(shí)間(年)現(xiàn)金流（元） 現(xiàn)值（元）權(quán)重久期 t權(quán)重 t(t+1)凸性t(t+1)權(quán)重12345總計(jì)(s)100 87.7193 0.1017 0.1017 2 0.2034100 76.946

38、8 0.0892 0.1784 6 0.5352100 67.4972 0.0782 0.2346 12 0.9384100 59.2080 0.0686 0.2744 20 1.3720 1100 571.3055 0.6622 3.3110 30 19.8660 862.6768 1 4.1001 22.9150 D=4.1001 C=22.9150/(1+14%)2=17.6323 思考思考：如果是半年付息一次，凸性？ 利用下面的公式可把分期限計(jì)算的凸性轉(zhuǎn)化為按年計(jì)算的凸性： 其中m為每年的付息次數(shù)。 對(duì)于零息票債券，有2m凸性(分期限算)凸性(按年算)2(1)(1)T Ty零息票債券凸

39、度n例14：一債券面值為100元，票面利率為8，到期時(shí)間為5年，半年付息一次，收益率為8，利用久期計(jì)算收益率變動(dòng)1個(gè)、100個(gè)基點(diǎn)時(shí)，債券的價(jià)格波動(dòng)（久期可采用簡(jiǎn)化計(jì)算公式）。n解： D= (1+4%)/4%1-1/(1+4%)10=8.4353（半年） D*=8.4353/(1+0.04)=8.1109 （半年） 1）上升1個(gè)基點(diǎn)，從88.01， -8.11090.005%-0.0406% 2）下降1個(gè)基點(diǎn)，從87.99， -8.1109(-0.005%)0.0406%n實(shí)際波動(dòng)百分比分別為-0.0405%和0.0406%，與利用修正久期計(jì)算的結(jié)果基本一致。P/PP/P3）上升100個(gè)基點(diǎn)，

40、從89， -8.11090.5%-4.0555%4）下降100個(gè)基點(diǎn)，從87， -8.1109(-0.5%)4.0555%n實(shí)際波動(dòng)百分比分別為-3.9564%和4.1583%，當(dāng)收益率變動(dòng)較大時(shí)，利用修正久期計(jì)算的結(jié)果與實(shí)際相差較大。n利用久期估計(jì)不能體現(xiàn)價(jià)格波動(dòng)的不對(duì)稱性。P/PP/Pn例16：對(duì)例14中的債券考慮凸性，計(jì)算其收益率變動(dòng)后的價(jià)格波動(dòng)。n解：計(jì)算出其半年期凸性為80.7543. 1）上升1個(gè)基點(diǎn)，從88.01， -8.11090.005%+1/280.7543(0.005%)2-0.0405% 2）下降1個(gè)基點(diǎn)，從87.99，-8.1109(-0.005%) %+1/280.

41、7543(-0.005%)2 0.0406%與實(shí)際價(jià)格波動(dòng)一致，體現(xiàn)了價(jià)格波動(dòng)的不一致性。P/PP/P21*()2PDyCyPP 3）上升100個(gè)基點(diǎn)，從89， -8.11090.5%+1/280.7543(0.5%)2 -3.9545% 4）下降100個(gè)基點(diǎn)，從87， -8.1109(-0.5%) %+1/280.7543(-0.5%)2 4.1564% 實(shí)際價(jià)格波動(dòng)分別為-3.9564%和4.1583%，用久期估計(jì)的結(jié)果為-4.0555%和4.0555%，考慮了凸性的估計(jì)結(jié)果與真實(shí)價(jià)格波動(dòng)更接近。 凸性的引入提高了債券價(jià)格估計(jì)的準(zhǔn)確性P/PP/P 凸性的特征總結(jié)凸性的特征總結(jié)n久期是收益率

42、-價(jià)格曲線在某一點(diǎn)的斜率：一階導(dǎo)數(shù)；凸性是收益率-價(jià)格曲線斜率的變化率，衡量的是曲線的彎曲程度：二階導(dǎo)數(shù)。n非含權(quán)債券都有正的凸性n凸性會(huì)隨著到期收益率的增加而降低。n正的凸性是受投資者歡迎的，Why?221dPCd yP*1.dPDdyP n正的凸性會(huì)給投資者帶來額外的利益。n凸性越大，價(jià)格收益率曲線越彎曲，同等收益率條件下，債券價(jià)格越高。久期和凸性PriceDurationPricing Error from durationYield Convexity nProperty: The greater a bonds convexity, the greater its capital gains and the smaller its capital losses for given absolute changes in yields.YTMPB0y0PB0YTMy1y2K GainK Lossy0y1y2K GainK Lossyyyy1020 可贖回債券的凸性可贖回債券的凸性負(fù)凸性區(qū)間負(fù)凸性區(qū)間正凸性區(qū)間正凸性區(qū)間價(jià)格價(jià)格贖回價(jià)格贖回價(jià)格收益率收益率可贖回債券的凸性可贖回債券的凸性 A Bn在負(fù)凸性期間，到期收益率越低，債券的久期越小，價(jià)格的利率敏感性越弱。n在負(fù)凸性期間，價(jià)格收益率曲線表現(xiàn)出不具吸引力的不對(duì)稱性：n不對(duì)稱