電磁感應(yīng)習題課

1、Harbin Engineering University孫秋華孫秋華 教學要求教學要求1.掌握電流密度矢量和電動勢的概念掌握電流密度矢量和電動勢的概念2.熟練掌握法拉第電磁感應(yīng)定律，能根據(jù)定律解決實際問熟練掌握法拉第電磁感應(yīng)定律，能根據(jù)定律解決實際問 題。題。3.能熟練掌握動生電動勢的計算。能熟練掌握動生電動勢的計算。4.正確理解自感和互感現(xiàn)象，會計算自感和互感及自感電正確理解自感和互感現(xiàn)象，會計算自感和互感及自感電 動勢和互感電動勢。動勢和互感電動勢。5.掌握磁場的能量和場能密度的計算。掌握磁場的能量和場能密度的計算。6.理解渦旋電場和位移電流的概念。理解變化磁場引起電理解渦旋電場和位移電

2、流的概念。理解變化磁場引起電 場和變化電場引起磁場的兩個基本規(guī)律，是電磁感應(yīng)定場和變化電場引起磁場的兩個基本規(guī)律，是電磁感應(yīng)定 律和安培環(huán)路定律相應(yīng)的推廣。掌握麥克斯韋方程組的律和安培環(huán)路定律相應(yīng)的推廣。掌握麥克斯韋方程組的 積分形式。掌握電磁波的性質(zhì)及波印廷矢量積分形式。掌握電磁波的性質(zhì)及波印廷矢量Harbin Engineering University孫秋華孫秋華一、基本概念一、基本概念1.電流密度矢量電流密度矢量 ：2.電源電動勢：電源電動勢：ndsdIjldEK3.渦旋電場：由變化磁場而激發(fā)的電場。渦旋電場：由變化磁場而激發(fā)的電場。4磁場的能量及能量密度磁場的能量及能量密度 a.能量

3、密度能量密度: b.磁場能量：磁場能量：BHwm21dVBHdVwWVVmm21Harbin Engineering University孫秋華孫秋華5.位移電流：位移電流：dsdID dsdt7.麥克斯韋方程組：麥克斯韋方程組：SdBtldEqsdDsLs0SdDtIl dHSdBsLs008. 玻印廷矢量：玻印廷矢量：HEStDjd6.位移電流密度：位移電流密度：Harbin Engineering University孫秋華孫秋華二、基本定律二、基本定律1.1.法拉第電磁感應(yīng)定律：法拉第電磁感應(yīng)定律： 負號表明方向負號表明方向2 2楞次定律：（略）楞次定律：（略）dtdm三三.基本運算：

4、基本運算：1）動生電動勢：）動生電動勢： 即導體在磁場中切割磁力線時，才能產(chǎn)生動生電動勢。該導即導體在磁場中切割磁力線時，才能產(chǎn)生動生電動勢。該導體相當于一個電源，在其內(nèi)部它由低電勢指向高電勢，此時體相當于一個電源，在其內(nèi)部它由低電勢指向高電勢，此時的非靜電力為：的非靜電力為：BVEK則：則：baabldBv)(Harbin Engineering University孫秋華孫秋華2）感生電動勢：閉合回路不動，由于穿過回路的磁通量發(fā)）感生電動勢：閉合回路不動，由于穿過回路的磁通量發(fā) 生變化而產(chǎn)生的電動勢。生變化而產(chǎn)生的電動勢。 非靜電力為非靜電力為：渦渦旋旋EEKSdtBldEi渦所以：所以：

5、3) 自感與互感自感與互感a.自感電動勢：自感電動勢：b.互感電動勢：互感電動勢：ILdtdILL112212IMdtdIMHarbin Engineering University孫秋華孫秋華電電磁磁感感應(yīng)應(yīng)定律定律dtdmi 楞次定律楞次定律麥氏方程組麥氏方程組 sLsLssiisdtDIl dHsdBsdtBl dEqsdD000電動勢電動勢dtdmi BAABldBv)( dtdILL dtdIM121 其它計算其它計算IL 121212IIM 22121LIWdVWBHmVmmm tDjHESD Harbin Engineering University孫秋華孫秋華四、典型例題四、典

6、型例題：動生電動勢的計算動生電動勢的計算bal dB)(vbakabl dE1.規(guī)定導線的正方向規(guī)定導線的正方向ab2.選坐標選坐標3.找微元找微元dl4.確定微元處確定微元處v 和和B cos)sin()(dlvBl dBvd 5.積分求解積分求解若若 0 0表示其方向與表示其方向與a b方向相同，反之相反。方向相同，反之相反。Harbin Engineering University孫秋華孫秋華 1. 求長度為求長度為L的金屬桿在均勻磁場的金屬桿在均勻磁場B中繞平行于磁場方向的定中繞平行于磁場方向的定 軸轉(zhuǎn)動時的動生電動勢。已知桿相對于均勻磁場軸轉(zhuǎn)動時的動生電動勢。已知桿相對于均勻磁場B的

7、方位的方位 角為角為 ，桿的角速度為，桿的角速度為 ，轉(zhuǎn)向如圖所示。，轉(zhuǎn)向如圖所示。B L Harbin Engineering University孫秋華孫秋華22000sin21sinsinsin)(BLdllvBdlldBvLLbab解：解： 電動勢的方向從電動勢的方向從a b vB)(Bvab Harbin Engineering University孫秋華孫秋華例例2.一無限長豎直導線上通有穩(wěn)定電流一無限長豎直導線上通有穩(wěn)定電流I，電流方向向上。電流方向向上。導線旁有一與導線共面、長為導線旁有一與導線共面、長為L的金屬棒，繞其一端的金屬棒，繞其一端O在該在該平面內(nèi)順時針勻速轉(zhuǎn)動，如圖

8、。轉(zhuǎn)動角速度為，平面內(nèi)順時針勻速轉(zhuǎn)動，如圖。轉(zhuǎn)動角速度為，O點到導點到導線的垂直距離為線的垂直距離為r0 (r0L)。試求金屬棒轉(zhuǎn)到與水平面成試求金屬棒轉(zhuǎn)到與水平面成 角角時，棒內(nèi)感應(yīng)電動勢的大小和方向。時，棒內(nèi)感應(yīng)電動勢的大小和方向。r0Lo IBHarbin Engineering University孫秋華孫秋華coscos:0dldxlrx其中dlxIlldBvLrraocos0002)(解：解：020000cos0coslncos2cos2cos)cos(200rLrrILIdxrxxIoLrrr0dlo IBxHarbin Engineering University孫秋華孫秋華例

9、例3.如圖所示，在紙面所在的平面內(nèi)有一載有電流如圖所示，在紙面所在的平面內(nèi)有一載有電流I的無限長的無限長直導線，其旁另有一邊長為直導線，其旁另有一邊長為l的等邊三角形線圈的等邊三角形線圈ACD該線圈該線圈的的AC邊與長直導線距離最近且相互平行今使線圈邊與長直導線距離最近且相互平行今使線圈ACD在紙在紙面內(nèi)以勻速面內(nèi)以勻速 遠離長直導線運動，且與長直導線相垂直求遠離長直導線運動，且與長直導線相垂直求當線圈當線圈AC邊與長直導線相距邊與長直導線相距a時，線圈時，線圈ACD內(nèi)的動生電動勢內(nèi)的動生電動勢 vaIACDvHarbin Engineering University孫秋華孫秋華解：解： 1.

10、規(guī)定導線的正方向規(guī)定導線的正方向AC D AaIACDACDAl dBv)(CAl dBv)(1DCl dBv)(2ADl dBv)(3321Harbin Engineering University孫秋華孫秋華aIvlvlB2012.選坐標選坐標3.找微元找微元dl4.確定微元處確定微元處v 和和BaIACDvoxdlBvlvBlBvdcosd)(d602xIB 20 Harbin Engineering University孫秋華孫秋華6060202sindcosdxxIv300260602cossindcoslaaxxIv2/3lc 令令 acaIln6v302另外一邊產(chǎn)生的動生電動勢與

11、另外一邊產(chǎn)生的動生電動勢與 大小相等繞向相同大小相等繞向相同 Harbin Engineering University孫秋華孫秋華lnacaalI3322v2021aIACD其方向為順時針其方向為順時針Harbin Engineering University孫秋華孫秋華作業(yè)作業(yè)84無限長直導線載有電流無限長直導線載有電流I，其旁放置一段長度為，其旁放置一段長度為l與與載流導線在同一平面內(nèi)且成的導線。計算當該導線在平面上載流導線在同一平面內(nèi)且成的導線。計算當該導線在平面上以垂直于載流導線的速度以垂直于載流導線的速度v平移到該導線的中點距載流導線平移到該導線的中點距載流導線為為a時，其上的動生

12、電動勢，并說明其方向。時，其上的動生電動勢，并說明其方向。a60lIHarbin Engineering University孫秋華孫秋華解：解：1.1.規(guī)定回路的正方向規(guī)定回路的正方向2.2.計算任意時刻的磁通量計算任意時刻的磁通量a. 考察曲面及曲面上考察曲面及曲面上 B的分布的分布b. 選坐標選坐標c. 選微元選微元d.計算微元中的磁通量計算微元中的磁通量 感生電動勢的計算感生電動勢的計算利用法拉第電磁感應(yīng)定律利用法拉第電磁感應(yīng)定律f. . 求出任意時刻通過該矩形平面的磁通量求出任意時刻通過該矩形平面的磁通量dtdNi 3.3.計算回路中的電動勢計算回路中的電動勢Harbin Engin

13、eering University孫秋華孫秋華例例4.均勻磁場均勻磁場B被限制在半徑被限制在半徑R=10cm的無限長圓柱空間內(nèi)，的無限長圓柱空間內(nèi)，方向垂直紙面向里。取一固定的等腰梯形回路方向垂直紙面向里。取一固定的等腰梯形回路abcd，梯形所梯形所在平面的法向與圓柱空間的軸平行，位置如圖所示。設(shè)磁在平面的法向與圓柱空間的軸平行，位置如圖所示。設(shè)磁場以場以dB/dt=1T/s的勻速率增加，已知的勻速率增加，已知 = /3，Oa=Ob=6cm. 求求: 等腰梯形回路中感生電動勢的大小和方向。等腰梯形回路中感生電動勢的大小和方向。abcdR Bo Harbin Engineering Univer

14、sity孫秋華孫秋華dtd解：選解：選 abcd 回路的繞行方向順時針為正，則有回路的繞行方向順時針為正，則有abmnBSSdBmVdtdBSabmn68. 3方向：逆時針方向：逆時針abndR Bo omabcHarbin Engineering University孫秋華孫秋華解：解：1.1.規(guī)定回路的正方向規(guī)定回路的正方向2.2.計算任意時刻的磁通量計算任意時刻的磁通量a. 考察曲面及曲面上考察曲面及曲面上 B的分布的分布b. 選坐標選坐標c. 選微元選微元d.計算微元中的磁通量計算微元中的磁通量 動生、感生并存電動勢的計算動生、感生并存電動勢的計算利用法拉第電磁感應(yīng)定律利用法拉第電磁感

15、應(yīng)定律f. . 求出任意時刻通過該矩形平面的磁通量求出任意時刻通過該矩形平面的磁通量dtdNi 3.3.計算回路中的電動勢計算回路中的電動勢Harbin Engineering University孫秋華孫秋華例例5.如圖所示，長直導線中電流為如圖所示，長直導線中電流為I，矩形線圈矩形線圈abcd與長直與長直導線共面，且導線共面，且ab/dc，dc邊固定，邊固定，ab邊沿邊沿da及及cb以速度以速度v無無摩擦地勻速平動。摩擦地勻速平動。t=0時，時，ab邊與邊與cd邊重合。設(shè)線圈自感忽邊重合。設(shè)線圈自感忽略不計。（略不計。（1）如）如I=I0，求求ab中的感應(yīng)電動勢。（中的感應(yīng)電動勢。（2）如

16、）如I=I0cos t，求，求ab邊運動到圖示位置線圈中的總感應(yīng)電動勢。邊運動到圖示位置線圈中的總感應(yīng)電動勢。Iabcdl0lvl2Iabcdl0lvl2Harbin Engineering University孫秋華孫秋華000000ln22)(100lllvIdxxIvl dBvlllbaab ）（解：解：Iabcdl0lvl2Iabcdl0lvl2xo(2)a、規(guī)定正方向規(guī)定正方向abcdab、計算計算 t 時刻的磁通量時刻的磁通量0000ln2)(2)()00lllvttIvtdxxtItlll（0000ln2cos)lllvttIt（Harbin Engineering Univer

17、sity孫秋華孫秋華dtdNi 3.3.計算回路中的電動勢計算回路中的電動勢00000000ln2cosln2sin)llltvIlllvttIt（Harbin Engineering University孫秋華孫秋華作業(yè)作業(yè)79一半徑一半徑r=10cm的圓形閉合導線回路置于均勻磁的圓形閉合導線回路置于均勻磁場場B ( B=0.80T)中，中，B與回路平面正交。若圓形回路的半徑與回路平面正交。若圓形回路的半徑從從t=0開始以恒定的速率開始以恒定的速率(dr/dt=-80cm/s)收縮，則在收縮，則在t=0時時刻閉合回路的感應(yīng)電動勢的大小是多少？如要求感應(yīng)電動刻閉合回路的感應(yīng)電動勢的大小是多少？

18、如要求感應(yīng)電動勢保持這一數(shù)值，則閉合回路面積應(yīng)以怎樣的恒定速率收勢保持這一數(shù)值，則閉合回路面積應(yīng)以怎樣的恒定速率收縮？縮？Harbin Engineering University孫秋華孫秋華作業(yè)作業(yè)80一導線彎成如圖形狀，放在均勻磁場一導線彎成如圖形狀，放在均勻磁場B中，中，B的的方向垂直圖面向里。方向垂直圖面向里。 使導線繞軸使導線繞軸oo 旋轉(zhuǎn)，如圖轉(zhuǎn)速為每分鐘旋轉(zhuǎn)，如圖轉(zhuǎn)速為每分鐘n轉(zhuǎn)。計算轉(zhuǎn)。計算 oo.,600acdbcbcdb bc cd doo BHarbin Engineering University孫秋華孫秋華作業(yè)作業(yè)81電量電量Q均勻分布在半徑為均勻分布在半徑為a、長為

19、、長為L (La) 的絕緣的絕緣薄壁長圓筒表面上，圓筒以角速度繞中心軸線旋轉(zhuǎn)。一半薄壁長圓筒表面上，圓筒以角速度繞中心軸線旋轉(zhuǎn)。一半徑為徑為2a、電阻為、電阻為R的單匝圓形線圈套在圓筒上（如圖所示）。的單匝圓形線圈套在圓筒上（如圖所示）。若圓筒轉(zhuǎn)速按照若圓筒轉(zhuǎn)速按照 = 0(1t/t0)的規(guī)律（的規(guī)律（ 0和和t0是已知常數(shù)）是已知常數(shù)）隨時間線性地減少，求圓形線圈中感應(yīng)電流的大小和方向。隨時間線性地減少，求圓形線圈中感應(yīng)電流的大小和方向。 2a z a Harbin Engineering University孫秋華孫秋華作業(yè)作業(yè)82兩根平行放置相距為兩根平行放置相距為2a的無限長載流直導線

20、，其的無限長載流直導線，其中一根通以穩(wěn)恒電流中一根通以穩(wěn)恒電流I0，另一根通以交變電流，另一根通以交變電流i =I0coswt兩兩導線間有一與其共面的矩形線圈，線圈的邊長分別為導線間有一與其共面的矩形線圈，線圈的邊長分別為l和和2b，l邊與長直導線平行，且線圈以速度邊與長直導線平行，且線圈以速度 垂直直導線向右運垂直直導線向右運動動(如圖如圖)當線圈運動到兩導線的中心位置當線圈運動到兩導線的中心位置(即線圈中心線即線圈中心線與距兩導線均為與距兩導線均為a的中心線重合的中心線重合)時，兩導線中的電流方向恰時，兩導線中的電流方向恰好相反，且好相反，且i =I0，求此時線圈中的感應(yīng)電動勢，求此時線圈

21、中的感應(yīng)電動勢 vHarbin Engineering University孫秋華孫秋華 互感系數(shù)與互感電動勢的計算互感系數(shù)與互感電動勢的計算例例6.一個半徑為一個半徑為a的小圓環(huán)，繞著過一條直徑的固定軸線作的小圓環(huán)，繞著過一條直徑的固定軸線作勻速轉(zhuǎn)動，角速度為勻速轉(zhuǎn)動，角速度為 。另有一個半徑為。另有一個半徑為b的大圓環(huán)的大圓環(huán) (ba) ，固定不動，其中通有不變的電流固定不動，其中通有不變的電流I.小環(huán)與大環(huán)有共同的圓心。小環(huán)與大環(huán)有共同的圓心。t=0時二環(huán)共面。小圓環(huán)的電阻為時二環(huán)共面。小圓環(huán)的電阻為R，自感可以不計。試求自感可以不計。試求:大圓環(huán)中的感生電動勢。大圓環(huán)中的感生電動勢。

22、IbaHarbin Engineering University孫秋華孫秋華bIB2021解：解：tabIcos222012tbaIMcos220212tbRaIdtdRIsin21220121tRbIaMI2sin8)(2220121tRbIadtd2cos4)(222021 IbaHarbin Engineering University孫秋華孫秋華作業(yè)作業(yè)85一無限長直導線通有電流一無限長直導線通有電流 ，一，一矩形線圈與長直導線共面放置，其長邊與導線平行，矩形線圈與長直導線共面放置，其長邊與導線平行，如圖所示。求：（如圖所示。求：（1）矩形線圈中感應(yīng)電動勢的大小及）矩形線圈中感應(yīng)電動勢

23、的大小及方向；（方向；（2）導線與線圈的互感系數(shù)。）導線與線圈的互感系數(shù)。teII30IablHarbin Engineering University孫秋華孫秋華作業(yè)作業(yè)86一矩形截面的螺繞環(huán)（一矩形截面的螺繞環(huán)（ r=1），由細導線均勻），由細導線均勻密繞而成，內(nèi)半徑為密繞而成，內(nèi)半徑為R1，外半徑為，外半徑為R2，高為，高為b，共，共N匝。匝。在螺繞環(huán)的軸線上，另有一無限長直導線在螺繞環(huán)的軸線上，另有一無限長直導線oo ，如圖所示。，如圖所示。在螺繞環(huán)內(nèi)通以交變電流在螺繞環(huán)內(nèi)通以交變電流i=I0cost（時電流方向如圖），（時電流方向如圖），求當求當 t= /4時，在無限長直導線中的感應(yīng)

24、電動勢的大小時，在無限長直導線中的感應(yīng)電動勢的大小和方向。和方向。1000,106,104 . 2,10821221NmbmRmR匝匝100,50 AI0986. 13ln rad/sHarbin Engineering University孫秋華孫秋華作業(yè)作業(yè)87如圖所示，一面積為如圖所示，一面積為4.0m共共50匝的小圓形線匝的小圓形線圈圈A，放在半徑為，放在半徑為20cm共共100匝的大線圈匝的大線圈B的正中央，的正中央，兩線圈同心且共面。設(shè)線圈兩線圈同心且共面。設(shè)線圈A內(nèi)各點的磁感應(yīng)強度可看內(nèi)各點的磁感應(yīng)強度可看作是相同的。求：（作是相同的。求：（1）兩線圈的互感；（）兩線圈的互感；（

25、2）當線圈）當線圈B中電流的變化率為中電流的變化率為-50As-1時，線圈時，線圈A中感應(yīng)電動勢的大中感應(yīng)電動勢的大小和方向。小和方向。Harbin Engineering University孫秋華孫秋華例例7 .半徑為半徑為a 的金屬圓環(huán)，置于磁感應(yīng)強度為的金屬圓環(huán)，置于磁感應(yīng)強度為B的均勻磁的均勻磁場中，圓平面與磁場垂直，另一同種材料、同樣粗細的金場中，圓平面與磁場垂直，另一同種材料、同樣粗細的金屬直線放在金屬環(huán)上，當直導線以屬直線放在金屬環(huán)上，當直導線以v 在圓環(huán)上向右運動到在圓環(huán)上向右運動到離環(huán)心離環(huán)心a/2處時。求：此時感應(yīng)電流在環(huán)心處產(chǎn)生的磁感應(yīng)處時。求：此時感應(yīng)電流在環(huán)心處產(chǎn)生

26、的磁感應(yīng)強度。（設(shè)金屬單位長度的電阻為強度。（設(shè)金屬單位長度的電阻為r0） vbcaO 綜合性習題綜合性習題Harbin Engineering University孫秋華孫秋華解：解：由由 得得baldBv)(vBaldBvcbbc3)(方向：方向：c b vbcaOII1I2r1r2利用幾何關(guān)系利用幾何關(guān)系0201032343arrarrarrHarbin Engineering University孫秋華孫秋華02121)943(arrrrrrR0)943(3rvBRIbc2:1:212211IIrIrIaIRIBaIRIB623132321010210101二者大小相等，方向相反，二者

27、大小相等，方向相反，互相抵消互相抵消aIrIB23)cos(cos402100Harbin Engineering University孫秋華孫秋華cclIIcab例例8.如圖在真空中兩條無限長載流均為如圖在真空中兩條無限長載流均為I的直導線中間放的直導線中間放置一門框形支架置一門框形支架(支架固定支架固定)，該支架由導線和電阻聯(lián)接而，該支架由導線和電阻聯(lián)接而成載流導線和門框形支架在同一豎直平面內(nèi)另一質(zhì)量成載流導線和門框形支架在同一豎直平面內(nèi)另一質(zhì)量為為m的長為的長為l的金屬桿的金屬桿ab可以在支架上無摩擦地滑動將可以在支架上無摩擦地滑動將ab從靜止釋放（幾何尺寸如圖，回路中的電阻為從靜止釋放

28、（幾何尺寸如圖，回路中的電阻為R） 求求 某一速度某一速度 (1) ab上的感應(yīng)電動勢上的感應(yīng)電動勢 (2) ab上的電流上的電流 (3) ab所能達到的最大速度所能達到的最大速度 vRHarbin Engineering University孫秋華孫秋華解：解：)211(20rlcrIBlccabrBvd)ln(ln20clcclcIvclcIln0vclcRIvRIabiln0Harbin Engineering University孫秋華孫秋華lccirBImgFdRclcImgv20)ln(tmRclcImgdd)ln(20vvvvv020)ln(dmRclcIgtt0d2020)ln

29、()ln(exp1clcImRmRclcIgtvvmax 202)ln(clcImgRHarbin Engineering University孫秋華孫秋華作業(yè)作業(yè) 83.有一很長的長方的有一很長的長方的U形導軌，與水平面成形導軌，與水平面成 角，裸角，裸導線導線ab可在導軌上無摩擦地下滑，導軌位于磁感應(yīng)強度為可在導軌上無摩擦地下滑，導軌位于磁感應(yīng)強度為B豎直向上的均勻磁場中，如圖所示設(shè)導線豎直向上的均勻磁場中，如圖所示設(shè)導線ab的質(zhì)量為的質(zhì)量為m，電阻為，電阻為R，長度為，長度為l，導軌的電阻略去不計，導軌的電阻略去不計，abcd形成形成電路，電路，t =0時，時，v =0. 試求：導線試求

30、：導線ab下滑的速度下滑的速度v與時間與時間t的的函數(shù)關(guān)系函數(shù)關(guān)系 abcdlBHarbin Engineering University孫秋華孫秋華解解:cosBlivcosRBlRIiivBlRcosBlBlIFivtdvdmcosBlRcosvBlsinmgmRcosvlBsingvdtd222Harbin Engineering University孫秋華孫秋華singA )/(cos222mRlBc)/(ddvvcAtvvvvvv000)d(1dcAcAccAdttAcActvln1)e1 (cossin)e1 (222ctctlBmgRcAvHarbin Engineering U

31、niversity孫秋華孫秋華 電磁場其他物理量的計算電磁場其他物理量的計算作業(yè)作業(yè)88一個半徑為一個半徑為0.01m，長為，長為0.10m的長直密繞螺線的長直密繞螺線管，共管，共1000匝線圈，總電阻為匝線圈，總電阻為7.76 。求：（。求：（1）如把線）如把線圈接到電動勢為圈接到電動勢為2.0V的電池上，電流穩(wěn)定后，線圈中所的電池上，電流穩(wěn)定后，線圈中所儲存的磁能有多少？磁能密度是多少？（儲存的磁能有多少？磁能密度是多少？（2）從接通電）從接通電路時算起，要使線圈儲存磁能為最大儲存磁能的一半，路時算起，要使線圈儲存磁能為最大儲存磁能的一半，需經(jīng)過多少時間？需經(jīng)過多少時間？作業(yè)作業(yè)89充了電的由半徑為充了電的由半徑為r的兩塊圓板組成的平板電的兩塊圓板組成的平板電容器，在放電時容