材料力學(xué)(I)第六章

1、材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案1第六章第六章 簡(jiǎn)單的超靜定問題簡(jiǎn)單的超靜定問題6- -1 超靜定問題及其解法超靜定問題及其解法6- -2 拉壓超靜定問題拉壓超靜定問題6- -3 扭轉(zhuǎn)超靜定問題扭轉(zhuǎn)超靜定問題6- -4 簡(jiǎn)單超靜定梁簡(jiǎn)單超靜定梁材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案26- -1 超靜定問題及其解法超靜定問題及其解法. 關(guān)于超靜定問題的概述第六章第六章 簡(jiǎn)單的超靜定問題簡(jiǎn)單的超靜定問題(a)(b)材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案3 圖a所示靜定桿系為減小桿1 ,2中的內(nèi)力或節(jié)點(diǎn)A的位移(如圖b)而增加了桿3。此時(shí)有三個(gè)未知內(nèi)力FN1 ,FN2

2、,FN3，但只有二個(gè)獨(dú)立的平衡方程 一次超靜定問題。第六章第六章 簡(jiǎn)單的超靜定問題簡(jiǎn)單的超靜定問題(a)(b)材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案4 圖a所示簡(jiǎn)支梁為減小內(nèi)力和位移而如圖b增加了中間支座C成為連續(xù)梁。此時(shí)有四個(gè)未知約束力FAx, FA, FB, FC，但只有三個(gè)獨(dú)立的靜力平衡方程 一次超靜定問題。 超靜定問題(statically indeterminate problem)：?jiǎn)螒{靜力平衡方程不能求解約束力或構(gòu)件內(nèi)力的問題。第六章第六章 簡(jiǎn)單的超靜定問題簡(jiǎn)單的超靜定問題FAFBl(a)FAxABq(b)l/2l/2CFCFAxAB qFBFA材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電

3、電 子子 教教 案案5. 解超靜定問題的基本思路例例1超靜定結(jié)構(gòu)(statically indeterminate structure)解除“多余”約束基本靜定系(primary statically determinate system)(例如桿3與接點(diǎn)A的連接)第六章第六章 簡(jiǎn)單的超靜定問題簡(jiǎn)單的超靜定問題材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案6在基本靜定系上加上原有荷載及“多余”未知力并使“多余”約束處滿足變形(位移)相容條件相當(dāng)系統(tǒng) (equivalent system)12BCAF AFN3AA FN3ADA 第六章第六章 簡(jiǎn)單的超靜定問題簡(jiǎn)單的超靜定問題材材 料料 力力 學(xué)

4、學(xué) 電電 子子 教教 案案71 靜力學(xué)方程相當(dāng)系統(tǒng) (equivalent system)12BCAF AFN3AA FN3ADA 第六章第六章 簡(jiǎn)單的超靜定問題簡(jiǎn)單的超靜定問題FN2FN112120,sinsin0 xNNNNFFFFF13310,2cos2cosyNNNNFFFFFFF材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案8331N32111N3coscos2AElFAElFF于是可求出多余未知力FN3 。 2 幾何方程：由位移相容條件AA 第六章第六章 簡(jiǎn)單的超靜定問題簡(jiǎn)單的超靜定問題12BCAF AFN3AA FN3ADA 3 物理方程，12121111,coscosNNF l

5、F lllE AE A312cosNNFFF材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案9基本靜定系A(chǔ)Bl補(bǔ)充方程為048384534EIlFEIqlC于是可求出多余未知力FC。第六章第六章 簡(jiǎn)單的超靜定問題簡(jiǎn)單的超靜定問題位移相容條件Cq+CFC=0 相相當(dāng)系統(tǒng)當(dāng)系統(tǒng)ABl/2qlFC例例2超靜定梁yxl/2l/2CABq材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案10. 注意事項(xiàng) (1) 超靜定次數(shù)=“多余”約束數(shù)=“多余”未知力=位移相容條件數(shù)=補(bǔ)充方程數(shù)，因而任何超靜定問題都是可以求解的。 (2) 求出“多余”未知力后，超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力和位移等均可利用相當(dāng)系統(tǒng)進(jìn)行計(jì)算。 (3) 無(wú)

6、論怎樣選擇“多余”約束，只要相當(dāng)系統(tǒng)的受力情況和約束條件確實(shí)與原超靜定系統(tǒng)相同，則所得最終結(jié)果是一樣的。第六章第六章 簡(jiǎn)單的超靜定問題簡(jiǎn)單的超靜定問題材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案11 (4) “多余”約束的選擇雖然是任意的，但應(yīng)以計(jì)算方便為原則。 如上所示連續(xù)梁若取B處鉸支座為“多余”約束，則求解比較復(fù)雜。第六章第六章 簡(jiǎn)單的超靜定問題簡(jiǎn)單的超靜定問題xl/2l/2CABqFByxl/2l/2CABq材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案126 6- -2 2 拉壓超靜定問題拉壓超靜定問題. 拉壓超靜定基本問題 例題例題6- -1 求圖a所示等直桿AB上,下端的約束力

7、，并求C截面的位移。桿的拉壓剛度為EA。 解解: 1. 有兩個(gè)未知約束力FA , FB(見圖a)，但只有一個(gè)獨(dú)立的平衡方程 FA+FB-F=0故為一次超靜定問題。第六章第六章 簡(jiǎn)單的超靜定問題簡(jiǎn)單的超靜定問題材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案13 2. 取固定端B為“多余”約束。相應(yīng)的相當(dāng)系統(tǒng)如圖b，它應(yīng)滿足相容條件BF+BB=0，參見圖c，d。第六章第六章 簡(jiǎn)單的超靜定問題簡(jiǎn)單的超靜定問題 3. 補(bǔ)充方程為 0EAlFEAFaBlFaFB由此求得所得FB為正值，表示FB的指向與假設(shè)的指向相符，即向上。材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案14得 FA=F-Fa/l=Fb/

8、l。5. 利用相當(dāng)系統(tǒng)(如圖)求得 lEAFabEAalFbEAaFAC 4. 由平衡方程 FA+FB-F=0第六章第六章 簡(jiǎn)單的超靜定問題簡(jiǎn)單的超靜定問題材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案15 例題例題 求圖a所示結(jié)構(gòu)中桿1, 2, 3的內(nèi)力FN1 , FN2 , FN3。桿AB為剛性桿，桿1, 2 , 3的拉壓剛度均為EA。第六章第六章 簡(jiǎn)單的超靜定問題簡(jiǎn)單的超靜定問題aaaACDB132EFF(a)a材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案16 解：解：1. 共有五個(gè)未知力，如圖b所示，但只有三個(gè)獨(dú)立的靜力平衡方程，故為二次超靜定問題。 2. 取桿1與結(jié)點(diǎn)C處的連接以及

9、桿2與結(jié)點(diǎn)D處的連接為多余約束，得基本靜定系如圖c。CD3(c)第六章第六章 簡(jiǎn)單的超靜定問題簡(jiǎn)單的超靜定問題FFAyFAxFN1FN3FN2(b)材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案17 3. 相當(dāng)系統(tǒng)應(yīng)滿足的變形相容條件如圖d所示為121322llll，F(xiàn)N2Dl2FFCAl1l3l2FBFN2DFN13(d)第六章第六章 簡(jiǎn)單的超靜定問題簡(jiǎn)單的超靜定問題FN1Cl1E 4. 根據(jù)相容條件，利用物理方程得補(bǔ)充方程：EAaFEAaFEAaFEAaFN12N1NN32 212，即 FN1=2FN3, FN2=2FN1=4FN3材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案18 5.

10、將上述二個(gè)補(bǔ)充方程與由平衡條件MA=0所得平衡方程0)3()2(212N3N1NaFaFaFaF聯(lián)立求解得2101212421012622101233N2N3N1NN3FFFFFFFF，第六章第六章 簡(jiǎn)單的超靜定問題簡(jiǎn)單的超靜定問題FN1=2FN3, FN2=2FN1=4FN3FFAyFAxFN1FN3FN2(b)材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案19. 裝配應(yīng)力和溫度應(yīng)力(1) 裝配應(yīng)力 超靜定桿系(結(jié)構(gòu))由于存在“多余”約束，因此如果各桿件在制造時(shí)長(zhǎng)度不相匹配，則組裝后各桿中將產(chǎn)生附加內(nèi)力裝配內(nèi)力，以及相應(yīng)的裝配應(yīng)力。第六章第六章 簡(jiǎn)單的超靜定問題簡(jiǎn)單的超靜定問題材材 料料 力

11、力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案20 圖a中所示桿系(E1A1=E2A2)中桿3的長(zhǎng)度較應(yīng)有長(zhǎng)度短了e，裝配后各桿的位置將如圖中虛線所示。此時(shí)，桿3在結(jié)點(diǎn) A 處受到裝配力FN3作用(圖b)，而桿1,2在匯交點(diǎn)A 處共同承受與桿3相同的裝配力FN3作用(圖b)。第六章第六章 簡(jiǎn)單的超靜定問題簡(jiǎn)單的超靜定問題(a)(b)材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案21求算FN3需利用位移(變形)相容條件(圖a)列出補(bǔ)充方程由此可得裝配力FN3，亦即桿3中的裝配內(nèi)力為eAAAA eAElFAElF21113N333N3cos221113333Ncos2AElAEleF第六章第六章 簡(jiǎn)單的超靜定問

12、題簡(jiǎn)單的超靜定問題(拉力）(a)材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案22 至于各桿橫截面上的裝配應(yīng)力只需將裝配內(nèi)力(軸力)除以桿的橫截面面積即得。 由此可見，計(jì)算超靜定桿系(結(jié)構(gòu))中的裝配力和裝配應(yīng)力的關(guān)鍵,仍在于根據(jù)位移(變形)相容條件并利用物理關(guān)系列出補(bǔ)充方程。而桿1和桿2中的裝配內(nèi)力利用圖b中右側(cè)的圖可知為壓力21113333N2N1Ncos2cos2cos2AElAEleFFF第六章第六章 簡(jiǎn)單的超靜定問題簡(jiǎn)單的超靜定問題材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案23 例題例題6- -3 兩端用剛性塊連接在一起的兩根相同的鋼桿1, 2(圖a)，其長(zhǎng)度l =200 mm，直

13、徑d =10 mm。試求將長(zhǎng)度為200.11 mm，亦即e=0.11 mm的銅桿3(圖b)裝配在與桿1和桿2對(duì)稱的位置后(圖c)各桿橫截面上的應(yīng)力。已知：銅桿3的橫截面為20 mm30 mm的矩形，鋼的彈性模量E=210 GPa，銅的彈性模量E3=100 GPa。第六章第六章 簡(jiǎn)單的超靜定問題簡(jiǎn)單的超靜定問題材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案24 解解：1. 如圖d所示有三個(gè)未知的裝配內(nèi)力FN1, FN2 , FN3，但對(duì)于平行力系卻只有二個(gè)獨(dú)立的平衡方程，故為一次超靜定問題。也許有人認(rèn)為，根據(jù)對(duì)稱關(guān)系可判明FN1=FN2，故未知內(nèi)力只有二個(gè)，但要注意此時(shí)就只能利用一個(gè)獨(dú)立的靜力平

14、衡方程：所以這仍然是一次超靜定問題。02 01NN3FFFx，第六章第六章 簡(jiǎn)單的超靜定問題簡(jiǎn)單的超靜定問題(d)材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案252. 變形相容條件(圖c)為這里的l3是指桿3在裝配后的縮短值，不帶負(fù)號(hào)。ell313. 利用物理關(guān)系得補(bǔ)充方程：eAElFEAlF33N3N1第六章第六章 簡(jiǎn)單的超靜定問題簡(jiǎn)單的超靜定問題材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案264. 將補(bǔ)充方程與平衡方程聯(lián)立求解得： 所得結(jié)果為正，說明原先假定桿1,2的裝配內(nèi)力為拉力和桿3的裝配內(nèi)力為壓力是正確的。5. 各桿橫截面上的裝配應(yīng)力如下：EAAElAeEFAEEAleEAFF2

15、11 21133333N332NN1，MPa51.19MPa53.743N331N21AFAF第六章第六章 簡(jiǎn)單的超靜定問題簡(jiǎn)單的超靜定問題（拉應(yīng)力）（壓應(yīng)力）材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案27(2) 溫度應(yīng)力 也是由于超靜定桿系存在“多余”約束，桿件會(huì)因溫度變化產(chǎn)生的變形受到限制而產(chǎn)生溫度內(nèi)力及溫度應(yīng)力。鐵路上無(wú)縫線路的長(zhǎng)鋼軌在溫度變化時(shí)由于不能自由伸縮，其橫截面上會(huì)產(chǎn)生相當(dāng)可觀的溫度應(yīng)力。第六章第六章 簡(jiǎn)單的超靜定問題簡(jiǎn)單的超靜定問題材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案28 例題例題6- -4 試求兩端與剛性支承連接的等截面桿(圖a)當(dāng)溫度升高t 時(shí)橫截面上的溫度

16、應(yīng)力。桿的橫截面面積為A，材料的彈性模量為E，線膨脹系數(shù)為l。第六章第六章 簡(jiǎn)單的超靜定問題簡(jiǎn)單的超靜定問題(a)材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案29 解解: : 1. 由平衡方程只能知道桿兩端的軸向支約束力數(shù)值相等而指向相反，但不能給出約束力的值，可見這是一次超靜定問題。 2. 以剛性支撐B為“多余”約束后的基本靜定系由于溫度升高產(chǎn)生的伸長(zhǎng)變形lt和“多余”未知力FN產(chǎn)生的縮短變形lF分別如圖所示。第六章第六章 簡(jiǎn)單的超靜定問題簡(jiǎn)單的超靜定問題材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案303. 變形相容條件為4. 補(bǔ)充方程為5. 由此得多余未知力0Ftll0NEAlFltl

17、tEAFlN6. 桿的橫截面上的溫度應(yīng)力為tEAFlN材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案31 若該桿為鋼桿而l =1.210-5/(C)，E=210GPa，則當(dāng)溫度升高t =40時(shí)有MPa100 Pa10100C40GPa10210C/102 . 1695tEl第六章第六章 簡(jiǎn)單的超靜定問題簡(jiǎn)單的超靜定問題（壓應(yīng)力）tEAFlN材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案326- -3 扭轉(zhuǎn)超靜定問題扭轉(zhuǎn)超靜定問題 例題例題6- -5 兩端固定的圓截面等直桿AB，在截面C處受扭轉(zhuǎn)力偶矩Me作用，如圖a。已知桿的扭轉(zhuǎn)剛度為GIp。試求桿兩端的約束力偶矩以及C截面的扭轉(zhuǎn)角。第六章第六

18、章 簡(jiǎn)單的超靜定問題簡(jiǎn)單的超靜定問題(a)材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案33 解解: : 1. 有二個(gè)未知約束力偶矩MA, MB，但只有一個(gè)獨(dú)立的靜力平衡方程故為一次超靜定問題。0 0eBAxMMMM，第六章第六章 簡(jiǎn)單的超靜定問題簡(jiǎn)單的超靜定問題(a)MAMB材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案34 2. 以固定端B為“多余”約束，約束力偶矩MB為“多余”未知力。在解除“多余”約束后基本靜定系上加上荷載Me和“多余”未知力偶矩MB，如圖b；它應(yīng)滿足的位移相容條件為注：這里指的是兩個(gè)扭轉(zhuǎn)角的絕對(duì)值相等。eBBMBM第六章第六章 簡(jiǎn)單的超靜定問題簡(jiǎn)單的超靜定問題材材 料

19、料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案35另一約束力偶矩MA可由平衡方程求得為3. 根據(jù)位移相容條件利用物理關(guān)系得補(bǔ)充方程：由此求得“多余”未知力，亦即約束力偶矩MB為ppeGIlMGIaMB第六章第六章 簡(jiǎn)單的超靜定問題簡(jiǎn)單的超靜定問題 elaMMB eeeelbMlaMMMMMBA材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案364. 桿的AC段橫截面上的扭矩為lbMMTAACe第六章第六章 簡(jiǎn)單的超靜定問題簡(jiǎn)單的超靜定問題從而有 peplGIabMGIaTACC(a)材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案37 例題例題6- -6 由半徑為a的銅桿和外半徑為b的鋼管經(jīng)緊配合而成的組

20、合桿，受扭轉(zhuǎn)力偶矩Me作用，如圖a。試求銅桿和鋼管橫截面上的扭矩Ta和Tb，并繪出它們橫截面上切應(yīng)力沿半徑的變化情況。第六章第六章 簡(jiǎn)單的超靜定問題簡(jiǎn)單的超靜定問題(a)材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案38 解解: : 1. 銅桿和鋼管的橫截面上各有一個(gè)未知內(nèi)力矩 扭矩Ta和Tb(圖b)，但只有一個(gè)獨(dú)立的靜力平衡方程Ta+Tb= Me，故為一次超靜定問題。第六章第六章 簡(jiǎn)單的超靜定問題簡(jiǎn)單的超靜定問題TaTb(b)2. 位移相容條件為BbBa材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案393. 利用物理關(guān)系得補(bǔ)充方程為4. 聯(lián)立求解補(bǔ)充方程和平衡方程得：bbbaaabbbaaa

21、TIGIGTIGlTIGlTpppp ，即epppepppMIGIGIGTMIGIGIGTbbaabbbbbaaaaa，第六章第六章 簡(jiǎn)單的超靜定問題簡(jiǎn)單的超靜定問題TaTb(b)Ta+Tb= Me材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案40第六章第六章 簡(jiǎn)單的超靜定問題簡(jiǎn)單的超靜定問題5. 銅桿橫截面上任意點(diǎn)的切應(yīng)力為eppp0aaaaaabbTG MaIG IG I鋼管橫截面上任意點(diǎn)的切應(yīng)力為epppbbbbaabbTG MIG IG Iab材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案41 上圖示出了銅桿和鋼管橫截面上切應(yīng)力沿半徑的變化情況。需要注意的是，由于銅的切變模量Ga小于鋼

22、的切變模量Gb，故銅桿和鋼管在 = a處切應(yīng)力并不相等，兩者之比就等于兩種材料的切變模量之比。這一結(jié)果與銅桿和鋼管由于緊配合而在交界處切向的切應(yīng)變應(yīng)該相同是一致的。第六章第六章 簡(jiǎn)單的超靜定問題簡(jiǎn)單的超靜定問題aaab材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案426- -4 簡(jiǎn)單超靜定梁簡(jiǎn)單超靜定梁.超靜定梁的解法第六章第六章 簡(jiǎn)單的超靜定問題簡(jiǎn)單的超靜定問題 解超靜定梁的基本思路與解拉壓超靜定問題相同。求解圖a所示一次超靜定梁時(shí)可以鉸支座B為“多余”約束，以約束力FB為“多余”未知力。解除“多余”約束后的基本靜定系為A端固定的懸臂梁?；眷o定系材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案

23、案430BBBqww基本靜定系在原有均布荷載q和“多余”未知力FB作用下(圖b)當(dāng)滿足位移相容條件(參見圖c,d) 時(shí)該系統(tǒng)即為原超靜定梁的相當(dāng)系統(tǒng)。若該梁為等截面梁，根據(jù)位移相容條件利用物理關(guān)系(參見教材中的附錄)所得的補(bǔ)充方程為03834EIlFEIqlB第六章第六章 簡(jiǎn)單的超靜定問題簡(jiǎn)單的超靜定問題材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案44從而解得“多余”未知力qlFB83第六章第六章 簡(jiǎn)單的超靜定問題簡(jiǎn)單的超靜定問題所得FB為正值表示原來假設(shè)的指向(向上)正確。固定端的兩個(gè)約束力利用相當(dāng)系統(tǒng)由靜力平衡條件求得為 28185qlMqlFAA，材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教

24、教 案案45該超靜定梁的剪力圖和彎矩圖亦可利用相當(dāng)系統(tǒng)求得，如圖所示。思考思考 1. 該梁的反彎點(diǎn)(彎矩變換正負(fù)號(hào)的點(diǎn))距梁的左端的距離為多少？ 2. 該超靜定梁可否取簡(jiǎn)支梁為基本靜定系求解？如何求解？第六章第六章 簡(jiǎn)單的超靜定問題簡(jiǎn)單的超靜定問題材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案46 例題例題6- -7 試求圖a所示系統(tǒng)中鋼桿AD內(nèi)的拉力FN。鋼梁和鋼桿的材料相同，彈性模量E已知；鋼桿的橫截面積A和鋼梁橫截面對(duì)中性軸的慣性矩I 亦為已知。第六章第六章 簡(jiǎn)單的超靜定問題簡(jiǎn)單的超靜定問題材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案47 解解: : 1. 該系統(tǒng)共有三個(gè)未知力(圖b)

25、FN ,FB ,FC ，但平面平行力系僅有兩個(gè)獨(dú)立的平衡方程，故為一次超靜定問題。 2. 取桿和梁在點(diǎn)A處的連接鉸為“多余”約束，相應(yīng)的“多余”未知力為FN。位移(變形)相容條件(參見圖b)為wA=lDA。第六章第六章 簡(jiǎn)單的超靜定問題簡(jiǎn)單的超靜定問題材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案483. 物理關(guān)系(參見圖c,d)為EAlFlEIaFEIqawwwDAAFAqAN3N4 127，需要注意，因lDA亦即圖b中的 是向下的，故上式中wAF為負(fù)的。1AA第六章第六章 簡(jiǎn)單的超靜定問題簡(jiǎn)單的超靜定問題材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案494. 于是根據(jù)位移(變形)相容條件得

26、補(bǔ)充方程：由此求得EAlFEIaFEIqaN3N412734N 127AalIAqaF第六章第六章 簡(jiǎn)單的超靜定問題簡(jiǎn)單的超靜定問題材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案50 例題例題6- -8 試求圖a所示等截面連續(xù)梁的約束力FA , FB , FC，并繪出該梁的剪力圖和彎矩圖。已知梁的彎曲剛度EI=5106 Nm2。第六章第六章 簡(jiǎn)單的超靜定問題簡(jiǎn)單的超靜定問題材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案51 解解: : 1. 兩端鉸支的連續(xù)梁其超靜定次數(shù)就等于中間支座的數(shù)目。此梁為一次超靜定梁。第六章第六章 簡(jiǎn)單的超靜定問題簡(jiǎn)單的超靜定問題材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教

27、教 案案52 2. 為便于求解，對(duì)于連續(xù)梁常取中間支座截面處阻止左,右兩側(cè)梁相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)的內(nèi)部角約束為“多余”約束，從而以梁的中間支座截面上的彎矩作為“多余”未知力，如圖b。BB 第六章第六章 簡(jiǎn)單的超靜定問題簡(jiǎn)單的超靜定問題 此時(shí)基本靜定系為兩跨相鄰的簡(jiǎn)支梁，它們除承受原超靜定梁上的荷載外，在中間支座B處的梁端還分別作用有等值反向的“多余”未知力矩 彎矩MB，圖b中的“多余”未知力矩為一對(duì)正彎矩。位移相容條件(參見圖b)為材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案533. 利用教材中的附錄可得物理關(guān)系為EIMEIBB3m424m4N/m102033EIMEIBB3m5m56m2m5m2m3N

28、10303 應(yīng)該注意，在列出轉(zhuǎn)角 的算式時(shí)每一項(xiàng)的正負(fù)號(hào)都必須按同一規(guī)定(例如順時(shí)針為正，逆時(shí)針為負(fù))確定。BB 和第六章第六章 簡(jiǎn)單的超靜定問題簡(jiǎn)單的超靜定問題材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案54 4. 將物理關(guān)系代入位移相容條件補(bǔ)充方程，從而解得 這里的負(fù)號(hào)表示實(shí)際的中間支座處梁截面上的彎矩與圖b中所設(shè)相反，即為負(fù)彎矩。mkN80.31BM第六章第六章 簡(jiǎn)單的超靜定問題簡(jiǎn)單的超靜定問題5. 利用圖b可得約束力： kN64.11kN66kN05.32CBAFFF，材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案55第六章第六章 簡(jiǎn)單的超靜定問題簡(jiǎn)單的超靜定問題(c)(d)然后繪出

29、剪力圖和彎矩圖如圖c,d。材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案56*. 支座沉陷和溫度變化對(duì)超靜定梁的影響 超靜定梁由于有“多余”約束存在，因而支座的不均勻沉陷和梁的上,下表面溫度的差異會(huì)對(duì)梁的約束力和內(nèi)力產(chǎn)生明顯影響，在工程實(shí)踐中這是一個(gè)重要問題。第六章第六章 簡(jiǎn)單的超靜定問題簡(jiǎn)單的超靜定問題材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案57(1) 支座不均勻沉陷的影響 圖a所示一次超靜定梁，在荷載作用下三個(gè)支座若發(fā)生沉陷A, B, C，而沉陷后的支點(diǎn)A1,B1,C1不在同一直線上時(shí)(即沉陷不均勻時(shí))，支座約束力和梁的內(nèi)力將不同于支座均勻沉陷時(shí)的值。而支座均勻沉陷時(shí)梁的約束力和內(nèi)力

30、，由于支座沉陷量與梁的跨度相比是微小的，故可認(rèn)為與支座無(wú)沉陷時(shí)相同。第六章第六章 簡(jiǎn)單的超靜定問題簡(jiǎn)單的超靜定問題(a)材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案58第六章第六章 簡(jiǎn)單的超靜定問題簡(jiǎn)單的超靜定問題(a)210CABBBBw 現(xiàn)按如圖a中所示各支點(diǎn)沉陷B C A的情況進(jìn)行分析。此時(shí)，支座B相對(duì)于支座A,C 沉陷后的點(diǎn)A1,C1 的連線有位移材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案59于是，如以支座B1作為“多余”約束，以約束力FB為“多余”未知力，則作為基本靜定系的簡(jiǎn)支梁A1C1(參見圖b)在荷載q和“多余”未知力FB共同作用下應(yīng)滿足的位移相容條件就是210CABBBB

31、w第六章第六章 簡(jiǎn)單的超靜定問題簡(jiǎn)單的超靜定問題(b)材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案60于是得補(bǔ)充方程由此解得 EIlFEIqlEIlFEIlqwwwBBBFBqBB62454823842534342624534CABBEIlFEIql 2245413CABBlEIqlF第六章第六章 簡(jiǎn)單的超靜定問題簡(jiǎn)單的超靜定問題其中的wB按疊加原理有(參見圖c,d):材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案61第六章第六章 簡(jiǎn)單的超靜定問題簡(jiǎn)單的超靜定問題再由靜力平衡方程可得 23833CABCAlEIqlFF(a)材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案62(2) 梁的上,下

32、表面溫度差異的影響 圖a所示兩端固定的梁AB在溫度為 t0 時(shí)安裝就位，其后，由于梁的頂面溫度升高至 t1，底面溫度升高至 t2，且 t2t1，從而產(chǎn)生約束力如圖中所示。 由于未知的約束力有6個(gè)，而獨(dú)立的平衡方程只有3個(gè)，故為三次超靜定問題。第六章第六章 簡(jiǎn)單的超靜定問題簡(jiǎn)單的超靜定問題l(a)材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案63 現(xiàn)將右邊的固定端B處的3個(gè)約束作為“多余”約束，則解除“多余”約束后的基本靜定系為左端固定的懸臂梁。它在上,下表面有溫差的情況下，右端產(chǎn)生轉(zhuǎn)角Bt和撓度wBt(見圖c)以及軸向位移Bt。第六章第六章 簡(jiǎn)單的超靜定問題簡(jiǎn)單的超靜定問題l(a)(b)(c)材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案64 如果忽略“多余”未知力FBx對(duì)撓度和轉(zhuǎn)角的影響，則由上,下表面溫差和“多余”未知力共同引起的位移符合下列相容條件時(shí)，