大學(xué)物理第3章動(dòng)量守恒與能量守恒(一)

1、第第3 3章章動(dòng)量原理與動(dòng)量守恒動(dòng)量原理與動(dòng)量守恒 Momentum 內(nèi)容提要內(nèi)容提要 動(dòng)量原理動(dòng)量原理 動(dòng)量守恒定律動(dòng)量守恒定律 質(zhì)心及其運(yùn)動(dòng)質(zhì)心及其運(yùn)動(dòng)3-1 動(dòng)量定理動(dòng)量定理 上式表明上式表明: 質(zhì)點(diǎn)所受合外力的沖量等于質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量質(zhì)點(diǎn)所受合外力的沖量等于質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量的增量。這一結(jié)論稱為的增量。這一結(jié)論稱為質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量定理質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量定理。一一.質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量定理質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量定理沖量沖量 21ttdtFI, 對恒力對恒力F,)tt (FI12 1221ppdtFItt (3-1)dtpddtmddtdmamF)(tFpdd定義定義:說明：說明：1.動(dòng)量定理表示：力在一段時(shí)間過程內(nèi)的累積效果，動(dòng)量定理表示：力在一段

2、時(shí)間過程內(nèi)的累積效果，僅適用于慣性系統(tǒng)；僅適用于慣性系統(tǒng)；3.動(dòng)量定理的分量式動(dòng)量定理的分量式 yyttyyxxttxxmvmvtFImvmvtFI12122121dd2.沖量沖量 是矢量，其大小和方向由微分沖量是矢量，其大小和方向由微分沖量 的的和矢量決定，是過程量，而和矢量決定，是過程量，而 是狀態(tài)量之差；是狀態(tài)量之差；Ip dtF4.平均沖力的概念平均沖力的概念 21121ttxxdtFttFFxOt(s)Fx(N)t1t2 例題例題3-1 煤粉自高煤粉自高h(yuǎn)=0.8m處的料斗口自由落在傳送處的料斗口自由落在傳送帶帶A上。設(shè)料斗口連續(xù)卸煤的流量為上。設(shè)料斗口連續(xù)卸煤的流量為qm=40kg

3、/s, 傳送帶傳送帶A的速度的速度 =3m/s。求卸煤的過程中，煤粉對傳送帶。求卸煤的過程中，煤粉對傳送帶A的的平均作用力的大小和方向。平均作用力的大小和方向。(不計(jì)相對傳送帶靜止的煤不計(jì)相對傳送帶靜止的煤粉質(zhì)量，取粉質(zhì)量，取g=10m/s2） ,qdtdmm40 取在時(shí)間取在時(shí)間dt內(nèi)落下的煤粉內(nèi)落下的煤粉dm=qmdt為為研究對象研究對象,由動(dòng)量定理有由動(dòng)量定理有s/mgho42 解解 煤粉下落煤粉下落h時(shí)的速度時(shí)的速度0 dmdmFdt:dm )(F040: 平均沖力平均沖力Ah圖3-2 0(1)單位矢量法單位矢量法xyo 根據(jù)牛頓第三定律，煤粉對根據(jù)牛頓第三定律，煤粉對傳送帶傳送帶A的

4、平均作用力與此力的平均作用力與此力大小相等而方向相反。大小相等而方向相反。F=40( - o)=40(3i+4j )(40:0 F平平均均沖沖力力 =3, o=4xyFFarctg 34arctg =53.1o 大小大小: F =200N, 與與x軸正方向的軸正方向的夾角夾角:Ah圖3-2 0 由圖可求得由圖可求得煤粉對傳送帶煤粉對傳送帶A的平均作用力的大小的平均作用力的大小: 畫出畫出 = - 0的的 矢量三角形矢量三角形如右圖所示如右圖所示。(2)三角形法三角形法 方向與圖中方向與圖中 的方向相反。的方向相反。 o N200540 4040oFAh圖3-2 0)(40:0 F平平均均沖沖力

5、力 =3, o=434arctg =53.1o *例題例題3-2 一質(zhì)量均勻分布的柔軟的細(xì)繩鉛直地一質(zhì)量均勻分布的柔軟的細(xì)繩鉛直地懸掛著，繩的下端剛好觸到水平桌面上。如果把繩懸掛著，繩的下端剛好觸到水平桌面上。如果把繩的上端放開，繩將落向桌面。試證明：在繩下落的的上端放開，繩將落向桌面。試證明：在繩下落的過程中，任意時(shí)刻作用于桌面的壓力，等于已落到過程中，任意時(shí)刻作用于桌面的壓力，等于已落到桌面上的繩重量的三倍。桌面上的繩重量的三倍。 此時(shí)落在桌面上的繩此時(shí)落在桌面上的繩m= h受力受力: 證證 設(shè)繩的線密度為設(shè)繩的線密度為 。任意時(shí)。任意時(shí)刻刻t(下落下落h時(shí)時(shí)),繩的速度為繩的速度為;gh

6、2 重力重力mg、桌面的支持力、桌面的支持力N、落、落下繩的沖力下繩的沖力F。 由右下圖可知由右下圖可知: N=mg+F。圖3-3mNFmgm 取時(shí)間取時(shí)間tt+dt內(nèi)落下的繩內(nèi)落下的繩dm= . dt為為研究對象，由動(dòng)量定理得研究對象，由動(dòng)量定理得 F.dt=dm. = . 2dt 所以所以 F= . 2 N=mg+F所以所以 F= . 2= .2gh =2mg 最后得最后得: N=mg+F=3mg 即即: 作用于桌面的壓力作用于桌面的壓力是重量的三倍。是重量的三倍。gh2 已知已知圖3-3NFmgmmFdmdmg 練習(xí)練習(xí) ：勻速圓錐擺運(yùn)動(dòng)，速率為勻速圓錐擺運(yùn)動(dòng)，速率為v、半經(jīng)為、半經(jīng)為R

7、,當(dāng)質(zhì)量為當(dāng)質(zhì)量為m質(zhì)點(diǎn)從質(zhì)點(diǎn)從a點(diǎn)繞行半周到點(diǎn)繞行半周到b點(diǎn)，求此過程中繩中張力的沖量。點(diǎn)，求此過程中繩中張力的沖量。解：解：重力的沖量（重力的沖量（恒力恒力的沖量）的沖量）0tPRImgdtmgvjik張力的沖量（張力的沖量（變力變力的沖量）的沖量）由動(dòng)量定理由動(dòng)量定理imvvmvmIIabTP2 kvRmgimvIimvIPT 22vavbab gmTvm2TIPI共有共有N個(gè)粒子，外力用個(gè)粒子，外力用 F ，內(nèi)力（即粒子之間的相互內(nèi)力（即粒子之間的相互作用）用作用）用f 表示，則第表示，則第 i 粒粒子的運(yùn)動(dòng)方程子的運(yùn)動(dòng)方程tpfFiiidd 內(nèi)內(nèi)外外對所有粒子求和對所有粒子求和tpt

8、pfFNiiNiiidddd11 內(nèi)內(nèi)外外二、質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理二、質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理i jiPiFijfjiftPFdd 外外PtFI d外外0內(nèi)if NiipP1NiiFF1外外牛頓第三定律牛頓第三定律tptpfFNiiNiiidddd11 內(nèi)內(nèi)外外若質(zhì)點(diǎn)系所受若質(zhì)點(diǎn)系所受合外力為零合外力為零，則總動(dòng)量不隨時(shí)間改變，則總動(dòng)量不隨時(shí)間改變. .質(zhì)點(diǎn)系所受質(zhì)點(diǎn)系所受合外力為零合外力為零，總動(dòng)量不隨時(shí)間改變，即，總動(dòng)量不隨時(shí)間改變，即常常矢矢量量 NiipP11.合外力為零，或外力與內(nèi)力相比小很多；合外力為零，或外力與內(nèi)力相比小很多；2.合外力沿某一方向?yàn)榱悖瑒t合外力沿某一方向?yàn)榱?，則3.只適用于慣性系

9、；只適用于慣性系；.constpiix 3-2 動(dòng)量守恒定律動(dòng)量守恒定律例例3-4：炮車以炮車以 角發(fā)射一炮彈，炮車質(zhì)量為角發(fā)射一炮彈，炮車質(zhì)量為M，炮彈，炮彈質(zhì)量為質(zhì)量為m，炮彈出口速度為，炮彈出口速度為v（對炮車對炮車）求：求：炮車反沖速度炮車反沖速度V（炮車與地面磨擦力忽略不計(jì)）（炮車與地面磨擦力忽略不計(jì)）解：解：炮車與炮彈為一系統(tǒng)，在水炮車與炮彈為一系統(tǒng)，在水平方向動(dòng)量守恒平方向動(dòng)量守恒Vvu 炮彈對地速度的炮彈對地速度的x分量：分量：Vvux cos由動(dòng)量守恒定律（對地）由動(dòng)量守恒定律（對地）0)cos(VvmMV反沖速度：反沖速度： cosvMmmV MmXvVu例例3-5：船長船

10、長L=4m，質(zhì)量，質(zhì)量M=150kg，靜止浮在水面，靜止浮在水面，有質(zhì)量有質(zhì)量m=50kg的人從船頭走到船尾。的人從船頭走到船尾。求：求：人和船對岸各移動(dòng)的距離（水阻力不計(jì)）。人和船對岸各移動(dòng)的距離（水阻力不計(jì)）。解解： 與與 分別表示任一時(shí)刻分別表示任一時(shí)刻船和人相對于岸的速度，船和人相對于岸的速度，水平方向（水平方向（x）動(dòng)量守恒）動(dòng)量守恒Vv0 MVmv0dd00 tttVMtvmLSsMSms ,;)(1 mLmMmS 可得：可得：OXYVLx2x0 x1Ss)(3 mSLs 例題例題3-6 兩個(gè)質(zhì)量分別為兩個(gè)質(zhì)量分別為M和和m的三棱柱體如圖靜止的三棱柱體如圖靜止放置，其水平尺寸如圖，

11、各處光滑。求當(dāng)放置，其水平尺寸如圖，各處光滑。求當(dāng)m的下邊緣的下邊緣滑到水平面時(shí)，滑到水平面時(shí)，M在水平面上移動(dòng)的距離。在水平面上移動(dòng)的距離。 解解 系統(tǒng)系統(tǒng)(M和和m): 水平方向不受外力，故水平方向水平方向不受外力，故水平方向動(dòng)量守恒。動(dòng)量守恒。 設(shè)設(shè)M與與m相對地面的速度分別相對地面的速度分別是是V和和 ，m相對于相對于M的速度為的速度為, 則則 m x - MV=0 (1) 由相對運(yùn)動(dòng)公式有由相對運(yùn)動(dòng)公式有 x=a圖3-7bmM xoVx - V (2) (M+m)Vx= mx 將上式對時(shí)間將上式對時(shí)間t積分，有積分，有: ttxxdtmdtVmM00)( mMbamS )( 所以所以

12、M在水平面上移動(dòng)的距在水平面上移動(dòng)的距離：離： txdt0 是是m相對于相對于M在水平方向移動(dòng)的距離。在水平方向移動(dòng)的距離。 =S 是是M相對水平地面移動(dòng)的距離；相對水平地面移動(dòng)的距離；將將 x= x - Vx代入代入m x - MVx=0得：得：a圖3-7bmM xoV txdtV0)(ba 例例3-7.炮彈爆炸后的運(yùn)動(dòng)炮彈爆炸后的運(yùn)動(dòng) 一炮彈飛行到其拋物線軌道的一炮彈飛行到其拋物線軌道的頂點(diǎn)時(shí)爆炸成質(zhì)量相等的兩塊頂點(diǎn)時(shí)爆炸成質(zhì)量相等的兩塊,如圖所示如圖所示.爆后一秒鐘爆后一秒鐘,解：由于爆炸力遠(yuǎn)大于重力，解：由于爆炸力遠(yuǎn)大于重力，所以所以炮彈爆炸前后炮彈爆炸前后動(dòng)量守恒：動(dòng)量守恒：2102

13、121cosvmvmimv yxomvmvmvmv2122121021cosHx1x20vL1v2v笫一塊落到爆炸點(diǎn)正下方的地面上笫一塊落到爆炸點(diǎn)正下方的地面上,此處距拋出點(diǎn)的水此處距拋出點(diǎn)的水平距離為平距離為L.問第二塊落在距拋出點(diǎn)多遠(yuǎn)的地面上問第二塊落在距拋出點(diǎn)多遠(yuǎn)的地面上.設(shè)不設(shè)不計(jì)空氣阻力。計(jì)空氣阻力。H=19.6 m, L=100 m。1211 11111212,(2)yxLyHv tgtvvt =1s,y =0,可求出代入可求出2222222221gttvHytvLxyx可求得：可求得：220ty求得由爆炸后第一塊和第二塊的運(yùn)動(dòng)方程爆炸后第一塊和第二塊的運(yùn)動(dòng)方程xvgtHtLv22

14、0) 1 (21;cos式可得代入m5002 xHx1x20vL1v2v)2(21210) 1 (21cos212 yxomvmvmvmv例例3-8 質(zhì)量為質(zhì)量為M的人手里拿著一個(gè)質(zhì)量為的人手里拿著一個(gè)質(zhì)量為m的物體。此的物體。此人用與水平面成人用與水平面成 角的速率角的速率v0向前跳去。當(dāng)他達(dá)到最高向前跳去。當(dāng)他達(dá)到最高點(diǎn)時(shí)點(diǎn)時(shí),他將物體以相對于人為他將物體以相對于人為u 的水平速率向后拋出。的水平速率向后拋出。問由于人拋出物體問由于人拋出物體,他跳的距離增加了多少他跳的距離增加了多少?設(shè)人可視為設(shè)人可視為質(zhì)點(diǎn)。質(zhì)點(diǎn)。解解:以人和物為系統(tǒng)以人和物為系統(tǒng),跳跳躍過程只受重力作用躍過程只受重力作

15、用,系系統(tǒng)水平方向動(dòng)量守恒統(tǒng)水平方向動(dòng)量守恒mUMvvMm cos)(0U是是m相對于地的絕對速度：相對于地的絕對速度：uvU umMmvv cos0 xvu人從最高點(diǎn)到地面的運(yùn)動(dòng)時(shí)間人從最高點(diǎn)到地面的運(yùn)動(dòng)時(shí)間gvt sin0 所以人跳躍的距離增加為所以人跳躍的距離增加為ugmMmvtvx)(sin0 水平方向速度增加了水平方向速度增加了 uMmm 注意這兩個(gè)例題的差別，什么情況下動(dòng)量守注意這兩個(gè)例題的差別，什么情況下動(dòng)量守恒，什么情況下動(dòng)量的分量守恒。恒，什么情況下動(dòng)量的分量守恒。N個(gè)粒子系統(tǒng)，可定義質(zhì)量中心個(gè)粒子系統(tǒng)，可定義質(zhì)量中心mrmmrmrNiiiNiiNiiic 111&質(zhì)

16、心質(zhì)心 MzmzMymyMxmxiiciiciicxyzmicrir3-3 質(zhì)心及其運(yùn)動(dòng)質(zhì)心及其運(yùn)動(dòng) MzdmzMydmyMxdmxccc對連續(xù)分布的物質(zhì)，可以將其分為對連續(xù)分布的物質(zhì)，可以將其分為N個(gè)小質(zhì)元個(gè)小質(zhì)元說明：說明： 1.質(zhì)心是物體運(yùn)動(dòng)中由其質(zhì)量分布所決定的一個(gè)特殊點(diǎn)。質(zhì)心是物體運(yùn)動(dòng)中由其質(zhì)量分布所決定的一個(gè)特殊點(diǎn)。 2.質(zhì)心與重心是不同概念，質(zhì)量中心或稱質(zhì)心，指物質(zhì)系質(zhì)心與重心是不同概念，質(zhì)量中心或稱質(zhì)心，指物質(zhì)系統(tǒng)上被認(rèn)為質(zhì)量集中于此的一個(gè)假想點(diǎn)。與重心不同統(tǒng)上被認(rèn)為質(zhì)量集中于此的一個(gè)假想點(diǎn)。與重心不同的是，質(zhì)心不一定要在有重力場的系統(tǒng)中。值得注意的是，質(zhì)心不一定要在有重力場的

17、系統(tǒng)中。值得注意的是，除非重力場是均勻的，否則同一物質(zhì)系統(tǒng)的質(zhì)的是，除非重力場是均勻的，否則同一物質(zhì)系統(tǒng)的質(zhì)心與重心不通常在同一假想點(diǎn)上。心與重心不通常在同一假想點(diǎn)上。 cccNiiiNiiiNiivmtrmtrmtrmtrmpP ddd)(ddddd111tPFdd -camF &質(zhì)心質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定律運(yùn)動(dòng)定律說明：說明： 1.質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)可看成一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)（質(zhì)量與合外質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)可看成一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)（質(zhì)量與合外力集中在質(zhì)心上）力集中在質(zhì)心上） 2.內(nèi)力不能使質(zhì)心產(chǎn)生加速度，當(dāng)質(zhì)點(diǎn)系所受外力內(nèi)力不能使質(zhì)心產(chǎn)生加速度，當(dāng)質(zhì)點(diǎn)系所受外力為零時(shí)，系統(tǒng)動(dòng)量守恒。為零時(shí)，系統(tǒng)動(dòng)量守恒。 物體中質(zhì)心的運(yùn)

18、動(dòng)是豎直上拋物體中質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)是豎直上拋.物體中質(zhì)心的運(yùn)物體中質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)是斜上拋動(dòng)是斜上拋.例題例題:求求:半經(jīng)為半經(jīng)為R，所夾圓心角為，所夾圓心角為2的均質(zhì)圓弧的質(zhì)心。的均質(zhì)圓弧的質(zhì)心。 例題例題3-9 如圖如圖3-10所示，開始時(shí)人和船都靜止所示，開始時(shí)人和船都靜止,當(dāng)人從船的一端走到另一端時(shí)當(dāng)人從船的一端走到另一端時(shí),船移動(dòng)的距離船移動(dòng)的距離。(設(shè)設(shè)船的質(zhì)量為船的質(zhì)量為M,人的質(zhì)量為人的質(zhì)量為m,船長為船長為l ,并忽略水的并忽略水的阻力阻力)。 解解 (M+m):系統(tǒng)所受系統(tǒng)所受合外力為零合外力為零,質(zhì)心不動(dòng)質(zhì)心不動(dòng):MmlMmlxc 2Mm)ls(Mms 2Mmmls s圖3-10yxo 沖量沖量 是矢量，其大小和方向由微分沖量是矢量，其大小和方向由微分沖量 的的矢量決定矢量