小學(xué)奧數(shù)知識(shí)點(diǎn)梳理-全(大字)

1、 學(xué)而思小學(xué)奧數(shù)知識(shí)點(diǎn)梳理 一、計(jì)算41、四則混合運(yùn)算繁分?jǐn)?shù)42、簡(jiǎn)便計(jì)算43、估算54、比較大小55、定義新運(yùn)算66、特殊數(shù)列求和67、大數(shù)計(jì)算：69、重復(fù)數(shù)字：324324324324=324×1001001001610、頭同尾和十611、452=2025612、7×11×13 = 1001637×3 = 111613、7的秘密：614、位值原理：7二、數(shù)論71、奇偶性問(wèn)題72、位值原則73、數(shù)的整除特征：74、整除性質(zhì)75、帶余除法=76. 唯一分解定理87、約數(shù)個(gè)數(shù)與約數(shù)和定理88、兩數(shù)的約數(shù)也是兩數(shù)差的約數(shù)；89、同余定理810棄九法811完全

2、平方數(shù)性質(zhì)812孫子定理（中國(guó)剩余定理）見(jiàn)下813余數(shù)應(yīng)用814輾轉(zhuǎn)相除法-根本在于輾轉(zhuǎn)相減915. 質(zhì)數(shù)916求最大公因數(shù)，最小共倍數(shù)917數(shù)論解題的常用方法9三、幾何圖形121、平面圖形122、立體圖形：長(zhǎng)方體、正方體143、周長(zhǎng)154、圖形計(jì)數(shù)：155、圖形分割和拼接156、一些特殊圖形157、勾股定理158曲線形圖形169、一些特殊的圖形：16四、典型應(yīng)用題171植樹(shù)問(wèn)題172方陣問(wèn)題173列車(chē)過(guò)橋問(wèn)題184年齡問(wèn)題185雞兔同籠186牛吃草問(wèn)題187平均數(shù)問(wèn)題188盈虧問(wèn)題189和差問(wèn)題1810和倍問(wèn)題1811差倍問(wèn)題1812逆推問(wèn)題1813代換問(wèn)題19五、行程問(wèn)題191相遇問(wèn)題19

3、2追及問(wèn)題193流水行船194多次相遇195環(huán)形跑道196行程問(wèn)題中正反比例關(guān)系的應(yīng)用197鐘面上的相遇與追及問(wèn)題。208結(jié)合分?jǐn)?shù)、工程、和差問(wèn)題的一些類型。209行程問(wèn)題時(shí)常運(yùn)用“時(shí)光倒流”和“假定看成”的思考方法。2010發(fā)車(chē)間隔問(wèn)題2011接送問(wèn)題2012火車(chē)過(guò)橋：2013電梯問(wèn)題2014獵狗追兔20六、計(jì)數(shù)問(wèn)題211枚舉法：212標(biāo)數(shù)法：213加法原理：分類214乘法原理：分步215排列組合：216容斥原理：217對(duì)應(yīng)法：218抽屜原理：229握手問(wèn)題22102211染地圖，22七、分?jǐn)?shù)問(wèn)題221純循環(huán)小數(shù)、混循壞小數(shù)，互換222量率對(duì)應(yīng)223以不變量為“1”224利潤(rùn)問(wèn)題235濃度問(wèn)

4、題236工程問(wèn)題237按比例分配，238分百問(wèn)題239在比的問(wèn)題中：23八、方程解題231等量關(guān)系232二元一次方程組的求解：就是消元的過(guò)程233不定方程的分析求解244不等方程的分析求解245未知數(shù)24九、找規(guī)律（操作與策略 ）24周期性問(wèn)題，也叫循壞問(wèn)題24數(shù)列問(wèn)題24（3）最值問(wèn)題25十、算式謎25十一、數(shù)陣問(wèn)題261相等和值問(wèn)題：262數(shù)列分組，含數(shù)獨(dú)263幻方26十二、進(jìn)制27十三、一筆畫(huà)271、一筆畫(huà)定理：272哈密爾頓圈與哈密爾頓鏈273多筆畫(huà)定理274怎么把不能一筆畫(huà)的變成可以的：275一筆畫(huà)的實(shí)際問(wèn)題，276最值問(wèn)題（4）最值問(wèn)題：27十四、邏輯推理271等價(jià)條件的轉(zhuǎn)換272

5、假設(shè)法273列表法274對(duì)陣圖285逆推法28十五、火柴棒問(wèn)題28十六、游戲與對(duì)策問(wèn)題28十七、智力問(wèn)題29十八、構(gòu)造與論證29十九、解題方法29前言小學(xué)奧數(shù)知識(shí)點(diǎn)梳理，對(duì)于學(xué)而思的小學(xué)奧數(shù)大綱建設(shè)尤其必要，不過(guò)，對(duì)于知識(shí)點(diǎn)的概括很可能出現(xiàn)以偏概全掛一漏萬(wàn)的現(xiàn)象，為此，本人參考了單尊主編的小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克、中國(guó)少年報(bào)社主編的華杯賽教材、華杯賽集訓(xùn)指南以及學(xué)而思的寒假班系列教材和華羅庚學(xué)校的教材共五套教材，力圖打破原有體系，重新整合劃分，構(gòu)建十七塊體系（其第十七為解題方法匯集，可補(bǔ)充相應(yīng)雜題），原則上簡(jiǎn)明扼要，努力刻畫(huà)小學(xué)奧數(shù)知識(shí)的主樹(shù)干。1、把條件翻成數(shù)學(xué)表達(dá)（圖、式子等）2、代數(shù)的思想，翻不

6、出來(lái)用字母代 3、不會(huì)做的時(shí)候怎么吧，能做啥做啥 概述遇到讓找出所有數(shù).,不要害怕，肯定不是很多，找規(guī)律，靜下心；代數(shù)思想、逆推思想、歸納思想、猜證思想、分類分步思想、數(shù)形結(jié)合思想，我們告訴快速提分策略。 不知該怎么辦時(shí)，枚舉找規(guī)律一、計(jì)算必考題目一般需要速算巧算要先觀察，看準(zhǔn)了再動(dòng)手！和、差、積的個(gè)位都只和每個(gè)數(shù)的個(gè)位有關(guān)能大巧算就大巧，不能大巧就小巧，實(shí)在不行來(lái)狠的（數(shù)少或小的時(shí)候，有時(shí)也許可以硬算）數(shù)多或大時(shí)，硬算會(huì)出人命的，此時(shí)大都需要找規(guī)律。1、四則混合運(yùn)算繁分?jǐn)?shù)1 運(yùn)算順序：2 分?jǐn)?shù)、小數(shù)混合運(yùn)算技巧一般而言： 加減運(yùn)算中，能化成有限小數(shù)的統(tǒng)一以小數(shù)形式； 帶分?jǐn)?shù)的加減法常常整數(shù)和

7、分?jǐn)?shù)分開(kāi)寫(xiě)； 乘除運(yùn)算中，統(tǒng)一以分?jǐn)?shù)形式。乘法變成假分?jǐn)?shù)；帶分?jǐn)?shù)與假分?jǐn)?shù)的互化如果有大量的假可以化帶，如果有大量的帶，可以化假；繁分?jǐn)?shù)的化簡(jiǎn)(5) 要考慮整體約分、連續(xù)約分的概念；2、簡(jiǎn)便計(jì)算湊整思想 互補(bǔ)就加、尾同就減、配對(duì)湊整、借來(lái)還去分組湊整：（1）好多數(shù)，且中間有省略；（2）甚至可能打亂順序，重組；（3）帶著前面的符號(hào)基準(zhǔn)數(shù)思想裂項(xiàng)與拆分 裂和：目的：兩兩相消；湊整= +; = +=+裂差：目的：兩兩相消（1） 分子全部相同，最簡(jiǎn)單形式為1，不是1提取公因數(shù)（2） 分母均為幾個(gè)自然數(shù)的乘積形式，并且滿足相鄰2個(gè)分母上的因數(shù)首尾相接；（3） 分母上的幾個(gè)因數(shù)間的差是一個(gè)定值； 分?jǐn)?shù)拆分：

8、 = + =+, m, n是10的約數(shù)就可以；選取m, n的比不同就可以分成不同的兩個(gè)分?jǐn)?shù)相加；這里有（1,2）（2,5）（1,10）（1,5）（1,1）階乘：考試考到階乘通常是除法和逆運(yùn)算乘法，乘法往上5！，想6, 5！×6 = 6！ 除法考慮自己，想5，5！÷5 = 4!提取公因數(shù)公因數(shù)不會(huì)明白地告訴，需要用找出來(lái) 如何找？用拆分，也就是乘不變的方法，目的是找公因數(shù) * 迎春杯特點(diǎn)：一定會(huì)考一題，一般是湊整求和、提取共因數(shù)；考提取公因數(shù)的可能比較大，但不會(huì)那么明顯地給出公因數(shù)，需要拆分找出來(lái)；實(shí)在不會(huì)，低年級(jí)可以硬算。商不變性質(zhì)改變運(yùn)算順序 運(yùn)算定律的綜合運(yùn)用：交換率、

9、結(jié)合率 連減的性質(zhì) 連除的性質(zhì) 同級(jí)運(yùn)算移項(xiàng)的性質(zhì)：搬家?guī)Х?hào)，加減括號(hào)，前面是、÷是一定要注意 增減括號(hào)的性質(zhì) 變式提取公因數(shù)形如：(7)換元 (8)通項(xiàng)歸納找規(guī)律，從簡(jiǎn)單情況入手目的：利用通項(xiàng)求解解題步驟：找最后一項(xiàng)，然后套公式（通常別算出來(lái)，當(dāng)找不出規(guī)律時(shí)，再考慮算出來(lái)）a. 1或2步上10階樓梯，有多上種上法；b. 幾個(gè)圓或線或矩形吧平面分多少份 方法：看多一個(gè)圖形，多幾個(gè)點(diǎn)，看多一個(gè)點(diǎn)把新的圖形分成幾個(gè)部分，就多幾個(gè)部分 線和圓把平面分成多少份，第一條線有問(wèn)題，其他恢復(fù)正常；3、估算求某式的整數(shù)部分：擴(kuò)縮法4、比較大小 基本方法 通分a. 通分母b. 通分子 跟“中介”比，

10、比如和1比 利用倒數(shù)性質(zhì)若，則c>b>a.。形如：，則。 濃度法是真分?jǐn)?shù)，必有 > ;是假分?jǐn)?shù)，且ab，必有 < ; 做差：差與0比 做商：商與1比做商還是做差，看題目條件 放縮法 求整數(shù)部分 結(jié)構(gòu)調(diào)整：以2的次方為標(biāo)記點(diǎn)，劃幾個(gè)，董老師5年級(jí)下班9講 > 向左劃括號(hào)< 向右劃括號(hào) 兩數(shù)：差小積大 5、定義新運(yùn)算ü 要理解新符號(hào)的運(yùn)算規(guī)則（普通題：告訴你規(guī)則，直接代入就好；牛題：新運(yùn)算需要推導(dǎo)出來(lái)，方法：趙規(guī)律，通項(xiàng)歸納）ü 理解運(yùn)算順序 沒(méi)有特殊說(shuō)明的話，（1）從左往右算，有括號(hào)先括號(hào)；（2）一個(gè)式子包含多個(gè)新符號(hào)，視這些新符號(hào)優(yōu)先級(jí)相

11、同ü 運(yùn)算率別亂用；6、特殊數(shù)列求和運(yùn)用相關(guān)公式： 1+2+3+4（n-1）+n+（n-1）+4+3+2+1=n (a+b)2=a2+2ab+b27、大數(shù)計(jì)算：找規(guī)律，可以先用小數(shù)算算找規(guī)律；湊9，99， 999 9、重復(fù)數(shù)字：324324324324=324×100100100110、頭同尾和十（1）概念：兩位數(shù)×兩位數(shù)中，十位數(shù)字相同，個(gè)位數(shù)字相加為十結(jié)果：積的后兩位=尾×尾；積從百位起前面的數(shù)=頭×（頭+1）例如：73×77=5621（2）尾同頭合十概念：兩位數(shù)×兩位數(shù)中，個(gè)位數(shù)字相同，十位數(shù)字相加為十結(jié)果：積的后兩位

12、=尾×尾；積從百位起前面的數(shù)=頭×頭+尾 例如：78×38=296411、452=202512、7×11×13 = 1001 37×3 = 11113、7的秘密：1÷7 = 0.142857 142857×1 142857×2 = 28571414、位值原理： 一個(gè)數(shù)可以拆成每一位上的數(shù)值×位值二、數(shù)論知識(shí)點(diǎn)小而多，需要記憶的東西多。包括：整除問(wèn)題；整除特征(小升初?？純?nèi)容)；余數(shù)問(wèn)題；奇偶問(wèn)題；質(zhì)數(shù)合數(shù)；約數(shù)倍數(shù)還有那個(gè)平方數(shù)的特征。1、奇偶性問(wèn)題奇奇=偶 奇×奇=奇奇偶=奇 奇&#

13、215;偶=偶偶偶=偶 偶×偶=偶兩個(gè)數(shù)的和差奇偶性相同連續(xù)乘法、除法，見(jiàn)偶得偶；連續(xù)加法、減法，只數(shù)奇數(shù)的個(gè)數(shù)，奇數(shù)的個(gè)數(shù)是奇數(shù)，結(jié)果是奇；奇數(shù)的個(gè)數(shù)是偶數(shù)，結(jié)果是偶2、位值原則形如：=100a+10b+c3、數(shù)的整除特征：除法的封閉性要不是下面這些特殊數(shù)，變成這些特殊數(shù)，可以變大、也可以變大。末位：（2,5）（22, 55）（23, 53）；數(shù)段和：（3,9）(99,33,11) (37, 111,333,999)數(shù)段差：（7,11,13）整除數(shù)特 征2末尾是0、2、4、6、8；也說(shuō)明能被2整除的數(shù)，其個(gè)位數(shù)字只能是偶數(shù)；3各數(shù)位上數(shù)字的和是3的倍數(shù)5末尾是0或59各數(shù)位上數(shù)字的

14、和是9的倍數(shù)11奇數(shù)位上數(shù)字的和與偶數(shù)位上數(shù)字的和，兩者之差是11的倍數(shù)4和25末兩位數(shù)是4（或25）的倍數(shù)8和125末三位數(shù)是8（或125）的倍數(shù)7、11、13末三位數(shù)與前幾位數(shù)的差是7（或11或13）的倍數(shù)，偶數(shù)位與奇數(shù)位的差99從后往前，兩位一段，各段之和是99的倍數(shù)，此數(shù)是99的倍數(shù)4、整除性質(zhì) 如果c|a、c|b，那么c|(ab)。 如果bc|a，那么b|a，c|a。 如果b|a，c|a，且（b,c）=1,那么bc|a。 如果c|b,b|a,那么c|a. a個(gè)連續(xù)自然數(shù)中必恰有一個(gè)數(shù)能被a整除。 6672這樣的用試除法； ()k ÷（K-1），若（a+b+c）10 = (K

15、-1)10×(n)10，則可整除，反之，余 =（余）10；5、帶余除法=一般地，如果a是整數(shù)，b是整數(shù)（b0）,那么一定有另外兩個(gè)整數(shù)q和r，0rb,使得a=b×q+r當(dāng)r=0時(shí)，我們稱a能被b整除。當(dāng)r0時(shí)，我們稱a不能被b整除，r為a除以b的余數(shù)，q為a除以b的不完全商（亦簡(jiǎn)稱為商）。用帶余數(shù)除式又可以表示為a÷b=qr, 0rb a=b×q+r6. 唯一分解定理任何一個(gè)大于1的自然數(shù)n都可以寫(xiě)成質(zhì)數(shù)的連乘積，即n= p1× p2×.×pk7、約數(shù)個(gè)數(shù)與約數(shù)和定理設(shè)自然數(shù)n的質(zhì)因子分解式如n= p1× p2&#

16、215;.×pk那么：n的約數(shù)個(gè)數(shù)：d(n)=(a1+1)(a2+1).(ak+1) 證明：關(guān)鍵是乘法原理n的所有約數(shù)和：（1+P1+P1+p1）（1+P2+P2+p2）（1+Pk+Pk+pk）約數(shù)積：約數(shù)是成對(duì)出現(xiàn)的例：12的約數(shù)積，1X12=12，3X4=12， 2X6=12 1238、兩數(shù)的約數(shù)也是兩數(shù)差的約數(shù)； （a,b）是a,b; a-b; a+b; a,b的約數(shù)；9、同余定理 同余定義：若兩個(gè)整數(shù)a，b被自然數(shù)m除有相同的余數(shù)，那么稱a，b對(duì)于模m同余，用式子表示為ab(mod m) 若兩個(gè)數(shù)a，b除以同一個(gè)數(shù)c得到的余數(shù)相同，則a，b的差一定能被c整除。兩數(shù)的和除以m的

17、余數(shù)等于這兩個(gè)數(shù)分別除以m的余數(shù)和。兩數(shù)的差除以m的余數(shù)等于這兩個(gè)數(shù)分別除以m的余數(shù)差。兩數(shù)的積除以m的余數(shù)等于這兩個(gè)數(shù)分別除以m的余數(shù)積。 余數(shù)相同：減同余補(bǔ)數(shù)相同：加同補(bǔ)10棄九法 （1）自然數(shù)N和它的數(shù)字和除以9同余； （2）在其他進(jìn)制里同理：如7進(jìn)制里，數(shù)N和它的各個(gè)數(shù)字和除以6同余 證明：位值法11完全平方數(shù)性質(zhì)平方差： A-B=（A+B）（A-B），其中我們還得注意A+B， A-B同奇偶性。約數(shù)：約數(shù)個(gè)數(shù)為奇數(shù)個(gè)的是完全平方數(shù)。 約數(shù)個(gè)數(shù)為3的是質(zhì)數(shù)的平方。質(zhì)因數(shù)分解：把數(shù)字分解，使他滿足積是平方數(shù)。平方和。 322 = 1024 是第一個(gè)四位數(shù) 992 = 9801 四位數(shù)里最大

18、的四位數(shù) 332 = 四位數(shù)里第1個(gè)奇數(shù) 一個(gè)完全平方數(shù)的個(gè)位數(shù)的個(gè)位數(shù)字一定是0,1,4,5,6,9 完全平方數(shù)除以4的性質(zhì)最重要，偶數(shù)除以4余0，奇數(shù)除以4余1，除以4余3一定不是完全平方數(shù)；12孫子定理（中國(guó)剩余定理）見(jiàn)下13余數(shù)應(yīng)用 求某數(shù)、某式的末一位、二位、三位是幾？ （1）末一位，相當(dāng)于求除10 = 2×5 末二位，相當(dāng)于求除100 = 4×25 末三位，相當(dāng)于求除1000 = 8×125 （2）以大化小 （3）找余數(shù)1：費(fèi)馬小定理： 如a÷p = (p-1)、P為質(zhì)數(shù)； 則a2÷p = 1 如(1) p 是質(zhì)數(shù)，且a和p互質(zhì) 則

19、：則ap-1÷p = 1 14輾轉(zhuǎn)相除法-根本在于輾轉(zhuǎn)相減例：求2010 2948 的最大公約數(shù) 2948-2010 = 938 2010-938 = 1072 1072-938 = 134 938-134 = 804 804-134 = 670 。 134-134 = 0 所以最大公約數(shù)是134。15. 質(zhì)數(shù)（1）質(zhì)數(shù)有無(wú)窮個(gè)，質(zhì)數(shù)的分布有漸稀性，（2）特別注意：質(zhì)數(shù)中2是唯一偶數(shù)（奇偶性）；5（唯一一個(gè)末尾是5的質(zhì)數(shù)）； 3兩次余數(shù)，（3）如果兩個(gè)數(shù)互質(zhì)，這兩個(gè)數(shù)的和與其中任意一個(gè)數(shù)互質(zhì)，差也是；100以內(nèi)的質(zhì)數(shù)：101、103、107、109，4位最小的質(zhì)數(shù)：1009 1003

20、=17X591007=19X53（4）判斷質(zhì)數(shù)的方法（5）制造連續(xù)合數(shù)（16求最大公因數(shù)，最小共倍數(shù) （1）分解質(zhì)因數(shù) （2）短除法 （3）分?jǐn)?shù)：分子求正面，分母求相反； （4）a×b = (a,b)×a,b17數(shù)論解題的常用方法枚舉、歸納、反證、構(gòu)造、配對(duì)、估計(jì)中國(guó)古代求解一次同余式組（見(jiàn)同余）的方法。是數(shù)論中一個(gè)重要定理。又稱中國(guó)剩余定理。 公元前后的孫子算經(jīng)中有“物不知數(shù)”問(wèn)題：“今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之余二 ，五五數(shù)之余      三 ，七七數(shù)之余二，問(wèn)物幾何？”答為“23”。也就是求同余式組x2 （mod3），x3 （mod

21、5 ），x2 （mod7）（式中ab （modm）表示m整除ab ）的正整數(shù)解。明朝程大位用歌謠給出了該題的解法：“三人同行七十稀，五樹(shù)梅花廿一枝，七子團(tuán)圓月正半，除百零五便得知。”即解為x2×703×212×1523323(mod105）。此定理的一般形式是設(shè)m = m1 ， ，mk 為兩兩互素的正整數(shù)，mm1，mk ，mmiMi，i1，2， ，k 。則同余式組xb1(modm1)，xbk(modmk)的解為xM'1M1b1M'kMkbk （modm）。式中M'iMi1 （modmi），i1，2，k 。直至18世紀(jì) C.F.高斯才給出這一

22、定理。孫子定理對(duì)近代數(shù)學(xué)如環(huán)論，賦值論都有重要影響。 解法中的三個(gè)關(guān)鍵數(shù)70，21，15，有何妙用，有何性質(zhì)呢?首先70是3除余1而5與7都除得盡的數(shù)，所以70a是3除余a,而5與7都除得盡的數(shù)，21是5除余1，而3與7都除得盡的數(shù)，所以21b是5除余b，而3與7除得盡的數(shù)。同理，15c是7除余c，3與5除得盡的數(shù)，總加起來(lái) 70a+21b+15c 是3除余a，5除余b ，7除余c的數(shù)，也就是可能答案之一，但可能不是最小的，這數(shù)加減105(105=3*5*7)仍有這樣性質(zhì)，可以多次減去105而得到最小的正數(shù)解。 附：如70，其實(shí)是要找余2的，但只要找到了余1的再乘2即余二了。 孫子問(wèn)題的解法，

23、以現(xiàn)代的說(shuō)法，是找出三個(gè)關(guān)鍵數(shù)70，21，15。解法的意思就是用70乘3除所得的余數(shù)，21乘5除所得的余數(shù)，15乘7除所得的余數(shù)，然后總加起來(lái)，除以105的余數(shù)就是答案。 即題目的答案為 70×2+21×3+15×2 =140+63+30 =233 233-2×105=23 公式：70a+21b+15c-105n （中國(guó)剩余定理CRT）設(shè)m1,m2,.,mk是兩兩互素的正整數(shù)，即gcd(mi, mj) =1, ij, i,j = 1,2,.,k 則同余方程組： xb1 mod m1 xb2 mod m2 . xbk mod mk 模m1,m2,.,mk有

24、唯一解，即在m1,m2,.,mk的意義下，存在唯一的x,滿足： xbi mod m1,m2,.,mk, i = 1,2,.,k 中國(guó)剩余定理”算理及其應(yīng)用： 為什么這樣解呢？因?yàn)?0是5和7的公倍數(shù)，且除以3余1。21是3和7的公倍數(shù)，且除以5余1。15是3和5的公倍數(shù)，且除以7余1。（任何一個(gè)一次同余式組，只要根據(jù)這個(gè)規(guī)律求出那幾個(gè)關(guān)鍵數(shù)字，那么這個(gè)一次同余式組就不難解出了。）把70、21、15這三個(gè)數(shù)分別乘以它們的余數(shù)，再把三個(gè)積加起來(lái)是233，符合題意，但不是最小，而105又是3、5、7的最小公倍數(shù)，去掉105的倍數(shù)，剩下的差就是最小的一個(gè)答案。用歌訣解題容易記憶，但有它的局限性，只能限

25、于用3、5、7三個(gè)數(shù)去除，用其它的數(shù)去除就不行了。后來(lái)我國(guó)數(shù)學(xué)家又研究了這個(gè)問(wèn)題，運(yùn)用了像上面分析的方法那樣進(jìn)行解答。例1：一個(gè)數(shù)被3除余1，被4除余2，被5除余4，這個(gè)數(shù)最小是幾？題中3、4、5三個(gè)數(shù)兩兩互質(zhì)。則4，5=20；3，5=15；3，4=12；3，4，5=60。為了使20被3除余1，用20×2=40；使15被4除余1，用15×3=45；使12被5除余1，用12×3=36。然后，40×145×236×4=274，因?yàn)椋?74>60，所以，27460×4=34，就是所求的數(shù)。例2：一個(gè)數(shù)被3除余2，被7除余4，

26、被8除余5，這個(gè)數(shù)最小是幾？題中3、7、8三個(gè)數(shù)兩兩互質(zhì)。則7，8=56；3，8=24；3，7=21；3，7，8=168。為了使56被3除余1，用56×2=112；使24被7除余1，用24×5=120。使21被8除余1，用21×5=105；然后，112×2120×4105×5=1229，因?yàn)椋?229>168，所以，1229168×7=53，就是所求的數(shù)。例3：一個(gè)數(shù)除以5余4，除以8余3，除以11余2，求滿足條件的最小的自然數(shù)。題中5、8、11三個(gè)數(shù)兩兩互質(zhì)。則8，11=88；5，11=55；5，8=40；5，8，1

27、1=440。為了使88被5除余1，用88×2=176；使55被8除余1，用55×7=385；使40被11除余1，用40×8=320。然后，176×4385×3320×2=2499，因?yàn)椋?499>440，所以，2499440×5=299，就是所求的數(shù)。 例4：有一個(gè)年級(jí)的同學(xué)，每9人一排多5人，每7人一排多1人，每5人一排多2人，問(wèn)這個(gè)年級(jí)至少有多少人 ？（幸福123老師問(wèn)的題目）題中9、7、5三個(gè)數(shù)兩兩互質(zhì)。則7，5=35；9，5=45；9，7=63；9，7，5=315。為了使35被9除余1，用35×8=2

28、80；使45被7除余1，用45×5=225；使63被5除余1，用63×2=126。然后，280×5225×1126×2=1877，因?yàn)椋?877>315，所以，1877315×5=302，就是所求的數(shù)。 例5：有一個(gè)年級(jí)的同學(xué)，每9人一排多6人，每7人一排多2人，每5人一排多3人，問(wèn)這個(gè)年級(jí)至少有多少人 ？ 題中9、7、5三個(gè)數(shù)兩兩互質(zhì)。則7，5=35；9，5=45；9，7=63；9，7，5=315。為了使35被9除余1，用35×8=280；使45被7除余1，用45×5=225；使63被5除余1，用63

29、15;2=126。然后，280×6225×2126×3=2508，因?yàn)椋?508>315，所以，2508315×7=303，就是所求的數(shù)。（例5與例4的除數(shù)相同，那么各個(gè)余數(shù)要乘的“數(shù)”也分別相同，所不同的就是最后兩步。） 關(guān)于“中國(guó)剩余定理”類型題目的另外解法“中國(guó)剩余定理”解的題目其實(shí)就是“余數(shù)問(wèn)題”，這種題目，也可以用倍數(shù)和余數(shù)的方法解決。不懂論壇上有沒(méi)人發(fā)過(guò)。小學(xué)奧賽考試時(shí)學(xué)習(xí)過(guò)，也用過(guò)，現(xiàn)在把方法寫(xiě)出來(lái)，如果懂的也別笑我，呵呵。例一，一個(gè)數(shù)被5除余2，被6除少2，被7除少3，這個(gè)數(shù)最小是多少？解法：題目可以看成，被5除余2，被6除余4，被

30、7除余4 ?？吹侥莻€(gè)“被6除余4，被7除余4”了么，有同余數(shù)的話，只要求出6和7的最小公倍數(shù)，再加上4，就是滿足后面條件的數(shù)了，6X7446。下面一步試下46能不能滿足第一個(gè)條件“一個(gè)數(shù)被5除余2”。不行的話，只要再46加上6和7的最小公倍數(shù)42，一直加到能滿足“一個(gè)數(shù)被5除余2”。這步的原因是，42是6和7的最小公倍數(shù)，再怎么加都會(huì)滿足“被6除余4，被7除余4”的條件。46428846424213046424242172這是一種形式的，它的前提是條件中出現(xiàn)同余數(shù)的情況，如果遇到?jīng)]有的，下面講例二，一個(gè)班學(xué)生分組做游戲，如果每組三人就多兩人，每組五人就多三人，每組七人就多四人，問(wèn)這個(gè)班有多少學(xué)

31、生？解法：題目可以看成，除3余2，除5余3，除7余4。沒(méi)有同余的情況，用的方法是“逐步約束法”，就是從“除7余4的數(shù)”中找出符合“除5余3的數(shù)”，就是再7上一直加4，直到所得的數(shù)除5余3。得出數(shù)為18，下面只要在18上一直加7和5得最小公倍數(shù)35，直到滿足“除3余2”471111718183553這種方法也可以解“中國(guó)剩余定理”解的題目。比“中國(guó)剩余定理”更好理解，我覺(jué)的速度上會(huì)比那個(gè)繁瑣的公式化的解題更快。大家可以試下. 所以：一共有5個(gè) 187 367 547 727 90718、最值問(wèn)題 考慮平均化和極端化兩數(shù)和一定，差小積大； 兩數(shù)積一定，差小和小三、幾何圖形幾何出題特點(diǎn)及趨勢(shì)： 淡化

32、幾何幾大模型的直接考察 勾股定理頻繁現(xiàn)身幾何題中 方程（組）作用非比尋常歐拉公式 = 頂點(diǎn) + 區(qū)域 = 邊數(shù) + 維數(shù) 11、平面圖形多邊形的內(nèi)角和N邊形的內(nèi)角和=(N-2)×180°等積變形（位移、割補(bǔ)） 三角形內(nèi)等底等高的三角形 平行線內(nèi)等底等高的三角形 公共部分的傳遞性 極值原理（變與不變）三角形面積與底的正比關(guān)系 S1S2 =ab ； S1S2=S4S3 或者S1×S3=S2×S4（所謂蝴蝶模型）相似三角形性質(zhì)（份數(shù)、比例） ; S1S2=a2A2（即所謂梯形蝴蝶模型）S1S3S2S4= a2b2abab ; S=（a+b）2燕尾定理SABG：

33、SAGCSBGE：SGECBE：EC；SBGA：SBGCSAGF：SGFCAF：FC；SAGC：SBCGSADG：SDGBAD：DB；(6)共角定理(7)差不變?cè)碇?-2=3，則圓點(diǎn)比方點(diǎn)多3。(8)隱含條件的等價(jià)代換 例如弦圖中長(zhǎng)短邊長(zhǎng)的關(guān)系。(9)組合圖形的思考方法 化整為零 先補(bǔ)后去 正反結(jié)合 有時(shí)要求的無(wú)法求，可以用反面的方法，求外圍然后減去 求面積，直接求 間接求：整體部分；總× 不好求，放到一個(gè)大的圖形中去求，方法:這個(gè)大的圖形的面積好求，或者這個(gè)大的圖形可以放到再一個(gè)大的圖形中求，而這個(gè)更大的圖形的面積好求 容斥法求解 (10) 長(zhǎng)方形 a bd c a d b c

34、a×c = b×d ac = bd（11）正方形： 說(shuō)到正方形，就要想到等腰三角形，反之亦然 弦圖：看到斜著放的正方形，就應(yīng)該想到弦圖 變成5個(gè)小正方形作一個(gè)面積為5的正方形（12）海倫公式 三角形的三邊長(zhǎng)分別為：a、b、c; p為半周長(zhǎng) = （a +b +c）/2 則三角形的面積S = （13） 如果六邊形對(duì)邊相等，相隔一個(gè)頂點(diǎn)相連成的三角形的面積是六邊形面積的一半（14） 當(dāng)求一部分比另一部分的面積大多少時(shí)，除了直接求出每部分相減外，應(yīng)該可以考慮差不變得方法；2、立體圖形：長(zhǎng)方體、正方體規(guī)則立體圖形的表面積和體積公式 幾個(gè)面，幾個(gè)棱等要記清； 圓柱體的體積和表面積 圓錐

35、體的體積和表面積 三棱柱的體積和表面積不規(guī)則立體圖形的表面積整體觀照法體積的等積變形 水中浸放物體：V升水=V物要先判斷是否水上升超過(guò)了侵入的物體，然后再算升高了多少； 測(cè)啤酒瓶容積：V=V空氣+V水三視圖與展開(kāi)圖 最短線路與展開(kāi)圖形狀問(wèn)題求堆積體表面積的常見(jiàn)方法三視圖法，有些看不見(jiàn)的圖要額外加上求堆積體體積的常見(jiàn)方法切片法染色問(wèn)題（含染色再切塊） 幾面染色的塊數(shù)與“芯”、棱長(zhǎng)、頂點(diǎn)、面數(shù)的關(guān)系。(6) 打洞題目3、周長(zhǎng)（1）規(guī)則圖形：（2）不規(guī)則圖形：平移，注意別有漏的，必要的時(shí)候要分析線段之間的關(guān)系、要加加減減，4、圖形計(jì)數(shù)：容易數(shù)不全，方法：會(huì)分類特別的：（6+5+4+3+2+1）

36、15;（4+3+2+1）5、圖形分割和拼接（1）割：從數(shù)量和對(duì)稱點(diǎn)入手（特別是當(dāng)要求面積一樣時(shí)）（2）拼：看每條邊的長(zhǎng)度，相同長(zhǎng)度的往一起拼，當(dāng)然有時(shí)候可以是一條長(zhǎng)邊等于多條短邊（3）剪、拼：前后面積相等、要計(jì)算規(guī)劃6、一些特殊圖形完美長(zhǎng)方形、弦圖(對(duì)角線把長(zhǎng)方形分成相等的兩部分記一些圖形規(guī)律7、勾股定理（兩直角邊的平方和等于斜邊的平方， 記的數(shù)據(jù)：3、4、5； 5、12、13；1、1、根號(hào)2(1) 在平面幾何中應(yīng)用：直線形，曲線形（兩園相切：園心相連過(guò)切點(diǎn)；兩園相交）折疊：（1）利用對(duì)稱，用盡量少得未知數(shù)表述圖中的線段 （2）勾股定理解方程；(2) 立體幾何中的應(yīng)用：對(duì)角線AD2 = ( A

37、C2 + BC2 ) + BD2ABCD8曲線形圖形（圓、扇形的周長(zhǎng)與面積；平移、割補(bǔ)、旋轉(zhuǎn)） 公式總結(jié)： 圓的面積 扇形面積 圓的周長(zhǎng) 扇形周長(zhǎng) 9、一些特殊的圖形：（1）弓形：弓形通常只求面積，半圓是特殊的弓形；弓形面積扇形面積三角形面積（除了半圓）（2）“彎角” ：彎角的面積正方形扇形 （3）“谷子”：“谷子”的面積弓形面積×2（5） 圓環(huán)面積： 環(huán)= （ ）（6） (7) “谷子”+ 四、典型應(yīng)用題迎春杯特點(diǎn)：* 不會(huì)那么明顯、直接地出盈虧、雞兔同籠、倍比關(guān)系，會(huì)有變形和復(fù)雜的關(guān)系或陷阱* 畫(huà)圖時(shí)，對(duì)于賣(mài)掉、去掉、運(yùn)走、增加一樣多等從左邊畫(huà)；* 高年級(jí)了，實(shí)在不好考

38、慮，用方程做，一般求啥設(shè)啥為未知數(shù)（直接設(shè)），還可以間接設(shè)；1植樹(shù)問(wèn)題開(kāi)放型與封閉型間隔與株數(shù)的關(guān)系2方陣問(wèn)題外層邊長(zhǎng)數(shù)-2=內(nèi)層邊長(zhǎng)數(shù) （即不論哪一層，每往里一層，每邊差2，每相鄰兩層的總數(shù)差8）（外層邊長(zhǎng)數(shù)-1）×4=外周長(zhǎng)數(shù)（即可以用螺旋法求每一層的總數(shù)，其他形狀的隊(duì)列也一樣）外層邊長(zhǎng)數(shù)2-中空邊長(zhǎng)數(shù)2=實(shí)面積數(shù)，（即正方形、長(zhǎng)方形的有時(shí)可以轉(zhuǎn)換成面積）3列車(chē)過(guò)橋問(wèn)題車(chē)長(zhǎng)+橋長(zhǎng)=速度×時(shí)間車(chē)長(zhǎng)甲+車(chē)長(zhǎng)乙=速度和×相遇時(shí)間車(chē)長(zhǎng)甲+車(chē)長(zhǎng)乙=速度差×追及時(shí)間列車(chē)與人或騎車(chē)人或另一列車(chē)上的司機(jī)的相遇及追及問(wèn)題車(chē)長(zhǎng)=速度和×相遇時(shí)間車(chē)長(zhǎng)=速度差&#

39、215;追及時(shí)間4年齡問(wèn)題（1）牢記：年齡差不變；如果變了，一定有特殊的年齡情況，一定要找問(wèn)題的關(guān)鍵，比如XX年沒(méi)有某人沒(méi)有出生等等；（2）年齡增加數(shù)一樣；年齡倍數(shù)是變的5雞兔同籠假設(shè)法的解題思想、方程的方法常常會(huì)更簡(jiǎn)單快，但解方程要準(zhǔn)確，但可以兩種方法進(jìn)行檢驗(yàn)假設(shè)法：全都是一種動(dòng)物。 如果有多種動(dòng)物，可根據(jù)動(dòng)物的特點(diǎn)先分成兩種砍足法畫(huà)圖法捆綁法（打包法）換算法6牛吃草問(wèn)題原有草量=（牛吃速度-草長(zhǎng)速度）×時(shí)間7平均數(shù)問(wèn)題無(wú)論什么平均，一定記得總的數(shù)量÷總的單位，才是平均設(shè)數(shù)法8盈虧問(wèn)題假設(shè)法的解題思想、方程的方法常常會(huì)更簡(jiǎn)單快，但解方程要準(zhǔn)確，但可以兩種方法進(jìn)行檢驗(yàn)公式法

40、 : 分析差量關(guān)系（盈虧）÷兩次分配差 （盈盈）÷兩次分配差（虧虧）÷兩次分配差特別注意：一定的數(shù)量平均分給固定的對(duì)象時(shí)才能直接套公式，即：（1）涉及三個(gè)量：被分配的總數(shù)、接受分配的人或物、分配原則（平均）； 原則：要保證“被分配的總數(shù)”、“接受分配的人或物”不變 方法：想辦法把變的量變成不變的（2）基本的盈虧問(wèn)題可以用殷老師的畫(huà)圖的方法；9和差問(wèn)題10和倍問(wèn)題11差倍問(wèn)題12逆推問(wèn)題 還原法，從結(jié)果入手倒推法（列圖表、線段圖）吹氣球法 逆推 ß-à歸納13代換問(wèn)題 列表消元法 等價(jià)條件代換五、行程問(wèn)題普通行程問(wèn)題最基本的概念：路程和=速度和&

41、#215;相遇時(shí)間，所有的問(wèn)題都來(lái)自于： （1） S變：往返問(wèn)題（ST圖），環(huán)形跑道（一圈的概念）ST圖，即柳卡圖，但遇到數(shù)字不好解的，考慮有沒(méi)有其他方法（2） V變：流水行程（水速），變速問(wèn)題（差量） 解題時(shí)要考慮速度比，或者假設(shè)速度不變會(huì)怎樣（比如S變?yōu)槎嗌伲?） T變：走走停停（分段），平均速度（總S/總T）ü 線段圖、方程、比列法都是常用工具，有時(shí)候可以轉(zhuǎn)化成面積；ü 三人以上相遇或追及：殺人，轉(zhuǎn)換成兩兩相遇ü 如果路程、時(shí)間和速度只告訴一個(gè)，或一個(gè)都沒(méi)有告訴用設(shè)數(shù)法ü 中點(diǎn)問(wèn)題（陷阱）ü 如果題目中未提示什么相遇，相遇包括迎面相遇和

42、追及相遇；端點(diǎn)的相遇，即是迎面相遇又是追及相遇（4）變道：判斷相遇的大概位置，第一次的，和要求的那次的相遇的大概位置1相遇問(wèn)題路程和=速度和×相遇時(shí)間2追及問(wèn)題路程差=速度差×追及時(shí)間3流水行船順?biāo)俣?船速+水速逆水速度=船速-水速船速=（順?biāo)俣?逆水速度）÷2，順?biāo)俣群湍嫠俣群褪莾杀兜拇?；水?（順?biāo)俣?逆水速度）÷2，順?biāo)俣群湍嫠俣炔钍莾杀兜乃?；相遇：速度? V甲+V乙船速，變速后分段考慮追及：速度差= V甲V乙船速，變速后分段考慮說(shuō)明：兩船相遇、追及問(wèn)題可以忽略水速，問(wèn)一船的問(wèn)題必須考慮水速；掉東西，掉多久，追多久；只有一個(gè)量（

43、V、S、T）比例設(shè)數(shù)；4多次相遇線型路程： 甲乙共行全程數(shù)=相遇次數(shù)×2-1環(huán)型路程： 甲乙共行全程數(shù)=相遇次數(shù)其中甲共行路程=甲在單個(gè)全程所行路程×共行全程數(shù)5環(huán)形跑道6行程問(wèn)題中正反比例關(guān)系的應(yīng)用路程一定，速度和時(shí)間成反比。速度一定，路程和時(shí)間成正比。時(shí)間一定，路程和速度成正比。7鐘面上的相遇與追及問(wèn)題。 鐘面介紹：鐘面60格，1格6o，時(shí)針?biāo)俣龋?小時(shí)5格÷60分 = 格/分； 分針?biāo)俣龋?小時(shí)1格÷1分 = 1格/分； 分清是追及還是相遇；一般畫(huà)個(gè)草圖，選擇整數(shù)點(diǎn)作為出發(fā)點(diǎn)； 追及問(wèn)題：（1） 時(shí)針、分針一次重合，與下一次重合間隔65； 0：00

44、到12：00，時(shí)針、分針重合了11次（算頭不算尾）： 12×60÷65= 11段 （2） 解題思路：數(shù)格子數(shù)（路程差）-找速度差-求時(shí)間 數(shù)格子的方向：由快到慢 應(yīng)記得數(shù)：直線-直線 重合-重合65= 相遇：找格數(shù)和（即路程和）、速度和； 壞鐘問(wèn)題：壞鐘好鐘 65格 60格 ？格 5×60格注意唯一反比：時(shí)間和速度8結(jié)合分?jǐn)?shù)、工程、和差問(wèn)題的一些類型。9行程問(wèn)題時(shí)常運(yùn)用“時(shí)光倒流”和“假定看成”的思考方法。10發(fā)車(chē)間隔問(wèn)題間隔 = ？1（甲和車(chē)） = ？2（乙和車(chē)） = ？3（車(chē)自己）V車(chē)X t解方程組就可以了11接送問(wèn)題（1）柳卡圖（2）畫(huà)清楚圖12火車(chē)過(guò)橋：S

45、變（看車(chē)尾或車(chē)頭），火車(chē)過(guò)橋的路程等于車(chē)長(zhǎng)加橋長(zhǎng)火車(chē)過(guò)人和火車(chē)過(guò)橋問(wèn)題的區(qū)別13扶梯問(wèn)題 可以把它理解為牛吃草問(wèn)題， 速度時(shí)間總量 （1） （2） 算出沒(méi)分鐘電梯上行或下行的速度，進(jìn)而求總量，即走了多少級(jí)；14獵狗追兔 方法1：題目中的兩句話告訴了獵狗和兔子的速度比； 方法2：假設(shè)獵狗 a“米”/步, 兔b“米”/步 c步/“秒” d步/“秒” 相遇或追及距離：將步轉(zhuǎn)換成米，就可以求出相遇或追擊時(shí)間，然后求出要求的步數(shù)；六、計(jì)數(shù)問(wèn)題ü 需要綜合考慮，經(jīng)常功虧一簣。迎春杯必考一道，近年來(lái)和圖形結(jié)合著考的比較多ü 先看是不是直接排列組合、再看是否分步、再看是否分類、再考慮對(duì)立事

46、件、再考慮采用對(duì)應(yīng)法；ü 看到題目要求求有多少種、多少個(gè)等題，就是加乘原理或者說(shuō)是排列組合這種題型，先分類，如何分類：從條件比較特殊的入手，分類不能重復(fù)，一般是找有多種選擇的條件來(lái)分類；ü 如何分步：按照完成題目要求的事情的順序，一步一步地；ü 要注意是分類的，還是分步的；分類之后一定是分步，單純的分步可以理解是只有一類情況；ü 可以和數(shù)論和最值問(wèn)題結(jié)合；ü 有時(shí)候一種方向試試不好做，可以反過(guò)來(lái)想一想；1枚舉法：分類、有序枚舉，做到不重不漏；往往數(shù)量不大，范圍比較明確、一定當(dāng)說(shuō)的比較寬泛，沒(méi)有辦法的時(shí)候，找規(guī)律幾何計(jì)數(shù)，特別數(shù)數(shù)三角形，常常用枚

47、舉；2標(biāo)數(shù)法：最短路線，就是加法原理、染色、派工作3加法原理：分類4乘法原理：分步5排列組合：其實(shí)就是加乘原理，實(shí)際上是種工具，排列考慮順序，組合不考慮順序插板法例（1）方程x+y+z=10 有多少組正整數(shù)解？（2）方程x+y+z=10 有多少組非負(fù)整數(shù)解？（3）方程x+y+z=10 有多少組x, y , z都不小于2的整數(shù)解？插空法例：打包法排除法除法定序6容斥原理：方法/工具：（1）文氏圖；（2）列表法：適用于題目中沒(méi)有提到交叉；（3）方程法 總數(shù)量=A+B+C-(AB+AC+BC)+ABC 常用：總數(shù)量=A+B-AB A交B，AB A并B，AB 容斥里的最值：文字理解（何種情況下最）、險(xiǎn)

48、段圖（檢查）7對(duì)應(yīng)法：數(shù)數(shù)下圖有幾個(gè)三角形，三角形對(duì)應(yīng)到線例如：8抽屜原理：至多至少問(wèn)題構(gòu)造抽屜（怎么構(gòu)造，抓住問(wèn)題）9握手問(wèn)題在圖形計(jì)數(shù)中應(yīng)用廣泛 角、線段、三角形， 長(zhǎng)方形、梯形、平行四邊形 正方形1011染地圖，關(guān)心的是圖塊之間的關(guān)系，其實(shí)不用關(guān)心圖塊的形狀，可以在不改變相鄰關(guān)系的情況下進(jìn)行轉(zhuǎn)換，把不熟悉的圖形（不規(guī)則的圖形）轉(zhuǎn)換成熟悉的規(guī)則的圖形12、概率 概率 = 七、分?jǐn)?shù)問(wèn)題1純循環(huán)小數(shù)、混循壞小數(shù)，互換含2、5不含其它，是有限小數(shù)；含2、5含其它，無(wú)限混循環(huán)小數(shù)，不含2、5，含其它，無(wú)限純循環(huán)小數(shù)；循環(huán)小數(shù)與分?jǐn)?shù)的轉(zhuǎn)換：A純循環(huán)，例：0.5 = 混循環(huán)，例：0.124 = 為什么

49、可以這么化？設(shè)A = 0.51000A= 958.5 = 985+A999A= 958A = 2量率對(duì)應(yīng)3以不變量為“1”4利潤(rùn)問(wèn)題5濃度問(wèn)題基本概念：溶質(zhì)、溶液、溶劑基本概念：溶液溶質(zhì)溶劑 濃度（溶質(zhì)÷溶液）×100% 有些題表面不是濃度問(wèn)題， 但用濃度問(wèn)題的方法來(lái)解，會(huì)非常簡(jiǎn)單。辨認(rèn)不出來(lái)也沒(méi)關(guān)系，用方程的方法解題方法：（1） 根據(jù)定義列方程（2）倒三角原理、也叫十字交叉法：兩種溶液混合前后的濃度關(guān)系例：（3）通比：解決因單方面變化而引起變化的問(wèn)題，抓住不變6工程問(wèn)題要深刻明白單位1的概念：把整個(gè)工程看成單位1（多個(gè)工程時(shí)通常最小的當(dāng)成單位1） ；工作效率：衡量工作快慢的量（工作總量÷ 工作時(shí)間） 工作效率的和：多人合作（工作效率相加） 特別注意： 工作量和工作效率都可直接相加，但工作時(shí)間不能 方程（組）可大大縮短分析時(shí)間 合作問(wèn)題 水池進(jìn)出水問(wèn)題7按比例分配，8分百問(wèn)題分?jǐn)?shù)的性質(zhì)：分子分母同時(shí)擴(kuò)大或縮小相同的非0倍數(shù)，值不變 方程法：直接假設(shè)間接假設(shè)（近年?？迹?份數(shù)法：設(shè)總份數(shù)為各分母的最小公倍數(shù) 分百問(wèn)題?？挤輸?shù)法單位1法方程法9在比的問(wèn)題中：是，比，占后面的是一個(gè)意思 如何判斷份數(shù)和數(shù)值，比較：甲比乙多, 代表份數(shù)；甲 - 乙 = 乙 甲比乙多m, 代表份數(shù)；甲 - 乙