經(jīng)濟(jì)學(xué)專業(yè)數(shù)學(xué)偏導(dǎo)數(shù)全微分配套課件

1、2022年年6月月20日星期一日星期一1第二節(jié) 偏導(dǎo)數(shù) 全微分 第六章第六章 一、偏導(dǎo)數(shù)一、偏導(dǎo)數(shù)二、高階偏導(dǎo)數(shù)二、高階偏導(dǎo)數(shù)三、全微分三、全微分 2022年年6月月20日星期一日星期一2一、偏導(dǎo)數(shù) 在一元函數(shù)中曾從研究函數(shù)的變化率引入了導(dǎo)數(shù)的概念， 對于多元函數(shù)也常常需要研究它的變化率. 由于多元函數(shù)的自變量不止一個(gè)，變化率也就會出現(xiàn)也就會出現(xiàn)各種不同的情況； 就二元函數(shù)z = f (x, y)而言， 當(dāng)點(diǎn)(x, y)沿各種不同的方向變動趨向于(x0, y0)時(shí)一般有不同的變化率. 我們先討論當(dāng)沿著平行于x 軸或y軸方向變動 （即一個(gè)自變量變化，而另一個(gè)自變量固定不變）時(shí)函數(shù)的變化率. 此時(shí)

2、，它們就是一元函數(shù)的變化率. 2022年年6月月20日星期一日星期一3),(yxfz 在點(diǎn)), (), (lim000yfyfx存在,00( , )(,)xzf x yxy在點(diǎn)對的偏導(dǎo)數(shù)，記為;),(00yxxz),(00yx的某鄰域內(nèi);),(00yxxfxx00 x則稱此極限為函數(shù)極限設(shè)函數(shù))(0 xf)()(00 xfxxfx0limxx00(,);xfxy;),(00yxxz0ddxxxy. ),(001yxf xyxfyxxfx),(),(lim000000),(dd0 xxyxfx00(,)xfxy注意注意:定義定義12022年年6月月20日星期一日星期一40),(dd0yyyxfy

3、 lim0y00(,)yfxy若函數(shù) z = f ( x , y ) 在域 D 內(nèi)每一點(diǎn) ( x , y ) 處對 x,xzxfxz則該偏導(dǎo)數(shù)稱為偏導(dǎo)函數(shù),也簡稱為偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù) ,1( , ),( , )xfx yf x y2( , ) ,( , )yfx yfx y) ,(0 xf),(0 xfy記為yy00y或 y 偏導(dǎo)數(shù)存在 ,yzyfyz同樣可定義對 y 的偏導(dǎo)數(shù)2022年年6月月20日星期一日星期一5( , , )xfx y z例如例如, 三元函數(shù) u = f (x , y , z) 在點(diǎn) (x , y , z) 處對 x 的 lim0 x), (zyf),(zyfxxx( , ,

4、)?yfx y z( , , )?zfx y zx偏導(dǎo)數(shù)定義為(請自己寫出請自己寫出)偏導(dǎo)數(shù)的概念可以推廣到二元以上的函數(shù) .2022年年6月月20日星期一日星期一600),(dd00 xxyxfxxfxxyy0),(yyyxfzxTM000),(dd00yyyxfyyfxxyy是曲線0),(xxyxfzyTM0在點(diǎn) M0 處的切線對 x 軸的斜率.在點(diǎn)M0 處的切線斜率.是曲線yxz0 xyToxT0y0M對 y 軸的二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義:2022年年6月月20日星期一日星期一7函數(shù)在某點(diǎn)各偏導(dǎo)數(shù)都存在,顯然例如例如, ,0,00,),(222222yxyxyxy

5、xyxfz0)0,(dd)0, 0(xxfxfx0), 0(dd)0, 0(yyfyfy00但在該點(diǎn)不一定連續(xù)不一定連續(xù).在上節(jié)已證 f (x , y) 在點(diǎn)(0 , 0)并不連續(xù)!注意：注意：2022年年6月月20日星期一日星期一8解解 2333( , )(5)5 210;xxfx yx yx yxy232222( , )(5)5315;yyfx yx yxyx y (0,1)0;xf 2(1, 2)15 1 ( 2)60.yf 1,yzyxxln .yzxxy2022年年6月月20日星期一日星期一9偏導(dǎo)數(shù)記號是一個(gè)求證:1pTTVVpTRVp證證:,VTRp ,pTRV ,RVpT pTT

6、VVp說明說明:(R 為常數(shù)) , Vp2VTRTVpRpTRVVpTR1不能看作分子與分母的商 !此例表明,整體記號,例例3 已知理想氣體的狀態(tài)方程2022年年6月月20日星期一日星期一10二、高階偏導(dǎo)數(shù)設(shè) z = f (x , y)在域 D 內(nèi)存在連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)( , ),( , )xyzzfx yfx yxy若這兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)仍存在偏導(dǎo)數(shù)，)(xz)(yzx )(xzy 22()( , )y yzzfx yyyy則稱它們是z = f ( x , y ) 的二階偏導(dǎo)數(shù) .按求導(dǎo)順序不同, 有下列四個(gè)二階偏導(dǎo)22xz( , );x xfx yyxz2( , )x yfx y2( , );y xzf

7、x yy x x數(shù):2022年年6月月20日星期一日星期一11例如，例如，z = f (x , y) 關(guān)于 x 的三階偏導(dǎo)數(shù)為3322)(xzxzxz = f (x , y) 關(guān)于 x 的 n 1 階偏導(dǎo)數(shù) , 再關(guān)于 y 的一階) (yyxznn1偏導(dǎo)數(shù)為11nnxz類似可以定義更高階的偏導(dǎo)數(shù).2022年年6月月20日星期一日星期一12解解 2238,zxxyx3248,zyx yy22268,zxyx216,zxyx y 216,zxyy x 2222128.zyxy2022年年6月月20日星期一日星期一13yxe22yxez2.23xyz解解 :xz22xz) ( 223xyzxxyzy

8、zxyz2yxz2 22 yz注意注意: :此處,22xyzyxz但這一結(jié)論并不總成立.yxe2yxe22yxe2yxe22yxe22yxe24的二階偏導(dǎo)數(shù)及 例例6 求函數(shù)2022年年6月月20日星期一日星期一14說明說明:函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的 , 故求初等函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)可以選擇方便的求導(dǎo)順序.因?yàn)槌醯群瘮?shù)的偏導(dǎo)數(shù)仍為初等函數(shù) ,而初等2022年年6月月20日星期一日星期一15內(nèi)容小結(jié)1. 偏導(dǎo)數(shù)的概念及有關(guān)結(jié)論偏導(dǎo)數(shù)的概念及有關(guān)結(jié)論 定義; 記號; 幾何意義 函數(shù)在一點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)存在函數(shù)在此點(diǎn)連續(xù) 混合偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)與求導(dǎo)順序無關(guān)2. 偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算方法偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算方法 求一點(diǎn)處偏導(dǎo)數(shù)的方法先

9、代后求先求后代利用定義 求高階偏導(dǎo)數(shù)的方法逐次求導(dǎo)法(與求導(dǎo)順序無關(guān)時(shí), 應(yīng)選擇方便的求導(dǎo)順序)2022年年6月月20日星期一日星期一16三、全微分引例引例: 設(shè)一塊長方形金屬薄片的長和寬分別為x、y，從而薄片的面積為Sx y ，金屬薄片受溫度變化的影響,x變到,xx長由y變到,yy 寬由則此薄片面xyAxyxx yy xyx y 積的增量為S()()xxyyxyxyyxx y 關(guān)于x 、y的線性主部當(dāng)22()()0 xy 時(shí)，是比的高階無窮小.故y xxSy 稱為函數(shù)S x y在點(diǎn)(x , y)的全微分全微分2022年年6月月20日星期一日星期一17定義定義 函數(shù) z = f ( x, y

10、)在定義域 D 的內(nèi)點(diǎn)( x , y ),(),(yxfyyxxfz可表示成, )(oyBxAz其中 A , B 不依賴于 x , y , 僅與 x , y 有關(guān)，稱為函數(shù)),(yxf在點(diǎn) (x, y) 的全微分全微分, 記作yBxAfz dd若函數(shù)在域 D 內(nèi)各點(diǎn)都可微,22)()(yx則稱函數(shù) f ( x, y ) 在點(diǎn)( x, y) 可微可微，處全增量全增量則稱此函數(shù)在在D 內(nèi)可微內(nèi)可微.A xB y 一般地，我們有二元函數(shù)全微分的定義。2022年年6月月20日星期一日星期一18全微分存在的條件),(),(yxfyyxxfz)()(lim0oyBxA函數(shù) z = f (x, y) 在點(diǎn)

11、(x, y) 可微可微),(lim00yyxxfyx得zyx00lim0),(yxf函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)連續(xù)即由微分定義 :(2) 偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)下面兩個(gè)定理給出了下面兩個(gè)定理給出了可微可微與與偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的關(guān)系的關(guān)系:(1) 函數(shù)可微偏導(dǎo)數(shù)存在 函數(shù)可微 2022年年6月月20日星期一日星期一19若函數(shù) z = f (x, y) 在點(diǎn)(x, y) 可微可微 ,則該函數(shù)在該點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)yzxz,yyzxxzzd), (), (yfyfzxxz同樣可證,Byzyyzxxzzd證證: 由全增量公式, )(oyBxAz,0y令)(xoxA必存在,且有得到對 x 的偏增量xxx因此有 xzxx0limA定理定理1(

12、必要條件必要條件)2022年年6月月20日星期一日星期一20反例反例: 函數(shù)),(yxf易知,0) 0, 0()0, 0(yxff 但)0, 0()0, 0(yfxfzyx因此,函數(shù)在點(diǎn) (0,0) 不可微 .)(o注意注意: 定理1 的逆定理不成立 .22)()(yxyx22)()(yxyx22)()(yxyx0偏導(dǎo)數(shù)存在函數(shù) 不一定可微 !即:0,2222yxyxyx0, 022 yx2022年年6月月20日星期一日星期一21 ),(yyxxfyzxz,證證：),(),(yxfyyxxfz)1,0(21xyxfx),( yyyxfy),(2xyyxxfx),(1),(yyxf),( yxf

13、),(yyxfyyxfy),(若函數(shù)),(yxfz 的偏導(dǎo)數(shù),),(連續(xù)在點(diǎn)yx則函數(shù)在該點(diǎn)可微分可微分.0lim00yx,0lim00yx定理定理2 (充分條件充分條件)2022年年6月月20日星期一日星期一22zyyxfxyxfyx),(),(yyxfxyxfzyx),(),(yx所以函數(shù)),(yxfz ),(yxyx在點(diǎn)可微. 0lim00yx,0lim00yx注意到, 故有)(o2022年年6月月20日星期一日星期一23xxu類似可討論三元及三元以上函數(shù)的可微性問題.例如, 三元函數(shù)),(zyxfu ud習(xí)慣上把自變量的增量用微分表示,ud記作uxd故有下述疊加原理uuuuzyxddd

14、d稱為偏微分偏微分.yyudzzudxxuduyduzd的全微分為yyuzzu于是uuuzyxd,d,d推廣推廣: 2022年年6月月20日星期一日星期一24解解 因?yàn)橐驗(yàn)?233 ,zxyx343 ,zyxy所以所以 23d(33 )d(43 )d .zxyxyxy解解 因?yàn)橐驗(yàn)?2221,1()1zyyxxyx y2221,1()1zxxyxyx y211,5xyzx212.5xyzy所以所以 121ddd(d2d ).555zxyxy2022年年6月月20日星期一日星期一252022年年6月月20日星期一日星期一26所以所以 2.04(1,2)(1,2)(1,2(1.0)2)xyffxf

15、y 1 2 0.021.04. 2022年年6月月20日星期一日星期一27內(nèi)容小結(jié)1. 微分定義微分定義:),(yxfz z( , )( , )xyfx yxfx yy zdyyxfxyxfyxd),(d),(22)()(yx2. 重要關(guān)系重要關(guān)系:)( o函數(shù)可導(dǎo)函數(shù)可導(dǎo)函數(shù)可微函數(shù)可微偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù)連續(xù)2022年年6月月20日星期一日星期一28課后練習(xí)習(xí)題習(xí)題62思考與練習(xí)思考與練習(xí)1. 已知.d,arctanzyxyxz求答案答案: : 22dddyxyxxyz2. 設(shè),coscoscos1coscoscos),(zyxxzzyyxzyxf.d)0 , 0 , 0(f求

16、（詳細(xì)解答見下頁）（詳細(xì)解答見下頁）2022年年6月月20日星期一日星期一29zfyfxffzyyd)0 , 0 , 0(d)0 , 0 , 0(d)0 , 0 , 0(d)0 , 0 , 0(,coscoscos1coscoscos),(zyxxzzyyxzyxf.d)0 , 0 , 0(f求解解: xxxfcos3)0 , 0 ,(0cos3)0 , 0 , 0(xxxfx41利用輪換對稱性 , 可得41)0 , 0 , 0()0 , 0 , 0(zyff)dd(d41zyx注意注意: x , y , z 具有 輪換對稱性輪換對稱性 2. 設(shè)2022年年6月月20日星期一日星期一30函數(shù))

17、,(yxfz 在),(00yx可微的充分條件是( );),(),()(00連續(xù)在yxyxfA),(),(, ),()(00yxyxfyxfByx在的某鄰域內(nèi)存在 ;yyxfxyxfzCyx),(),()(0)()(22yx當(dāng)時(shí)是無窮小量 ;22)()(),(),()(yxyyxfxyxfzDyx0)()(22yx當(dāng)時(shí)是無窮小量 .D3. 選擇題2022年年6月月20日星期一日星期一31在點(diǎn) (0,0) 可微 .在點(diǎn) (0,0) 連續(xù)且偏導(dǎo)數(shù)存在,續(xù),),(yxf而),(yxf)0 , 0(),(,1sin22yxyxyx)0 , 0(),(, 0yx證證: 1)因221sinyxxy0),(lim00yxfyx)0 , 0(f故函數(shù)在點(diǎn) (0, 0) 連續(xù) .但偏導(dǎo)數(shù)在點(diǎn) (0,0) 不連 4. 證明函數(shù)xy222yx 所以2022年年6月月20日星期一日星期一32),(yxf)0 , 0(),(,1sin22yxyxxy)0 , 0(),(, 0yx),(yxfx,)0 , 0(),(時(shí)當(dāng)yx,)0 , 0(),(時(shí)趨于沿射線當(dāng)點(diǎn)xyyxP,0)0 ,(xf;0)0 , 0(xf. 0)0 , 0(yf同理y221sinyx 3222)(yxyx221cosyx ),