電磁場與波第3章

1、第三章第三章 恒定電流場恒定電流場 恒定電流恒定電流: : 不隨時間變化的電流不隨時間變化的電流恒定電流場恒定電流場: 恒定電流中的電場恒定電流中的電場 電流密度電流密度恒定電流場方程恒定電流場方程恒定電流場的邊界條件恒定電流場的邊界條件能量損耗與電動勢能量損耗與電動勢恒定電流場與靜電場的比擬恒定電流場與靜電場的比擬主要內容主要內容: : 雖然恒定電流場中的自由電荷是運動電荷，但由于電流不隨時間變雖然恒定電流場中的自由電荷是運動電荷，但由于電流不隨時間變化，電荷分布也一定不隨時間變化。恒定電流場中的電場是恒定電流化，電荷分布也一定不隨時間變化。恒定電流場中的電場是恒定電流中的電荷產生的，也不隨

2、時間變化。中的電荷產生的，也不隨時間變化。 3.1 3.1 電流密度電流密度 大量電荷的定向運動形成電流大量電荷的定向運動形成電流 傳導電流傳導電流 導電媒質中的電流導電媒質中的電流 運流電流運流電流 真空或氣體中大量帶電粒子的定向運動形成的電流真空或氣體中大量帶電粒子的定向運動形成的電流 徙動電流徙動電流 電流強度電流強度單位時間流過導線截面的電量單位時間流過導線截面的電量符號 I 單位 A (安培)dtdqI 電流強度僅反映流過導線總的電流情況電流強度僅反映流過導線總的電流情況,不能描述電流在導線截面不能描述電流在導線截面上的分布情況上的分布情況.1) 電流與電流強度電流與電流強度2) 電

3、流電流(體體)密度密度J空間任一點的電流密度空間任一點的電流密度J定義為定義為: 單位時間垂直穿過以該點為中心的單位單位時間垂直穿過以該點為中心的單位面積的電量，方向為正電荷在該點的運面積的電量，方向為正電荷在該點的運動方向動方向 SdtdqvrJS0lim)(單位單位: A/m2IJ dSS對電流分布在曲面附近很薄的一層中的情況，對電流分布在曲面附近很薄的一層中的情況，當不需分析計算這一薄層中的場時，可忽略薄當不需分析計算這一薄層中的場時，可忽略薄層的厚度，將電流近似看成是面電流。面電流層的厚度，將電流近似看成是面電流。面電流用面電流密度用面電流密度Js表示表示. 3) 面電流密度面電流密度

4、Js電流薄層上電流薄層上r點的面電流密度點的面電流密度JS定義為定義為:單位時間垂直穿過單位長度的薄層截面的電量單位時間垂直穿過單位長度的薄層截面的電量 lIvrJls0lim)(單位為單位為 A/m) (nl dJILs對于電流在細導線中流動的情況，當不需對于電流在細導線中流動的情況，當不需要計算細線中場時，就可將電流看成是線分要計算細線中場時，就可將電流看成是線分布，線電流密度布，線電流密度Jl就是電流強度就是電流強度I，方向為電，方向為電流的方向流的方向 4) 線電流密度線電流密度 l IJl5) 電流元電流元dVJdSJs5) 電流密度與電荷密度及運動速度的關系電流密度與電荷密度及運動

5、速度的關系電流是電荷的運動形成的，電流密度就應與運動電荷的密度以及電荷電流是電荷的運動形成的，電流密度就應與運動電荷的密度以及電荷運動的速度有關。運動的速度有關。 若電荷密度為若電荷密度為的電荷以速度的電荷以速度v運動，運動，則在則在dt的時間內，電荷的位移為的時間內，電荷的位移為vdt。沿著電荷的運動方向取一端面面積為沿著電荷的運動方向取一端面面積為S，長度為長度為vdt的圓柱體，的圓柱體，那么在那么在dt的時間內，穿過端面的時間內，穿過端面S的電荷量為的電荷量為dq= Svdt .單位時間內，垂直穿過端面單位時間內，垂直穿過端面S的電荷量為的電荷量為vSdtdq單位時間內，垂直穿過單位面積

6、的電荷量單位時間內，垂直穿過單位面積的電荷量,即電流密度為即電流密度為vJ5) 傳導電流傳導電流Ev電場力使導線中的自由電子加速運動電場力使導線中的自由電子加速運動 漂移速度漂移速度 自由電子在加速運動中不可避免的要自由電子在加速運動中不可避免的要與導體中的離子碰撞，碰撞使電子的運動速度和方與導體中的離子碰撞，碰撞使電子的運動速度和方向改變在導體中自由電子相鄰兩次碰撞之間的間向改變在導體中自由電子相鄰兩次碰撞之間的間隔很短，電場的作用使電子的隨機速度沿電場方向隔很短，電場的作用使電子的隨機速度沿電場方向產生一很小的分量，稱為漂移速度產生一很小的分量，稱為漂移速度 電子的質量為電子的質量為m,平

7、均兩次碰撞間隔為平均兩次碰撞間隔為，電場強度為電場強度為E，漂移速度為漂移速度為v 根據(jù)質點動量定理根據(jù)質點動量定理 EevmEuEmevemeue電子遷移率電子遷移率單位體積中的自由電子數(shù)單位體積中的自由電子數(shù)N自由電子密度自由電子密度=-eN傳導電流密度為傳導電流密度為EeNuvJeEJmNeNeue2歐姆定律的微分形式歐姆定律的微分形式導體的電導率導體的電導率單位為單位為S/mEJ6) 導體的電導率導體的電導率導電媒質中，電流密度與導體的電導率及電場強度成正比導電媒質中，電流密度與導體的電導率及電場強度成正比. 電導率代表了媒質的導電性能，其值愈大導電能力愈強。電導率代表了媒質的導電性能

8、，其值愈大導電能力愈強。不同的媒質，導電性能不同；不同的媒質，導電性能不同；同一種媒質，在不同的溫度、濕度等環(huán)境條件下，電導率也有區(qū)別同一種媒質，在不同的溫度、濕度等環(huán)境條件下，電導率也有區(qū)別 .電導率的倒數(shù)就是電阻率電導率的倒數(shù)就是電阻率 電導率很大的導體為良導體電導率很大的導體為良導體銀銀金金銅銅鋁鋁71017. 6410107.580107.3 54107.絕緣材料的電導率很小絕緣材料的電導率很小變壓器油變壓器油 玻璃玻璃 橡膠橡膠 101110121015海水海水 4干土干土 105理想導體理想導體理想介質理想介質00E0J7) 歐姆定律歐姆定律取一段截面積為取一段截面積為S、長為、長

9、為l的導線，電導率為的導線，電導率為，在其兩端加電壓，在其兩端加電壓U，使這段導線中存在，使這段導線中存在恒定電流恒定電流I. 如果導線中如果導線中電導率為常數(shù)電導率為常數(shù),電場強度均勻電場強度均勻,電流密度均勻電流密度均勻EJVdSdln )(EJVVdldSnEdSdlnJSUIlSlRIRU 歐姆定律歐姆定律歐姆定律一般僅適用電流分布均勻歐姆定律一般僅適用電流分布均勻的情況，可以將歐姆定律看成是在的情況，可以將歐姆定律看成是在電流均勻分布這種特殊情況下歐姆電流均勻分布這種特殊情況下歐姆定律微分形式的近似定律微分形式的近似. IRU SlSdJl dER例在長為米的銅線兩端加例在長為米的銅

10、線兩端加10V的電壓，如果自由電子相鄰兩次碰的電壓，如果自由電子相鄰兩次碰撞的平均時間為撞的平均時間為2.7x10-14s，計算自由電子的漂移速度，計算自由電子的漂移速度 解：銅線中的電場為解：銅線中的電場為mVdUE/5電子遷移率為電子遷移率為331141910747. 4101 . 9107 . 2106 . 1meue自由電子的漂移速度為自由電子的漂移速度為 smEuve/1074.23510747. 433Euve3.2 恒定電流場方程恒定電流場方程 1) 電流連續(xù)性原理電流連續(xù)性原理 從任一封閉面中流出的電流等于該封閉面中電量在單位時間的減少從任一封閉面中流出的電流等于該封閉面中電量

11、在單位時間的減少. tqSdJS電荷守恒定律電荷守恒定律qdVVdVtSdJSVVdVJ高斯定理高斯定理tJ電荷守恒定律的微分形式電荷守恒定律的微分形式對于恒定電流場對于恒定電流場,電荷分布不隨時間變化電荷分布不隨時間變化0tq0t0SSdJ0 J電流連續(xù)性原理電流連續(xù)性原理 1I2I3I0SSdJ0kkI節(jié)點電流定律節(jié)點電流定律2) 駐立電荷駐立電荷電流場中的電場也是由電荷產生的。電流場中的電場也是由電荷產生的。在電流場中雖然電荷是運動的，但對于恒在電流場中雖然電荷是運動的，但對于恒定電流場，電場不隨時間變化，那么運動定電流場，電場不隨時間變化，那么運動電荷在空間的分布也就不隨時間變化，這電

12、荷在空間的分布也就不隨時間變化，這種電荷稱為種電荷稱為駐立電荷駐立電荷。由駐立電荷產生的恒定電場與靜電場一樣，也是保守場。電場強度由駐立電荷產生的恒定電場與靜電場一樣，也是保守場。電場強度沿任一閉合回路的線積分應等于零沿任一閉合回路的線積分應等于零.E dll0 E03) 恒定電流場方程恒定電流場方程0SSdJ0 JE dll0 E0EJE JEEE()0EEED EE)( E0)(020, 00例例1. 一塊導體，其電導率一塊導體，其電導率和介電常數(shù)和介電常數(shù)分別是常數(shù)且已知，將這塊導體放入分別是常數(shù)且已知，將這塊導體放入電場（靜電場或恒定電場）中，求自由電荷體密度設初始導體的自由電荷電場（

13、靜電場或恒定電場）中，求自由電荷體密度設初始導體的自由電荷體密度為體密度為0 0 E解解:tJEJ Et1E DEDt0et馳豫時間馳豫時間 tertr)(),(0當將導體放入電場中后，均勻導體中自由電荷體密度隨時間增加按指當將導體放入電場中后，均勻導體中自由電荷體密度隨時間增加按指數(shù)規(guī)律很快衰減數(shù)規(guī)律很快衰減.馳豫時間決定了自由電荷體密度隨時間增加衰減的快慢。馳豫時間決定了自由電荷體密度隨時間增加衰減的快慢。馳豫時間愈小，衰減愈快。馳豫時間愈小，衰減愈快。良導體的馳豫時間很小，因此，衰減很快。良導體的馳豫時間很小，因此，衰減很快。 銅的馳豫時間銅的馳豫時間 1521019.s例例2. 在兩個

14、長為、半徑分別為在兩個長為、半徑分別為a、b的理想導電圓筒之間填充電導率為的理想導電圓筒之間填充電導率為 的導電媒質，的導電媒質，m和和k均為常數(shù)在兩理想導電圓筒之間加電壓，均為常數(shù)在兩理想導電圓筒之間加電壓，求兩理想導電圓筒之間的電阻求兩理想導電圓筒之間的電阻 km/解解:設兩理想導電圓筒之間的電流為設兩理想導電圓筒之間的電流為. 在兩理想導電圓筒之間的導電媒質中，任取半徑為在兩理想導電圓筒之間的導電媒質中，任取半徑為，長度為的同軸圓柱形面，長度為的同軸圓柱形面， SSdJILJ22LIJ 解法解法IUR EJ)(2kmLIJEkamkbmLkIdkmLIl dEUbabaln2)(2kam

15、kbmLkIURln21RUEJI小結小結電荷守恒定律電荷守恒定律電流連續(xù)性原理電流連續(xù)性原理駐立電荷駐立電荷恒定電流場方程恒定電流場方程3.3 恒定電流場的邊界條件恒定電流場的邊界條件 n 11221E2E1J2J0SSdJE dll0JJnn12EEtt12nnEE2211nnnnsEEDD221121snnsEE)(210nnEE1212nsE12121)(21210s兩種典型的邊界兩種典型的邊界1) 介質介質-導體邊界導體邊界0101JJJnn1202nJ02nEttEE21tEEt22snD12) 一般導體一般導體-理想導體邊界理想導體邊界21n 2222EJ02E02EttEE21

16、01tEnEEn111E電位的邊界條件電位的邊界條件nnEE2211EEtt12nn221121介質介質-導體邊界導體邊界02nE02nsnD1sn11EEtt1221一般導體一般導體-理想導體邊界理想導體邊界01tECsnD1sn例例1. 已知平板電容器兩導電平板面積為已知平板電容器兩導電平板面積為A，之間填充兩層非理想介質，厚，之間填充兩層非理想介質，厚度分別為度分別為d1和和d2與電導率分別為與電導率分別為1 1和和2。當兩導電平板之間加電壓。當兩導電平板之間加電壓V時，求時，求電場強度及電容器的漏電導。電場強度及電容器的漏電導。 12解：解： 解法解法VIG/設導電平板之間的兩層媒質中

17、電場均設導電平板之間的兩層媒質中電場均為勻強場，那么由邊界條件及電壓關為勻強場，那么由邊界條件及電壓關系得系得 1122EEE dE dV1122EddV121221EddV211221VddEJ122121111IJAddVA 121221GIVAdd 1212212J例例2.將一段截面尺寸為將一段截面尺寸為A，電導率為，電導率為的金屬條加工成弧形，計算兩端面的金屬條加工成弧形，計算兩端面之間的電阻。之間的電阻。解：設在弧形導電體條兩端加電壓解：設在弧形導電體條兩端加電壓V，那么電流線，那么電流線為與弧面平行的弧線。在半徑為為與弧面平行的弧線。在半徑為r的弧線上，電流的弧線上，電流密度密度J

18、，從而電場強度，從而電場強度E沿弧線方向，且為常數(shù)。兩沿弧線方向，且為常數(shù)。兩端面之間的電壓為端面之間的電壓為 acbVrE rV/ 2 EVr2JEVr2IJ dSVrbdrSca c () ()22bVacclnRVIbacc2ln下面用解電位方程的方法求電場下面用解電位方程的方法求電場2222221)(1z解解2: 電位的邊值問題電位的邊值問題02V)2(0)0()(022dd21ccV)2(0)0(2/V 1zzV21VE2xzca小結小結JJnn12EEtt12nn221121兩種典型的邊界兩種典型的邊界1) 介質介質-導體邊界導體邊界2) 一般導體一般導體-理想導體邊界理想導體邊界

19、恒定電流場的邊界條件恒定電流場的邊界條件 3.4 能量損耗與電動勢能量損耗與電動勢 1) 焦耳定律焦耳定律dVEJ導體電流場中體密度為導體電流場中體密度為的自由電荷在的自由電荷在電場電場E的作用下以平均速度的作用下以平均速度v運動，體積運動，體積dV中的電荷所受的力為中的電荷所受的力為 EdVF在時間在時間dt電荷運動距離電荷運動距離dl=vdt，電場力所做的功為，電場力所做的功為dVdtEvdtvEdVl dFdA電場在體積電場在體積dV中提供的功率為中提供的功率為 dVEJdtdAdVdtEJ電場為單位體積中的電荷提供的功率為電場為單位體積中的電荷提供的功率為EJp功率密度功率密度 電場為

20、單位體積的運動電荷提供的功率等于電場強度與電流體密度的標積電場為單位體積的運動電荷提供的功率等于電場強度與電流體密度的標積 電場為體積電場為體積V的運動電荷提供的功率的運動電荷提供的功率P為為 VdVEJP導電媒質中的自由電荷在電場作用下運動要和原子發(fā)生碰撞在這種情況導電媒質中的自由電荷在電場作用下運動要和原子發(fā)生碰撞在這種情況下，電場對電荷做了功，但電子的動能與勢能并沒有增加，說明電場力所下，電場對電荷做了功，但電子的動能與勢能并沒有增加，說明電場力所做的功以熱能形式損耗因此，在導電媒質中電場提供的功率密度做的功以熱能形式損耗因此，在導電媒質中電場提供的功率密度p就等就等于在單位時間單位體積

21、中產生的熱能，也就是于在單位時間單位體積中產生的熱能，也就是損耗功率密度損耗功率密度 EJp損耗功率密度損耗功率密度單位體積的功率損耗單位體積的功率損耗 EJ2Ep焦耳定律的微分形式焦耳定律的微分形式體積體積V中導電媒質總功率損耗為中導電媒質總功率損耗為VdVEP2對于長度為對于長度為L、截面積為、截面積為S的均勻導體，如果在導體兩端加電壓的均勻導體，如果在導體兩端加電壓U，導體，導體中為勻強電場中為勻強電場 ,電流分布均勻電流分布均勻VdVEP2IUJSElSlE2RISlSE2222這就是電路中的焦耳定律這就是電路中的焦耳定律 可以看出，在導電媒質中，當將電場與電流看成均勻分布時，就可直接

22、可以看出，在導電媒質中，當將電場與電流看成均勻分布時，就可直接從焦耳定律的微分形式得到焦耳定律從焦耳定律的微分形式得到焦耳定律. ) 電動勢電動勢 為了維持電流流動，在正負極板之間放置外源，外源中存在對電為了維持電流流動，在正負極板之間放置外源，外源中存在對電荷有作用力的非靜電力，這種外源非靜電力做功反抗極板之間的靜電荷有作用力的非靜電力，這種外源非靜電力做功反抗極板之間的靜電場力，將通過導線從正極板移到負極板的正電荷再經(jīng)過電源內部又移場力，將通過導線從正極板移到負極板的正電荷再經(jīng)過電源內部又移回到正極板，保持極板上的電荷密度不變，從而也就使導電媒質中的回到正極板，保持極板上的電荷密度不變，從

23、而也就使導電媒質中的電場和電流維持恒定不變。電場和電流維持恒定不變。 電動勢動畫電動勢動畫這些外源是非電的能源，它們可以是化學能，如電池，也可以是機械能，這些外源是非電的能源，它們可以是化學能，如電池，也可以是機械能，如發(fā)電機等。如發(fā)電機等。 外源中的非靜電場力表現(xiàn)為對電荷的作用力，外源中的非靜電場力表現(xiàn)為對電荷的作用力，可以認為這種非靜電場力是由外源中存在的外電場產生的，可以認為這種非靜電場力是由外源中存在的外電場產生的，外電場強度仍定義為外電場強度仍定義為 對單位正電荷的作用力，對單位正電荷的作用力，E 在電源中，外電場與極板之間電荷產生的電場剛好相反在電源中，外電場與極板之間電荷產生的電

24、場剛好相反 EE電源做功的能力用電動勢電源做功的能力用電動勢(emf)表示，表示，電源的電動勢定義為電源的電動勢定義為電源將單位正電荷從電源的負極電源將單位正電荷從電源的負極N移到正極移到正極P所做的功所做的功 PNl dE ll dE 外源電場不是保守場外源電場不是保守場lab_對于一電流回路中的一段對于一電流回路中的一段ab，EEE總l dEEl dEbaba) (總bababal dEl dEl dJIRSIldlSJSl dJbabaababVIR在無源支路在無源支路abVIR 對于閉合回路對于閉合回路lll dEEl dE) (總llll dEl dEl dJ0如果閉合回路是由如果閉合回路是由n短支路串接而成