第1章信號及其描述

1、第第1 1章章 信號及其描述信號及其描述第第1 1節(jié)節(jié) 信號及其描述方法信號及其描述方法第第2 2節(jié)節(jié) 周期信號與離散頻譜周期信號與離散頻譜第第3 3節(jié)節(jié) 瞬變非周期信號與連續(xù)頻譜瞬變非周期信號與連續(xù)頻譜 第第1 1章章 信號及其描述信號及其描述本章重點：本章重點：1 1、信號的定義及分類。、信號的定義及分類。2 2、信號的時域描述和頻域描述。、信號的時域描述和頻域描述。3 3、周期信號的傅里葉級數(shù)展開。、周期信號的傅里葉級數(shù)展開。4 4、傅里葉變換及其性質(zhì)。、傅里葉變換及其性質(zhì)。5 5、典型信號的頻譜。、典型信號的頻譜。第第1 1節(jié)節(jié) 信號及其描述方法信號及其描述方法一、信號的定義一、信號的

2、定義 蘊含著信息，且能傳輸信息的物理量稱之為信號。蘊含著信息，且能傳輸信息的物理量稱之為信號。它是隨時間變化的函數(shù)。它是隨時間變化的函數(shù)。二、信號的數(shù)學(xué)模型二、信號的數(shù)學(xué)模型 在測試技術(shù)中，將信號抽象為某個變量的函數(shù)關(guān)系，在測試技術(shù)中，將信號抽象為某個變量的函數(shù)關(guān)系，如時間函數(shù)如時間函數(shù)x(t)、頻率函數(shù)、頻率函數(shù)X(f)等，從數(shù)學(xué)上加以分析等，從數(shù)學(xué)上加以分析研究。研究。 信號的數(shù)學(xué)描述通常稱為信號的數(shù)學(xué)模型，決定了信號的數(shù)學(xué)描述通常稱為信號的數(shù)學(xué)模型，決定了分析信號最適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法。分析信號最適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法。（以后講述中，信號與函數(shù)是同等概念）（以后講述中，信號與函數(shù)是同等概念）三三 信號

3、的分類信號的分類 1 1、確定性信號與非確定性信號（隨機(jī)信號）、確定性信號與非確定性信號（隨機(jī)信號） 可以用明確的數(shù)學(xué)關(guān)系式或圖表描述的信號稱為可以用明確的數(shù)學(xué)關(guān)系式或圖表描述的信號稱為確定性信號；反之，不能用數(shù)學(xué)關(guān)系式或圖表描述，確定性信號；反之，不能用數(shù)學(xué)關(guān)系式或圖表描述，所描述的物理現(xiàn)象是隨機(jī)過程的信號稱為隨機(jī)信號。所描述的物理現(xiàn)象是隨機(jī)過程的信號稱為隨機(jī)信號。 隨機(jī)信號隨機(jī)信號三三 信號的分類信號的分類 2 2、周期信號和非周期信號、周期信號和非周期信號 確定性信號按信號隨時間的變化是否具有確定性信號按信號隨時間的變化是否具有周期重復(fù)性，可被分為周期信號和非周期信號。周期重復(fù)性，可被分

4、為周期信號和非周期信號。 周期信號是按一定時間間隔周而復(fù)始重復(fù)周期信號是按一定時間間隔周而復(fù)始重復(fù)出現(xiàn)，無始無終的信號，可表達(dá)為：出現(xiàn)，無始無終的信號，可表達(dá)為： )()(0nTtxtx三三 信號的分類信號的分類 請判斷下面的信號是否屬于周期信號？請判斷下面的信號是否屬于周期信號？tttx2sinsin)(1tttx2sinsin)(2textxatsin)(03周期信周期信號號準(zhǔn)周期準(zhǔn)周期信號信號瞬變非周期信號準(zhǔn)周期信號準(zhǔn)周期信號：由兩種以上的周期信號合成，：由兩種以上的周期信號合成，其組成分量間無公共周期。其組成分量間無公共周期。瞬變非周期信號瞬變非周期信號：是非周期信號，但不屬于：是非周

5、期信號，但不屬于準(zhǔn)周期信號。準(zhǔn)周期信號。三三 信號的分類信號的分類衰減振動信號圖瞬變非周期信號(a)榔頭的敲擊力(b)纜繩斷裂時的應(yīng)力變化(c)熱電偶插入加熱爐的溫度的變化過程連續(xù)信號與離散信號連續(xù)信號與離散信號 若信號數(shù)學(xué)表達(dá)式中的獨立變量取值是連續(xù)的，若信號數(shù)學(xué)表達(dá)式中的獨立變量取值是連續(xù)的，則稱為連續(xù)信號。反之，若獨立變量取值離散，則稱則稱為連續(xù)信號。反之，若獨立變量取值離散，則稱為離散信號。如下圖所示：為離散信號。如下圖所示：模擬信號模擬信號：獨立變量和幅值均取連續(xù)值的信號。：獨立變量和幅值均取連續(xù)值的信號。數(shù)字信號數(shù)字信號：獨立變量和幅值均取離散值的信號。：獨立變量和幅值均取離散值的

6、信號。能量信號與功率信號能量信號與功率信號 n能量有限信號（能量信號）：當(dāng)能量有限信號（能量信號）：當(dāng) 滿足滿足 時，則認(rèn)為信號的能量是有限的。例如矩形脈沖信時，則認(rèn)為信號的能量是有限的。例如矩形脈沖信號、衰減指數(shù)函數(shù)等。號、衰減指數(shù)函數(shù)等。 n功率有限信號（功率信號）：信號在區(qū)間的能量是功率有限信號（功率信號）：信號在區(qū)間的能量是無限的，但在有限區(qū)間的平均功率是有限的，無限的，但在有限區(qū)間的平均功率是有限的，即即 t xdttx2dttttxtt212121四四 信號的描述方法信號的描述方法時域描述和頻域描述時域描述和頻域描述 1 1、時域描述、時域描述 直接觀察或記錄到的信號，一般是以時間

7、為獨立直接觀察或記錄到的信號，一般是以時間為獨立變量，反映的是信號幅值隨時間的變化關(guān)系，因而稱變量，反映的是信號幅值隨時間的變化關(guān)系，因而稱其為信號的時域描述。其為信號的時域描述。h h 2 2、頻域描述、頻域描述 在信號的研究過程中，有時要把信號變換成以頻在信號的研究過程中，有時要把信號變換成以頻率為獨立變量，由此來反映信號的頻率結(jié)構(gòu)和各頻率率為獨立變量，由此來反映信號的頻率結(jié)構(gòu)和各頻率成分與幅值、相位之間的關(guān)系，信號的這種描述方法成分與幅值、相位之間的關(guān)系，信號的這種描述方法稱之為頻域描述。稱之為頻域描述。 四四 信號的描述方法信號的描述方法 例：已知周期方波的時域描述如下所示：例：已知周

8、期方波的時域描述如下所示：時域描述時域描述四四 信號的描述方法信號的描述方法 例：若將周期方波用傅里葉級數(shù)展開，則：例：若將周期方波用傅里葉級數(shù)展開，則：頻域頻域描述描述四四 信號的描述方法信號的描述方法四四 信號的描述方法信號的描述方法周期信號是簡諧信號的 疊加。snsfTtnntx22 )sin(14)(s1x(t)x(t)是以是以T T為周期的方波函數(shù)，則其付立葉級數(shù)表示為：為周期的方波函數(shù)，則其付立葉級數(shù)表示為：基波（1次諧波）3次諧波5次諧波7次諧波信號展開的意義以以T T為周期的方波的正弦諧波疊加圖形演示：為周期的方波的正弦諧波疊加圖形演示：1次諧波1、3次諧波1、3、5次諧波1、

9、3、5、19次諧波1、3、5、39次諧波1、3、5、199次諧波1、3、5、1999次諧波四四 信號的描述方法信號的描述方法幅頻譜、相頻譜幅頻譜、相頻譜須同時存在！須同時存在！幅頻譜幅頻譜相頻譜相頻譜側(cè)重側(cè)重點點時域描述和頻域描述的區(qū)別與聯(lián)系時域描述和頻域描述的區(qū)別與聯(lián)系時域描述與頻域描述的區(qū)別區(qū)別：1.自變量不同；2.側(cè)重點不同；3.數(shù)學(xué)表達(dá)式和圖形表示方法不同；時域描述與頻域描述的聯(lián)系聯(lián)系： 時域描述與頻域描述是一一對應(yīng)的，包時域描述與頻域描述是一一對應(yīng)的，包含相同的信息量，借助傅里葉級數(shù)含相同的信息量，借助傅里葉級數(shù)(或變換或變換)可以互相轉(zhuǎn)換。可以互相轉(zhuǎn)換。四四 信號的描述方法信號的描

10、述方法第第2 2節(jié)節(jié) 周期信號與離散頻譜周期信號與離散頻譜一、周期信號及其時域描述一、周期信號及其時域描述二、周期信號的頻域展開二、周期信號的頻域展開三、周期信號頻譜的特點三、周期信號頻譜的特點 周期信號是指經(jīng)過一定時間可以重復(fù)出現(xiàn)的信號，周期信號是指經(jīng)過一定時間可以重復(fù)出現(xiàn)的信號，函數(shù)關(guān)系滿足條件：函數(shù)關(guān)系滿足條件：x ( t ) = x ( t + nT ) 式中：式中：T周期，周期，T=2/0； 0基頻；基頻； n=0,1, 。 例如，下面是一個例如，下面是一個50Hz50Hz正弦波信號正弦波信號10sin(250t)的的波形，信號周期為波形，信號周期為1/50=0.02秒。秒。 一一

11、周期信號及其時域描述周期信號及其時域描述機(jī)械系統(tǒng)中，回轉(zhuǎn)體不平衡引起的振動，往往也是一機(jī)械系統(tǒng)中，回轉(zhuǎn)體不平衡引起的振動，往往也是一種周期性運動。例如，下圖是某鋼廠減速機(jī)上測得的種周期性運動。例如，下圖是某鋼廠減速機(jī)上測得的振動信號波形振動信號波形( (測點測點3)3)，也可以近似地看作為周期信號。，也可以近似地看作為周期信號。 一一 周期信號及其時域描述周期信號及其時域描述 周期信號在滿足狄里赫利（周期信號在滿足狄里赫利（DirichletDirichlet）條件的情）條件的情況下，可以展開成三角函數(shù)集（況下，可以展開成三角函數(shù)集（ ）或復(fù)指數(shù)函數(shù)集（或復(fù)指數(shù)函數(shù)集（ ）的傅里葉級數(shù)，由此可

12、得）的傅里葉級數(shù)，由此可得到對應(yīng)的周期信號在頻域的描述形式：到對應(yīng)的周期信號在頻域的描述形式： 1 1、傅里葉級數(shù)的三角函數(shù)展開式三角函數(shù)展開式 2 2、傅里葉級數(shù)的復(fù)指數(shù)函數(shù)展開式復(fù)指數(shù)函數(shù)展開式 tjne0tntn00cos,sin二二 周期信號的頻域展開周期信號的頻域展開函數(shù)在一個周期內(nèi)連續(xù)或只函數(shù)在一個周期內(nèi)連續(xù)或只有有限個第一類間斷點，并有有限個第一類間斷點，并且至多只有有限個極值點。且至多只有有限個極值點。滿足絕對可積條件。滿足絕對可積條件。級數(shù)的定義：級數(shù)的定義： 若給定一個數(shù)列若給定一個數(shù)列 ，那么由此，那么由此數(shù)列構(gòu)成的表達(dá)式數(shù)列構(gòu)成的表達(dá)式 稱稱為級數(shù)。為級數(shù)。 二二 周期

13、信號的頻域展開周期信號的頻域展開,321nuuuunuuuu321復(fù)指數(shù)函數(shù)展開式復(fù)指數(shù)函數(shù)展開式 三角函數(shù)展開式三角函數(shù)展開式 tntn00cos,sintjne0220022002200000000sin)(2cos)(2)(1TTnTTnTTtdtntxTbtdtntxTadttxTa其中：)sincos()(0100tnbtnaatxnnn1 1 傅里葉級數(shù)的三角函數(shù)展開式傅里葉級數(shù)的三角函數(shù)展開式常值分量余弦分量的幅值正弦分量的幅值將一個周期運動分解成許多不同頻率的簡諧運動。nnnnnnnnnbabatnsatxtanAinA)(22100其中：）（1 1 傅里葉級數(shù)的三角函數(shù)展開式

14、傅里葉級數(shù)的三角函數(shù)展開式在上式中，不能直觀地看到頻率與幅值、頻率與相位之間的關(guān)系。需要對上式變形。)arctan(cosA)(:100nnnnnnabtnatx）（或得：合并頻率相同的項，可是第n次諧波的幅值， 是第n次諧波的相位nAn例例1 1：若：若 ，求此周期性三角波的傅里葉級數(shù)。求此周期性三角波的傅里葉級數(shù)。1 1 傅里葉級數(shù)的三角函數(shù)展開式傅里葉級數(shù)的三角函數(shù)展開式20,202,2)(0000TttTAAtTtTAAtx解：此周期信號滿足狄里赫利條件，其傅里葉級數(shù)的三角函數(shù)展開式為：)sincos()(0100tnbtnaatxnnn其中，常值分量為：1 1 傅里葉級數(shù)的三角函數(shù)展

15、開式傅里葉級數(shù)的三角函數(shù)展開式220000)(1TTdttxTa2000020000)2(1)2(1TTdttTAATdttTAAT2A20020020200011TTTAtAtTTAtAtT1 1 傅里葉級數(shù)的三角函數(shù)展開式傅里葉級數(shù)的三角函數(shù)展開式 上述作法不是最簡，可利用函數(shù)的奇偶性的規(guī)律簡化求積分的過程。0)()()()(aadxxfxfxfxf，則為奇函數(shù)，即若aaadxxfdxxfxfxfxf0)(2)()()()(則，為偶函數(shù)，即若1 1 傅里葉級數(shù)的三角函數(shù)展開式傅里葉級數(shù)的三角函數(shù)展開式220000cos)(2TTntdtntxTa余弦分量的幅值：由于被積函數(shù)是偶函數(shù)，所以：

16、200000cos)2(4TntdtntTAATa200020000000)sin(2)sin(4TTntndtTAntndAT200002000020000000sin2sin2sin4TTTdtntnTAntntTAntnAT則：1 1 傅里葉級數(shù)的三角函數(shù)展開式傅里葉級數(shù)的三角函數(shù)展開式20200000)(cos2004TnntnTATa)2cos1 ()(18002020TnnTA)cos1 ()(22nnA, 6 , 4 , 2, 0, 5 , 3 , 1,422nnnA200T1 1 傅里葉級數(shù)的三角函數(shù)展開式傅里葉級數(shù)的三角函數(shù)展開式220000sin)(2TTntdtntxTb

17、正弦分量的幅值：由于被積函數(shù)是奇函數(shù)，所以：0nb因此，該周期函數(shù)的傅里葉級數(shù)展開式為：tttAAtx0202025cos513cos31cos42)(), 5 , 3 , 1(cos1421022ntnnAAn1 1 傅里葉級數(shù)的三角函數(shù)展開式傅里葉級數(shù)的三角函數(shù)展開式得三角波函數(shù)的幅值頻譜圖：得三角波函數(shù)的相位頻譜圖：24A 根據(jù)根據(jù) 的關(guān)系作出的圖形分別的關(guān)系作出的圖形分別稱為幅頻譜和相頻譜，統(tǒng)稱為頻譜。例如：稱為幅頻譜和相頻譜，統(tǒng)稱為頻譜。例如：1 1 傅里葉級數(shù)的三角函數(shù)展開式傅里葉級數(shù)的三角函數(shù)展開式nnA,1 1 傅里葉級數(shù)的三角函數(shù)展開式傅里葉級數(shù)的三角函數(shù)展開式三角波函數(shù)的幅

18、值頻譜圖：由三角波信號的幅值頻譜圖可以看出，此信號的諧波幅值隨著諧波次數(shù)的升高衰減得很快，第七次就已經(jīng)衰減為基波的1/49。若此信號作為干擾信號，需要經(jīng)過濾波器濾除掉，則濾波器的通頻帶的寬度要求要相應(yīng)窄一些。反之，若高次諧波幅值衰減較慢的信號就需要較寬的通頻帶。這樣才能減弱漏掉高次頻率成分帶來的失真。24A1 1 傅里葉級數(shù)的三角函數(shù)展開式傅里葉級數(shù)的三角函數(shù)展開式用傅里葉級數(shù)三角函數(shù)展開式表示周期信號的意義：1.1.周期信號由若干個不同的頻率成分疊加而成；周期信號由若干個不同的頻率成分疊加而成；2.2.反映各頻率成分與幅值相位的關(guān)系；反映各頻率成分與幅值相位的關(guān)系；3.3.通過幅值反映頻率成

19、分在信號中的比重。通過幅值反映頻率成分在信號中的比重。1 1 傅里葉級數(shù)的三角函數(shù)展開式傅里葉級數(shù)的三角函數(shù)展開式 周期信號的頻域分析不僅僅是為了研究信號本身，更重要的是作為選擇測試系統(tǒng)時的一個依據(jù)。 測試系統(tǒng)的各種轉(zhuǎn)換電路，如放大電路、濾波電路等，對可以通過的信號頻率都是有限制的，如果信號中含有測試系統(tǒng)通頻帶以外的頻率成分，那么信號在通過測試系統(tǒng)時，會由于這頻率成分的丟失而引起失真。1.傅里葉級數(shù)的三角函數(shù)展開式2.傅里葉級數(shù)的復(fù)指數(shù)函數(shù)展開式二二 周期信號的頻域展開周期信號的頻域展開基于周期函數(shù)都是幾個或多個簡諧信號的疊加?；谥芷诤瘮?shù)都是幾個或多個簡諧信號的疊加。由于復(fù)指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和積

20、分與其自身成比例，由于復(fù)指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和積分與其自身成比例，而且線性定常系統(tǒng)對復(fù)指數(shù)函數(shù)輸入量的響應(yīng)仍而且線性定常系統(tǒng)對復(fù)指數(shù)函數(shù)輸入量的響應(yīng)仍是復(fù)指數(shù)函數(shù)，所以復(fù)指數(shù)函數(shù)在某些場合下的是復(fù)指數(shù)函數(shù)，所以復(fù)指數(shù)函數(shù)在某些場合下的運算分析非常方便。因此，研究周期信號的復(fù)指運算分析非常方便。因此，研究周期信號的復(fù)指數(shù)函數(shù)展開式是很有意義的。數(shù)函數(shù)展開式是很有意義的。 2 2 傅里葉級數(shù)的復(fù)指數(shù)函數(shù)展開式傅里葉級數(shù)的復(fù)指數(shù)函數(shù)展開式 復(fù)指數(shù)函數(shù)展開式是傅里葉級數(shù)的另一種數(shù)學(xué)表達(dá)式，它是根據(jù)歐拉公式，由三角函數(shù)展開式變換而來的。 )1(sincosjtjtetj歐拉公式)sincos()(0100tn

21、btnaatxnnn傅里葉級數(shù)的三角函數(shù)展開式為 2 2 傅里葉級數(shù)的復(fù)指數(shù)函數(shù)展開式傅里葉級數(shù)的復(fù)指數(shù)函數(shù)展開式利用歐拉公式得：)(212sin2costjtjtjtjtjtjeejjeeteet將其代入三角函數(shù)展開式得：1000)(21)(21)(ntjnnntjnnnejbaejbaatx 2 2 傅里葉級數(shù)的復(fù)指數(shù)函數(shù)展開式傅里葉級數(shù)的復(fù)指數(shù)函數(shù)展開式令：00, )(21, )(21aCjbaCjbaCnnnnnn代入可得：dtetxTCneCtxeCeCCtxtjnTTnntjnnntjnntjnn00000022010)(1), 2, 1, 0()()(其中：即： 2 2 傅里葉級

22、數(shù)的復(fù)指數(shù)函數(shù)展開式傅里葉級數(shù)的復(fù)指數(shù)函數(shù)展開式一般情況下 是復(fù)數(shù)，可以寫成：nCnjnnInRneCjCCCnRnInnInRnCCCCCarctan22，其中：則： 圖是幅值頻率譜圖； 圖是相位頻率譜圖nCn 例如，時域的某一周期方波信號展開到頻域的復(fù)例如，時域的某一周期方波信號展開到頻域的復(fù)指數(shù)函數(shù)數(shù)學(xué)表達(dá)式如下所示：指數(shù)函數(shù)數(shù)學(xué)表達(dá)式如下所示： 2 2 傅里葉級數(shù)的復(fù)指數(shù)函數(shù)展開式傅里葉級數(shù)的復(fù)指數(shù)函數(shù)展開式 由由 ，根據(jù)，根據(jù) 的關(guān)系做出的圖形分別稱為幅頻譜和相頻譜，統(tǒng)稱為的關(guān)系做出的圖形分別稱為幅頻譜和相頻譜，統(tǒng)稱為頻譜。例如：頻譜。例如： 2 2 傅里葉級數(shù)的復(fù)指數(shù)函數(shù)展開式傅里

23、葉級數(shù)的復(fù)指數(shù)函數(shù)展開式njnneccnnc,1.1.相同之處相同之處不論用那種方法展開，都可以看到周期信號是由一個不論用那種方法展開，都可以看到周期信號是由一個或幾個、乃至無數(shù)多個不同頻率的諧波疊加而成的?；驇讉€、乃至無數(shù)多個不同頻率的諧波疊加而成的。2.2.不同之處不同之處(1)(1)頻率范圍頻率范圍三角函數(shù)展開式為：三角函數(shù)展開式為： 稱為單邊譜；稱為單邊譜；復(fù)指數(shù)函數(shù)展開式為：復(fù)指數(shù)函數(shù)展開式為： 稱為雙邊譜。稱為雙邊譜。(2)(2)幅值大小幅值大小: :三角函數(shù)展開式的幅值是復(fù)指數(shù)函數(shù)展三角函數(shù)展開式的幅值是復(fù)指數(shù)函數(shù)展開式幅值的開式幅值的2 2倍。即倍。即三角函數(shù)展開式和復(fù)指數(shù)函數(shù)

24、展開式的區(qū)別三角函數(shù)展開式和復(fù)指數(shù)函數(shù)展開式的區(qū)別00,21aCACnn但，0，三角函數(shù)展開式和復(fù)指數(shù)函數(shù)展開式的區(qū)別三角函數(shù)展開式和復(fù)指數(shù)函數(shù)展開式的區(qū)別三角函數(shù)展開式三角函數(shù)展開式復(fù)指數(shù)函數(shù)展開式復(fù)指數(shù)函數(shù)展開式n的取值范圍的取值范圍不同不同單邊譜雙邊譜同頻率諧波幅同頻率諧波幅值在量值上有值在量值上有確定的關(guān)系確定的關(guān)系幅頻譜圖幅頻譜圖0aAn0021aCACnn, 3, 2, 1, 0n, 3 , 2 , 1n 3 3 頻域圖形表示方法頻域圖形表示方法1.三角頻譜2.復(fù)指數(shù)頻譜 和 稱為幅相頻譜圖nCn 和 稱為實虛頻譜圖nRCnIC 和 稱為幅相頻譜圖nAn 2 2 傅里葉級數(shù)的復(fù)指數(shù)

25、函數(shù)展開式傅里葉級數(shù)的復(fù)指數(shù)函數(shù)展開式例3：試畫出一余弦函數(shù)及同頻率的正弦函數(shù)的幅相頻譜圖及實虛頻譜圖。解：根據(jù)歐拉公式得：)(21sin)(21cos000000tjtjtjtjeejteet 2 2 傅里葉級數(shù)的復(fù)指數(shù)函數(shù)展開式傅里葉級數(shù)的復(fù)指數(shù)函數(shù)展開式t0cost0sin00nRCnRCnRCnRCnICnICnICnIC2121212100000022由此可得：(a)余弦函數(shù)(b)正弦函數(shù) 1 1、離散性、離散性信號中的頻率取值是不連續(xù)的；信號中的頻率取值是不連續(xù)的； 2 2、諧波性、諧波性頻率取值都是基頻的整倍數(shù)；頻率取值都是基頻的整倍數(shù)； 3 3、收斂性、收斂性隨著頻率取值的增大

26、而幅值逐漸隨著頻率取值的增大而幅值逐漸 減小（幅頻譜）。減小（幅頻譜）。三三 周期信號頻譜的特點周期信號頻譜的特點注意注意：由于周期信號具有收斂：由于周期信號具有收斂性，因此在實際測量中可以不性，因此在實際測量中可以不考慮次數(shù)過高的諧波分量?？紤]次數(shù)過高的諧波分量。四四 周期信號的強(qiáng)度表述周期信號的強(qiáng)度表述px maxtxxpppx dttxTTx0001 dttxTxTrms00201 dttxTpTav00201 1）峰值峰值 峰值峰值 是信號可能出現(xiàn)的最大瞬時值，即是信號可能出現(xiàn)的最大瞬時值，即 峰峰-峰值峰值 是一個周期中最大瞬時值和最小瞬時值之差是一個周期中最大瞬時值和最小瞬時值之差

27、 2）絕對均值絕對均值 3）有效值有效值 4）平均功率平均功率第第3 3節(jié)節(jié) 瞬變非周期信號與連續(xù)頻譜瞬變非周期信號與連續(xù)頻譜一、非周期信號的傅里葉變換一、非周期信號的傅里葉變換二、傅里葉變換的性質(zhì)二、傅里葉變換的性質(zhì)三、典型函數(shù)的頻譜三、典型函數(shù)的頻譜1.對稱性；對稱性；2.時間尺度改變特性；時間尺度改變特性；3.時移頻移特性；時移頻移特性；4.卷積特性；卷積特性；1.矩形窗函數(shù)；矩形窗函數(shù)；2.單位脈沖函數(shù)；單位脈沖函數(shù)；一一 非周期信號的傅里葉變換非周期信號的傅里葉變換隨機(jī)信號隨機(jī)信號瞬變非周期信號瞬變非周期信號非周期信號的分類信號的分類信號的分類 請判斷下面的信號是否屬于周期信號？請判

28、斷下面的信號是否屬于周期信號？tttx2sinsin)(1tttx2sinsin)(2textxatsin)(03周期信周期信號號準(zhǔn)周期準(zhǔn)周期信號信號瞬變非周期信號準(zhǔn)周期信號準(zhǔn)周期信號：由兩種以上的周期信號合成，：由兩種以上的周期信號合成，其組成分量間無公共周期。其組成分量間無公共周期。瞬變非周期信號瞬變非周期信號：在非周期信號中，除了準(zhǔn)：在非周期信號中，除了準(zhǔn)周期信號之外的信號。周期信號之外的信號。信號的分類信號的分類衰減振動信號圖瞬變非周期信號(a)榔頭的敲擊力(b)纜繩斷裂時的應(yīng)力變化(c)熱電偶插入加熱爐的溫度的變化過程瞬變非周期信號的特點是：過程突然發(fā)生，持續(xù)時間有限。幾種典型的瞬變

29、非周期信號幾種典型的瞬變非周期信號(a)矩形脈沖信號矩形脈沖信號(b)指數(shù)衰減信號指數(shù)衰減信號(c) 衰減的自由振動信號衰減的自由振動信號(d)單一脈沖信號單一脈沖信號一一 非周期信號的傅里葉變換非周期信號的傅里葉變換 周期信號用傅里葉級數(shù)展開可進(jìn)行頻譜結(jié)構(gòu)分析，而瞬變非周期信號可視為周期信號的周瞬變非周期信號可視為周期信號的周期期T T趨于無窮大時的特殊情況趨于無窮大時的特殊情況。首先要以周期信號的傅里葉級數(shù)為基礎(chǔ)；其次要考慮由周期趨于無窮大時所帶來的一些變化。ntjntjnTTedtetxTtx0000)(1()(220一一 非周期信號的傅里葉變換非周期信號的傅里葉變換當(dāng)周期趨于無窮大時，

30、即：ntjntjnTTedtetxTtx0000)(1()(2200Td2000可記為極小值，T則：積分求和線；即離散譜線變成連續(xù)譜，002ndT一一 非周期信號的傅里葉變換非周期信號的傅里葉變換tjtjedtetxdtx)(2)(ntjntjnTTedtetxTtx0000)(1()(220dedtetxtjtj )(21dtetxXtj)()(令：deXtxtj)(21)(則：)(X)(tx和互稱為傅里葉變換對一一 非周期信號的傅里葉變換非周期信號的傅里葉變換可記為： 稱得到的 為 的傅里葉變換， 為 的傅里葉逆變換。)()(Xtx)()(XtxIFTFT)(X)(tx)(X)(tx 傅里

31、葉變換建立了時間域與頻率域之間的互換關(guān)系。一一 非周期信號的傅里葉變換非周期信號的傅里葉變換為簡化關(guān)系式，將 代入得：f2dtetxXtj)()(deXtxtj)(21)(dtetxfXftj2)()(傅里葉變換dfefXtxftj2)()(傅里葉逆變換dtetxfXftj2)()(傅里葉變換dfefXtxftj2)()(傅里葉逆變換dtetxfXftj2)()(傅里葉變換dfefXtxftj2)()(傅里葉逆變換一一 非周期信號的傅里葉變換非周期信號的傅里葉變換)()(txFfX也可記作：)()(1fXFtx也可記作：一一 非周期信號的傅里葉變換非周期信號的傅里葉變換由于 是實變量f的復(fù)函數(shù)

32、，故可寫成)()()(fjefXfX)(fX的連續(xù)相位譜；為信號的連續(xù)幅值譜；為信號式中：)()()()(txftxfX一一 非周期信號的傅里葉變換非周期信號的傅里葉變換例4：求矩形窗函數(shù) 的頻譜。2, 02, 1)(tttw解：該信號為瞬變非周期函數(shù)，應(yīng)用傅里葉變換。dtetwfWftj2)()(010222dteftj)(21ftjftjeefj一一 非周期信號的傅里葉變換非周期信號的傅里葉變換fffWsin)(:則)(21)sin(fjfjeejf據(jù)歐拉公式得：)(21)(ftjftjeefjfW上式中：sin)(sinc采樣函數(shù)的定義：一一 非周期信號的傅里葉變換非周期信號的傅里葉變換

33、上式中定義了一個新的函數(shù)，即：采樣函數(shù)sin)(sinc它是一個以 為周期的并隨 的增加而作衰減振蕩的偶函數(shù)，其值在 處為零，其相位在取正值時為零，在取負(fù)值時為 。其圖形如下所示：2), 2, 1(nn一一 非周期信號的傅里葉變換非周期信號的傅里葉變換)(sin)(fcfW可表示為：一一 非周期信號的傅里葉變換非周期信號的傅里葉變換 通過矩形窗函數(shù)的頻譜，可以看到一個在時域有限區(qū)間內(nèi)有值的信號，其頻率成分卻延伸至無限。 實際測試時，往往是在時域中截取信號的一段長度記錄。它就相當(dāng)于原信號與矩形窗函數(shù)的乘積，則其頻譜將是原信號頻譜與矩形窗函數(shù)頻譜的卷積，其結(jié)果是連續(xù)的、頻率無限延伸的頻譜。二二 傅

34、里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換的性質(zhì) 傅里葉變換是信號在時間域和頻率域之間進(jìn)行轉(zhuǎn)換的一種基本數(shù)學(xué)工具。 了解傅里葉變換的性質(zhì)可以簡化計算。 1.線性疊加性；線性疊加性； 2.對稱性；對稱性； 3.時間尺度改變特性；時間尺度改變特性； 4.時移和頻移特性；時移和頻移特性； 5.卷積特性。卷積特性。1 1 線性疊加性線性疊加性是常數(shù)，若212211,),()(),()(aafXtxfXtx)()()()(22112211fXafXatxatxa：則(1)齊次性：若信號x(t)乘以常數(shù)a，則頻譜函數(shù)X(f)也乘以常數(shù)a。(2)可加性：幾個信號之和的頻譜函數(shù)等于各個信號的頻譜函數(shù)之和。2 2 對稱性對稱性利

35、用已知的傅里葉變換對，可得出相應(yīng)函數(shù)的圖形。dfefXtxftj2)()(：證：由傅里葉逆變換知)()()()(fxtXfXtx則，若dfefXtxttftj2)()(得：替換用2 2 對稱性對稱性dtetXfxftftj2)()(互換得：與將)()(fxtX應(yīng)用這個性質(zhì)，利用已知的傅里葉變換對即可得出相應(yīng)的變換對。2 2 對稱性對稱性2 2 對稱性對稱性3 3 時間尺度改變特性時間尺度改變特性kdudtkutktu，則令:)0()(1)()()(kkfXkktxfXtx則，若dtektxktxFftj2)()(證：)(1)(1)()(2kfXkudeuxkktxFukfj3 3 時間尺度改變

36、特性時間尺度改變特性1k1k1字字/1秒秒2字字/1秒秒1字字/2秒秒3 3 時間尺度改變特性時間尺度改變特性時間尺度壓縮：時間尺度擴(kuò)展：1k1k相當(dāng)于磁帶的快放，這時信號的頻帶加寬，幅值壓低，雖然提高了處理信號的效率，但對儀器設(shè)備的要求較高；相當(dāng)于磁帶的慢放，這時信號的頻帶變窄，幅值增高，對儀器設(shè)備的要求可以降低，但處理信號的效率也隨之降低。4 4 時移頻移特性時移頻移特性 即把時域函數(shù)沿時間軸平移一個常數(shù)即把時域函數(shù)沿時間軸平移一個常數(shù)值值 ，則使其在頻域內(nèi)相應(yīng)地引起相角改，則使其在頻域內(nèi)相應(yīng)地引起相角改變量為變量為020)()()()(ftjefXttxfXtx則，若時移特性：0t02

37、ft4 4 時移頻移特性時移頻移特性 即把頻域函數(shù)沿頻率軸平移一個常數(shù)即把頻域函數(shù)沿頻率軸平移一個常數(shù)值值 ，則使其在時域內(nèi)時域信號為原信號，則使其在時域內(nèi)時域信號為原信號乘以相應(yīng)的因子乘以相應(yīng)的因子tfjetxffXfXtx020)()()()(則，若頻移特性：0ftfje024 4 時移頻移特性時移頻移特性020)()()()(ftjefXttxfXtx則，若時移特性：tfjetxffXfXtx020)()()()(則，若頻移特性：5 5 卷積特性卷積特性(1)(1)卷積的定義卷積的定義(2)(2)卷積的物理意義及作用卷積的物理意義及作用(3)(3)卷積特性卷積特性(1)(1)卷積的定義卷

38、積的定義)(1tx對于任意兩個函數(shù) 和 ，定義)(2txdtxx )()(21為函數(shù) 和 的卷積。記作：)(2tx)(1tx)(1tx)(2tx5 5 卷積特性卷積特性(2)(2)卷積的物理意義及作用卷積的物理意義及作用5 5 卷積特性卷積特性已知一個線性系統(tǒng)，初始條件為零 若已知系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)為 ，當(dāng)輸入為任意 時，則其輸出響應(yīng)為：)(tx)0)(, 0(tyt)(th)(*)()()()(0thtxdthxtyt)()()(1fHfXFty可記為：)(tg)(t)(tx)(th)(ty(a)可利用卷積定義，在傳遞函數(shù)未知的情況下，求解系統(tǒng)的輸出。(b)可求解系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。)(tg)(

39、t)(tx)(th)(ty)(*)()()()(0thtxdthxtyt5 5 卷積特性卷積特性時域卷積特性可解釋為：時間域兩信號卷積等于各自頻譜函數(shù)乘積的傅里葉逆變換。(3)(3)卷積特性卷積特性)()()()()()()()()()(),()(212121212211txtxfXfXfXfXtxtxfXtxfXtx則：若頻域卷積特性頻域卷積特性時域卷積特性時域卷積特性)()()()(2121fXfXtxtxF可寫為：5 5 卷積特性卷積特性卷積滿足下面定律：)()()()()(1221txtxtxtxa交換律：5 5 卷積特性卷積特性)()()()()()()(321321txtxtxtx

40、txtxb結(jié)合律：)()()()()()()()(3121321txtxtxtxtxtxtxc分配律： 一般情況下，卷積積分利用直接積分的方法計算是有困難的，但可利用卷積特性，將時間域中兩時間函數(shù)的卷積運算轉(zhuǎn)換成頻率域中相應(yīng)兩頻率函數(shù)的乘積運算。 因此，也可以說卷積是聯(lián)系時域因此，也可以說卷積是聯(lián)系時域和頻域分析的橋梁。和頻域分析的橋梁。5 5 卷積特性卷積特性三三 典型信號的頻域描述典型信號的頻域描述1.矩形窗函數(shù)的頻譜2.單位脈沖函數(shù)的頻譜3.正余弦函數(shù)的頻譜密度函數(shù)三三 典型信號的頻域描述典型信號的頻域描述1.矩形窗函數(shù)的頻譜三三 典型信號的頻域描述典型信號的頻域描述1.矩形窗函數(shù)的頻譜

41、 對于延續(xù)時間是無限長的信號，不可能對整個信號進(jìn)行記錄和處理，所以需要截斷，即只記錄其中有限時間長的一段。截斷就是將無限長的信號乘以有限寬的窗函數(shù)。)(*)()()(fWfXtwtx所得頻譜是原信號頻譜函數(shù)和采樣函所得頻譜是原信號頻譜函數(shù)和采樣函數(shù)的卷積。數(shù)的卷積。三三 典型信號的頻域描述典型信號的頻域描述2.單位脈沖函數(shù)的頻譜(1) 函數(shù)的定義(2) 函數(shù)的采樣性質(zhì)(3) 函數(shù)與其他函數(shù)的卷積(4) 函數(shù)的頻譜2 2 單位脈沖函數(shù)的頻譜單位脈沖函數(shù)的頻譜(1) 函數(shù)的定義 函數(shù)用來描述瞬間取得最大值的物理量，工程定義為：1)(0, 00,)(dttttt且式中積分為1，表示 函數(shù)所包圍的面積

42、為1，也是單位脈沖函數(shù)中“單位”的含義。2 2 單位脈沖函數(shù)的頻譜單位脈沖函數(shù)的頻譜 單位脈沖函數(shù)也可以理解為：在單位脈沖函數(shù)也可以理解為：在 時間內(nèi)激發(fā)一個矩形脈沖時間內(nèi)激發(fā)一個矩形脈沖 ，其面，其面積為積為1 1，當(dāng)，當(dāng) 時，時， 的極限稱為的極限稱為 函數(shù)，記為函數(shù)，記為 。)(tS)(t)(tS01)(lim)()(02, 02,1)(0dttSttStttS，且時，當(dāng)2 2 單位脈沖函數(shù)的頻譜單位脈沖函數(shù)的頻譜(2) 函數(shù)的采樣性質(zhì)dtttf)()(dttttf)()(0dttf)()0()0(fdttttf)()(00)(0tf2 2 單位脈沖函數(shù)的頻譜單位脈沖函數(shù)的頻譜(3) 函

43、數(shù)與其他函數(shù)的卷積)(*)(ttx)(txdtx)()(dtx)()( 在卷積運算的兩個函數(shù)中，有一個函數(shù)為 函數(shù)，則它們的卷積是一種最簡單的卷積積分。2 2 單位脈沖函數(shù)的頻譜單位脈沖函數(shù)的頻譜)(0ttxdttx)()(0)(*)(0tttxdttx)()(02 2 單位脈沖函數(shù)的頻譜單位脈沖函數(shù)的頻譜(4) 函數(shù)的頻譜對 函數(shù)進(jìn)行傅里葉變換得：dtetfftj2)()(10 e即：1)()(ft 函數(shù)具有頻域內(nèi)無限寬廣的頻譜，而且在所有頻段上都是等強(qiáng)度的，這種頻譜稱為均勻譜。2 2 單位脈沖函數(shù)的頻譜單位脈沖函數(shù)的頻譜 函數(shù)具有頻域內(nèi)無限寬廣的頻譜，而且在所有頻段上都是等強(qiáng)度的，這種頻譜稱為均勻譜。2 2 單位脈沖函數(shù)的頻譜單位脈沖函數(shù)的頻譜 單位脈沖函數(shù)的頻譜等幅性是