曲線積分_曲面積分_矢量分析初步_習(xí)題課

1、上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院1第九章第九章 曲線積分曲線積分 曲面積分曲面積分 矢量分析初步矢量分析初步習(xí)題課習(xí)題課上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院2（一）（一）曲線積分與曲面積分曲線積分與曲面積分（二）各種積分之間的聯(lián)系（二）各種積分之間的聯(lián)系（三）場(chǎng)論初步（三）場(chǎng)論初步 一、主要內(nèi)容上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院3曲線積分曲線積分曲面積分曲面積分對(duì)面積的對(duì)面積的曲面積分曲面積分對(duì)坐標(biāo)的對(duì)坐標(biāo)的曲面積分曲面積分對(duì)弧長(zhǎng)的對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分曲線積分對(duì)坐標(biāo)的對(duì)坐標(biāo)的曲線積分曲線積分定義定義計(jì)算計(jì)算定義定義計(jì)算計(jì)算聯(lián)系聯(lián)系聯(lián)系聯(lián)系（一）（一）

2、曲線積分與曲面積分曲線積分與曲面積分上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院4 曲曲 線線 積積 分分對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分對(duì)坐標(biāo)的曲線積分對(duì)坐標(biāo)的曲線積分定定義義 niiiiLsfdsyxf10),(lim),( LdyyxQdxyxP),(),(),(),(lim10iiiniiiiyQxP 聯(lián)聯(lián)系系dsQPQdyPdxLL)coscos( 計(jì)計(jì)算算 dtfdsyxfL22,),(三代一定)( dtQPQdyPdxL),(),(二代一定 (與方向有關(guān))上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院5與路徑無(wú)關(guān)的四個(gè)等價(jià)命題與路徑無(wú)關(guān)的四個(gè)等價(jià)命題條條件件在在單單連連

3、通通開開區(qū)區(qū)域域D上上),(),(yxQyxP具具有有連連續(xù)續(xù)的的一一階階偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù), ,則則以以下下四四個(gè)個(gè)命命題題成成立立. . LQdyPdxD與路徑無(wú)關(guān)與路徑無(wú)關(guān)內(nèi)內(nèi)在在)1( CDCQdyPdx閉閉曲曲線線, 0)2(QdyPdxduyxUD 使使內(nèi)內(nèi)存存在在在在),()3(xQyPD ,)4(內(nèi)內(nèi)在在等等價(jià)價(jià)命命題題上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院6 曲曲 面面 積積 分分對(duì)面積的曲面積分對(duì)面積的曲面積分對(duì)坐標(biāo)的曲面積分對(duì)坐標(biāo)的曲面積分定定義義 niiiiisfdszyxf10),(lim),( xyiniiiiSRdxdyzyxR)( ),(lim),(10

4、聯(lián)聯(lián)系系 RdxdyQdzdxPdydz計(jì)計(jì) 算算一代,二換,三投(與側(cè)無(wú)關(guān)) 一代,二投,三定向 (與側(cè)有關(guān)) dSRQP)coscoscos( dszyxf),( xyDyxdxdyzzyxzyxf221),(, dxdyzyxR),( xyDdxdyyxzyxR),(,上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院7定積分定積分曲線積分曲線積分重積分重積分曲面積分曲面積分計(jì)算計(jì)算計(jì)算計(jì)算計(jì)算計(jì)算Green公式公式Stokes公式公式Guass公式公式（二）（二）各種積分之間的聯(lián)系各種積分之間的聯(lián)系上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院8點(diǎn)點(diǎn)函函數(shù)數(shù))(,)(lim)(10

5、MfMfdMfnii .)()(,1 badxxfdMfbaR 時(shí)時(shí)上上區(qū)區(qū)間間當(dāng)當(dāng).),()(,2 DdyxfdMfDR 時(shí)時(shí)上上區(qū)區(qū)域域當(dāng)當(dāng)積分概念的聯(lián)系積分概念的聯(lián)系定積分定積分二重積分二重積分上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院9 dVzyxfdMfR),()(,3 時(shí)時(shí)上區(qū)域上區(qū)域當(dāng)當(dāng).),()(,3 dszyxfdMfR 時(shí)時(shí)上上空空間間曲曲線線當(dāng)當(dāng).),()(,3 SdSzyxfdMfSR 時(shí)時(shí)上上曲曲面面當(dāng)當(dāng)曲面積分曲面積分曲線積分曲線積分三重積分三重積分.),()(,2 LdsyxfdMfLR 時(shí)時(shí)上平面曲線上平面曲線當(dāng)當(dāng)曲線積分曲線積分上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)

6、湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院10計(jì)算上的聯(lián)系)( ,),(),()()(21面面元元素素 ddxdyyxfdyxfbaxyxyD)( ,),(),()()(),(),(2121體體元元素素dVdzzyxfdydxdVzyxfbaxyxyyxzyxz baLdsdxyxyxfdsyxf)( ,1)(,),(2曲曲線線元元素素 baLdxdxxyxfdxyxf)( ,)(,),(投投影影線線元元素素上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院11 xyDyxdxdyzzyxzyxfdSzyxf221),(,),( xyDdxdyyxzyxfdxdyzyxR),(,),(其中其中dSRQPdxd

7、yRQdzdxPdydz)coscoscos( dsQPQdyPdxLL)coscos( )(曲曲面元素面元素dS)(投影投影面元素面元素dxdy上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院12理論上的聯(lián)系1.定積分與不定積分的聯(lián)系定積分與不定積分的聯(lián)系)()()()()(xfxFaFbFdxxfba 牛頓牛頓-萊布尼茨公式萊布尼茨公式2.二重積分與曲線積分的聯(lián)系二重積分與曲線積分的聯(lián)系)()(的正向的正向沿沿LQdyPdxdxdyyPxQLD 格林公式格林公式上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院133.三重積分與曲面積分的聯(lián)系三重積分與曲面積分的聯(lián)系 RdxdyQdzdx

8、PdydzdvzRyQxP)(高斯公式高斯公式4.曲面積分與曲線積分的聯(lián)系曲面積分與曲線積分的聯(lián)系 dxdyyPxQdzdxxRzPdydzzQyR)()()( RdzQdyPdx斯托克斯公式斯托克斯公式上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院14 DLdxdykArotsdA)( DLdxdyAdivdsnA)(Green公式,Guass公式,Stokes公式之間的關(guān)系 dSnArotdSA)( RQPzyxdxdydzdxdydzRdzQdyPdx dvAdivdsnA)(dvzRyQxPRdxdyQdzdxPdydz)( DLdxdyyPxQQdyPdx)( DLdxdyyQx

9、PPdyQdx)(或推廣推廣為平面向量場(chǎng)為平面向量場(chǎng))(MA為為空空間間向向量量場(chǎng)場(chǎng))(MA上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院15梯度梯度kzujyuixugradu 通量通量旋度旋度環(huán)流量環(huán)流量zRyQxPAdiv RdxdyQdzdxPdydzkyPxQjxRzPizQyRArot)()()( RdzQdyPdx散度散度（三）（三）場(chǎng)論初步場(chǎng)論初步上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院16二、二、典型例題典型例題1. 基本方法基本方法曲線積分曲線積分第一類第一類 ( 對(duì)弧長(zhǎng)對(duì)弧長(zhǎng) )第二類第二類 ( 對(duì)坐標(biāo)對(duì)坐標(biāo) )(1) 統(tǒng)一積分變量統(tǒng)一積分變量轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化定積分

10、定積分用參數(shù)方程用參數(shù)方程用直角坐標(biāo)方程用直角坐標(biāo)方程用極坐標(biāo)方程用極坐標(biāo)方程(2) 確定積分上下限確定積分上下限第一類第一類: 下小上大下小上大第二類第二類: 下始上終下始上終(一一)、曲線積分的計(jì)算法、曲線積分的計(jì)算法上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院17(1) 利用對(duì)稱性及重心公式簡(jiǎn)化計(jì)算利用對(duì)稱性及重心公式簡(jiǎn)化計(jì)算 ;(2) 利用積分與路徑無(wú)關(guān)的等價(jià)條件利用積分與路徑無(wú)關(guān)的等價(jià)條件;(3) 利用格林公式利用格林公式 (注意注意加輔助線的技巧加輔助線的技巧) ; (4) 利用斯托克斯公式利用斯托克斯公式 ;(5) 利用兩類曲線積分的聯(lián)系公式利用兩類曲線積分的聯(lián)系公式 .2

11、. 基本技巧基本技巧上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院18例例1. 計(jì)算計(jì)算,d)(22szyxI其中其中 為曲線為曲線02222zyxazyx解解: 利用輪換對(duì)稱性利用輪換對(duì)稱性 , 有有szsysxddd222利用利用重心公式重心公式知知sysydd0szyxId)(32222sad322334azoyx( 的的重心在原點(diǎn)重心在原點(diǎn))上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院19例例2. 計(jì)算計(jì)算,d)(d)(22LyxyxyxI其中其中L 是沿逆是沿逆時(shí)針方向以原點(diǎn)為中心時(shí)針方向以原點(diǎn)為中心,CoyxABL解法解法1 令令,22xyQyxP則則xQ這說明積分與路徑

12、無(wú)關(guān)這說明積分與路徑無(wú)關(guān), 故故yxyxyxIABd)(d)(22aaxx d2332a1yPa 為半徑的上半圓周為半徑的上半圓周.上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院20解法解法2 ,BA它與它與L所圍區(qū)域?yàn)樗鶉鷧^(qū)域?yàn)镈,CoyxABLDyxdd0yxyxyxBAd)(d)(22xxaad2D(利用格林公式利用格林公式)思考思考:(2) 若若 L 同例同例2 , 如何計(jì)算下述積分如何計(jì)算下述積分:LyxyxyxId)(d) (2222yLyxyxyxId)(d)(2213332a(1) 若若L 改為改為順時(shí)針方向順時(shí)針方向,如何計(jì)算下述積分如何計(jì)算下述積分:BALyxyxyxI

13、d)(d)(22則則添加輔助線段添加輔助線段上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院21思考題解答思考題解答:LyxyxyxId)(d)(2213(1)ABABLDyxdd2)32(2aaLyxyxyxId)(d) (2222y(2)Lyxyxyxd)(d)(22Lxy d2ttadsin303,sin,cos:taytaxL332a13223 a32a0: t332aICoyxABLD上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院22例例 3 3 計(jì)計(jì)算算 LdyyxdxxyxI)()2(422, , 其其中中L為為由由點(diǎn)點(diǎn))0 , 0(O到到點(diǎn)點(diǎn))1 , 1(A的的曲曲線線x

14、y2sin . . 思路思路: LQdyPdxIxQyP xQyP 0 LQdyPdxI ),(),(00yxyxQdyPdxI閉合閉合非閉非閉閉合閉合 DdxdyyPxQI)(非閉非閉補(bǔ)充曲線或用公式補(bǔ)充曲線或用公式上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院23解解xxyxyyP2)2(2 知知xyxxxQ2)(42 ,xQyP 即即 104102)1(dyydxx故故原原式式.1523 xyo11A dyyxdxxyxI)()2(422由由上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院24例例 4 4 計(jì)計(jì)算算 LxxdymyedxmyyeI)cos()sin(, , 其其中中

15、L為為由由點(diǎn)點(diǎn))0 ,(a到到點(diǎn)點(diǎn))0 , 0(的的上上半半圓圓周周0,22 yaxyx. . 解解myemyyeyyPxx cos)sin(yemyexxQxxcos)cos( xQyP 即即( (如下圖如下圖) )上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院25xyo)0 ,(aAMdxdyyPxQDAMOA )( Ddxdym,82am 0)(00 medxxaAO, 0 082 am.82am AMOAAOAOAOLI AMOAAOI上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院26曲面面積的計(jì)算法曲面面積的計(jì)算法SDxy),(yxfz xyoz dSS xyDyxdxdyz

16、z221dsyxfSBAL ),(),(dxyyxfba 21),(zxoy),(yxfz sLABab上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院27曲頂柱體的表面積曲頂柱體的表面積 LDyxdsyxfdffS),()11(22 xzyo),(yxfz LD如圖曲頂柱體，如圖曲頂柱體，上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院28例例 5 5 求求柱柱面面13232 yx在在球球面面1222 zyx內(nèi)內(nèi)的的側(cè)側(cè)面面積積. . 解解由對(duì)稱性由對(duì)稱性 LLdsyxzdsS2218, 1:3232 yxL)20(,sin,cos33 ttytx參數(shù)方程為參數(shù)方程為上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下

17、一頁(yè)湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院29,cossin3)()(22tdttdtyxdstt tdttttScossin3sincos182066 tdttttcossincossin3242022 2022cossin324tdtt.233 上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院30(二二)、曲面積分的計(jì)算法、曲面積分的計(jì)算法1. 基本方法基本方法曲面積分曲面積分第一類第一類( 對(duì)面積對(duì)面積 )第二類第二類( 對(duì)坐標(biāo)對(duì)坐標(biāo) )轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化二重積分二重積分(1) 統(tǒng)一積分變量統(tǒng)一積分變量 代入曲面方程代入曲面方程(2) 積分元素投影積分元素投影第一類第一類: 始終非負(fù)始終非負(fù)第二類第二類:

18、有向投影有向投影(3) 確定二重積分域確定二重積分域 把曲面積分域投影到相關(guān)坐標(biāo)面把曲面積分域投影到相關(guān)坐標(biāo)面上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院31思思 考考 題題1) 二重積分是哪一類積分二重積分是哪一類積分? 答答: 第一類曲面積分的特例第一類曲面積分的特例.2) 設(shè)曲面設(shè)曲面,),( ,0:Dyxz問下列等式是否成立問下列等式是否成立?DyxyxfSzyxfdd)0 ,(d),( 不對(duì)不對(duì) ! 對(duì)坐標(biāo)的積分與對(duì)坐標(biāo)的積分與 的的側(cè)有關(guān)側(cè)有關(guān) Dyxyxfyxzyxfdd)0 ,(dd),(上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院322. 基本技巧基本技巧(1)

19、利用對(duì)稱性及重心公式簡(jiǎn)化計(jì)算利用對(duì)稱性及重心公式簡(jiǎn)化計(jì)算(2) 利用高斯公式利用高斯公式注意公式使用條件注意公式使用條件添加輔助面的技巧添加輔助面的技巧(輔助面一般取平行坐標(biāo)面的平面輔助面一般取平行坐標(biāo)面的平面)(3) 兩類曲面積分的轉(zhuǎn)化兩類曲面積分的轉(zhuǎn)化上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院33在第四卦限部分的上側(cè)在第四卦限部分的上側(cè)為平面為平面為連續(xù)函數(shù)為連續(xù)函數(shù)其中其中計(jì)算計(jì)算1,),(,),(),(2),( zyxzyxfdxdyzzyxfdzdxyzyxfdydzxzyxfI例例6xyoz111 解解利用兩類曲面積分之間的關(guān)系利用兩類曲面積分之間的關(guān)系,1 , 1, 1

20、n的的法法向向量量為為.31cos,31cos,31cos 上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院34dSzzyxfyzyxfxzyxfI),(31),(231),(31 dSzyx)(31 xyDdxdy3131.21 上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院35向量點(diǎn)積法向量點(diǎn)積法 ,1,),(:yxffyxfz 法法向向量量為為設(shè)設(shè) RdxdyQdzdxPdydzIdxdyffRQPyx1 , dSnA0, dxdydzdxdydzRQP.1,dxdyffRQPxoyyxDxy 面面投投影影在在將將上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院36所所截截部部分

21、分的的外外側(cè)側(cè)被被平平面面錐錐面面為為其其中中計(jì)計(jì)算算2, 1,222 zzyxzdxdyzxdzdxydydzI例例7解解,2222yxyfyxxfyx D 利用向量點(diǎn)積法利用向量點(diǎn)積法上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院37 21220rdrrd.215 dxdyz2 xyDdxdyyx)(22 dxdyyxyyxxzxyI 1 ,2222241:22 yxDxy上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院38例例 8 8 計(jì)計(jì)算算曲曲面面積積分分 yzdxdydzdxyxdydzyI4)1(2)18(2 , , 其其中中 是是由由曲曲線線)31(01 yxyz繞繞 y

22、軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)一一周周所所成成的的曲曲面面, ,它它的的法法向向量量與與 y軸軸正正向向的的夾夾角角恒恒大大于于2 . . 解解22101xzyyxyz 軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)面面方方程程為為繞繞( (如下圖如下圖) )上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院39xyzo132 * *I且且有有dxdydzzRyQxP)(* dxdydzyyy)4418(yzdxdydzdxyxdydzyI4)1(2)18(2 欲欲求求 dv上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院40 203)2(2d,2 *2)31(2dzdx,32 )32(2 I故故.34 xzDxzdydxdz3122 312

23、0202dydd上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院41例例9.證明證明: 設(shè)設(shè)(常向量常向量)則則單位外法向向量單位外法向向量, 試證試證Sdcoscoscoscoscoscos0vzyxd)cos()cos()cos(zyddcosxzddcosyxddcos設(shè)設(shè) 為簡(jiǎn)單閉曲面為簡(jiǎn)單閉曲面, a 為為任意固定任意固定向量向量, n 為為 的的 . 0d)cos(Sa,nSa ,nd)cos(Sand0)cos,cos,(cosn)cos,cos,(cos0a上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院42例例10. 計(jì)算曲面積分計(jì)算曲面積分yxrzxzryzyrxIdd

24、dddd333其中其中,222zyxr.:2222取外側(cè)Rzyx解解:yxzxzyzyxRIdddddd13zyxRddd3134思考思考: 本題本題 改為橢球面改為橢球面1222222czbyax時(shí)時(shí), 應(yīng)如何應(yīng)如何計(jì)算計(jì)算 ?提示提示: 在橢球面內(nèi)作輔助小球面在橢球面內(nèi)作輔助小球面取2222zyx內(nèi)側(cè)內(nèi)側(cè), 然后用高斯公式然后用高斯公式 .上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院432121I例例11. 設(shè)設(shè) 是曲面是曲面9) 1(16)2(5122yxz23222)(ddddddzyxyxzxzyzyxI2221:yxz解解: 取足夠小的正數(shù)取足夠小的正數(shù) , 作曲面作曲面取下

25、側(cè)取下側(cè) 使其包在使其包在 內(nèi)內(nèi), 2為為 xoy 平面上夾于平面上夾于之間的部分之間的部分, 且取下側(cè)且取下側(cè) ,1與21ozyx取上側(cè)取上側(cè), 計(jì)算計(jì)算, )0( z則則上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院4421ozyx)2(133I2121Ivd01dddddd13yxzxzyzyx22322)(dd0yxyx2第二項(xiàng)添加輔助面第二項(xiàng)添加輔助面, 再用高斯公式再用高斯公式計(jì)算計(jì)算, 得得上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院45例例12. 計(jì)算曲面積分計(jì)算曲面積分其,d2)(22SzyzyxI中中 是球面是球面.22222zxzyx解解: Szxd)22(32

26、SzyxId )(222zyyx22Syzxd)(2Szxd)(20利用對(duì)稱性利用對(duì)稱性用重心公式用重心公式上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院46xzoy例例13.zyxyxzxzyILd)3(d)2(d)(222222設(shè)設(shè)L 是平面是平面與柱面與柱面1 yx的交線的交線從從 z 軸正向看去軸正向看去, L 為逆時(shí)針方向?yàn)槟鏁r(shí)針方向, 計(jì)算計(jì)算 解解: 記記 為平面為平面2zyx上上 L 所圍部分的上側(cè)所圍部分的上側(cè), D為為 在在 xoy 面上的投影面上的投影.I3131312zyx223yx Szyxd)324(3222zy 222xz SzyxdLD上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一

27、頁(yè)湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院47Dyxyxdd)6(2Dxyo11D 的形心0 yxDyxdd1224SzyxId)324(32Dyxzyx),(, 2:1: yxD上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院48一、一、 選擇題選擇題: :1 1、 設(shè)設(shè)L為為230,0 yxx, ,則則 Lds4的值為的值為( ).( ). (A) (A)04x， (B) (B),6 (C) (C)06x. .2 2、 設(shè)設(shè)L為直線為直線0yy 上從點(diǎn)上從點(diǎn)),0(0yA到點(diǎn)到點(diǎn)),3(0yB的的有向直線段有向直線段, ,則則 Ldy2=( ).=( ). (A (A)6; (B) )6; (B) 0

28、6y; (C)0.; (C)0.3 3、 若若L是上半橢圓是上半橢圓 ,sin,costbytax取順時(shí)針方向取順時(shí)針方向, ,則則 Lxdyydx的值為的值為( ).( ). (A (A) )0 0; (B); (B)ab2 ; (C); (C)ab . .測(cè)驗(yàn)題測(cè)驗(yàn)題上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院494 4、設(shè)、設(shè)),(,),(yxQyxP在單連通區(qū)域在單連通區(qū)域D內(nèi)有一階連續(xù)內(nèi)有一階連續(xù) 偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù), ,則在則在D內(nèi)與內(nèi)與 LQdyPdx路徑無(wú)關(guān)的條件路徑無(wú)關(guān)的條件 DyxyPxQ ),(,是是( ).( ). (A) (A)充分條件充分條件; (B); (B)必要

29、條件必要條件; (C); (C)充要條件充要條件. .5 5、設(shè)、設(shè) 為球面為球面1222 zyx, ,1 為其上半球面為其上半球面, ,則則 ( ) ( )式正確式正確. . (A) (A) 12zdszds; ; (B) (B) 12zdxdyzdxdy; ; (C) (C) 1222dxdyzdxdyz. .上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院506 6、若、若 為為)(222yxz 在在xoy面上方部分的曲面面上方部分的曲面 , , 則則 ds等于等于( ).( ). (A) (A) rrdrrd022041 ;(B);(B) 2022041rdrrd ; ; (C)(C

30、) 2022041rdrrd . .7 7、若、若 為球面為球面2222Rzyx 的外側(cè)的外側(cè), ,則則 zdxdyyx22等于等于( ).( ). (A) (A) xyDdxdyyxRyx22222; ; (B) (B) 2 2 xyDdxdyyxRyx22222; ; (C) 0(C) 0 . .上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院518 8、曲面積分、曲面積分 dxdyz2在數(shù)值上等于在數(shù)值上等于( ).( ).(A)(A) 向量向量iz2穿過曲面穿過曲面 的流量；的流量；(B)(B) 面密度為面密度為2z的曲面的曲面 的質(zhì)量；的質(zhì)量；(C)(C) 向量向量kz2穿過曲面穿

31、過曲面 的流量的流量 . .9 9、設(shè)、設(shè) 是球面是球面2222Rzyx 的外側(cè)的外側(cè), ,xyD是是xoy面面 上的圓域上的圓域222Ryx , ,下述等式正確的是下述等式正確的是( ).( ). (A) (A) xyDdxdyyxRyxzdsyx2222222； (B) (B) xyDdxdyyxdxdyyx)()(2222； (C) (C) xyDdxdyyxRzdxdy2222. .上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院521010、若、若 是空間區(qū)域是空間區(qū)域 的外表面的外表面, ,下述計(jì)算中運(yùn)用奧下述計(jì)算中運(yùn)用奧- -高高 公式正確的是公式正確的是( ).( ). (A) (A) 外側(cè)外側(cè)dxdyyzdydzx)2(2 = = dxdydzx)22(； (B) (B) 外側(cè)外側(cè)zdxdyydzdxxdydzyzx232)( = = dxdydzxx)123(22； (C) (C) 內(nèi)側(cè)內(nèi)側(cè)dxdyyzdydzx)2(2 = = dxdydzx)12(. .上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院53二、計(jì)算下列各題二、計(jì)算下列各題: :1 1、求、求 zds, ,其中其中 為曲線為曲線 ,sin,costzttyttx)0(0