球面上的基本圖形

1、球面上的基本圖形NONOAAOBAOABCAOABC3-53-6由圖3-5知，球面角BAC的兩邊AB、AC延長(zhǎng)后交于A，所組成的圖形ABAC，稱為球面二角形 。又稱（月形） 把ABA 、ACA 稱為球面二角形的邊，球面角BAC 是球面二角形的夾角ABCAOABC前者是平面上的三角形，它是三條線段順次相接構(gòu)成的封閉圖形。完全類似，可以把球面上的三條“直線”（三條大圓的圓?。┦孜豁槾蜗嘟拥姆忾]圖形是球面三角形（如圖） 如何度量球面三角形ABC的邊和內(nèi)角？AOABC如圖，連接球心O與A,B,C三點(diǎn)，由球面角的定義及度量可知，球面三角形ABC的三個(gè)內(nèi)角A, B , C 可分別由二面角B-OA-C 、A

2、-OB-C、B-OC-A度量AOBC如果設(shè)AOB =a , BOC= , COA= ,(a , , 均為弧度） ，那么球面ABC 的三邊AB,BC,CA分別為：AB=ra , BC=r , CA =r .其中r為球的半徑，若r=1 ,則AB =a ,BC = ,CA = 三面角 : 無(wú)論是測(cè)邊長(zhǎng)還是內(nèi)角，都要連接球心與球面三角形 的頂點(diǎn)，如果延長(zhǎng)上圖中三條線段OA,OB,OC 使 其成為射線，這三條射線構(gòu)成三個(gè)平面，把這樣的 圖形叫做三面角如圖。 記作O-ABC O點(diǎn)為三面角的頂點(diǎn)，OA,OB,OC稱為它的棱， AOB , BOC , COA 稱為它的面角 AOBC相鄰的兩面構(gòu)成的二面角是三面

3、角的二面角，一個(gè)三面角有3個(gè)二面角。綜上，球面ABC的三個(gè)內(nèi)角對(duì)應(yīng)于 三面角O-ABC的三個(gè)二面角，三條邊對(duì)應(yīng)三面角O-ABC 的三個(gè)面角球面球面ABC三面角三面角O-ABC內(nèi)角二面角邊面角3.對(duì)頂角三角形AOBCCAB在球面上找到A,B,C關(guān)于球心O的對(duì)稱點(diǎn)A,B,C，所以對(duì)稱點(diǎn)為頂點(diǎn)構(gòu)成的球面三角形ABC，稱為球面三角形ABC的對(duì)頂三角形兩個(gè)對(duì)頂?shù)那蛎鎯蓚€(gè)對(duì)頂?shù)那蛎嫒切侮P(guān)于球心三角形關(guān)于球心對(duì)稱對(duì)稱4.球極三角形AACCBBOBAC如圖，對(duì)于任意球面ABC，假設(shè)與邊BC所在的大圓對(duì)應(yīng)的極點(diǎn)為A,A ，與邊AC所在大圓對(duì)應(yīng)的極點(diǎn)B B，與邊AB所在的大圓對(duì)應(yīng)的極點(diǎn)CC，而且點(diǎn)A與A，點(diǎn)B與B，點(diǎn)C與C在同一個(gè)球面內(nèi)，這時(shí)我們稱球面ABC為球面ABC的極對(duì)稱三角形，簡(jiǎn)稱球極三角形如果球面ABC是球面ABC的的極對(duì)稱三角形，那么球面ABC的極對(duì)稱三角形是什么？球面ABC的極對(duì)稱三角形是球面ABC 總結(jié)： 球面ABC 與它的球極ABC 互為極對(duì)稱三角形ADC bBOBACEcbac aADC bBOBACEcbac a同理 b = -B ,c = - C由此我們得到在單位球面上 ，如果球面ABC 的極對(duì)稱三角形是球面ABC。且它們的內(nèi)角（單位：弧度）與邊長(zhǎng)分別為A, B , C a ,b ,c 和 A , B , C