混料試驗(yàn)設(shè)計(jì)匯總

1、王中來(lái)：混料試驗(yàn)設(shè)計(jì)混料試驗(yàn)設(shè)計(jì)The Design of Mixture Experiments主要參考文獻(xiàn)：1、 欒軍. 現(xiàn)代試驗(yàn)設(shè)計(jì)優(yōu)化方法. 上海：上海交通大學(xué)出版社，19952、 茆詩(shī)松等. 回歸分析及其試驗(yàn)設(shè)計(jì). 上海：華東師范大學(xué)出版社, 1981一、 混料問(wèn)題與混料試驗(yàn) (欒軍, 1995；茆詩(shī)松 等, 1981)日常生活中和工業(yè)生產(chǎn)上經(jīng)常遇到配方配比一類的問(wèn)題，即所謂混料問(wèn)題。這里所說(shuō)的混料是指由若干不同成分的元素混合形成一種新的物品。由不同成分組成的鋼、鐵、鋁、藥方、飼料以及燃料等都是混料，某些分配問(wèn)題，如企業(yè)的材料、資金、設(shè)備和人員等的分配也可看著混料問(wèn)題?；炝显囼?yàn)就是通

2、過(guò)實(shí)物試驗(yàn)或非實(shí)物試驗(yàn)，考察各種混料成分與試驗(yàn)指標(biāo)之間的關(guān)系。例如，人們吃的糕點(diǎn)是將面粉、水、油、糖發(fā)酵及某些香料混合后經(jīng)烘烤制成的，考察這些成分對(duì)糕點(diǎn)的柔軟性、口味等試驗(yàn)指標(biāo)的影響所進(jìn)行的試驗(yàn)就是混料試驗(yàn)。應(yīng)該指出，混料試驗(yàn)中的混料成分至少應(yīng)有三種，并且混料成分中的不變成分不應(yīng)作為混料成分?；炝显囼?yàn)設(shè)計(jì)，不同于以前所介紹的各種試驗(yàn)設(shè)計(jì)?；炝显囼?yàn)設(shè)計(jì)的試驗(yàn)指標(biāo)只與每種成分的含量有關(guān)，而與混料的總量無(wú)關(guān)，且每種成分的比例必須是非負(fù)的，且在01之間變化，各種成分的含量之和必須等于1（即100%）。也就是說(shuō)，各種成分不能完全自由地變化，受到一定條件的約束。設(shè)：y為試驗(yàn)指標(biāo)，x是第i種成分的含量，則混

3、料問(wèn)題的約束條件，即混料條件為： （1）其中xi稱為混料成分或混料分量，即混料試驗(yàn)中的試驗(yàn)因素。混料試驗(yàn)設(shè)計(jì)是一種受特殊條件約束的回歸設(shè)計(jì)，它是通過(guò)合理地安排混料試驗(yàn)，以求得各種線性或非線性回歸方程的技術(shù)方法。它具有試驗(yàn)點(diǎn)數(shù)少、計(jì)算簡(jiǎn)便、容易分析、迅速得到最佳混料條件等優(yōu)點(diǎn)。混料條件（1）決定了混料試驗(yàn)設(shè)計(jì)不能采用一般多項(xiàng)式作為回歸模型，否則會(huì)由于混料條件的約束而引起信息矩陣的退化?；炝显囼?yàn)設(shè)計(jì)常采用Scheffé 多項(xiàng)式回歸模型。例如，一般的三元二次回歸方程為(2)而混料試驗(yàn)設(shè)計(jì)中，三分量二次回歸方程應(yīng)為(3)比較式（2）和式（3）可知，Scheffé多項(xiàng)式?jīng)]有常數(shù)項(xiàng)和平

4、方項(xiàng)。這是因?yàn)?，將約束條件代入式（2），即可推導(dǎo)得到式（3）。通常，混料試驗(yàn)設(shè)計(jì)的p分量d次多項(xiàng)式回歸方程，其Scheffé多項(xiàng)式（或稱為規(guī)范多項(xiàng)式）為一次式（d=1）：(4)二次式（d=2）：(5)三次式（d=3）：(6)式中為三次項(xiàng)的回歸系數(shù)。由此看來(lái)，混料試驗(yàn)設(shè)計(jì)的 (p, d) Scheffé 多項(xiàng)式回歸方程中，待估計(jì)的回歸系數(shù)的個(gè)數(shù)，比一般的p因素d次多項(xiàng)式回歸方程要少。例如，對(duì)于混料試驗(yàn)設(shè)計(jì)（p, d）的回歸方程式（5），無(wú)常數(shù)項(xiàng)和二次項(xiàng)。于是，減少了 p+1 個(gè)回歸系數(shù)，所以至少可以少做 p+1 次試驗(yàn)。混料試驗(yàn)設(shè)計(jì)由 H. Scheffé 于195

5、8年首先提出，至今已有40多年。由于這種試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法與工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)及科學(xué)試驗(yàn)有密切的關(guān)系，所以無(wú)論在理論研究中，還是實(shí)際應(yīng)用中都有了很大的發(fā)展。在工業(yè)試驗(yàn)方面，合金、混凝土、陶瓷、油漆、混紡纖維、醫(yī)藥、食品等的配方和生產(chǎn)制造都廣泛地應(yīng)用混料試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法。二、單（純）形格子設(shè)計(jì) （茆詩(shī)松等，1981；欒軍，1995）1. 引言 （1）單（純）形在混料試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法中，單純形格子設(shè)計(jì)是最早出現(xiàn)的，是Scheffé 于1958年提出的。它是混料試驗(yàn)設(shè)計(jì)中最基本的方法，其它一些方法都要用到單純形格子設(shè)計(jì)。在混料問(wèn)題中，各分量 xi (i=1, 2, , p) 的變化范圍受混料條件式（1）的制約。

6、在幾何上，稱為p維平面，而（x1, x2, , xp）為p維平面上點(diǎn)的坐標(biāo)。在p維平面上滿足 的區(qū)域構(gòu)成一個(gè)圖形稱為單形（或單純形）。單形上的點(diǎn)，若其p個(gè)坐標(biāo)中有一個(gè)坐標(biāo) xi=1 , 而其余的 p-1 個(gè)坐標(biāo) xj=0 (j¹i), 則這種點(diǎn)稱為單形的頂點(diǎn)。因此，在p因子混料試驗(yàn)中，單形的頂點(diǎn)有p個(gè)。例如，p=3時(shí)，單形的三個(gè)頂點(diǎn)為（1，0，0）、（0，1，0）和（0，0，1）。所以單型的圖形為一等邊三角形，如圖1（a）所示。（2）單形上點(diǎn)的坐標(biāo)下面，以p=3為例討論單形上點(diǎn)的坐標(biāo)問(wèn)題。對(duì)于三因子混料試驗(yàn)，這個(gè)試驗(yàn)的單形是一個(gè)等邊三角形，其三個(gè)頂點(diǎn)分別為A（1，0，0）、B（0，1

7、，0）和C（0，0，1）。x1設(shè)P（x1、x2、x3）為這單形的內(nèi)點(diǎn)，定義x1表示P點(diǎn)到邊BC的距離，x2為P點(diǎn)到邊AC的距離，x3為P點(diǎn)到邊AB的距離。為簡(jiǎn)單起見(jiàn)，使用時(shí)不再畫(huà)出三個(gè)坐標(biāo)軸，只畫(huà)出一個(gè)等邊（正）三角形，如圖1（b）所示。A(1, 0, 0)A(1, 0, 0)x3x2P(x1, x2, x3)ox1x3x2C(0, 0, 1)B(0, 1, 0)B(0, 1, 0)C(0, 0, 1)(a) (b)圖1 p=3時(shí)的單形（x1+x2+x3 = 正三角形的高 = 1）取此等邊（正）三角形的高為1，則由初等幾何學(xué)可知，ABC內(nèi)任一點(diǎn)P到三個(gè)邊的距離之和為1，即 或 所以，三因子混料

8、試驗(yàn)可以用等邊三角形這樣一個(gè)單形上的點(diǎn)表示。一般情況下，對(duì)p因子混料試驗(yàn)，其p個(gè)頂點(diǎn)分別為A1（1，0，0，0）、A2（0，1，0，0）、 Ap（0，0，0，1）。設(shè)P（x1, x2, , xp）為單形的內(nèi)點(diǎn)，定義x1，x2，xp分別表示P 點(diǎn)到A2Ap面的距離、A1A3Ap面的距離、A1Ap-1面的距離，并取p-1維空間內(nèi)正多邊形的高為1正多邊形又稱為正規(guī)單（純）形。于是，我們就建立了p因子混料試驗(yàn)的單形坐標(biāo)系。2. 單（純）形格子點(diǎn)的概念對(duì)于由混料條件式（1）構(gòu)成的正規(guī)單（純）形因素空間，當(dāng)采用式（5）、式（6）等完全型規(guī)范多項(xiàng)式回歸模型時(shí)，試驗(yàn)點(diǎn)可以取在正規(guī)單（純）形格子點(diǎn)上，構(gòu)成單（純

9、）形格子設(shè)計(jì)。對(duì)于三因素（p=3時(shí)）的格子點(diǎn)集，其單（純）形是一個(gè)高為1的等邊三角形，它的三個(gè)頂點(diǎn)的全體稱為一階格子點(diǎn)集，記為3，1，如圖2（a）所示。 31x1 = 1x1 = 1x1 = 1x3 = 1x3 = 1x3 = 1x2 = 1x2 = 1x2 = 1 (a) 3, 1(b) 3, 2 (c) 3, 3圖2 單（純）形格子點(diǎn)分布圖 將高為1的等邊三角形的三條邊各二等分，則該三角形的三個(gè)頂點(diǎn)與三條邊的中點(diǎn)的全體稱為二階格子點(diǎn)集，記為3，2，如圖2（b）所示。其中共有6個(gè)點(diǎn)，各點(diǎn)坐標(biāo)如表1所示。將等邊三角形的各邊進(jìn)行三等分，對(duì)應(yīng)分點(diǎn)連成與各邊平行的直線，在等邊三角形上形成許多格子，則

10、這些格子頂點(diǎn)的全體稱為三階格子點(diǎn)集，記為3，3，如圖2（c）所示，其中共有10個(gè)點(diǎn)。各點(diǎn)坐標(biāo)如表2所示。表1 3，2各點(diǎn)坐標(biāo)（三因素二階格子點(diǎn)集坐標(biāo)）點(diǎn)號(hào)坐 標(biāo)x1x2x3 110020103001405060表2 3，3各點(diǎn)坐標(biāo)（三因素三階格子點(diǎn)集坐標(biāo)）點(diǎn)號(hào)坐 標(biāo)x1x2x311002010300140506070809010四因素二階格子點(diǎn)集，記為4，2，其中共有10個(gè)點(diǎn)，各點(diǎn)坐標(biāo)見(jiàn)表3。表3 4，2各點(diǎn)坐標(biāo)（四因素二階格子點(diǎn)集坐標(biāo)）點(diǎn)號(hào)坐 標(biāo)x1x2x3x4110002010030010400015006007008009001000一般情況下，p因素d階格子點(diǎn)集記為p，d，其中p表示單

11、（純）形頂點(diǎn)的個(gè)數(shù)，d表示單（純）形邊長(zhǎng)被等分的段數(shù)，并且總的點(diǎn)數(shù)為。3、單（純）形格子設(shè)計(jì)法Scheffé提出的單（純）形格子設(shè)計(jì)，具有以下兩個(gè)特點(diǎn)：（1）、每個(gè)p，d設(shè)計(jì)所要做的試驗(yàn)次數(shù)為，恰好等于完全型規(guī)范多項(xiàng)式回歸方程如式（5）、式（6）所示中的回歸系數(shù)的個(gè)數(shù)。因而單（純）形格子設(shè)計(jì)是飽和設(shè)計(jì)，是一種優(yōu)化設(shè)計(jì)。代表試驗(yàn)的點(diǎn)對(duì)稱地排列在單形上，構(gòu)成單形的一個(gè)格子，稱為p，d格子。每一點(diǎn)的p個(gè)坐標(biāo)代表p個(gè)因素的成分值，它們加起來(lái)的和等于1；（2）、試驗(yàn)點(diǎn)的成分與模型的次數(shù)（或階數(shù)）d有關(guān)，我們約定每一成分xi取值為的倍數(shù)，即。并且在設(shè)計(jì)中因素成分量的各種配合都使用到。單（純）形格

12、子設(shè)計(jì)的試驗(yàn)點(diǎn)數(shù)，與相應(yīng)的完全型規(guī)范多項(xiàng)式回歸方程的階數(shù)（或次數(shù)）d的關(guān)系，見(jiàn)表4。表4 單（純）形格子設(shè)計(jì)的試驗(yàn)點(diǎn)數(shù)（）Pd234361015410203551535706215612683612033010552207154、回歸系數(shù)的計(jì)算在單（純）形格子設(shè)計(jì)中，每個(gè)回歸系數(shù)的值只取決于所對(duì)應(yīng)的一些格子上的觀測(cè)值，而與其它設(shè)計(jì)點(diǎn)上的觀測(cè)值無(wú)關(guān)，故使得用最小二乘法計(jì)算回歸系數(shù)變得很簡(jiǎn)單。各回歸系數(shù)均可表達(dá)為相應(yīng)設(shè)計(jì)點(diǎn)上觀測(cè)值的簡(jiǎn)單線性組合。例1 3，2單形格子設(shè)計(jì) 是三因素二次單形格子設(shè)計(jì)，即 p=3，d=2， 響應(yīng)方程（又稱Scheffé多項(xiàng)式或規(guī)范多項(xiàng)式或正則多項(xiàng)式）為： 成分

13、的取值0，1。此時(shí)單形格子設(shè)計(jì)及試驗(yàn)結(jié)果如表5所示。表5 單形格子3, 2設(shè)計(jì)及試驗(yàn)結(jié)果試驗(yàn)號(hào)x1x2x3觀測(cè)值1100y12010y23001y340y450y560y6為了求出模型中系數(shù)的估計(jì)，可以通過(guò)把同一號(hào)的試驗(yàn)成分值分別代入上述模型中的x1、x2和x3，并把觀測(cè)值yi代入對(duì)應(yīng)的，這樣便得到一組方程，解這組方程便可獲得回歸系數(shù)的估計(jì)值。將第1號(hào)試驗(yàn)（1，0，0）代入（x1，x2，x3），便得到 同理可得 ， 例2 4，2單形格子設(shè)計(jì) p=4，d=2 未知參數(shù)的個(gè)數(shù)單形格子設(shè)計(jì)的試驗(yàn)點(diǎn)個(gè)數(shù)也是10。成分的取值xi=0，1。此時(shí)的單形格子設(shè)計(jì)如表3所示，并將10個(gè)試驗(yàn)觀測(cè)值放在最后一列。4

14、，2單形格子設(shè)計(jì)的規(guī)范多項(xiàng)式（即響應(yīng)方程）為： 與前面一樣，可得估計(jì)參數(shù)如下：， ， ， ， ， ， 例3 3，3單形格子設(shè)計(jì) p=3，d=3， 未知參數(shù)的個(gè)數(shù)=試驗(yàn)次數(shù)也是10 ，成分的取值0，1。響應(yīng)方程為 此時(shí)的單形格子設(shè)計(jì)，如表2所示。將10個(gè)試驗(yàn)觀測(cè)值填入表中最后一列。同理可得待估系數(shù)如下：， ， ， ， ，單形格子設(shè)計(jì)的很大優(yōu)點(diǎn)是：響應(yīng)函數(shù)（即規(guī)范多項(xiàng)式）各項(xiàng)的意義很容易理解。在上面的系數(shù)估計(jì)公式中可以看出，一次項(xiàng)的系數(shù)bi只受單形的第i個(gè)頂點(diǎn)上觀測(cè)值的影響。一次項(xiàng)bixi反映了純組分（只有一個(gè)坐標(biāo)xi為1，其余均為零）的響應(yīng)。若響應(yīng)曲面是一個(gè)平面，則方程 （7）表示成分與觀測(cè)值（

15、響應(yīng)值）的線性組合（即xi之間的線性組合）。二次項(xiàng)系數(shù)bij僅受單形中連接第i個(gè)和第j個(gè)頂點(diǎn)的棱上試驗(yàn)點(diǎn)觀測(cè)值的影響。全體二次項(xiàng)表示響應(yīng)曲面與式（7）所表示的平面之間的離差。應(yīng)當(dāng)指出的是，二次項(xiàng)不能單純理解為和的交互效應(yīng)，這是因?yàn)樗鼈兪芗s束條件式（1）的限制，不能獨(dú)立地變動(dòng)，所以它們只表示一種非線性混合的關(guān)系。當(dāng)>0 時(shí)，Scheffé稱這種非線性混合關(guān)系為協(xié)調(diào)的；而當(dāng)<0時(shí)，則稱為對(duì)抗的。5、 單（純）形格子設(shè)計(jì)實(shí)例在單形格子設(shè)計(jì)所安排的試驗(yàn)中，總有幾個(gè)試驗(yàn)，它的成分中有一個(gè)為1其余為0，如（1，0，0）；或者一個(gè)或幾個(gè)為0，其余非0，如（，0，0）。但在實(shí)際感興趣的試

16、驗(yàn)中卻正好相反，不等于0的成分占大多數(shù)，少數(shù)有一、二個(gè)成分為0、其余不為0的試驗(yàn)點(diǎn)。所以為了使單形設(shè)計(jì)能適用于這類實(shí)際情況，必須進(jìn)行編碼。與“回歸正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)”一樣，編碼不是試驗(yàn)的真正成分，而是一種變換。這種變換的結(jié)果是試驗(yàn)設(shè)計(jì)中出現(xiàn)的因素水平。下面，結(jié)合一個(gè)具體例子來(lái)介紹編碼的方法。例4 一種火箭推進(jìn)劑是由三種成分A、B、C混合制成。這里A表示實(shí)際成分固定劑，B表示氧化劑，C表示燃料。采用單形格子設(shè)計(jì)3，2。表6中給出了設(shè)計(jì)的編碼和實(shí)際成分。表6中A、B、C下的數(shù)值是編碼數(shù)。現(xiàn)在尋找編碼與實(shí)際成分的關(guān)系。用xi表示編碼，zi表示實(shí)際成分。分別找出z1、z2、z3的最小值分別為a1=0.200

17、、a2=0.400、a3=0.200。作變換， （i=1，2，3） （8）表6 單形格子設(shè)計(jì)3，2應(yīng)用實(shí)例試驗(yàn)號(hào)編 碼實(shí)際成分觀測(cè)值yABC固定劑氧化劑燃料x(chóng)1x2x3z1z2z311000.4000.4000.20022.020100.2000.6000.20026.030010.2000.4000.40019.0400.3000.5000.20031.0500.3000.4000.30026.0600.2000.5000.30041.0這樣，就使每種成分zi的最小值（ai）所對(duì)應(yīng)于xi的編碼為0，于是 這就是關(guān)于本例的編碼與實(shí)際成分的轉(zhuǎn)換公式。我們現(xiàn)在對(duì)表6中的試驗(yàn)任選二個(gè)檢驗(yàn)一下。在第1

18、號(hào)試驗(yàn)中， 當(dāng) 時(shí)， ； 當(dāng) 時(shí)， ； 當(dāng) 時(shí)， 。同樣，在第6號(hào)試驗(yàn)中， 當(dāng) 時(shí)， ；當(dāng) 時(shí)， ；當(dāng) 時(shí)， 。一般情況下，p因子混料試驗(yàn)的編碼xi與實(shí)際成分zi之間的轉(zhuǎn)換公式為： ， （i=1，2，p）（9）這里ai為zi的最小值。在求出響應(yīng)函數(shù)（）與編碼（xi）的回歸方程 后，再用變換公式（9）的逆變換 代入所得回歸方程，這樣就得到了響應(yīng)函數(shù)（）與實(shí)際成分（zi）的回歸方程 對(duì)于表6中的試驗(yàn)觀測(cè)值，可按例1中的公式求出回歸系數(shù)的估計(jì)值：, , , 所以，響應(yīng)函數(shù)與編碼之間的回歸方程為： 逆變換公式為：最后，得到響應(yīng)函數(shù)與實(shí)際成分之間的回歸方程為三、單（純）形重心設(shè)計(jì) (茆詩(shī)松 等, 198

19、1；欒軍, 1995)1. 基本原理在一個(gè)p, d單形格子設(shè)計(jì)中，當(dāng)回歸模型的階數(shù)d >2時(shí)，某些混料試驗(yàn)中格子點(diǎn)的非零坐標(biāo)不相等，這種非對(duì)稱性反映到估計(jì)響應(yīng)函數(shù)（即回歸多項(xiàng)式或規(guī)范多項(xiàng)式）的系數(shù)時(shí)，就會(huì)出現(xiàn)某些觀測(cè)值對(duì)回歸方程影響大，而某些觀測(cè)值對(duì)回歸方程影響小。此外，單形格子設(shè)計(jì)的試驗(yàn)次數(shù)還是比較多（用計(jì)算）。為了改進(jìn)上述兩個(gè)缺點(diǎn)，Scheffé（1958）提出單（純）形重心設(shè)計(jì)，對(duì)單（純）形格子設(shè)計(jì)進(jìn)行改進(jìn)，使混料試驗(yàn)中格子點(diǎn)的非零坐標(biāo)相等。在一個(gè)p因子單形重心設(shè)計(jì)中，試驗(yàn)點(diǎn)數(shù)目是，包括：p個(gè)頂點(diǎn)（1，0，0），（0，0，1），共有個(gè)點(diǎn)；兩個(gè)頂點(diǎn)的重心點(diǎn)（），（），共有個(gè)

20、點(diǎn)；三個(gè)頂點(diǎn)的重心點(diǎn)（），（），共有個(gè)點(diǎn)；p個(gè)頂點(diǎn)的重心點(diǎn)（），共有個(gè)點(diǎn)。顯然，單形重心設(shè)計(jì)的全部點(diǎn)的坐標(biāo)不依賴于d。當(dāng)p=3時(shí)，單形重心設(shè)計(jì)的試驗(yàn)點(diǎn)數(shù)目=，包括：以（1，0，0）為代表的個(gè)點(diǎn)；以（）為代表的個(gè)點(diǎn)；以（）為代表的個(gè)點(diǎn)。所以，總的試驗(yàn)點(diǎn)數(shù)目為.試驗(yàn)點(diǎn)分布和試驗(yàn)方案，見(jiàn)圖3和表7。x1=1 x2=1x3=1圖3 試驗(yàn)點(diǎn)分布圖表 7 試驗(yàn)方案試驗(yàn)點(diǎn)x1x2x3y1100y12010y23001y341/21/20y1251/201/2y13601/21/2y2371/31/31/3y123顯然，當(dāng)p=3時(shí)，有(10)例5 3，3單形重心設(shè)計(jì)三元三次回歸方程（p=3和d=3時(shí)），即單形

21、重心設(shè)計(jì)的回歸方程為： （11）上式中回歸系數(shù)的計(jì)算公式為（回歸系數(shù)的推導(dǎo)與單形格子設(shè)計(jì)相同） （12）一般情況下，p因素單形重心設(shè)計(jì)的總試驗(yàn)次數(shù)為 （13）通常，對(duì)單形重心設(shè)計(jì)，各個(gè)回歸系數(shù)的計(jì)算通式為： （14）式中 Dr p個(gè)成分中某r個(gè)的集合； yt(Dr) r個(gè)成分中取出t個(gè)的全部C個(gè)組合的試驗(yàn)指標(biāo)值的總和。（注：如果對(duì)上式通式不理解，那么也可象單形格子設(shè)計(jì)一樣，針對(duì)具體情況，自己推導(dǎo)具體的計(jì)算公式）例6 4，3單形重心設(shè)計(jì)當(dāng)p=4和d=3時(shí)，即4, 3單形重心設(shè)計(jì)的回歸方程為 （15）上式中各回歸系數(shù)，按式（14）計(jì)算如下：r=1時(shí)，則t=1, r=2時(shí)，則t=2和1,r=3時(shí)，則

22、t=3、2和1， ，()回歸系數(shù)的總數(shù)，也就是要做15次試驗(yàn)，而4，3單形格子設(shè)計(jì)的試驗(yàn)次數(shù)為20次（）。顯然，單形重心設(shè)計(jì)的試驗(yàn)次數(shù)，比單形格子設(shè)計(jì)的要少。4, 3單形重心設(shè)計(jì)的設(shè)計(jì)表，見(jiàn)表8。表8 4，3單形重心試驗(yàn)設(shè)計(jì)表試驗(yàn)號(hào)X1X2X3X4測(cè)試值y11000201003001040001500600700800900100011012013014015表8中的第15號(hào)試驗(yàn)可以省去不做，因?yàn)?，3單形重心設(shè)計(jì)是四元三次模型，即式（15）中已設(shè)有一項(xiàng)。一般情況下，當(dāng)我們考慮p，d單形重心試驗(yàn)設(shè)計(jì)（p元d次）時(shí)，若d < p，截尾模型時(shí)可以省去單形重心設(shè)計(jì)中后面的一些設(shè)計(jì)點(diǎn)。通常，p，

23、d單形重心設(shè)計(jì)的響應(yīng)曲面方程為： （16） 2、單（純）形重心設(shè)計(jì)實(shí)例例7 用單形重心設(shè)計(jì)檢驗(yàn)兩種評(píng)分法無(wú)差異的假設(shè)是否成立RM評(píng)分法是在試驗(yàn)室里對(duì)燃料抗震性能使用的一種評(píng)分方法，而實(shí)際中采用的是道路行駛性能評(píng)分法。今欲設(shè)計(jì)一組試驗(yàn)，系統(tǒng)地改變?nèi)剂系奶匦詠?lái)檢驗(yàn)這兩種評(píng)分方法無(wú)差異的假設(shè)是否成立。本試驗(yàn)考核的指標(biāo)yi 為兩種評(píng)分法之差值。試驗(yàn)燃料的三個(gè)成分為：x1 石蠟環(huán)烷；x2 二芳香烴；x3 二烯烴。試驗(yàn)的約束條件為：（17）本試驗(yàn)選用3，3單形重心設(shè)計(jì)，試驗(yàn)次數(shù)為：試驗(yàn)方案及結(jié)果如表9所示。表9 3，3單形重心設(shè)計(jì)試驗(yàn)方案及結(jié)果試驗(yàn)號(hào)x1x2x3y1100y1 = 4.62010y2 =

24、4.93001y3 = 0.841/21/20y12 = 4.851/201/2y13 = 3.8601/21/2y23 = 3.071/31/31/3y123 = 3.7根據(jù)式（12）或式（14），可求出回歸系數(shù)：將回歸系數(shù)代入方程式（11），得 （18）所以（19）討論：（1） 如果根據(jù)實(shí)際情況認(rèn)為響應(yīng)值相差半個(gè)單位（即y=0.5）是顯著的，那么只含x1 的石蠟環(huán)烷的燃料和只含x2 的二芳香烴的燃料有幾乎相等的響應(yīng)值，因測(cè)試值中y1 與y2 的差小于0.5（y1 = 4.6x1 = 4.6×1 = 4.6, y2 = 4.9x2 = 4.9×1 = 4.9, ）。但它們

25、都大大地超過(guò)只含x3 的二烯烴燃料的響應(yīng)值y3 (y3 = 0.8 x3 = 0.8×1 =0.8 < 4.6 或4.9)。（2） 在x1 與x3 之間，由于b13 = 4.4 > 0, 所以存在著一種協(xié)調(diào)的非線性混合關(guān)系，b13 x1 x3 項(xiàng)的極大值 = ，所以這一項(xiàng)對(duì)響應(yīng)值的影響很大。（3）由于 b123 = -8.4 < 0, 且b123 x1 x2 x3 的極小值 = ，其絕對(duì)值小于0.5。因此，三次項(xiàng)的影響可忽略。同理，由于 0.2x1 x2 與 0.6x2 x3 兩項(xiàng)的極大值都小于0.5，即 和都可略去不計(jì)。所以，回歸方程簡(jiǎn)化為例如，當(dāng)。從以上分析可以

26、看出，兩種評(píng)分法的差異是存在的。四、存在下界約束條件的混料設(shè)計(jì) （欒軍，1995）1. 基本原理在某些混料問(wèn)題中，各分量除了受式（1）約束條件約束外，還要受下界約束條件的限制。所謂下界約束條件，是指 (20)上式中的是分量xi (i =1，2，p )的下界，即該分量實(shí)際能取的最小值。下界必須滿足(21)這是存在下界約束條件的混料設(shè)計(jì)的充分必要條件。當(dāng)p = 3 時(shí)，在式（20）約束條件下所安排的試驗(yàn)，如圖4所示。試驗(yàn)區(qū)域是正三角形 x1 x2 x3 內(nèi)的小正三角形 。對(duì)于小正三角形上的任一點(diǎn)，若采用其正規(guī)單形坐標(biāo)系表示，就可將對(duì)于大正三角形坐標(biāo)系下存在的下界約束條件的混料試驗(yàn)，轉(zhuǎn)化為對(duì)于小正三

27、角形坐標(biāo)系的無(wú)約束混料試驗(yàn)。于是，就可以在小正三角形上進(jìn)行單形格子設(shè)計(jì)或單形重心設(shè)計(jì)。x3 = 1x1 = 1x2 = 1圖4 有下界約束的混料區(qū)域圖4所示的是進(jìn)行三因素單形重心設(shè)計(jì)的各試驗(yàn)點(diǎn)的分布。坐標(biāo)系 x1 -x2 -x3 是實(shí)際成分的變化空間，稱為自然空間；而坐標(biāo)系則是編碼成分的變化空間，稱為編碼空間。單形坐標(biāo)系所表示的自然空間與編碼空間的變換公式，可由單形的頂點(diǎn)坐標(biāo)確定。由圖4 可知，小正三角形三個(gè)頂點(diǎn)在兩個(gè)坐標(biāo)系中的坐標(biāo)分別為： 頂點(diǎn) 坐標(biāo)系 坐標(biāo)系 這樣，設(shè)計(jì)區(qū)域內(nèi)任一點(diǎn)關(guān)于自然空間和編碼空間的坐標(biāo)變換式為： = （22）上式經(jīng)整理可變?yōu)?（23）一般情況下，對(duì)于p個(gè)分量存在下界

28、約束的混料問(wèn)題，設(shè)計(jì)區(qū)域中任一點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)于自然空間和編碼空間的變換式為 （24）式中 ， ， 于是，各分量的變換式為 （25）或者 （26）這樣，在自然空間與編碼空間之間建立了一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。通過(guò)以上變換公式，將混料的實(shí)際成分變成編碼成分，使存在下界約束的混料問(wèn)題變換為無(wú)下界約束的混料問(wèn)題，然后進(jìn)行單形重心設(shè)計(jì)，求得回歸方程。2、應(yīng)用實(shí)例 （欒軍，1995）例8 試制某種噴氣劑，三種混料成分有下界約束：粘合劑0.2，氧化劑0.4，燃料0.2。本試驗(yàn)的目的是要找出使彈性模數(shù)大于3000的混料，且粘合劑用量越少越好。解：本題是存在下界約束的混料問(wèn)題，其試驗(yàn)區(qū)域是大正三角形內(nèi)的一個(gè)小正三角形。已知，

29、，而故試驗(yàn)區(qū)域內(nèi)任意一點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)于自然空間與編碼空間的變換關(guān)系式為： （27）本例采用三分量三階單形重心設(shè)計(jì)3，3，試驗(yàn)次數(shù)。利用上式求出7個(gè)試驗(yàn)的實(shí)際配比，并進(jìn)行試驗(yàn)。試驗(yàn)方案及結(jié)果如表10所示。表10 試驗(yàn)方案及結(jié)果試驗(yàn)號(hào)大三角形坐標(biāo)系（實(shí)際成分）小三角形坐標(biāo)系（編碼成分）彈性模數(shù)yx1粘合劑x2氧化劑x3燃 料10.40.40.2100y1 = 235020.20.60.2010y2 = 245030.20.40.4001y3 = 265040.30.50.21/21/20y12 = 240050.30.40.31/201/2y13 = 275060.20.50.301/21/2y23 = 295070.2660.4660.2661