概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課件第五章第二課

1、第五章 大數(shù)定律和中心極限定理2 2 中心極限定理中心極限定理一、問題的引出一、問題的引出二、基本定理二、基本定理三、典型例題三、典型例題四、小結(jié)四、小結(jié)2 中 心 極 限 定 理實(shí)例實(shí)例: 考察射擊命中點(diǎn)與靶心距離的偏差考察射擊命中點(diǎn)與靶心距離的偏差. 這種偏差是大量微小的偶然因素造成的微這種偏差是大量微小的偶然因素造成的微小誤差的總和小誤差的總和, 這些因素包括這些因素包括: 瞄準(zhǔn)誤差、測(cè)量瞄準(zhǔn)誤差、測(cè)量誤差、子彈制造過程方面誤差、子彈制造過程方面 (如外形、重量等如外形、重量等) 的的誤差以及射擊時(shí)武器的振動(dòng)、氣象因素誤差以及射擊時(shí)武器的振動(dòng)、氣象因素(如風(fēng)速、如風(fēng)速、風(fēng)向、能見度、溫度

2、等風(fēng)向、能見度、溫度等) 的作用的作用, 所有這些不同所有這些不同因素所引起的微小誤差是相互獨(dú)立的因素所引起的微小誤差是相互獨(dú)立的, 并且它們并且它們中每一個(gè)對(duì)總和產(chǎn)生的影響不大中每一個(gè)對(duì)總和產(chǎn)生的影響不大.問題問題: 某個(gè)隨機(jī)變量是由大量相互獨(dú)立且都很某個(gè)隨機(jī)變量是由大量相互獨(dú)立且都很小的隨機(jī)變量相加而成的小的隨機(jī)變量相加而成的, 研究其概率分布情況研究其概率分布情況.2 中 心 極 限 定 理一問題的引出一問題的引出nkknkknkknDXEXXY111/ )(很很大大時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)n近似服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。近似服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。注二相關(guān)概念二相關(guān)概念2 中 心 極 限 定 理定理定理 5.2.

3、1（獨(dú)立同分布的中心極限定理獨(dú)立同分布的中心極限定理）則隨機(jī)變量之和的則隨機(jī)變量之和的和方差：和方差：且具有數(shù)學(xué)期望且具有數(shù)學(xué)期望同一分布同一分布服從服從相互獨(dú)立相互獨(dú)立設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量), 2 , 1(0)(,)(,221 kXDXEXXXkkn nkknkknkknXDXEXY111標(biāo)準(zhǔn)化變量標(biāo)準(zhǔn)化變量 nnXnkk 12 中 心 極 限 定 理三基本定理三基本定理 xnnXPxFxxFnkknnnn 1lim)(lim)(滿足滿足對(duì)于任意對(duì)于任意的分布函數(shù)的分布函數(shù)定理表明定理表明:.,數(shù)數(shù)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函的分布函數(shù)收斂于的分布函數(shù)收斂于隨機(jī)變量序列隨機(jī)變量序

4、列當(dāng)當(dāng)nYn xtxt).(de2122 2 中 心 極 限 定 理若若 是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列，且是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列，且,1kXX), 2 , 1( , 02 kDXEXkk ，很很大大時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)n近似服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布近似服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 nnXnkk 1)1近似服從正態(tài)分布近似服從正態(tài)分布 nkkX1或或).,(2nnN則則 ) 1,0(N nX nXnnkk 11 nnXnkk 1) 1,0(N近似近似或或注2 中 心 極 限 定 理)21bXaPnkk )()( nnannb 1 nnbnnXnnaPnkk bXaP nbnXnaP )()(nanb 2 中 心 極 限 定

5、 理xtnnAxtxpnpnpPxAppAnn).(de21)1 (lim,)10(22恒有對(duì)于任意則率在每次試驗(yàn)中出現(xiàn)的概是事件出現(xiàn)的次數(shù)，次伯努利試驗(yàn)中事件是設(shè)德莫佛德莫佛拉普拉斯拉普拉斯定理定理 5.2.2( (德莫佛拉普拉斯定理德莫佛拉普拉斯定理) )2 中 心 極 限 定 理令對(duì)于, 2 , 1n, 0, 1不發(fā)生次試驗(yàn)中在第發(fā)生次試驗(yàn)中在第AnAnXn,)(pXEk ), 2 , 1()1()(nkppXDk 由獨(dú)立同分布中心極限定理得由獨(dú)立同分布中心極限定理得 xpnpnpPnn)1(lim xpnpnpXPnkkn)1(lim1 xtxt).(de2122 定理表明定理表明:

6、正態(tài)分布是二項(xiàng)分布的極限分布正態(tài)分布是二項(xiàng)分布的極限分布, 當(dāng)當(dāng)n充分大充分大時(shí)時(shí), 可以利用該定理來計(jì)算二項(xiàng)分布的概率可以利用該定理來計(jì)算二項(xiàng)分布的概率.2 中 心 極 限 定 理用頻率估計(jì)概率時(shí)誤差的估計(jì)：由上面的定理知由上面的定理知nnpnPApnnPA1)1 (2)1 ()1 ()1 ()1 ()1 (ppnppnppnppnpnpnpnppnPA2 中 心 極 限 定 理下面的圖形表明下面的圖形表明:正態(tài)分布是二項(xiàng)分布的逼近正態(tài)分布是二項(xiàng)分布的逼近.2 中 心 極 限 定 理中心極限定理與大數(shù)定律 中心極限定理闡明了在什么條件下，原本不屬于正態(tài)分布的一些隨機(jī)變量其總和分布漸近服從正態(tài)

7、分布 大數(shù)定律是研究隨機(jī)變量序列依概率收斂的極限問題 兩者均是大量的隨機(jī)變量之和的極限形式，當(dāng)nXXX,21相互獨(dú)立同分布且有大于零的有限方差時(shí)，兩者同時(shí)成立，否則關(guān)系不確定2 中 心 極 限 定 理.105,)10, 0(, )20, 2, 1(20201的近似值求記上服從均勻分布且都在區(qū)間機(jī)變量設(shè)它們是相互獨(dú)立的隨個(gè)噪聲電壓一加法器同時(shí)收到VPVVkVkkk解解, 5)( kVE).20, 2 , 1(12100)( kVDk由由獨(dú)立同分布中心極限定理獨(dú)立同分布中心極限定理, 隨機(jī)變量隨機(jī)變量 Z 近似服從近似服從正態(tài)分布正態(tài)分布 N (0,1) ,例例12 中 心 極 限 定 理四典型例

8、題四典型例題2012100520201 kkVZ2012100520 V其中其中 105VP20121005201052012100520 VP387. 02012100520 VP387. 020121001001 VP 387. 02de2112tt)387. 0(1 .348. 0 2 中 心 極 限 定 理 一船舶在某海區(qū)航行一船舶在某海區(qū)航行, 已知每遭受一次海浪已知每遭受一次海浪的沖擊的沖擊, 縱搖角大于縱搖角大于 3 的概率為的概率為1/3, 若船舶遭受若船舶遭受了了90 000次波浪沖擊次波浪沖擊, 問其中有問其中有29 50030 500次次縱搖角大于縱搖角大于 3 的概率是

9、多少？的概率是多少？解解 將船舶每遭受一次海將船舶每遭受一次海浪的沖擊看作一次試驗(yàn)浪的沖擊看作一次試驗(yàn),并假設(shè)各次試驗(yàn)是獨(dú)立的并假設(shè)各次試驗(yàn)是獨(dú)立的,在在90 000次波浪沖擊中縱搖角大于次波浪沖擊中縱搖角大于 3 的次數(shù)為的次數(shù)為 X,則則 X 是一個(gè)隨機(jī)變量是一個(gè)隨機(jī)變量,. )31,00090( bX且且例例22 中 心 極 限 定 理所求概率為所求概率為3050029500 XP.323190000900003050029501kkkk 分布律為分布律為kXP ,32310009000090kkk .00090, 1 k直接計(jì)算很麻煩，利用直接計(jì)算很麻煩，利用德莫佛拉普拉斯定理德莫佛拉

10、普拉斯定理3050029500 XP )1(30500)1()1(29500pnpnppnpnpXpnpnpP2 中 心 極 限 定 理 )1(30500)1(295002de212pnpnppnpnptt )1(29500)1(30500pnpnppnpnp ,31,90000 pn3050029500 XP 225225 .9995. 0 2 中 心 極 限 定 理 某保險(xiǎn)公司的老年人壽保險(xiǎn)有某保險(xiǎn)公司的老年人壽保險(xiǎn)有1萬人參加萬人參加,每每人每年交人每年交200元元. 若老人在該年內(nèi)死亡若老人在該年內(nèi)死亡,公司付給家公司付給家屬屬1萬元萬元. 設(shè)老年人死亡率為設(shè)老年人死亡率為0.017,

11、試求保險(xiǎn)公司在試求保險(xiǎn)公司在一年內(nèi)的這項(xiàng)保險(xiǎn)中虧本的概率一年內(nèi)的這項(xiàng)保險(xiǎn)中虧本的概率.解解設(shè)設(shè) X 為一年中投保老人的死亡數(shù)為一年中投保老人的死亡數(shù),),(pnBX則則,017. 0,10000 pn其中其中由由德莫佛拉普拉斯定理德莫佛拉普拉斯定理知知,例例32 中 心 極 限 定 理2001000010000 XP200 XP )1(200)1(pnpnppnpnpXP 321. 2)1(pnpnpXP.01. 0)321. 2(1 保險(xiǎn)公司虧本的概率保險(xiǎn)公司虧本的概率2 中 心 極 限 定 理 對(duì)于一個(gè)學(xué)生而言對(duì)于一個(gè)學(xué)生而言, 來參加家長(zhǎng)會(huì)的家長(zhǎng)來參加家長(zhǎng)會(huì)的家長(zhǎng)人數(shù)是一個(gè)隨機(jī)變量人數(shù)是

12、一個(gè)隨機(jī)變量. 設(shè)一個(gè)學(xué)生無家長(zhǎng)、設(shè)一個(gè)學(xué)生無家長(zhǎng)、1名名家長(zhǎng)、家長(zhǎng)、 2名家長(zhǎng)來參加會(huì)議的概率分別為名家長(zhǎng)來參加會(huì)議的概率分別為0.05，0.8，0.15. 若學(xué)校共有若學(xué)校共有400名學(xué)生名學(xué)生, 設(shè)各學(xué)生參加設(shè)各學(xué)生參加會(huì)議的家長(zhǎng)數(shù)相互獨(dú)立會(huì)議的家長(zhǎng)數(shù)相互獨(dú)立, 且服從同一分布且服從同一分布. (1) 求求參加會(huì)議的家長(zhǎng)數(shù)參加會(huì)議的家長(zhǎng)數(shù) X 超過超過450的概率的概率; (2) 求有求有1名家長(zhǎng)來參加會(huì)議的學(xué)生數(shù)不多于名家長(zhǎng)來參加會(huì)議的學(xué)生數(shù)不多于340的概率的概率.解解, )400 , 2 , 1( )1(長(zhǎng)數(shù)長(zhǎng)數(shù)個(gè)學(xué)生來參加會(huì)議的家個(gè)學(xué)生來參加會(huì)議的家第第記記以以kkXk 例例42

13、 中 心 極 限 定 理 的分布律為的分布律為則則kX15. 08 . 005. 0210kkpX, 1 . 1)( kXE易知易知)400, 2 , 1(,19. 0)( kXDk , 4001 kkXX而而根據(jù)根據(jù)獨(dú)立同分布的中心極限定理，獨(dú)立同分布的中心極限定理， 19. 04001 . 1400 4001 kkX隨機(jī)變量隨機(jī)變量 19. 04001 . 1400 X),1, 0( N近似服從正態(tài)分布近似服從正態(tài)分布2 中 心 極 限 定 理 19. 04001 . 140045019. 04001 . 1400 XP450 XP于是于是 147. 119. 04001 . 14001

14、XP;1357. 0)147. 1(1 2 中 心 極 限 定 理 , )2(議的學(xué)生數(shù)議的學(xué)生數(shù)記有一名家長(zhǎng)來參加會(huì)記有一名家長(zhǎng)來參加會(huì)以以Y ),8 . 0,400( bY則則由由德莫佛拉普拉斯定理德莫佛拉普拉斯定理知知,350 XP 2 . 08 . 04008 . 04003402 . 08 . 04008 . 0400 YP 5 . 22 . 08 . 04008 . 0400 YP.9938. 0)5 . 2( 2 中 心 極 限 定 理.,1,), 2, 1()1, 1(,1221并指出其分布參數(shù)并指出其分布參數(shù)正態(tài)分布正態(tài)分布近似服從近似服從隨機(jī)變量隨機(jī)變量充分大時(shí)充分大時(shí)證當(dāng)

15、證當(dāng)試試上服從均勻分布上服從均勻分布在區(qū)間在區(qū)間且且相互獨(dú)立相互獨(dú)立設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量 nininiXnZnniXXXX證證), 2 , 1(,2niXYii 記記)()(2iiXEYE )(iXD ,31 22)()()(iiiYEYEYD .)()(24iiYEXE 例例52 中 心 極 限 定 理 1144d21)( iiixxXE因?yàn)橐驗(yàn)?51 23151)( iYD所以所以,454 , 21相互獨(dú)立相互獨(dú)立因?yàn)橐驗(yàn)閚XXX ., 21相互獨(dú)立相互獨(dú)立所以所以nYYY根據(jù)根據(jù)獨(dú)立同分布的中心極限定理，獨(dú)立同分布的中心極限定理，2 中 心 極 限 定 理 niniXZn12 niiY1

16、,454,3 nnN近似服從正態(tài)分布近似服從正態(tài)分布.454,31 nNZ 近似地服從正態(tài)分布近似地服從正態(tài)分布故故2 中 心 極 限 定 理四、小結(jié)三個(gè)中心極限定理三個(gè)中心極限定理 獨(dú)立同分布的中心極限定理獨(dú)立同分布的中心極限定理李雅普諾夫定理李雅普諾夫定理德莫佛拉普拉斯定理德莫佛拉普拉斯定理 中心極限定理表明中心極限定理表明, 在相當(dāng)一般的條件下在相當(dāng)一般的條件下, 當(dāng)獨(dú)立隨機(jī)變量的個(gè)數(shù)增加時(shí)當(dāng)獨(dú)立隨機(jī)變量的個(gè)數(shù)增加時(shí), 其和的分布趨于其和的分布趨于正態(tài)分布正態(tài)分布. , 0|1,), 2 , 1(0)(,)(,122122221 nkkknnkknkkkknXEBnBkXDXEXXX 時(shí)

17、時(shí)使得當(dāng)使得當(dāng)若存在正數(shù)若存在正數(shù)記記和方差：和方差：們具有數(shù)學(xué)期望們具有數(shù)學(xué)期望它它相互獨(dú)立相互獨(dú)立設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量李雅普諾夫李雅普諾夫定理定理( (李雅普諾夫定理李雅普諾夫定理) )則隨機(jī)變量之和的標(biāo)準(zhǔn)化變量則隨機(jī)變量之和的標(biāo)準(zhǔn)化變量 nkknkknkknXDXEXZ111nnkknkkBX 11 滿足滿足對(duì)于任意對(duì)于任意的分布函數(shù)的分布函數(shù)xxFn)( xBXPxFnnkknkknnn11lim)(lim xtxt).(de2122 定理表明定理表明:.,121近似地服從正態(tài)分布近似地服從正態(tài)分布很大時(shí)很大時(shí)當(dāng)當(dāng)那么它們的和那么它們的和只要滿足定理的條件只要滿足定理的條件分布分布服從什么服從什么無論各個(gè)隨機(jī)變量無論各個(gè)隨機(jī)變量nXXXXnkkn ( (如實(shí)例中射擊偏差服從正態(tài)分布如實(shí)例中射擊偏差服從正態(tài)分布) )李雅普諾夫資料Aleksandr Mikhailovich LyapunovBorn: 6 Jun. 1857 in Yar