線性方程與非線性方程的概述與運用ppt課件

1、線性方程與非線性方程與非線性方程的概線性方程的概述與運用述與運用q 問題背景和研討目的問題背景和研討目的u 解方程代數(shù)方程是最常見的數(shù)學(xué)問題之一，解方程代數(shù)方程是最常見的數(shù)學(xué)問題之一，也是眾多運用領(lǐng)域中不可防止的問題之一。也是眾多運用領(lǐng)域中不可防止的問題之一。u 求解普通非線性方程沒有通用的解析方法，但假設(shè) 在恣意給定的精度下，可以解出方程的近似解，那么 可以以為問題已可以處理，至少可以滿足實踐需求。u 本節(jié)主要引見一些有效的求解方程的數(shù)值方法：二分法，迭代法 牛頓法。同時要求大家學(xué)會如何利用Matlab 來求方程的近似解。2.6 非線性方程近似根非線性方程近似根相關(guān)概念相關(guān)概念0( )f x

2、 u 假設(shè)假設(shè) f(x) 是一次多項式，稱上面的方程為線性方程；是一次多項式，稱上面的方程為線性方程； 否那么稱之為非線性方程。否那么稱之為非線性方程。q 線性方程線性方程 與與 非線性方程非線性方程 0f x 問題：問題： 如何求延續(xù)的非線性方程如何求延續(xù)的非線性方程 實根的近似值。實根的近似值。根的隔離根的隔離 假設(shè)函數(shù)假設(shè)函數(shù) f(x) 在閉區(qū)間在閉區(qū)間a,b上延續(xù)，且上延續(xù)，且 f(a)f(b)0，那么，那么 f(x)在開區(qū)間在開區(qū)間 (a,b)內(nèi)內(nèi)至少存在一個根。經(jīng)過根的隔離，可假設(shè)此區(qū)間內(nèi)存在獨一根至少存在一個根。經(jīng)過根的隔離，可假設(shè)此區(qū)間內(nèi)存在獨一根 x*。1a1x2b2a2x3

3、b3a3x4b4a4x5a5x56ba6b6x1bq 根本思想根本思想二分法二分法將隔離區(qū)間進(jìn)展對分，判別出解在某個子區(qū)間內(nèi)，然將隔離區(qū)間進(jìn)展對分，判別出解在某個子區(qū)間內(nèi)，然后再對該子區(qū)間對分，依次類推，直到滿足給定的精后再對該子區(qū)間對分，依次類推，直到滿足給定的精度為止。度為止。q 適用范圍適用范圍求有根區(qū)間內(nèi)的求有根區(qū)間內(nèi)的 單根單根 或或 奇數(shù)重實根。奇數(shù)重實根。q 數(shù)學(xué)原理：介值定理數(shù)學(xué)原理：介值定理設(shè)設(shè) f(x) 在在 a, b 上延續(xù)，且上延續(xù)，且 f(a) f(b)0，那么由介值定，那么由介值定理可得，在理可得，在 (a, b) 內(nèi)至少存在一點內(nèi)至少存在一點 使得使得 f()=0

4、。001:,0,;Stepiaa bb預(yù) 定 精 度1211112 :, if 0,; else if 0,; else ,;iiiiiiiiiiiiiiiiStepxabfafxaa bxfbfxax bbxx break3:if,1,goto Step2; else .iiiStepbaiixx q 算法算法二分法二分法設(shè)方程在區(qū)間設(shè)方程在區(qū)間 a,b 內(nèi)延續(xù)，且內(nèi)延續(xù)，且 f(a)f(b)0，給定精度要，給定精度要求求 ，假設(shè)有，假設(shè)有 |f(x)| ，那么，那么 x 就是就是f(x) 在區(qū)間在區(qū)間 (a,b) 內(nèi)的內(nèi)的 近似根。近似根。q 收斂性分析收斂性分析二分法收斂性二分法收斂性=

5、*11111 11|()()()22 22nnnnnnxxbababa 設(shè)方程的根為設(shè)方程的根為 x* (an , bn ) ，又，又 ，所以，所以2nnabnx 0(n )根據(jù)上面的算法，我們可以得到一個每次減少一半的根據(jù)上面的算法，我們可以得到一個每次減少一半的區(qū)間序列區(qū)間序列 an , bn ，在，在 (an, bn ) 中含有方程的根。中含有方程的根。,( , ),.a bn預(yù)定精度初始區(qū)間為估計達(dá)到預(yù)定精度所需最少二分次數(shù)11()2nnxxba2log1ban二分法總是收斂的二分法總是收斂的u 二分法的收斂速度較慢二分法的收斂速度較慢u 通常用來給出根的一個通常用來給出根的一個u 較

6、為粗糙的近似。較為粗糙的近似。簡單迭代法簡單迭代法q 根本思想根本思想u 構(gòu)造構(gòu)造 f (x) = 0 的一個等價方程：的一個等價方程： ( )xx u 從某個初值從某個初值 x0 出發(fā)，構(gòu)造迭代格式出發(fā)，構(gòu)造迭代格式得到一個迭代序列得到一個迭代序列 0kkx 1()kkxx k = 0, 1, 2, . . (x) 的不動點的不動點f (x) = 0 x = (x)等價變換等價變換f (x) 的零點的零點 (x) 稱為迭代函數(shù)稱為迭代函數(shù)u 假設(shè)假設(shè) 收斂，即收斂，即 ，假設(shè)，假設(shè) (x) 延續(xù)，那延續(xù)，那么么q 收斂性分析收斂性分析迭代法的收斂性迭代法的收斂性 1limlim()limkk

7、kkkkxxx lim*kkxx *x( *)x kx*( *)xx ( *)0f x 即即注：假設(shè)得到的點列發(fā)散，那么迭代法失效！注：假設(shè)得到的點列發(fā)散，那么迭代法失效！迭代法的收斂性判據(jù)迭代法的收斂性判據(jù)定理2.1：全局收斂定理2.2：全局發(fā)散定理2.3：部分收斂與發(fā)散定理2.4：收斂速度q 定義：定義：迭代法收斂性判別迭代法收斂性判別假設(shè)存在假設(shè)存在 x* 的某個鄰域的某個鄰域 =(x*- , x* + ), 使使得對得對 x0 開場的迭代開場的迭代 xk+1 = (xk) 都收斂都收斂, 那么稱該迭代法在那么稱該迭代法在 x* 附近部分收斂。附近部分收斂。q 定理定理 1：設(shè)設(shè) (x)

8、 在某個鄰域在某個鄰域 內(nèi)延續(xù)，且對內(nèi)延續(xù)，且對 x 都有都有 | (x)| L 1, 那么迭代部分收斂。那么迭代部分收斂。迭代法收斂性判別迭代法收斂性判別10|* |1kkLxxxxL q 定理定理 2：設(shè)設(shè) ，且，且對對 x a, b，有，有 (x) a, b；對對 x a, b，有，有| (x)| L 1； 那么對那么對 x0 a, b ，由迭代，由迭代 xk+1 = (xk) 得到的點列都收斂全局收斂，且得到的點列都收斂全局收斂，且L 越小，迭代收斂越快越小，迭代收斂越快1,a bC收斂階收斂階為了進(jìn)一步研討收斂速度問題，引入階的概念：記 ，假設(shè) ( p=1時還要求0c1時稱為超線性收

9、斂。p越大收斂越快。*kkexx)(0lim1Npceepkkk牛頓迭代法牛頓迭代法()()()kkkf xfxxx令：令：1()0kP x 1()()kkkkf xxxfx ()0)kfx q 根本思想：根本思想：用線性方程來近似非線性方程，即采用線性化方法用線性方程來近似非線性方程，即采用線性化方法o( )()()()()kkkkf xf xfxxxxx u 設(shè)非線性方程設(shè)非線性方程 f (x)=0 , f (x) 在在 xk 處作處作 Taylor 展開展開( )P xq 牛頓迭代公式牛頓迭代公式k = 0, 1, 2, . . 牛頓迭代公式牛頓迭代公式q 牛頓法的優(yōu)點牛頓法的優(yōu)點q 牛

10、頓法是目前求解非線性方程牛頓法是目前求解非線性方程 (組組) 的主要方法的主要方法對于單重根迭代對于單重根迭代2階收斂，收斂速度較快，階收斂，收斂速度較快，特別是當(dāng)?shù)c充分接近準(zhǔn)確解時。特別是當(dāng)?shù)c充分接近準(zhǔn)確解時。q 牛頓法的缺陷牛頓法的缺陷l 對重根收斂速度只需線性收斂對重根收斂速度只需線性收斂l 對初值的選取很敏感，要求初值接近準(zhǔn)確解對初值的選取很敏感，要求初值接近準(zhǔn)確解在實踐計算中，假設(shè)要求高精度，可以先用其它方法在實踐計算中，假設(shè)要求高精度，可以先用其它方法如二分法獲得準(zhǔn)確解的一個粗糙近似，然后再用如二分法獲得準(zhǔn)確解的一個粗糙近似，然后再用牛頓法求解。牛頓法求解。牛頓迭代法大范圍

11、收斂性牛頓迭代法大范圍收斂性(2) , ( ),a bf xC設(shè)函數(shù)且滿足條件：1. ( ) ( )0;f a f b 2. , ,( )0;xa bfx 3.( , ),( )xa bfx 保號；4. ( ), ( ).abba ( )f xxxfx0 , ,2 , xa bNewtona b則對任意初值迭代法產(chǎn)生的迭代序列 階收斂到內(nèi)唯一單根。Matlab 解方程的函數(shù)解方程的函數(shù)roots(p)：多項式的一切零點，：多項式的一切零點，p 是多項式系數(shù)是多項式系數(shù)向量。向量。fzero(f,x0)：求：求 f=0 在在 x0 附近的根，附近的根，f 可可以運用以運用 inline、字符串、

12、或、字符串、或 ，但不能是方程或，但不能是方程或符號表達(dá)式！符號表達(dá)式！solve(f,x)：求方程關(guān)于指定自變量：求方程關(guān)于指定自變量x的解，的解， f 可以是用字符串表示的方程、符號表達(dá)式可以是用字符串表示的方程、符號表達(dá)式或符號方程；或符號方程； solve 也可解方程組也可解方程組(包含非線性包含非線性)； 得不到解析解時，給出數(shù)值解。得不到解析解時，給出數(shù)值解。Ab：解線性方程組：解線性方程組Ax=b。 其他其他 Matlab 相關(guān)函數(shù)相關(guān)函數(shù)g=diff(f,x)：求符號表達(dá)式：求符號表達(dá)式 f 關(guān)于關(guān)于 x 的導(dǎo)的導(dǎo)數(shù)數(shù)g=diff(f)：求符號表達(dá)式：求符號表達(dá)式 f 關(guān)于默許

13、變量的關(guān)于默許變量的導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)g=diff(f,x,n)：求：求 f 關(guān)于關(guān)于 x 的的 n 階導(dǎo)數(shù)階導(dǎo)數(shù)q diffl f 是符號表達(dá)式，也可以是字符串是符號表達(dá)式，也可以是字符串 l 默許變量由默許變量由 findsym(f,1) 確定確定 syms x syms x f=sin(x)+3 f=sin(x)+3* *x2; x2; g=diff(f,x) g=diff(f,x) g=diff(sin(x)+3 g=diff(sin(x)+3* *x2,x)x2,x)作業(yè)作業(yè)每題分別用兩種一步迭代法要求寫出迭代格式：1 Newton迭代法；2本人構(gòu)造的非牛頓切線或割線法迭代格式需討論收斂性 根

14、據(jù)迭代格式用計算機器求以下非線性方程的根：2(1) ( )sin , 4xf xx在區(qū)間內(nèi)的根，精確至小數(shù)點后2位。32(2) ( )491,1.5f xxx 在區(qū)間內(nèi)的根，精確至小數(shù)點后3位。迭代法的加速迭代法的加速1 1 ()()kkkkkxwxwx u 設(shè)迭代設(shè)迭代 xk+1 = (xk) ，第，第 k 步和第步和第 k+1 步得到步得到的的u 近似根分別為近似根分別為 xk 和和 (xk) ，令，令其中其中 wk 稱為加權(quán)系數(shù)或權(quán)重。得新迭代稱為加權(quán)系數(shù)或權(quán)重。得新迭代 xk+1 = (xk) 1( )()( )xw xwx u 加權(quán)系數(shù)加權(quán)系數(shù) wk 確實定：令確實定：令 (x)=0 得得11( )wx 11()kkwx Altken 迭代法迭代法q Altken迭代法迭代法用用 差商差商 近似近似 微商微商211*( *)()( )( *)xxxxxx u 設(shè)設(shè) x* 是方程的根，那么由微分中值定理可得是方程的根，那