第五章運輸問題

1、第五章第五章 運輸問題運輸問題 運輸問題及其數(shù)學建模 表上作業(yè)法5.3 產(chǎn)銷不平衡的運輸問題 應用舉例本章主要內(nèi)容： 運輸問題及其數(shù)學模型 在日常生活中，經(jīng)常碰到物資調(diào)撥中的運輸問題。 例如 電子商務中的物流問題，無論電商還是快遞公司都建立自己的物流倉庫； 經(jīng)濟生活中，煤碳、鋼材、糧食、木材等物資，在全國都有若干生產(chǎn)基地； 分別將這些物資調(diào)到各消費基地去，應如何制定調(diào)運方案，使總的運輸費用最少？問題的提出: 運輸問題及其數(shù)學模型（續(xù)）例1 某公司從兩個產(chǎn)地兩個產(chǎn)地A1、A2將物品運往三個銷地三個銷地B1, B2, B3，各產(chǎn)地的產(chǎn)量、各銷地的銷量和各產(chǎn)地運往各銷地每件物品的運費如下表所示，問：

2、應如何調(diào)運可使總運輸費用最??？B1B2B3產(chǎn)量A1646200A2655300銷量150150200解：產(chǎn)銷平衡問題：總產(chǎn)量解：產(chǎn)銷平衡問題：總產(chǎn)量 = = 總銷量總銷量500500 設設 x xijij 為從產(chǎn)地為從產(chǎn)地A Ai i運往銷地運往銷地B Bj j的運輸量，得到下列運輸量表：的運輸量，得到下列運輸量表：B1B2B3產(chǎn)量A1x11x12x13200A2x21x22x23300銷量150150200Min C = 6x11+ 4x12+ 6x13+ 6x21+ 5x22+ 5x23 s.t. x11+ x12 + x13 = 200 x21 + x22+ x23 = 300 x11

3、+ x21 = 150 x12 + x22 = 150 x13 + x23 = 200 xij 0 ( i = 1、2；j = 1、2、3）物資調(diào)運是一個典型的線性規(guī)劃問題物資調(diào)運是一個典型的線性規(guī)劃問題.1939前蘇聯(lián)經(jīng)濟學家康托洛維奇提出這一前蘇聯(lián)經(jīng)濟學家康托洛維奇提出這一問題問題,1941年美國數(shù)學家年美國數(shù)學家F.L.Hitchcock提提出運輸問題數(shù)學模型出運輸問題數(shù)學模型,1951年年Dantzig將此將此類問題的解法系統(tǒng)化類問題的解法系統(tǒng)化,完善化完善化,改為用表上作改為用表上作業(yè)法求解業(yè)法求解. 運輸問題的一般提法是：設某種物資有m m個產(chǎn)地和n n個銷地。產(chǎn)地A Ai i的產(chǎn)

4、量為 ；銷地B Bj j的銷量 。從第i i個產(chǎn)地向第j j個銷地運輸每單位物資的運價為C Cijij。 這就是由多個產(chǎn)地供應多個銷地的單品種物資運輸問題。問如何調(diào)運這些物資才能使總運費達到最小。), 2 , 1( miai ), 2 , 1( njbj 1、運輸問題的一般提法單位運價表 （1） 。即運輸問題的總產(chǎn)量等于其總銷量，這樣的運輸問題稱為產(chǎn)銷平衡的運輸問題。 （2） 。即運輸問題的總產(chǎn)量不等于總銷量，這樣的運輸問題稱為產(chǎn)銷不平衡的運輸問題。 njjmiiba11 njjmiiba11分兩種情況來討論： 若用x xijij表示從A Ai i到B Bj j的運量，那么在產(chǎn)銷平衡的條件下，

5、要求得總運費最小的調(diào)運方案，數(shù)學模型為：0, 2 , 1) 13(, 2 , 1. .min1111ijnjiijmijijminjijijxmiaxnjbxtsxcz2、運輸問題的數(shù)學模型其中，ai和bj滿足： 稱為產(chǎn)銷平衡條件。 njjmiiba11將約束方程式展開可得11112122111211112222 nnmmnmmmxxaxxaxxaxxxbxxx212 nnmnnbxxxb約束方程式中共mn個變量，m+n個約束。行行行行nmAxxxxxxxxxmnmmnn 111111111111111111212222111211 上述模型是一個線性規(guī)劃問題。但是其結構很特殊，特點如下：1.

6、變量多（mn個），但結構簡單。 技術系數(shù)矩陣 該系數(shù)矩陣中每列只有兩個元素為1，其余的都為零。ijab2.m+n個約束中有一個是多余的（因為其間含有一個平衡關系式 ）所以R(A)=m+n-1，即解的mn個變量中基變量為m+n-1個。定理1 在產(chǎn)銷平衡的運輸問題中,其約束方程組的系數(shù)矩陣和增廣矩陣的秩相等,且等于m+n-1.證明:3、運輸問題的基本性質(zhì). 1)(1)(1A11nmAranknmAranknmAnmbanjjmii及行之和，必有行之和等于后中前因此行，行，另一個屬于后必有一個屬于前中每列的兩個非零元素及由 .,11111011010njjmiinjnjmiijjminjijmiii

7、jbaxbxax所以及則是方程組的一個可行解設定理定理2 2 方程組方程組 有解的充要條件是有解的充要條件是0 xbAx證明:必要性.11minjjiba充分性充分性., 2 , 1, 2 , 1,111011101110011njjminjijmiiminjijiinjjinjjinjijjiijnjjmiibxaxaMMabMaMbaxnjmiMbaxMba同理故取設定理定理3 平衡的運輸問題一定有最優(yōu)解平衡的運輸問題一定有最優(yōu)解.minjijijijijSxcScx110.min, 0, 0, 0存在故證明證明: 表上作業(yè)法 運輸問題仍然是線性規(guī)劃問題，可以用線性規(guī)劃法中的單純形法來解決

8、。但是： 1.運輸問題所涉及的變量多，造成單純形表太大； 2.若把技術系數(shù)矩陣A中的0迭代成非0，會使問題更加復雜。 以上兩個原因使得我們不得不利用運輸問題的特點設計出它的特殊解法表上作業(yè)法。表上作業(yè)法，實質(zhì)上還是單純形法。其步驟如下：1.確定一個初始可行調(diào)運方案。可以通過最小元素法、西北角法、Vogel 法來完成；2.檢驗當前可行方案是否最優(yōu)，常用的方法有閉回路法和位勢法，用這兩種方法計算出檢驗數(shù)，從而判別方案是否最優(yōu)；3.方案調(diào)整，從當前方案出發(fā)尋找更好方案，常采用閉回路法。表上作業(yè)法（續(xù)） 某公司從三個產(chǎn)地A1、A2、A3 將物品運往四個銷地B1、B2、B3、B4，各產(chǎn)地的產(chǎn)量、各銷地的

9、銷量和各產(chǎn)地運往各銷地每件物品的運費如下表2所示 問應如何調(diào)運，可使得總運輸費最小? 即初始基本可行解的確定，與一般線性規(guī)劃問題不同，產(chǎn)銷平衡運輸問題總是存在可行解。1、確定初始方案 確定初始基本可行解的方法很多，一般希望方法是既簡便，又盡可能接近最優(yōu)解。下面介紹三種方法：最小元素法，西北角法、 Vogel 法（1）最小元素法 最小元素法的基本思想是優(yōu)先滿足單位運價最小的供銷業(yè)務。 首先找出運價最小的，并以最大限度滿足其供銷量為原則確定供銷業(yè)務。同樣的方法反復進行直到確定了所有的供銷業(yè)務，得到一個完整的調(diào)運方案即初始基本可行解為止。 發(fā)發(fā)量7 3113104 19289 74105收量 365

10、6 20例2 見下表:收321AAA4321BBBB4321BBBB36413343331方案表運價表以此，得到一初始方案：X13=4 , X14=3， X21=3，X23=1， X32=6， X34=3（有數(shù)格）X11=X31=X12=X22=X33=X24=0（空格）B1B2B3B4A143A231A363注：）有數(shù)格是基變量,共m+n-1=3+4-1=6個?？崭袷欠腔兞浚矂澣+n=7條線；）表格中一般要有表格中一般要有(m+n-1)(m+n-1)個數(shù)字格。個數(shù)字格。如果填上一個變量之后能同時劃去兩條線（一行與一列），就須在所劃去的該行或該列填一個0，此0格當有數(shù)格對待。以保證有以保

11、證有(m+n-1)(m+n-1)個數(shù)字格作個數(shù)字格作為基變量。為基變量。 初始方案運費 Z0=31+64+43+12+310+35=86(元)（2）西北角法 西北角法與最小元素法不同，它不是優(yōu)先考慮具有最小單位運價的供銷業(yè)務，而是優(yōu)先滿足運輸表中西北角（左上角）上空格的供銷需求。 銷銷產(chǎn)產(chǎn)A17311310A241928A3974105需求需求365620342236方案表運價表42236應用西北角法和最小元素法，每次填完數(shù)，都應用西北角法和最小元素法，每次填完數(shù)，都只劃去一只劃去一行或一列。行或一列。 當填上一個數(shù)后行、列同時飽和時，也應任意劃去一行當填上一個數(shù)后行、列同時飽和時，也應任意劃

12、去一行(列列)。在飽和的列（行）沒被劃去的格內(nèi)標一個。在飽和的列（行）沒被劃去的格內(nèi)標一個 0 , 然后劃去然后劃去該列（行）。該列（行）。 某公司下屬有生產(chǎn)一種化工產(chǎn)品的三個產(chǎn)地某公司下屬有生產(chǎn)一種化工產(chǎn)品的三個產(chǎn)地A1、A2、A3 ，有四個銷售點有四個銷售點B1、B2、B3、B4 銷售這種化工產(chǎn)品。各產(chǎn)地的銷售這種化工產(chǎn)品。各產(chǎn)地的產(chǎn)量、各銷地的銷量和各產(chǎn)地運往各銷地每噸產(chǎn)品的運費產(chǎn)量、各銷地的銷量和各產(chǎn)地運往各銷地每噸產(chǎn)品的運費（百元）如下表所示。（百元）如下表所示。 銷產(chǎn)A1753859A2402948A3806375需求35405565195 問應如何調(diào)運，可使得總運輸費最小問應如何

13、調(diào)運，可使得總運輸費最小? 解：用西北角法求初始基本可行解解：用西北角法求初始基本可行解 銷產(chǎn)A1753859A2402948A3806375需求35405565195方案表運價表35400401565401565(3)伏格爾法（次小運價與最小運價之差大者先安排） 銷銷產(chǎn)產(chǎn)A17311310A241928A3974105需求需求365620方案表運價表 2 5 1 3 01160123 2 1 2 376512331222、判斷當前方案是否為最優(yōu) 用單純形法解線性規(guī)劃問題時，在迭代過程中每次求得一個基本可行解以后，都要檢驗它是不是最優(yōu)解，如果不是最優(yōu)解，就要繼續(xù)進行迭代，直到求得最優(yōu)解或者判定

14、無最優(yōu)解。 表上作業(yè)法是用以下兩種方法來處理這個問題的：閉回路法和位勢法。（1）閉回路法 在單純形法中，為了檢驗一個基本可行解是不是最優(yōu)解，需要求出所有非基變量的檢驗數(shù)。在運輸問題中，每個空格對應一個非基變量。因此，我們需要求出每個空格的檢驗數(shù)。 由于目標要求極小，因此，當所有的檢驗數(shù)都大于或等于零時該調(diào)運方案就是最優(yōu)方案。 B1B2B3B4A143A231A363 對方案表中每一空格，確定一條由空格出發(fā)的閉回路。 閉回路是由水平或垂直線組成的閉合圖形。閉回路上的頂點除了這個空格外，其余均為有數(shù)格。B1B2B3B4A143A231A363 可以證明，對每一個空格都存在而且惟一存在這樣一條封閉回

15、路。B1B2B3B4A143A231A363B1B2B3B4A143A231A363B1B2B3B4A143A231A363B1B2B3B4A143A231A363計算出空格的檢驗數(shù)等于閉回路上由此空格起奇數(shù)頂點奇數(shù)頂點運價與偶數(shù)頂點運價負值的代數(shù)和。運價與偶數(shù)頂點運價負值的代數(shù)和。B1B2B3B4A143A231A363 11=3 - 3+2 - 1=1 22= 9-2+310+54 =1 31= 7-5+103+21=10 12=11 - 10+5 - 4=2 24= 810 +3 2 =-1 33=10 - 5+10 -3=12當所有空格檢驗數(shù) ij 0則當前方案是最優(yōu)的，若尚有空格檢驗

16、數(shù)小于零，表明當前方案尚有待調(diào)整。 若所有的空格檢驗數(shù)都大于等于零，表明任何一個空格處調(diào)運1單位都會引起總成本的上升，這表明當前方案不能再改進，即定為最優(yōu)方案。 ij 具有確切的經(jīng)濟意義，它表示由Ai往Bj增運1單位時，引起的總運輸成本的變化數(shù)。B1B2B3B4A143A231A363 閉回路法的主要缺點是：閉回路法的主要缺點是：當變量個數(shù)較多時，尋找閉回當變量個數(shù)較多時，尋找閉回路以及計算都會產(chǎn)生困難。路以及計算都會產(chǎn)生困難。（2）位勢法（對偶變量法） 對于一個調(diào)運方案的每列賦予一個值，稱為列位勢，記 ，對于每行賦予一個值，稱為行位勢，記為 nvvv,21muuu,21ijjicvu 則檢驗

17、數(shù)為： 它們的值由下列方程組決定：其中， cij 是所有基變量（數(shù)字格）xij 的運價系數(shù) 。jiijijvuCi i = 1, , = 1, , m m ; ; j j = 1, , = 1, , n n產(chǎn)產(chǎn)量437 311 310314 1928639 7410 5需求3656 20321AAA4321BBBB4321BBBB銷4321vvvv321uuuu1 + v3 = c13 = 3 u2 + v1 = c21 = 1u3 + v2 = c32 = 4u1 + v4 = c14 = 10u2 + v3 = c23 = 2 u3 + v4 = c34 = 5 5421103344332

18、232332211214411331cvucvucvucvucvucvu該乘數(shù)方程有六個方程,七個未知數(shù),一定有解,且有無窮多解.可令 得出一組解., 01u103925104321321vvvvuuu由這組解按下面的公式求空格(非基變量的檢驗數(shù):jiijijvuC產(chǎn)產(chǎn)量437 311 310314 1928639 7410 5需求3656 20321AAA4321BBBB4321BBBB銷4321vvvv321uuu123) 5(10102) 5(7110) 1(819) 1(9290111203333333133131422424222222211212111111vucvucvucvuc

19、vucvuc51010392121-110120000003、調(diào)整方案調(diào)運方案的判優(yōu)準則:對調(diào)運方案表中的每一空格作一條閉回路,并求出檢驗數(shù),如果檢驗數(shù)全部大于等于零,則該調(diào)運方案最優(yōu).否則要調(diào)整調(diào)運方案.方案的調(diào)整 選取入基變量:絕對值最大的負檢驗數(shù)的空格對應的非基變量為入基變量.本例中 為入基變量.24 入基變量的取值為,=min偶轉角點運量.即該非基變量的運量為,同時變?yōu)榛兞? 出基變量的選擇:在此閉回路上和偶轉角點上最小運量對應的基變量變?yōu)榱?該變量是出基變量,在新方案中它的位置是空格. 在該閉回路中按奇,偶點進行運量的平衡調(diào)整,得一新的調(diào)運方案. 對新方案判優(yōu),調(diào)整,直到求出最優(yōu)方

20、案.3、調(diào)整方案（續(xù)）方案的調(diào)整產(chǎn)產(chǎn)量437 311 310314 1928639 7410 5需求3656 20321AAA4321BBBB4321BBBB銷121-11012000000124作 x24 的閉回路，調(diào)整數(shù)=1，調(diào)整得B1B2B3B4A152A231A363注：若閉回路的偶數(shù)頂點中同時有兩個格以上運量為，則調(diào)整后其中一個變空格，其余填0。（保證基變量個數(shù)不變）再用閉回路法或位勢法求各空格的檢驗數(shù)，B1B2B3B4A152A231A363 x13 = 5, x14 = 2, x21 = 3, x24 = 1, x32 = 6, x34 = 3, 其余的 xij = 0 總運費為

21、： f = 53 + 210 + 31 + 18 + 64 + 35 = 85 。 銷銷產(chǎn)產(chǎn)A102A221A3912表中的所有檢驗數(shù)都非負，故上表中的解為最優(yōu)解。檢驗數(shù)表方案表表上作業(yè)法中需要說明的問題 （1）無窮多最優(yōu)解 當?shù)竭\輸問題的最優(yōu)解時，如果有某非基變量的檢驗數(shù)等于零，則說明該運輸問題有多重（無窮多）最優(yōu)解。上面的例題是多解情況 銷銷產(chǎn)產(chǎn)A102A221A3912B1B2B3B4A152A231A363檢驗數(shù)表方案表B1B2B3B4A1250A213A363調(diào)整方案表 （2）退化 當運輸問題某部分產(chǎn)地的產(chǎn)量和，與某一部分銷地的銷量和相等時，在迭代過程中有可能在某個格填入一個運量

22、某個格填入一個運量時需同時劃去運輸表的一行和一列，時需同時劃去運輸表的一行和一列，這時就出現(xiàn)了退化。 在運輸問題中，退化解是時常發(fā)生的。為了使表上作業(yè)法的迭代工作進行下去，退化時應在同時劃去的一行或一列中的某個格中填入數(shù)字0，表示這個格中的變量是取值為0的基變量，使迭代過程中基可行解的分量恰好為（迭代過程中基可行解的分量恰好為（m+n-1）個。個。表上作業(yè)法中需要說明的問題 三、 產(chǎn)銷不平衡的運輸問題 前面我們討論的運輸問題，都是產(chǎn)銷平衡的問題，即滿足 在實際問題中，產(chǎn)銷往往是不平衡的，遇到這種情況，我們可以經(jīng)過簡單的處理，使其轉化為產(chǎn)銷平衡問題，然后再按前面的方法來求解。 njjmiiba1

23、11、產(chǎn)量大于銷量 對于產(chǎn)大于銷問題 ，可得到下列運輸問題的模型： njjmiiba11ijminjijxcz 11minmiaxtsinjij, 2 , 1. .1njbxjmiij, 2 , 11 njmixij, 2 , 1, 2 , 10 可增加一個假想的銷地 ，其銷量為： 某個產(chǎn)地Ai運到這個假想銷地Bn+1的物資量xi,n+1，實際上就意味著將這些物資在原產(chǎn)地貯存，其相應的運價 ，轉化為產(chǎn)銷平衡的問題，其數(shù)學模型為：1 nBnjjmiinbab111), 2 , 1( 01,micni minjijijxcz111min)1, 2 , 1 ;, 2 , 1( 0 )1, 2 , 1

24、( ), 2 , 1( 111 njmixnjbxmiaxijjmiijinjij 例4 某公司從兩個產(chǎn)地A1、A2將物品運往三個銷地B1、B2、B3，各產(chǎn)地的產(chǎn)量、各銷地的銷量和各產(chǎn)地運往各銷地每件物品的運費如下表所示，問：應如何調(diào)運可使總運輸費用最小？ 銷產(chǎn)A113151278A211292245需求533625 123114單位運價表解： 這里，總產(chǎn)量為 78 + 45 = 123 ；總銷量為 53 +36 + 25 = 114 。產(chǎn)銷不平衡，增加一個虛設的銷地，得到下表 銷產(chǎn)A1781315120A2451129220需求5236259123 銷產(chǎn)A113151278A21129224

25、5需求533625 1231142、產(chǎn)量小于銷量 對于產(chǎn)小于銷問題 njjmiiba11 可增加一個假想的產(chǎn)地 ，其產(chǎn)量為： 其相應的運費為 上述不平衡問題就轉化為平衡的問題， 1mA miinjjmaba111), 2 , 1( 0, 1njcjm 111minminjijijxcz), 2 , 1; 1, 2 , 1( 0 ), 2 , 1( ) 1, 2 , 1( 111njmmixnjbxmmiaxijjmiijinjij 例5 某公司從兩個產(chǎn)地A1、A2將物品運往三個銷地B1、B2、B3，各產(chǎn)地的產(chǎn)量、各銷地的銷量和各產(chǎn)地運往各銷地每件物品的運費如下表，問：應如何調(diào)運可使總運輸費用最

26、?。?銷產(chǎn)A113151278A211292245需求533665 123154單位運價表解: 這里，總產(chǎn)量小于總銷量，產(chǎn)銷不平衡，增加一個虛設的產(chǎn)地，得到下表 銷產(chǎn)A178131512A245112922A331000需求533665 154 銷產(chǎn)A113151278A211292245需求533665 123154四、應用舉例 在變量個數(shù)相等的情況下，表上作業(yè)法的計算遠比單純形法簡單。解決實際問題時，人們常常盡可能把某些線性規(guī)劃的問題化為運輸問題的數(shù)學模型。下面為幾個典型的例子。 例6 有 A1、A2、A3 三個生產(chǎn)某種物資的產(chǎn)地，五個地區(qū) B1、B2、B3、B4、B5 對這種物資有需求。

27、現(xiàn)要將這種物資從三個產(chǎn)地運往五個需求地區(qū)，各產(chǎn)地的產(chǎn)量、各需求地區(qū)的需要量和各產(chǎn)地運往各地區(qū)每單位物資的運費如下表所示，其中 B2 地區(qū)的115個單位必須滿足。問：應如何調(diào)運可使總運輸費用最??？銷地產(chǎn)地產(chǎn)量A1101520204050A22040153030100A33035405525130需求25115603070280300運輸費用及產(chǎn)量、需求量表解：由于產(chǎn)量小于需求量，因此設一虛設產(chǎn)地 A4 ,它的產(chǎn)量為需求量與產(chǎn)量的差 20，與這一項有關的運輸費用一般為零。因為B2 地區(qū)的115個單位必須滿足，即不能有物資從 A4 運往 B2 地區(qū)，于是取相應的費用為M（M是一個充分大的正數(shù)），以保

28、證在求最小運輸費用的前提下，該變量的值為零。銷地產(chǎn)地產(chǎn)量A1101520204050A22040153030100A33035405525130需求25115603070280300 可以建立如下產(chǎn)銷平衡的運輸費用表銷地產(chǎn)地產(chǎn)量A1101520204050A22040153030100A33035405525130A40M00020需求25115603070 例7 某研究院有 B1 、B2、B3 三個區(qū)。每年取暖分別需要用煤 3500 噸、1100 噸、2400 噸，這些煤都要由 A1、A2 兩處煤礦負責供應，價格、質(zhì)量均相同。A1、A2 煤礦的供應能力分別為 1500 噸、4000 噸，運價

29、（元/噸）如下表。 由于需求大于供給，經(jīng)院研究決定 B1 區(qū)供應量可減少 0900 噸，B2 區(qū)必須滿足需求量，B3 區(qū)供應量不少于 1600 噸，試求總費用為最低的調(diào)運方案。 銷地產(chǎn)地A11751952081500A21601822154000需求量350011002400 由于 B1 區(qū)供應量可減少 0900 噸，B3 區(qū)供應量不少于 1600噸，可以把 B1 區(qū)和 B3 區(qū)分別設為兩個區(qū)：一個為必須滿足需求量的區(qū)域，另一個為可以調(diào)整供應量的區(qū)域。 原問題化為五個需求區(qū)域 B1、B1、B2、B3、B3 的問題，同時增加一個虛設的產(chǎn)地 A3 。 在運輸費方面, 必須滿足需求量的相應變量，運費

30、的取值為 M ，可調(diào)整需求量的相應變量 ，運費的取值為 0，作出產(chǎn)銷平衡的運價表解： 這是需求量大于生產(chǎn)量的運輸問題 銷地產(chǎn)地A11751751952082081500A21601601822152154000A2M0MM01500需求量260090011001600800 例8 某公司生產(chǎn)某種規(guī)格的設備，由于生產(chǎn)與季節(jié)有關系，生產(chǎn)能力與成本有差異，如下表所示。某種規(guī)格設備各季節(jié)的生產(chǎn)能力與成本 第一季度第二季度第三季度第四季度生產(chǎn)能力 (臺) 500700600200成本(萬元/臺）9.810.510.310.6 該廠年初簽訂的合同規(guī)定：當年一、二、三、四每個季度末分別需要提供 200、30

31、0、500、400 臺這種規(guī)格的設備。如果生產(chǎn)出來的設備當季不交貨，每臺每積壓一個季度需儲存、維護等費用為 0.15萬元。試求在完成合同的前提下，使該廠全年生產(chǎn)總費用為最小的決策方案。解： 設 x 為第 i 季度生產(chǎn)的第 j 季度交貨的設備數(shù)目，則問題的線性規(guī)劃模型為： c = 第 i 季度每臺的生產(chǎn)成本 + 0.15(j-i)（儲存、維護等費用）。計算可得： c11 = 9.8 , c12 = 9.95 , c13 = 10.1 , c14 = 10.25 , c22 = 10.5 , c23 = 10.65 , c24 = 10.8 , c33 = 10.3 , c34 = 10.45 ,

32、 c44 = 10.6 。于是得到目標函數(shù)： Min f = 9.8x11+9.95x12+10.1x13+ 10.25x14 + +10.5x22+10.65x23+10.8x24+10.3x33+ +10.45x34+10.6x44x11 = 200 x12 + x22 = 300 x13 + x23 + x33 = 500 x14 + x24 + x34 + x44 = 400 交貨：交貨：生產(chǎn)：生產(chǎn)：x11 + x12 + x13 + x14 500 x22 + x23 + x24 700 x33 + x34 600 x44 200 xij 0 i=1,2,3,4 j i由于產(chǎn)大于銷，虛構一個銷地，可構造下列產(chǎn)銷平衡問題:各季節(jié)的生產(chǎn)、交貨費用表 交貨生產(chǎn)第一季度第二季度第三季度第四季度虛設交貨生產(chǎn)能力第一季度9.89.9510.110.250500第二季度M10.510.6510.80700第三季度MM10.310.450600第四季度MMM10.60200交貨量2003005004006002000 把第 i 季度生產(chǎn)的設備數(shù)目看作第 i 個生產(chǎn)廠的產(chǎn)量；把第 j 季度交貨的設備數(shù)目看作第 j 個銷售點的銷量；成本加儲存、維護等費用看作運費。例9例2 某公司從三個產(chǎn)