矩陣及其運(yùn)算學(xué)習(xí)教案

1、會計學(xué)1矩陣矩陣(j zhn)及其運(yùn)算及其運(yùn)算第一頁，共40頁。一、矩陣一、矩陣(j zhn)(j zhn)二、矩陣二、矩陣(j zhn)(j zhn)的運(yùn)算的運(yùn)算第1頁/共39頁第二頁，共40頁。其中其中 表示有表示有航班航班始發(fā)地始發(fā)地ABCD目的地目的地 A B C D例例1 某航空公司在某航空公司在 A、B、C、D 四座城四座城市之間開辟了若干航線，四座城市之間市之間開辟了若干航線，四座城市之間的航班的航班(hn bn)圖如圖所示，箭頭從始圖如圖所示，箭頭從始發(fā)地指向目的地發(fā)地指向目的地.BACD城市城市(chngsh)間的航班圖情況常用表格來表示間的航班圖情況常用表格來表示:1.引例

2、引例第2頁/共39頁第三頁，共40頁。為了便于計算，把表中的為了便于計算，把表中的改成改成1，空白，空白(kngbi)地方填地方填上上0，就得到一個數(shù)表：，就得到一個數(shù)表：ABCD A B C D這個數(shù)表反映這個數(shù)表反映(fnyng)(fnyng)了四個城市之間交通聯(lián)接的情況了四個城市之間交通聯(lián)接的情況. .11111100000000第3頁/共39頁第四頁，共40頁。其中其中aij 表示工廠向第表示工廠向第 i 家商店家商店發(fā)送發(fā)送(f sn)第第 j 種貨物的數(shù)量種貨物的數(shù)量 例例2 某工廠生產(chǎn)四種貨物，它向三家商店發(fā)送的貨物數(shù)量可某工廠生產(chǎn)四種貨物，它向三家商店發(fā)送的貨物數(shù)量可用數(shù)表用數(shù)

3、表(sh bio)表示為：表示為：這四種貨物的單價及單件重量這四種貨物的單價及單件重量(zhngling)也可列成數(shù)表：也可列成數(shù)表： 其中其中bi 1 表示第表示第 i 種貨物的單價，種貨物的單價，bi 2 表示第表示第 i 種貨物的單件重量種貨物的單件重量 第4頁/共39頁第五頁，共40頁。稱為稱為(chn wi) m (chn wi) m 行行 n n 列矩陣，簡稱列矩陣，簡稱 m mn n 矩陣矩陣 記作記作 定義定義1 1 由由 mn 個數(shù)個數(shù) 排成排成的的 m 行行 n 列的數(shù)表列的數(shù)表(1,2,;1,2, )ijaim jn第5頁/共39頁第六頁，共40頁。元素是實(shí)數(shù)的矩陣元素是

4、實(shí)數(shù)的矩陣(j zhn)稱為實(shí)矩稱為實(shí)矩陣陣(j zhn)，元素元素(yun s)是復(fù)數(shù)的矩陣稱為復(fù)矩是復(fù)數(shù)的矩陣稱為復(fù)矩陣陣.這這 mn 個數(shù)稱為矩陣個數(shù)稱為矩陣(j zhn)A的元素，簡稱為元的元素，簡稱為元.簡記為簡記為()()m nijm nijAAaa第6頁/共39頁第七頁，共40頁。n行數(shù)不等于列數(shù)行數(shù)不等于列數(shù)n共有共有mn個元素個元素n本質(zhì)本質(zhì)(bnzh)上就是一個上就是一個數(shù)表數(shù)表n行數(shù)等于行數(shù)等于(dngy)列數(shù)列數(shù)n共有共有n2個元素個元素矩陣矩陣(j zhn)行列式行列式第7頁/共39頁第八頁，共40頁。（1）行數(shù)與列數(shù)都等于）行數(shù)與列數(shù)都等于 n 的矩陣，稱為的矩陣，

5、稱為 n 階方陣階方陣(fn zhn)可記作可記作 .（2）只有一行的矩陣）只有一行的矩陣 稱為行矩陣稱為行矩陣(或行向量或行向量) .只有一列的矩陣只有一列的矩陣 稱為列矩陣稱為列矩陣(或列向量或列向量) .（3）元素全是零的矩陣稱為零距陣可記作）元素全是零的矩陣稱為零距陣可記作 O .例如例如(lr)： 3. 特殊特殊(tsh)的矩陣的矩陣第8頁/共39頁第九頁，共40頁。（4）形如）形如 的方陣稱為對角矩陣的方陣稱為對角矩陣(j zhn) 當(dāng)當(dāng) 時，稱為數(shù)量矩陣時，稱為數(shù)量矩陣(j zhn). 特別地，方陣特別地，方陣 稱為單位矩陣稱為單位矩陣(j zhn)記作記作記作記作 12=n 第

6、9頁/共39頁第十頁，共40頁。4.4.同型矩陣同型矩陣(j zhn)(j zhn)與矩陣與矩陣(j (j zhn)zhn)相等相等（1） 兩個兩個(lin )矩陣的行數(shù)相等、列數(shù)相等時，稱為同型矩陣的行數(shù)相等、列數(shù)相等時，稱為同型矩陣矩陣.例如例如(lr)為同型矩陣為同型矩陣. .（2）兩個矩陣）兩個矩陣 與與 為同型矩陣，并且對應(yīng)為同型矩陣，并且對應(yīng) 元素相等，即元素相等，即 則稱矩陣則稱矩陣 A 與與 B 相等相等，記作，記作 A = B . .第10頁/共39頁第十一頁，共40頁。注：不同型的零矩陣是不相等注：不同型的零矩陣是不相等(xingdng)(xingdng)的的. . 矩陣之

7、間不能比較大小矩陣之間不能比較大小. .例如例如(lr) (lr) 第11頁/共39頁第十二頁，共40頁。例例3 某工廠生產(chǎn)四種貨物，它在上半年和下半年向三家商店某工廠生產(chǎn)四種貨物，它在上半年和下半年向三家商店(shngdin)發(fā)送貨物的數(shù)量可用數(shù)表表示：發(fā)送貨物的數(shù)量可用數(shù)表表示：試求：工廠在一年內(nèi)向試求：工廠在一年內(nèi)向(ni xin)各商店發(fā)送貨物的數(shù)量各商店發(fā)送貨物的數(shù)量 其中其中aij 表示上半年工廠向第表示上半年工廠向第 i 家家商店商店(shngdin)發(fā)送第發(fā)送第 j 種貨物的數(shù)量種貨物的數(shù)量其中其中cij 表示工廠表示工廠下半年下半年向第向第 i 家家商店發(fā)送第商店發(fā)送第 j

8、種貨物的數(shù)量種貨物的數(shù)量二、矩陣的運(yùn)算二、矩陣的運(yùn)算第12頁/共39頁第十三頁，共40頁。解：工廠在一年內(nèi)向各商店解：工廠在一年內(nèi)向各商店(shngdin)發(fā)送貨物的數(shù)量發(fā)送貨物的數(shù)量第13頁/共39頁第十四頁，共40頁。1. 矩陣矩陣(j zhn)的加法的加法定義定義2 2 設(shè)有兩個設(shè)有兩個(lin ) m(lin ) mn n 矩陣矩陣 A = (aij) A = (aij)，B = B = (bij) (bij) ，那么矩陣，那么矩陣 A A 與與 B B 的和記作的和記作 A AB B，規(guī)定為，規(guī)定為說明：只有說明：只有(zhyu)(zhyu)當(dāng)兩個矩陣是同型矩陣時，才能進(jìn)行加法運(yùn)算當(dāng)

9、兩個矩陣是同型矩陣時，才能進(jìn)行加法運(yùn)算. .第14頁/共39頁第十五頁，共40頁。知識點(diǎn)比較知識點(diǎn)比較(bjio)(bjio) 第15頁/共39頁第十六頁，共40頁。交交換換律律結(jié)結(jié)合合律律其其他他矩陣矩陣(j zhn)(j zhn)加法的運(yùn)算規(guī)律加法的運(yùn)算規(guī)律設(shè)設(shè) A A、B B、C C 是同型矩陣是同型矩陣(j zhn)(j zhn)設(shè)矩陣設(shè)矩陣(j zhn) A = (aij) ，記，記A = (aij)，稱為矩陣，稱為矩陣(j zhn) A 的負(fù)的負(fù)矩陣矩陣(j zhn)顯然顯然第16頁/共39頁第十七頁，共40頁。設(shè)工廠向某家商店發(fā)送四種設(shè)工廠向某家商店發(fā)送四種(s zhn)貨物各貨

10、物各 l 件，試求：工廠向該商件，試求：工廠向該商店發(fā)送第店發(fā)送第 j 種貨物的總值及總重量種貨物的總值及總重量例例4（續(xù)例（續(xù)例2）該廠所生產(chǎn)的貨物的單價）該廠所生產(chǎn)的貨物的單價(dnji)及單件重量可列成數(shù)表：及單件重量可列成數(shù)表：其中其中bi 1 表示第表示第 i 種貨物的單價種貨物的單價(dnji)，bi 2 表示第表示第 i 種貨物的單件重量種貨物的單件重量 第17頁/共39頁第十八頁，共40頁。解：工廠向該商店發(fā)送解：工廠向該商店發(fā)送(f sn)第第 j 種貨物的總值及總重量種貨物的總值及總重量其中其中bi 1 表示第表示第 i 種貨物的單價種貨物的單價(dnji)，bi 2 表示

11、第表示第 i 種貨物的單件重量種貨物的單件重量 第18頁/共39頁第十九頁，共40頁。2. 數(shù)與矩陣數(shù)與矩陣(j zhn)相乘相乘定義定義3 3 數(shù)數(shù) l l 與矩陣與矩陣(j zhn) A (j zhn) A 的乘積記作的乘積記作 l A l A 或或 A l A l ，規(guī)定，規(guī)定為為第19頁/共39頁第二十頁，共40頁。知識點(diǎn)比較知識點(diǎn)比較(bjio)(bjio)第20頁/共39頁第二十一頁，共40頁。結(jié)結(jié)合合律律分分配配律律備備注注數(shù)乘矩陣數(shù)乘矩陣(j zhn)(j zhn)的運(yùn)算規(guī)律的運(yùn)算規(guī)律設(shè)設(shè) A A、B B是同型矩陣是同型矩陣(j zhn)(j zhn)，l , m l , m

12、是數(shù)是數(shù)矩陣相加與數(shù)乘矩陣合起來矩陣相加與數(shù)乘矩陣合起來(q li)，統(tǒng)稱為矩陣的線性運(yùn)算，統(tǒng)稱為矩陣的線性運(yùn)算.第21頁/共39頁第二十二頁，共40頁。其中其中aij 表示工廠向第表示工廠向第 i 家商店家商店發(fā)送第發(fā)送第 j 種貨物種貨物(huw)的數(shù)量的數(shù)量 例例5（續(xù)例（續(xù)例2 ） 某工廠生產(chǎn)四種某工廠生產(chǎn)四種(s zhn)貨物，它向三家商店發(fā)送的貨物，它向三家商店發(fā)送的貨物數(shù)量可用數(shù)表表示為：貨物數(shù)量可用數(shù)表表示為：這四種貨物這四種貨物(huw)的單價及單件重量也可列成數(shù)表：的單價及單件重量也可列成數(shù)表： 其中其中bi 1 表示第表示第 i 種貨物的單價，種貨物的單價，bi 2 表示

13、第表示第 i 種貨物的單件重量種貨物的單件重量 試求：工廠向三家商店所發(fā)貨物的總值及總重量試求：工廠向三家商店所發(fā)貨物的總值及總重量 第22頁/共39頁第二十三頁，共40頁。解：解：以以 ci1， ci2 分別分別(fnbi)表示工廠向第表示工廠向第 i 家商店所發(fā)貨物的總值及家商店所發(fā)貨物的總值及總重量，其中總重量，其中 i = 1, 2, 3于是于是其中其中(qzhng)aij 表示工廠向第表示工廠向第 i 家商店家商店發(fā)送第發(fā)送第 j 種貨物的數(shù)量種貨物的數(shù)量 其中其中bi 1 表示第表示第 i 種貨物種貨物(huw)的單價，的單價，bi 2 表示第表示第 i 種貨物種貨物(huw)的單

14、件重量的單件重量 第23頁/共39頁第二十四頁，共40頁?？捎镁仃嚳捎镁仃?j zhn)表示為表示為一般一般(ybn)地，地，第24頁/共39頁第二十五頁，共40頁。3. 矩陣矩陣(j zhn)的乘法的乘法定義定義(dngy)4 (dngy)4 設(shè)設(shè) ， ，那么規(guī)定矩陣，那么規(guī)定矩陣 A A 與矩陣與矩陣 B B 的乘積是一個的乘積是一個 m mn n 矩陣矩陣 ，其中，其中并把此乘積并把此乘積(chngj)記作記作 C = AB 第25頁/共39頁第二十六頁，共40頁。例例6 6 設(shè)設(shè)則則第26頁/共39頁第二十七頁，共40頁。知識點(diǎn)比較知識點(diǎn)比較(bjio)(bjio)有意義有意義(yy)

15、.(yy).沒有沒有(mi (mi yu)yu)意義意義. .只有當(dāng)?shù)谝粋€矩陣的列數(shù)只有當(dāng)?shù)谝粋€矩陣的列數(shù)等于第二個矩陣的行數(shù)時等于第二個矩陣的行數(shù)時，兩個矩陣才能相乘，兩個矩陣才能相乘. .第27頁/共39頁第二十八頁，共40頁。例例7 7 結(jié)論：結(jié)論：（1 1）矩陣乘法）矩陣乘法(chngf)(chngf)不一定滿足交換律不一定滿足交換律. .（2 2）矩陣）矩陣 ，卻有，卻有 ，從而不能由從而不能由 得出得出 或或 的結(jié)論的結(jié)論第28頁/共39頁第二十九頁，共40頁。矩陣矩陣(j zhn)(j zhn)乘法的運(yùn)算規(guī)律乘法的運(yùn)算規(guī)律 (1)(1) 結(jié)合律結(jié)合律 (3)(3) 分配律分配律(

16、2) (2) 結(jié)合律結(jié)合律 （其中（其中(qzhng) l (qzhng) l 是數(shù)）是數(shù)）(4) (4) 單位矩陣在矩陣乘法中的作用單位矩陣在矩陣乘法中的作用(zuyng)(zuyng)類似于數(shù)類似于數(shù)1 1，即，即推論推論1 1 矩陣乘法不一定滿足交換律，但是數(shù)量陣矩陣乘法不一定滿足交換律，但是數(shù)量陣 EE 與任何同階方與任何同階方陣都是可交換的陣都是可交換的. .數(shù)量陣不同數(shù)量陣不同于對角陣于對角陣第29頁/共39頁第三十頁，共40頁。(5) 矩陣的冪矩陣的冪 若若 A 是是 n 階方陣階方陣(fn zhn)，定義，定義顯然顯然(xinrn)思考：下列思考：下列(xili)等式在什么時候

17、成立？等式在什么時候成立？A、B可交換時成立可交換時成立第30頁/共39頁第三十一頁，共40頁。4. 矩陣矩陣(j zhn)的轉(zhuǎn)置的轉(zhuǎn)置定義定義5 5 把矩陣把矩陣 A A 的行換成同序數(shù)的行換成同序數(shù)(xsh)(xsh)的列得到的新矩陣，叫做的列得到的新矩陣，叫做A A 的轉(zhuǎn)置矩陣，記作的轉(zhuǎn)置矩陣，記作AT .AT .例例第31頁/共39頁第三十二頁，共40頁。轉(zhuǎn)置矩陣轉(zhuǎn)置矩陣(j zhn)的運(yùn)算的運(yùn)算性質(zhì)性質(zhì)第32頁/共39頁第三十三頁，共40頁。例例8 8 已知已知解法解法(ji f)1第33頁/共39頁第三十四頁，共40頁。解法解法(ji f)2第34頁/共39頁第三十五頁，共40頁。

18、定義定義6 設(shè)設(shè) A 為為 n 階方陣，如果滿足階方陣，如果滿足 ，即，即那么那么 A 稱為稱為(chn wi)對稱矩陣對稱矩陣.如果滿足如果滿足 A = AT，那么，那么 A 稱為反對稱為反對(fndu)稱矩陣稱矩陣. 對稱對稱(duchn)矩陣矩陣 反對稱矩陣反對稱矩陣 第35頁/共39頁第三十六頁，共40頁。5. 方陣方陣(fn zhn)的行列式的行列式定義定義(dngy)7 (dngy)7 由由 n n 階方陣的元素所構(gòu)成的行列式，叫做方陣階方陣的元素所構(gòu)成的行列式，叫做方陣 A A 的行的行列式，記作列式，記作|A|A|或或detA.detA.運(yùn)算運(yùn)算(yn sun)性質(zhì)性質(zhì)定義定義8 8 設(shè)設(shè)A 是是 n 階階方陣，當(dāng)方陣，當(dāng)| |A|=0|=0時，稱時，稱A 為為奇異矩陣奇異矩陣（或（或退化矩陣退化矩陣）；）；當(dāng)當(dāng)| |A| |0 0時，稱時，稱A 為為非奇異矩陣非