微積分冪級數(shù)PPT學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1微積分冪級數(shù)微積分冪級數(shù))()(limxsxsnn 函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的部分和余項(xiàng))()()(xsxsxrnn (x在收斂域上)0)(lim xrnn注意函數(shù)項(xiàng)級數(shù)在某點(diǎn)x的收斂問題,實(shí)質(zhì)上是數(shù)項(xiàng)級數(shù)的收斂問題.3.和函數(shù): )()()()(21xuxuxuxsn(定義域是?),(xsn第2頁/共36頁例例 1 1 求級數(shù)求級數(shù)nnnxn)11()1(1 的收斂域的收斂域.解由達(dá)朗貝爾判別法)()(lim1xuxunnn xnnn 111limx 11, 111)1( x當(dāng)當(dāng),20時(shí)時(shí)或或即即 xx原級數(shù)絕對收斂., 11 x第3頁/共36頁, 111)2( x當(dāng)當(dāng), 11 x,02時(shí)時(shí)即即

2、x原級數(shù)發(fā)散.,0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x 1)1(nnn級數(shù)級數(shù)收斂;,2時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x 11nn級數(shù)級數(shù)發(fā)散;)., 0)2,( 故故級級數(shù)數(shù)的的收收斂斂域域?yàn)闉? 1|1|)3( x當(dāng)當(dāng), 20 xx或或第4頁/共36頁1.定義:形形如如nnnxxa)(00 的的級級數(shù)數(shù)稱稱為為冪冪級級數(shù)數(shù). .,000nnnxax 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)其其中中na為為冪冪級級數(shù)數(shù)系系數(shù)數(shù).2.收斂性:,120 nnnxxxx例如級數(shù)例如級數(shù);,1收斂收斂時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x;,1發(fā)散發(fā)散時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x);1 , 1( 收斂域收斂域);, 11,( 發(fā)散域發(fā)散域第5頁/共36頁定理定理 1 (1 (AbelAbel 定理定理) )證明,

3、0lim0 nnnxa,)1(00收斂收斂 nnnxa第6頁/共36頁), 2 , 1 , 0(0 nMxann使使得得, 0 Mnnnnnnxxxaxa00 nnnxxxa00 nxxM0 ,1,00時(shí)時(shí)即即當(dāng)當(dāng) xxxx,00收收斂斂等等比比級級數(shù)數(shù)nnxxM ,0收收斂斂 nnnxa;0絕絕對對收收斂斂即即級級數(shù)數(shù) nnnxa第7頁/共36頁,)2(0時(shí)時(shí)發(fā)發(fā)散散假假設(shè)設(shè)當(dāng)當(dāng)xx 而而有有一一點(diǎn)點(diǎn)1x適適合合01xx 使使級級數(shù)數(shù)收收斂斂, ,則則級級數(shù)數(shù)當(dāng)當(dāng)0 xx 時(shí)時(shí)應(yīng)應(yīng)收收斂斂,這這與與所所設(shè)設(shè)矛矛盾盾.由(1)結(jié)論xo R R幾何說明收斂區(qū)域發(fā)散區(qū)域發(fā)散區(qū)域第8頁/共36頁如如

4、果果冪冪級級數(shù)數(shù) 0nnnxa不不是是僅僅在在0 x一一點(diǎn)點(diǎn)收收斂斂, ,也也不不是是在在整整個(gè)個(gè)數(shù)數(shù)軸軸上上都都收收斂斂, ,則則必必有有一一個(gè)個(gè)完完全全確確定定的的正正數(shù)數(shù)R存存在在, ,它它具具有有下下列列性性質(zhì)質(zhì): :當(dāng)當(dāng)Rx 時(shí)時(shí), ,冪冪級級數(shù)數(shù)絕絕對對收收斂斂; ;當(dāng)當(dāng)Rx 時(shí)時(shí),冪級數(shù)發(fā)散冪級數(shù)發(fā)散;當(dāng)當(dāng)RxRx 與與時(shí)時(shí), ,冪級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散冪級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散. .推論第9頁/共36頁定義: 正數(shù)R稱為冪級數(shù)的收斂半徑.冪級數(shù)的收斂域可能是, 0 R),RR ,(RR .,RR 規(guī)定, R問題如何求冪級數(shù)的收斂半徑?),(RR (1) 冪冪級級數(shù)數(shù)只只在在0 x

5、處處收收斂斂,( (2 2) ) 冪冪級級數(shù)數(shù)對對一一切切x都都收收斂斂, ,第10頁/共36頁定理定理 2 2 如果冪級數(shù)如果冪級數(shù) 0nnnxa的所有系數(shù)的所有系數(shù)0 na,設(shè)設(shè) nnnaa1lim (或或 nnnalim)(1) 則則當(dāng)當(dāng)0 時(shí)時(shí), 1R;(3) 當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí),0 R.(2) 當(dāng)當(dāng)0 時(shí)時(shí), R;證明應(yīng)應(yīng)用用達(dá)達(dá)朗朗貝貝爾爾判判別別法法對對級級數(shù)數(shù) 0nnnxannnnnxaxa11lim xaannn1lim ,x 第11頁/共36頁則則如如果果,0)1( ,1|時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x,|0收收斂斂級級數(shù)數(shù) nnnxa.0收收斂斂絕絕對對從從而而級級數(shù)數(shù) nnnxa,1|時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)

6、x.0 nnnxa發(fā)發(fā)散散從從而而級級數(shù)數(shù);1 R收斂半徑收斂半徑, 1lim11 xxaxannnnn 1lim11 xxaxannnnn 第12頁/共36頁, 0)2( 如果如果, 0 x,|0收收斂斂級級數(shù)數(shù) nnnxa.0收收斂斂絕絕對對從從而而級級數(shù)數(shù) nnnxa; R收斂半徑收斂半徑,)3( 如果如果, 0 x.0 nnnxa必必發(fā)發(fā)散散級級數(shù)數(shù). 0 R收斂半徑收斂半徑定理證畢.nnnnnxaxa11lim , 0nnnnnxaxa11lim ,第13頁/共36頁例2 求下列冪級數(shù)的收斂域:解)1(nnnaa1lim 1lim nnn1 1 R,1時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x,1時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x,)

7、1(1 nnn級級數(shù)數(shù)為為,11 nn級級數(shù)數(shù)為為該級數(shù)收斂該級數(shù)發(fā)散;)1()1(1nxnnn ;)()2(1 nnnx;!)3(1 nnnx.)21(2)1()4(1nnnnxn 第14頁/共36頁nnna limnn lim, , R級級數(shù)數(shù)只只在在0 x處處收收斂斂,nnnaa1lim 11lim nn, 0 , 0 R;)()2(1 nnnx;!)3(1 nnnx第15頁/共36頁nnnaa1lim 12lim nnn2 ,21 R,)1 , 0(,2121級級數(shù)數(shù)收收斂斂時(shí)時(shí)即即當(dāng)當(dāng) xx.)21(2)1()4(1nnnnxn ,0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x,11 nn級數(shù)為級數(shù)為,1時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)

8、x,)1(1 nnn級數(shù)為級數(shù)為發(fā)散收斂故收斂域?yàn)?0,1.第16頁/共36頁例例 3 3 求冪級數(shù)求冪級數(shù) 1122nnnx的收斂的收斂域域. 解 3523222xxx級數(shù)為級數(shù)為缺少偶次冪的項(xiàng)應(yīng)應(yīng)用用達(dá)達(dá)朗朗貝貝爾爾判判別別法法)()(lim1xuxunnn nnnnnxx22lim12112 ,212x 級數(shù)收斂, 1212 x當(dāng)當(dāng),2時(shí)時(shí)即即 x第17頁/共36頁, 1212 x當(dāng)當(dāng),2時(shí)時(shí)即即 x級數(shù)發(fā)散,2時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x,211 n級數(shù)為級數(shù)為,2時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x,211 n級數(shù)為級數(shù)為級數(shù)發(fā)散,級數(shù)發(fā)散,原級數(shù)的收斂域?yàn)?.2, 2( 第18頁/共36頁)()(00 nnnnnnxbx

9、a,0 nnnxc RRx, 1.代數(shù)運(yùn)算性質(zhì):(1) 加減法 00nnnnnnxbxa.0 nnnxc(其中 21,minRRR )nnnbac RRx, ,2100RRxbxannnnnn和和的收斂半徑各為的收斂半徑各為和和設(shè)設(shè) (2) 乘法(其中)0110bababacnnnn 第19頁/共36頁(3) 除法 00nnnnnnxbxa.0 nnnxc)0(0 nnnxb收斂域內(nèi)收斂域內(nèi)(相除后的收斂區(qū)間可能比原來兩級數(shù)的收斂區(qū)間小得多)2.和函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì):第20頁/共36頁 xnnnxdxxadxxs000)()(即即 00nxnndxxa.110 nnnxna(收斂半徑不變)第21頁

10、/共36頁 0)()(nnnxaxs即即 0)(nnnxa.11 nnnxna(收斂半徑不變)第22頁/共36頁例例 4 4 求求冪冪級數(shù)級數(shù) 11)1(nnnnx的和函數(shù)的和函數(shù). 解,)1()(11 nnnnxxs設(shè)和函數(shù)設(shè)和函數(shù)兩邊積分得)1ln()(0 xdttsx 11)()( nnxxs則則,11x 11 x易求得所給冪級數(shù)的收斂域?yàn)?1 , 1( 第23頁/共36頁,1時(shí)時(shí)又又 x,1)1(11收斂收斂 nnn).1ln()1(11xnxnnn )11( x),1ln()(xxs ),1ln()0()(xsxs 即即0)0( s而而.)1ln(在在該該處處連連續(xù)續(xù)且且x 111)

11、1(nnn.2ln？思考:第24頁/共36頁例例 5 5 求冪級數(shù)求冪級數(shù) 0)12(nnxn的和函數(shù)的和函數(shù). 解 0)12()(nnxnxs 002nnnnxnx 0112nnnnxnxxxxxx 11121| x 012nnnnxxxxxx 11)1(221|.)1(12 xxx思考: 1212nnn？.6第25頁/共36頁例例 6 6 求求 12)1(nnnn的和的和. 解,)1(1nnxnn 考慮冪級數(shù)考慮冪級數(shù)其收斂域 為 , 1)1()(nnxnnxs則則)(11 nnxx)1(2 xxx,)1(23xx 12)1(nnnn故故)21( s . 8 )1 , 1( 第26頁/共3

12、6頁2.冪級數(shù)的收斂性:收斂半徑R3.冪級數(shù)的運(yùn)算:運(yùn)算性質(zhì)1.函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的概念:第27頁/共36頁解:不一定.例,)(12 nnnxxf,)(11 nnnxxf,)1()(22 nnnxnxf它們的收斂半徑都是1,但它們的收斂域各是)1 , 1(),1 , 1,1 , 1 思考題 冪級數(shù)逐項(xiàng)求導(dǎo)后，收斂半徑不變，那么它的收斂域是否也不變？第28頁/共36頁補(bǔ)充題1. 求收斂域nnnnxnn)23(21 解nnnxn 13收斂半徑311 Rnnnxn 122收斂半徑212 R31),min(21 RRR,31時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x原級數(shù)成為 1) 1(nnnnnnn)32()1(12 收斂收斂收斂第29

13、頁/共36頁 11nn,31時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x原級數(shù)成為發(fā)散故收斂域?yàn)?31,31 12)32(1nnn發(fā)散收斂.求和函數(shù)nnxnn 121解所給冪級數(shù)的收斂域?yàn)?1 , 1( 第30頁/共36頁nnxnn 121 111nnnnxnnx 111nnnnnxxnx)(1 nnxx)1( xxx2)1(xx 1nnnxdxxxnn)(011 xdxx011)1ln(x 故)1ln()1 (1212xxxxnnnn )11( x第31頁/共36頁3.)1)(1(0斂域及和函數(shù)斂域及和函數(shù)收收求級數(shù)求級數(shù) nnxn解, 1)1)(1(0 Rxnnn斂半徑為斂半徑為的收的收, 111 x收斂域?yàn)槭諗坑驗(yàn)? 20 x即即則有則有設(shè)此級數(shù)的和函數(shù)為設(shè)此級數(shù)的和函數(shù)為),(xs 0)1)(1()(nnxnxs)1(01 nnx)1(11 xx)21( xx.)2(12x 第32頁/共36頁一、一、 求下列冪級數(shù)的收斂區(qū)間求下列冪級數(shù)的收斂區(qū)間: :1 1、 )2(424222nxxxn；2 2、 nnxnxx125222222；3 3、 122212nnnxn；4 4、)0,0(1 babaxnnnn. .練 習(xí) 題第33頁/共36頁二二、 利利用用逐逐項(xiàng)項(xiàng)求求導(dǎo)導(dǎo)或