蒙特卡羅方法 (Monte Carlo simulation)

1、引言引言(introduction)均勻隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生均勻隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生(Random number generation)任意分布的隨機(jī)變量的抽樣任意分布的隨機(jī)變量的抽樣Monte Carlo積分法積分法常用常用Monte Carlo模擬軟件的使用模擬軟件的使用2022-6-171Monte Carlo模擬第一章第一章 引言引言（Introduction)2022-6-172Monte Carlo模擬2022-6-173Monte Carlo模擬亦稱統(tǒng)計(jì)模擬方法（亦稱統(tǒng)計(jì)模擬方法（statistical simulation method）一種采用統(tǒng)計(jì)抽樣理論近似地求解物理或數(shù)學(xué)問(wèn)一種采用統(tǒng)計(jì)抽

2、樣理論近似地求解物理或數(shù)學(xué)問(wèn)題的方法題的方法2022-6-174Monte Carlo模擬建立與待解問(wèn)題相似或相關(guān)聯(lián)的概率模型或概率過(guò)程，建立與待解問(wèn)題相似或相關(guān)聯(lián)的概率模型或概率過(guò)程，利用這種相似性把概率模型的某些特征量與待求解問(wèn)題利用這種相似性把概率模型的某些特征量與待求解問(wèn)題的解聯(lián)系起來(lái)：的解聯(lián)系起來(lái)：概率模型：概率模型：待求解問(wèn)題的解：待求解問(wèn)題的解：隨機(jī)事件的概率隨機(jī)事件的概率定積分的值定積分的值隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望值隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望值微分方程的解微分方程的解對(duì)概率模型進(jìn)行隨機(jī)模擬或統(tǒng)計(jì)抽樣，用所得樣本得到對(duì)概率模型進(jìn)行隨機(jī)模擬或統(tǒng)計(jì)抽樣，用所得樣本得到這些特征量的估計(jì)值這些特征量的

3、估計(jì)值問(wèn)題的近似解問(wèn)題的近似解第一章第一章 引言引言（Introduction)2022-6-175Monte Carlo模擬2022-6-176Monte Carlo模擬1768年，法國(guó)數(shù)學(xué)家年，法國(guó)數(shù)學(xué)家Comte de Buffon利用投針實(shí)驗(yàn)估利用投針實(shí)驗(yàn)估計(jì)計(jì) 的值的值dLp2dL2022-6-177Monte Carlo模擬Problem of Buffons needle:If a needle of length l is dropped at random on the middle of a horizontal surface ruled with parallel li

4、nes a distance d l apart, what is the probability that the needle will cross one of the lines?2022-6-178Monte Carlo模擬Solution: The positioning of the needle relative to nearby lines can be described with a random vector which has components:),0),0dA The random vector is uniformly distributed on the

5、region 0,d)0,). Accordingly, it has probability density function 1/d. The probability that the needle will cross one of the lines is given by the integraldldAdpld20sin01 2022-6-179Monte Carlo模擬 1930年年,利用利用Monte Carlo方法研究中子的擴(kuò)散方法研究中子的擴(kuò)散 并設(shè)計(jì)了一個(gè)并設(shè)計(jì)了一個(gè)Monte Carlo機(jī)械裝置，機(jī)械裝置，F(xiàn)ermiac,用于計(jì)算核用于計(jì)算核反應(yīng)堆的臨界狀態(tài)反應(yīng)堆的臨界

6、狀態(tài)2022-6-1710Monte Carlo模擬S. Ulam is credited as the inventor of Monte Carlo method in 1940s, which solves mathematical problems using statistical sampling.2022-6-1711Monte Carlo模擬The algorithm by Metropolis (and A Rosenbluth, M Rosenbluth, A Teller and E Teller, 1953) has been cited as among the to

7、p 10 algorithms having the greatest influence on the development and practice of science and engineering in the 20th century. 2022-6-1712Monte Carlo模擬Metropolis coined the name “Monte Carlo”, from its gambling Casino.Monte-Carlo, Monaco第一章第一章 引言引言（Introduction)2022-6-1713Monte Carlo模擬2022-6-1714Mont

8、e Carlo模擬Monte Carlo模擬的應(yīng)用：模擬的應(yīng)用：自然現(xiàn)象的模擬：自然現(xiàn)象的模擬：宇宙射線在地球大氣中的傳輸過(guò)程；宇宙射線在地球大氣中的傳輸過(guò)程；高能物理實(shí)驗(yàn)中的核相互作用過(guò)程；高能物理實(shí)驗(yàn)中的核相互作用過(guò)程；實(shí)驗(yàn)探測(cè)器的模擬實(shí)驗(yàn)探測(cè)器的模擬數(shù)值分析：數(shù)值分析：利用利用Monte Carlo方法求積分方法求積分2022-6-1715Monte Carlo模擬Monte Carlo模擬在物理研究中的作用模擬在物理研究中的作用2022-6-1716Monte Carlo模擬注意以下兩點(diǎn)：注意以下兩點(diǎn)：qMonte Carlo方法與數(shù)值解法的不同方法與數(shù)值解法的不同:Monte Car

9、lo方法利用隨機(jī)抽樣的方法來(lái)求解物理方法利用隨機(jī)抽樣的方法來(lái)求解物理問(wèn)題問(wèn)題;數(shù)值解法數(shù)值解法:從一個(gè)物理系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型出發(fā)從一個(gè)物理系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型出發(fā),通過(guò)通過(guò)求解一系列的微分方程來(lái)的導(dǎo)出系統(tǒng)的未知狀態(tài)求解一系列的微分方程來(lái)的導(dǎo)出系統(tǒng)的未知狀態(tài);qMonte Carlo方法并非只能用來(lái)解決包含隨機(jī)的過(guò)程的問(wèn)題方法并非只能用來(lái)解決包含隨機(jī)的過(guò)程的問(wèn)題:許多利用許多利用Monte Carlo方法進(jìn)行求解的問(wèn)題中并不包含隨方法進(jìn)行求解的問(wèn)題中并不包含隨機(jī)過(guò)程機(jī)過(guò)程 例如例如:用用Monte Carlo方法計(jì)算定積分方法計(jì)算定積分. 對(duì)這樣的問(wèn)題可將其轉(zhuǎn)換成相關(guān)的隨機(jī)過(guò)程對(duì)這樣的問(wèn)題可將其轉(zhuǎn)換成相關(guān)

10、的隨機(jī)過(guò)程, 然后用然后用Monte Carlo方法進(jìn)行求解方法進(jìn)行求解第一章第一章 引言引言（Introduction)2022-6-1717Monte Carlo模擬2022-6-1718Monte Carlo模擬Monte Carlo模擬的步驟：模擬的步驟：根據(jù)欲研究的物理系統(tǒng)的性質(zhì)，建立能夠描述該系統(tǒng)特性根據(jù)欲研究的物理系統(tǒng)的性質(zhì)，建立能夠描述該系統(tǒng)特性的理論模型，導(dǎo)出該模型的某些特征量的概率密度函數(shù)；的理論模型，導(dǎo)出該模型的某些特征量的概率密度函數(shù)；從概率密度函數(shù)出發(fā)進(jìn)行隨機(jī)抽樣，得到特征量的一些模從概率密度函數(shù)出發(fā)進(jìn)行隨機(jī)抽樣，得到特征量的一些模擬結(jié)果；擬結(jié)果；對(duì)模擬結(jié)果進(jìn)行分析總

11、結(jié)，預(yù)言物理系統(tǒng)的某些特性。對(duì)模擬結(jié)果進(jìn)行分析總結(jié)，預(yù)言物理系統(tǒng)的某些特性。2022-6-1719Monte Carlo模擬Monte Carlo算法的主要組成部分算法的主要組成部分概率密度函數(shù)概率密度函數(shù)(pdf)隨機(jī)數(shù)產(chǎn)生器隨機(jī)數(shù)產(chǎn)生器抽樣規(guī)則抽樣規(guī)則模擬結(jié)果記錄模擬結(jié)果記錄記錄一些感興趣的量的模擬結(jié)果記錄一些感興趣的量的模擬結(jié)果如何從在區(qū)間如何從在區(qū)間0,1上均勻分布的隨機(jī)數(shù)出發(fā)上均勻分布的隨機(jī)數(shù)出發(fā),隨機(jī)抽隨機(jī)抽取服從給定的取服從給定的pdf的隨機(jī)變量的隨機(jī)變量;能夠產(chǎn)生在區(qū)間能夠產(chǎn)生在區(qū)間0,1上均勻分布的隨機(jī)數(shù)上均勻分布的隨機(jī)數(shù)必須給出描述一個(gè)物理系統(tǒng)的一組概率密度函數(shù)必須給出描述一個(gè)物理系統(tǒng)的一組概率密度函數(shù);2022-6-1720Monte