第13章 大學物理機械波基礎(chǔ)

1、1波波 動動第十三章第十三章（Wave）2第十三章第十三章 機械波基礎(chǔ)機械波基礎(chǔ)13.1 機械波的形成與傳播機械波的形成與傳播 13.2 平面簡諧波的表達式平面簡諧波的表達式 波動微分方程波動微分方程13.3 波的能量與能流波的能量與能流13.4 聲波聲波*13.5 惠更斯原理惠更斯原理13.6 波的疊加原理波的疊加原理 波的干涉波的干涉13.7 駐波駐波 半波損失半波損失13.8 多普勒效應(yīng)多普勒效應(yīng)3波動是振動的傳播過程波動是振動的傳播過程.振動是激發(fā)波動的波源振動是激發(fā)波動的波源.機械波機械波電磁波電磁波波動波動機械振動在機械振動在彈性彈性介質(zhì)中的傳播介質(zhì)中的傳播.交變電磁場在空間的傳播

2、交變電磁場在空間的傳播.兩類波的不同之處兩類波的不同之處v機械波的傳播需機械波的傳播需有傳播振動的介質(zhì)有傳播振動的介質(zhì);v電磁波的傳播可電磁波的傳播可不需介質(zhì)不需介質(zhì).2能量傳播能量傳播2反射反射2折射折射2干涉干涉2衍射衍射兩類波的共同特征兩類波的共同特征前言前言4波源波源介質(zhì)介質(zhì)+彈性作用彈性作用機械波機械波一一 機械波的形成機械波的形成產(chǎn)生條件：產(chǎn)生條件：1）波源；）波源；2）彈性介質(zhì)）彈性介質(zhì). 波是運動狀態(tài)的傳播，介質(zhì)的波是運動狀態(tài)的傳播，介質(zhì)的質(zhì)點并不隨波傳播質(zhì)點并不隨波傳播.注意注意機械波：機械振動在彈性介質(zhì)中的傳播機械波：機械振動在彈性介質(zhì)中的傳播.13.1 機械波的形成與傳播

3、機械波的形成與傳播5橫波：質(zhì)點振動方向與波的傳播方向相橫波：質(zhì)點振動方向與波的傳播方向相垂直垂直的波的波.二二 橫波與縱波橫波與縱波 特征：具有交替出現(xiàn)的波峰和波谷特征：具有交替出現(xiàn)的波峰和波谷.6縱波：質(zhì)點振動方向與波的傳播方向互相縱波：質(zhì)點振動方向與波的傳播方向互相平行平行的波的波. 特征：具有交替出現(xiàn)的密部和疏部特征：具有交替出現(xiàn)的密部和疏部.7水的流動性和不可壓縮性水的流動性和不可壓縮性作二維運動作二維運動縱向運動縱向運動橫向運動橫向運動作作(橢橢)圓運動圓運動水水表面表面的波既非橫波又非縱波：的波既非橫波又非縱波：水波中水質(zhì)元水波中水質(zhì)元問：水波是問：水波是縱波還是縱波還是橫波？橫波

4、？答：水波即不是是縱波也不是橫波是答：水波即不是是縱波也不是橫波是混合波?；旌喜?。x橫橫波波縱縱波波u8波線波線（wave line）表示波的傳播方向的射線表示波的傳播方向的射線（波射線）（波射線）波面波面（wave surface）媒質(zhì)振動相位相同的點組成的面媒質(zhì)振動相位相同的點組成的面（同相面）（同相面）波前波前（wave front）某時刻波到達的最前面的波某時刻波到達的最前面的波(振振)面面球面波球面波平面波平面波波波線線 波面波面波前波前波前波前波振面是波振面是平面的波平面的波三三 波線波線 波面波面 波前波前9*球球 面面 波波平平 面面 波波波前波前波面波面波線波線10四四 波長

5、波長 波的周期和頻率波的周期和頻率 波速波速2 波長波長 ：沿波的傳播方向，兩個相鄰的、相：沿波的傳播方向，兩個相鄰的、相位差為位差為 的振動質(zhì)點之間的距離，即一個完整的振動質(zhì)點之間的距離，即一個完整波形的長度波形的長度.2OyAA-ux112 周期周期 ：波前進一個波長的距離所需要：波前進一個波長的距離所需要的時間的時間.TT1TuTuu2 頻率頻率 ：周期的倒數(shù)，即單位時間內(nèi)波：周期的倒數(shù)，即單位時間內(nèi)波動所傳播的完整波的數(shù)目動所傳播的完整波的數(shù)目.2 波速波速 ：波動過程中，某一振動狀態(tài)（即：波動過程中，某一振動狀態(tài)（即振動相位）單位時間內(nèi)所傳播的距離（相速）振動相位）單位時間內(nèi)所傳播的

6、距離（相速）.u注意注意12波速波速 與介質(zhì)的性質(zhì)有關(guān)，與介質(zhì)的性質(zhì)有關(guān)， 為介質(zhì)的密度為介質(zhì)的密度.u如聲音的傳播速度如聲音的傳播速度sm4000sm343空氣，常溫空氣，常溫左右，左右，混凝土混凝土Gu Yu Bu 橫橫 波波固體固體縱縱 波波液、氣體液、氣體G切變切變模量模量Y彈性彈性模量模量B體積體積模量模量 緊緊拉拉的的繩繩索索, ,橫橫波波的的波波速速為為: : T Tu u ( (T T張張力力, , 是是= =質(zhì)質(zhì)量量線線密密度度) )13一、一、 簡諧波簡諧波（simple harmonic wave）波稱為波稱為簡諧波簡諧波（余弦波）（余弦波）如果波傳播的擾動是簡諧振動，這

7、樣的如果波傳播的擾動是簡諧振動，這樣的u一維平面簡諧波的表達式（波函數(shù)）一維平面簡諧波的表達式（波函數(shù)）以機械波的橫波為例，以機械波的橫波為例，設(shè)平面波沿設(shè)平面波沿 x方向以方向以速度速度 u 傳播，傳播， 媒質(zhì)均勻、無限大，無吸收。媒質(zhì)均勻、無限大，無吸收。13.2 平面簡諧波的表達式平面簡諧波的表達式 波動微分方程波動微分方程14或：沿波的傳播方向或：沿波的傳播方向, ,各質(zhì)元的相位依次落后。各質(zhì)元的相位依次落后。 抓住概念：某時刻某質(zhì)元的相位（振動狀態(tài)）抓住概念：某時刻某質(zhì)元的相位（振動狀態(tài)） 將在較晚時刻于將在較晚時刻于“下游下游”某處出現(xiàn)。某處出現(xiàn)。如何寫出平面（一維）簡諧波的波函數(shù)

8、？如何寫出平面（一維）簡諧波的波函數(shù)？ 須知三個條件：須知三個條件： 1. 某參考點的振動方程某參考點的振動方程( A, , ) 2. 波長波長 (或或 u)u T 3. 波的傳播方向波的傳播方向15點點 Pxtu 以速度以速度u 沿沿 x 軸正軸正向傳播的平面簡諧向傳播的平面簡諧波波。取平衡位置在取平衡位置在坐標原點坐標原點o o處的質(zhì)處的質(zhì)元作參考，元作參考，o o點的點的振動表達式為：振動表達式為：時間推時間推遲方法遲方法o0A cost ，設(shè)任意一點設(shè)任意一點 p 坐標為坐標為 x方法一：方法一：（或由運動的重復(fù)關(guān)系）（或由運動的重復(fù)關(guān)系）點點O 的振動狀態(tài)的振動狀態(tài)o0Acost 1

9、6t 時刻點時刻點 P 的運動的運動 時刻點時刻點O 的運動的運動則點則點P 振動方程振動方程:xtu- -0pxAcostu - - 波函數(shù)波函數(shù)02Acostx - - 或或: :0 xA costu - - Px* xuAA-O17點點 P 比點比點 O 落后落后的相位：的相位：Px* xuAA-O相位落后法相位落后法由相位關(guān)系：由相位關(guān)系：P點相位落后點相位落后波源波源o o的振動相位，所以就的振動相位，所以就在在o o點振動表達式的基礎(chǔ)上點振動表達式的基礎(chǔ)上改變相位因子就得到了改變相位因子就得到了P的的振動表達式振動表達式解法二：解法二：P Oxtuu 22ttxT 18 xuAA-

10、O點點 P 振動方程振動方程:02Acostx - - 波函數(shù)波函數(shù)0 xAcostu - - 02Acostx - - 19 波動方程的其它形式波動方程的其它形式( x,t )Acos(tkx) - - 2k波數(shù)波數(shù)0txA cos2 ()T - 0 xAcos2 ( t) - 02A cos(utx) - 0i( t kx)Re Ae - 波數(shù)波數(shù)-表示單位長度表示單位長度上波的相位變化上波的相位變化 波動方程的復(fù)數(shù)表示波動方程的復(fù)數(shù)表示20 質(zhì)點的振動質(zhì)點的振動速度速度，加速度加速度：xAsin(t)tu - - - v222xaAcos (t)ut - - - 2102A cos (

11、tx) - 1) )向向x軸軸負負向傳播向傳播02Acos (tx) 向向x軸軸正正向傳播向傳播平面諧波一般表達：平面諧波一般表達：02Acos ( tx)負負（正正）號代表向）號代表向 x 正正（負負）向傳播的簡諧波）向傳播的簡諧波討論討論222 2）波的表達式的物理意義）波的表達式的物理意義F當坐標當坐標 x 確定確定(即考察波線上的某一點即考察波線上的某一點) 表達式變成表達式變成t 關(guān)系關(guān)系 表達了表達了 x 點的振動點的振動 如圖：如圖：Ttox點的振動曲線點的振動曲線02Acos ( tx)23波線上各點的簡諧運動圖波線上各點的簡諧運動圖24F 當時刻當時刻 t 確定確定(即某一瞬

12、時即某一瞬時) 表達式變成表達式變成-x關(guān)系關(guān)系 表達了表達了 t 時刻空間各時刻空間各 點移分布點移分布波形圖波形圖 如圖如圖:xot 時刻的波形曲線時刻的波形曲線（空間周期）（空間周期）25 ab x = x2 - x1xu傳播方向傳播方向圖中圖中b點比點比a點的相位點的相位落后：落后：x 其其中中叫叫波波程程差差從波形圖可看出在同一時刻，距波源從波形圖可看出在同一時刻，距波源 o 分別分別為為x1、x2兩質(zhì)點的兩質(zhì)點的相位差相位差:（記?。。ㄓ涀。。﹛226F當當 x、t 都變化時都變化時 表達了波線上所有質(zhì)元在各個時刻的位移，波函數(shù)表達了波線上所有質(zhì)元在各個時刻的位移，波函數(shù)表示波形

13、沿傳播方向的運動情況（行波）表示波形沿傳播方向的運動情況（行波） 如圖：如圖：xot 時刻的波形曲線時刻的波形曲線（ 亦稱空間周期）亦稱空間周期）t + 時刻的波形曲線時刻的波形曲線txu t u所以波動方程描述了波形的傳播所以波動方程描述了波形的傳播27yxuO xuO( , )( , )t xtt xx cos2 ()txAT -2()2()txttxxTT - - - -txT tux t時刻時刻tt時刻時刻x28例例 求解波動問題示例求解波動問題示例1 1、已知波源、已知波源 x x0 0 的振動方程，寫出波動方程的振動方程，寫出波動方程 一平面簡諧波以波速一平面簡諧波以波速 u 沿沿

14、 x 軸正向傳播軸正向傳播 , 在離原點在離原點o 的的距離為距離為 x0 處的處的 p0 點，其振動方程為點，其振動方程為 y = A cos (t + )（1）求波動方程；）求波動方程；（2）求）求o點的振動方程。點的振動方程。 (1) p 點比點比 p0 點的振動落后點的振動落后 t=(xx0)/ u 因此因此)(cos)(cos0-uxxtAttAypp 為任一點，故波動方程為為任一點，故波動方程為)(cos0 - - - uxxtAyop0pxx0 x解解t)(0uxx-)/cos(00 uxtAy(2) x = 0 代入波動方程，得代入波動方程，得 o 點振動方程：點振動方程：29

15、2 2、已知波動方程作出、已知波動方程作出 t t 時刻的波形時刻的波形一橫波沿一根弦線傳播，其方程為一橫波沿一根弦線傳播，其方程為)2005(cos02.0txy-（SI制）制）（1 1）求振幅、波長、頻率、周期及波速；）求振幅、波長、頻率、周期及波速；（2）畫出）畫出 t = 0.0025 s 及及 t = 0.005 s 時刻弦的波形圖；時刻弦的波形圖； （1）解法一：對比法）解法一：對比法（3）若弦的線密度）若弦的線密度= 0.5 kg / m ，求弦上的張力大小。，求弦上的張力大小。)(cos.txy2005020- - ).(cos.400102020 xt- - 比較標準形式的波

16、動方程比較標準形式的波動方程)(2cos)(2cosuxtAxTtAy-可得：可得： A = 0.02 m , ,100 HzT = 0.01 su = 40 m / s ,m4.0解解例例30解法二：解法二：由定義求由定義求 21(5200 )(5200 )2xtxt -210.4xx - 解法一：解法一：描點法描點法 。將。將t值代入波動方程，值代入波動方程，再取再取x 值，算出對應(yīng)位移值，算出對應(yīng)位移y 值。然后描值。然后描點、連線，即得點、連線，即得 t 時刻波形圖（時刻波形圖（ 具體過具體過程略程略 ）。）。（2）作圖）作圖)2005(cos02. 0txy-31 解法二解法二: 意

17、義法。先作出意義法。先作出 t = 0 時刻的波形圖，再算出時刻的波形圖，再算出時間時間 t 內(nèi)波傳播的距離，平移波形即可。內(nèi)波傳播的距離，平移波形即可。t = 0t = 0.0025s經(jīng)經(jīng) t = 0.0025 s , 波形右移波形右移 x = u t = 40 0. 0025 = 0.1 m = / 4經(jīng)經(jīng) t = 0.005 s , 波形右波形右移移 x = u t = 40 0.005= 0.2m = / 2t = 0.005s(3)Tu 22400.5800TuN xyom4 . 0m8 . 0 xyom4 . 0m8 . 0 xyom4 . 0m8 . 032一平面簡諧波以波速一平

18、面簡諧波以波速 u = 200 msu = 200 ms-1 -1 沿沿x x軸正方軸正方向傳播向傳播 , ,在在t = 0 t = 0 時刻的波形如圖所示。時刻的波形如圖所示。 (2) (2) 求求t = 0.1s , x = 10 m t = 0.1s , x = 10 m 處質(zhì)點的位移、振動速處質(zhì)點的位移、振動速度和加速度。度和加速度。 t = 0 時時波形波形(1) (1) 求求 o o 點的振動方程與波動方程點的振動方程與波動方程 ；y y1 12 23 34 45 50.020.02o o(m(m）(m)(m)x xAm4Hzu504200 11002- - s 為方便起見為方便起

19、見, ,以下均以下均用用SISI制制, ,單位略去。單位略去。解解3 3、已知某時刻波形，寫出波動方程、已知某時刻波形，寫出波動方程例例u=200mu=200ms s-1-133 (1) o(1) o點振動方程點振動方程(2) (2) t = 0.1 s , x = 10 m 處質(zhì)點處質(zhì)點位移位移速度速度加速度加速度 2100cos02.0 t - - 2)200(100cos02. 0 xty波動方程波動方程:02)200(100cos02.0 - - xty 22)200(100sin10002.0 - - - - xttyv02)200(100cos)100(02.0222 - - -

20、- xttyat = 0 時波形時波形u = 200ms-1y123450.02o(m)(m)xov tAycos32 34)(2cos-xTtAy 1）波動方程？波動方程？2- 例例1 一平面簡諧波沿一平面簡諧波沿 O x 軸正方向傳播，軸正方向傳播， 已知振已知振幅幅 ， ， . 在在 時坐標時坐標原點處的質(zhì)點位于平衡位置沿原點處的質(zhì)點位于平衡位置沿 O y 軸正方向運動軸正方向運動 . 求求 0tm0 . 2m0 . 1As0 .2T0,0tyyv00 xt解解 ： 寫出波動方程的標準式寫出波動方程的標準式y(tǒng)AO2)m0 .2s0 .2(2cosm)0 .1 (-xty352）求求 波形

21、圖波形圖.x)msin( m)0.1(1-s0.1t)m(2cosm)0 .1 (1xy-波形方程波形方程s0.1t2)m0 .2s0 .2(2cosm)0 .1 (-xtyom/ym/x2.01.0-1.0 時刻波形圖時刻波形圖s0.1t363） 處質(zhì)點的振動規(guī)律并做圖處質(zhì)點的振動規(guī)律并做圖 .m5 . 0 x)scos(m)0 . 1 (1-ty2)m0 . 2s0 . 2(2cosm)0 . 1 (-xty 處質(zhì)點的振動方程處質(zhì)點的振動方程m5 . 0 x0m/y1.0-1.0s/t2.0Oy1234*1234處質(zhì)點的振動曲線處質(zhì)點的振動曲線m5 . 0 x1.037 例例2 一平面簡諧

22、波以速度一平面簡諧波以速度 沿直線傳播沿直線傳播,波波線上點線上點 A 的簡諧運動方程的簡諧運動方程 .s/m20u2(3 10 m)cos(4)Ayt-1）以以 A 為坐標原點，寫出波動方程為坐標原點，寫出波動方程m10 uTm1032-As5 . 0T02(3 10m)cos4()20 xyt-uABCD5m9mxo8m382BABAxx-B)s4cos()m103(12-tyB)m10s5 . 0(2cos)m103(2-xty2）以以 B 為坐標原點，寫出波動方程為坐標原點，寫出波動方程uABCD5m9mxo8m2(3 10m)cos(4)Ayt-393）寫出傳播方向上點寫出傳播方向上

23、點C、點點D 的簡諧運動方程的簡諧運動方程uABCD5m9mxo8m2(3 10 m)cos(4)Ayt-點點 C 的相位比點的相位比點 A 超前超前2(3 10m)cos(4)2CACyt-213(3 10m)cos(4)5t-點點 D 的相位落后于點的相位落后于點 A 29(3 10)cos(4)5-tmm102(310)cos(4 )2 -DADyt m404）分別求出分別求出 BC ，CD 兩點間的相位差兩點間的相位差22224.410CDCDxx- uABCD5m9mxo8m2(3 10)cos(4)-Aytm8221.610BCBCxx- m1041自測題：自測題：【解】：解】：（

24、1 1）求波長、頻率、波速和周期？）求波長、頻率、波速和周期？（2 2）說明）說明x=0 x=0時方程的意義并作圖表示。時方程的意義并作圖表示。已知一波動方程為已知一波動方程為005102y.sin(tx)m -（1）求解特征量，可采用比較法。將）求解特征量，可采用比較法。將題給方程改寫成：題給方程改寫成：0 051052xy.cos(t) -與一般式與一般式xyA cos( t)u -比較比較10 rad / s 515 7u. m / s 425 02. H Z 10 2T. s 3 14uT.m （2）由分析知：）由分析知：x=0時，方程時，方程0 05102y.cos(t) -表示位于

25、坐標原點的質(zhì)點的振動方程表示位于坐標原點的質(zhì)點的振動方程如圖示：如圖示：0.05t/sy/m00.10.2-0.0543如圖示為某平面簡諧波在如圖示為某平面簡諧波在t=0t=0時刻時刻的波形曲線圖，求：的波形曲線圖，求：（1 1）a,ba,b兩點的運動方向？兩點的運動方向？（2 2）簡諧波的波動方程？）簡諧波的波動方程？（3 3）P P點的振動方程？點的振動方程？abp【解】：解】：由由t=0時刻的波形時刻的波形曲線知：曲線知：10 450 20. m,Ts,.HZuT 自測題：自測題：0.04x/my/m00.20.4-0.040 08u.m / s 44（1）由于波沿）由于波沿x正方向傳播

26、正方向傳播a,b兩點的運動方兩點的運動方向：向：ab0.04x/my/m00.20.4-0.040 08u.m / s（2）設(shè)波函數(shù)為：）設(shè)波函數(shù)為：02yA cos(tx) -00 040 45.cos(.tx) -由由t=0的波形曲線知的波形曲線知, x=0質(zhì)點：質(zhì)點：0002cos 450002co s xA PO02 0 040 452y.cos( .tx)m -（3）對于）對于P點：點：30 304x.m 代入波函數(shù)得：代入波函數(shù)得：0 040 4y.cos( .t)m -曲線圖：曲線圖：0.04t/sy/m02.55-0.0446一一. .機械波的能量機械波的能量 能量密度能量密度

27、1. 機械波的機械波的能量能量每個質(zhì)元振動所具有的動能每個質(zhì)元振動所具有的動能每個質(zhì)元形變所具有的勢能每個質(zhì)元形變所具有的勢能之和之和m13.3 波的能量波的能量 和能流和能流以沿以沿 x 軸傳播的軸傳播的平面簡諧橫波平面簡諧橫波為例：為例：質(zhì)量質(zhì)量mx 質(zhì)量線密度質(zhì)量線密度l xx 1T2T47質(zhì)元振動的動能質(zhì)元振動的動能 22K11Emx22t() -PETlx質(zhì)元形變勢能質(zhì)元形變勢能由波的表達式由波的表達式:0 xA cos( t)u - - - 222K01xExA sin (t)2u(彈性勢能彈性勢能 =彈性拉力作的功彈性拉力作的功) 22()()lx二項式定理二項式定理展開略高次項

28、展開略高次項 211() 2lxxTu 48222P01xExA sin (t)2u -線元總機械能線元總機械能:KPE EE2220 xxA sin (t)u -xm mV 2220 xEA sin (t) Vu- 為繩子為繩子質(zhì)量體密度質(zhì)量體密度49振動系統(tǒng)：振動系統(tǒng)：kpkpEE EEconst.，系統(tǒng)與外界無能量交換。系統(tǒng)與外界無能量交換。波動質(zhì)元：波動質(zhì)元： ，kpkpconst.EEEE每個質(zhì)元都與周圍媒質(zhì)交換能量。每個質(zhì)元都與周圍媒質(zhì)交換能量。行波行波-通常指有振動狀態(tài)和能量傳播的波。通常指有振動狀態(tài)和能量傳播的波。（與駐波區(qū)別）（與駐波區(qū)別）討論討論503、平均能量密度、平均能

29、量密度220112Tww tAT d2、能量密度、能量密度（energy density）：）：2220-sin()WxwAtVu 22A （特征）（特征）- 單位體積中波的能量單位體積中波的能量- 一周期內(nèi)能量密度的平均值一周期內(nèi)能量密度的平均值51u t xS WPwu St2212Pw SuAu S 2.平均能流平均能流二、二、能流密度能流密度(功率密度功率密度) 波的強度波的強度 1.能流能流 單位時間內(nèi)垂直通過某面積單位時間內(nèi)垂直通過某面積 的的能量能量S- 一周期內(nèi)能流的平均值一周期內(nèi)能流的平均值WwV 52二、二、 能流密度能流密度(功率密度功率密度) 波的強度波的強度 3.能流

30、密度能流密度（energy flux density） 單位時間內(nèi)垂直通過單位面積的能量單位時間內(nèi)垂直通過單位面積的能量( (即通即通過單位面積的能流過單位面積的能流) )PwuS 4.平均能流密度（也稱波的強度）平均能流密度（也稱波的強度）2212PIwuA uS (記住記住!)2IA普適結(jié)論普適結(jié)論53 利用利用 和能量守恒，可以證明，和能量守恒，可以證明，221IA u2對無吸收媒質(zhì)，有：對無吸收媒質(zhì)，有：平面波平面波.const A球面波球面波rAAr1.const ， 柱面波柱面波rArA1.const ， r 場點到波源的距離場點到波源的距離三、平面波和球面波的振幅三、平面波和球面

31、波的振幅能流密度是矢量，其方向與波速方向相同。能流密度是矢量，其方向與波速方向相同。Iwu 54例例: :在均勻不吸收能量的媒質(zhì)中傳播的在均勻不吸收能量的媒質(zhì)中傳播的平面波在行進方向上振幅不變。平面波在行進方向上振幅不變。12SSS222211221122A uSA uS 12AA u1S2S所以：所以：1122w uSw uS 證證 介質(zhì)無吸收，通過介質(zhì)無吸收，通過兩個平面的平均能流相等兩個平面的平均能流相等.55例例 證明球面波的振幅與離證明球面波的振幅與離開其波源的距離成反比，并開其波源的距離成反比，并求球面簡諧波的波函數(shù)求球面簡諧波的波函數(shù). 證證 介質(zhì)無吸收，通過介質(zhì)無吸收，通過兩個

32、球面的平均能流相等兩個球面的平均能流相等.1s2s1r2r1221ArAr 0 0cos()A rrytru - -1122w uSw uS 2222221122114422A urA ur 即即式中式中 為離開波源的距離，為離開波源的距離， 為為 處的振幅處的振幅.r0rr 0A56一平面簡諧波在彈性媒質(zhì)中傳播時，一平面簡諧波在彈性媒質(zhì)中傳播時，某一時刻在傳播方向上媒質(zhì)中某質(zhì)某一時刻在傳播方向上媒質(zhì)中某質(zhì)元在負的最大位移處，則它的能量元在負的最大位移處，則它的能量是：是： ？（1）動能為零，勢能最大；）動能為零，勢能最大；（2）動能為零，勢能為零；）動能為零，勢能為零；（3）動能最大，勢能最

33、大；）動能最大，勢能最大；（4）動能最大，勢能為零。）動能最大，勢能為零。222kP01xWWxA sin (t) 02u - p0 xAcostu -（2）0 xcost1u- -提示：提示：自測題：自測題：57一平面簡諧波沿一平面簡諧波沿x x的負方向傳的負方向傳播播, ,已知已知x=-1x=-1米處質(zhì)點的振動米處質(zhì)點的振動方程為方程為 , ,若波若波速為速為u,u,求此波的波動方程求此波的波動方程? ?()yAcost 【解】：解】：0 x1- -pxu1pxyAcos(t)u 取任一點取任一點P , 距距o點為點為x , 則則:方法一方法一:自測題：自測題：581cos ()pxyAt

34、u- - 0 xx1- - pu波動方程為波動方程為: :1xyAcos( t)u 取任一點取任一點P, 距距o點為點為x ,則則:波動方程為波動方程為: :1xyAcos(t)u 方法二方法二:59一平面簡諧波沿一平面簡諧波沿x x的正方向傳播的正方向傳播, ,已知已知x x1 1，x x2 2兩點處的振動曲線分別如圖示，兩點處的振動曲線分別如圖示，已知已知x x2 2xx1 1, ,且且 ，則這兩點的，則這兩點的距離？距離？21xx - - t/sy1 /m0t/sy2 /m0自測題：自測題：60【解】：解】：21xxt/sy1 /m0t/sy2 /m02x1xO2x 34x 32 x/m

35、y /m01x 2x61一平面簡諧波，頻率為一平面簡諧波，頻率為300HZ，波速為，波速為340米米/秒，在截面積為秒，在截面積為 的管內(nèi)的管內(nèi)空氣中傳播，若在空氣中傳播，若在10秒內(nèi)通過截面的能量秒內(nèi)通過截面的能量為為 ，求：（，求：（1）通過截面的平均能流；）通過截面的平均能流；（2）波的平均能流密度；（）波的平均能流密度；（3）波的平均）波的平均能量密度？能量密度？223.00 10 m- - 22.7 10 J- - 【解】：解】：（1）通過截面的平均能流）通過截面的平均能流:232 7 102 7 1010W.P.J / st-自測題：自測題：62（2）波的平均能流密度）波的平均能流

36、密度:32222.7 109.0 10/3 10PIJ m sS- - - - （3）波的平均能量密度）波的平均能量密度:PIwuS 2439.0 102.65 10/340IwJ mu- - - 6313.5 惠更斯原理惠更斯原理（Huygens principle） 前面討論了波動的基本概念，前面討論了波動的基本概念，現(xiàn)在討論與現(xiàn)在討論與波的傳播特性有關(guān)的波的傳播特性有關(guān)的現(xiàn)象、原理和規(guī)律?，F(xiàn)象、原理和規(guī)律。 由于某些原因，由于某些原因，波在傳播中，其波在傳播中，其傳播方傳播方向、頻率向、頻率和和振幅振幅都有可能改變。惠更斯都有可能改變?；莞乖斫o出的方法原理給出的方法（惠更斯幾何作圖法

37、）（惠更斯幾何作圖法）是一種處理是一種處理波傳播方向波傳播方向的普遍方法。的普遍方法。64一、惠更斯原理一、惠更斯原理1、 原理內(nèi)容原理內(nèi)容: 媒質(zhì)中任意波面上的各點，媒質(zhì)中任意波面上的各點，都可看作是都可看作是發(fā)發(fā)射子波射子波（次級波）的（次級波）的波源波源（點源），其后（點源），其后的任一時刻，這些的任一時刻，這些子波面的包絡(luò)面（包跡）子波面的包絡(luò)面（包跡）就是波在該時刻的就是波在該時刻的波前波前。2、 原理的應(yīng)用原理的應(yīng)用:已知已知 t 時刻的波面時刻的波面 t+ t 時刻的波面，時刻的波面，從而可進一步給出波的傳播方向。從而可進一步給出波的傳播方向。65t+ t時刻波面時刻波面u t波

38、傳播方向波傳播方向t 時刻波面時刻波面平面波平面波t + t球面波球面波例如，均勻各向同性媒質(zhì)內(nèi)波的傳播：例如，均勻各向同性媒質(zhì)內(nèi)波的傳播：u t 66大量實驗說明了惠更斯原理的正確性。大量實驗說明了惠更斯原理的正確性。不足不足:(1)不能正確說明某些波動現(xiàn)象不能正確說明某些波動現(xiàn)象(如如干涉干涉)；二二. 波的衍射波的衍射（wave diffraction）衍射：衍射：波傳播過程中，當遇到障礙物時波傳播過程中，當遇到障礙物時，能繞過障礙物邊緣而偏離直線傳播的現(xiàn)象。能繞過障礙物邊緣而偏離直線傳播的現(xiàn)象。(2)沒有說明各個子波在傳播中對某一點沒有說明各個子波在傳播中對某一點的振動空究竟有多少貢獻

39、。的振動空究竟有多少貢獻。67入射波入射波衍射波衍射波障礙物障礙物入射波入射波衍射波衍射波障礙物障礙物a例如：例如：相對于相對于波長波長而言，而言，障礙物的線度越大障礙物的線度越大衍射現(xiàn)象衍射現(xiàn)象越不明顯越不明顯; ;障礙物的線度越小障礙物的線度越小衍射現(xiàn)象衍射現(xiàn)象越越明顯。明顯。波通過小孔波通過小孔波的衍射現(xiàn)象波的衍射現(xiàn)象可用惠更斯原理解釋。可用惠更斯原理解釋。68一一 波的疊加原理波的疊加原理2 幾列波相遇之后，幾列波相遇之后， 仍然保持它們各自原有的特征仍然保持它們各自原有的特征（頻（頻、波長、振幅、振動方向等）不變，并按照原來、波長、振幅、振動方向等）不變，并按照原來的方向繼續(xù)前進，好

40、象沒有遇到過其他波一樣的方向繼續(xù)前進，好象沒有遇到過其他波一樣.13.6 波的疊加原理波的疊加原理 波的干涉波的干涉69波的獨立傳播原理：波的獨立傳播原理：有幾列波同時在媒質(zhì)有幾列波同時在媒質(zhì)中傳播時，它們的傳中傳播時，它們的傳播特性（波長、頻率播特性（波長、頻率、波速、波形）不會、波速、波形）不會因其它波的存在而發(fā)因其它波的存在而發(fā)生影響生影響趣稱：趣稱：和平共處和平共處70細雨綿綿細雨綿綿獨立傳播獨立傳播71 （仍可辨出不同樂器的音色、旋律）（仍可辨出不同樂器的音色、旋律） 紅紅、綠綠光束空間光束空間交叉相遇交叉相遇（紅紅仍是仍是紅紅、綠綠仍是仍是綠綠）（仍能分別接收不同的電臺廣播（仍能分

41、別接收不同的電臺廣播） 聽樂隊演奏聽樂隊演奏 空中空中無線電波無線電波很多很多波的疊加原理：波的疊加原理：在它們相遇處，質(zhì)元的位移為各波單獨在該處在它們相遇處，質(zhì)元的位移為各波單獨在該處幾列波可以保持各自的特點幾列波可以保持各自的特點（方向、振幅、波長、頻率）（方向、振幅、波長、頻率） 同時通過同一媒質(zhì)，同時通過同一媒質(zhì)，產(chǎn)生位移的矢量和。產(chǎn)生位移的矢量和。日?，F(xiàn)象：日?，F(xiàn)象：72 疊加原理由波動方程的線性所決定，當疊加原理由波動方程的線性所決定，當波強度過大時波強度過大時 (如爆炸聲如爆炸聲,強激光強激光) ，媒質(zhì)形，媒質(zhì)形變與彈力的關(guān)系不再呈線性，疊加原理也變與彈力的關(guān)系不再呈線性，疊加原

42、理也就不再成立了。就不再成立了。 對于電磁波的情形：對于電磁波的情形：其解同樣滿足疊加原理。其解同樣滿足疊加原理。麥克斯韋方程組的各個方程都是線性的，則麥克斯韋方程組的各個方程都是線性的，則如果如果 D = E 和和 B = H 也是線性關(guān)系，也是線性關(guān)系，E或或H的每個分量的波動方程也是線性方程。的每個分量的波動方程也是線性方程。附注附注:73二二 、波的干涉現(xiàn)象、波的干涉現(xiàn)象 波疊加時在空間出現(xiàn)波疊加時在空間出現(xiàn)穩(wěn)定的振動加強和減穩(wěn)定的振動加強和減弱弱的分布叫的分布叫波的干涉。波的干涉。水波盤中水波的干涉水波盤中水波的干涉74頻率相同、振動頻率相同、振動方向相同、相位方向相同、相位差恒定的

43、兩列波差恒定的兩列波相遇時，使某些相遇時，使某些地方振動始終加地方振動始終加強，而使另一些強，而使另一些地方振動始終減地方振動始終減弱的現(xiàn)象，稱為弱的現(xiàn)象，稱為波的干涉現(xiàn)象波的干涉現(xiàn)象.波的干涉波的干涉75 相干條件：相干條件： 頻率相同；頻率相同； 振動方向相同；振動方向相同； 有恒定的相位差。有恒定的相位差。能產(chǎn)生干涉現(xiàn)象的能產(chǎn)生干涉現(xiàn)象的波稱干涉波波稱干涉波其波源稱其波源稱相干波源相干波源以下分析干涉現(xiàn)象的產(chǎn)生及確定以下分析干涉現(xiàn)象的產(chǎn)生及確定干涉加強干涉加強和和減弱減弱的條件的條件?76設(shè)兩相距很近的相干波設(shè)兩相距很近的相干波若兩波源分別經(jīng)若兩波源分別經(jīng)r1 , r2 , 到到P點相遇

44、點相遇,且振幅分別且振幅分別為為A1 , A2，則在，則在P點引起的分振動分別是：點引起的分振動分別是：111012cos()Atr-222022cos()Atr-1101010cos()SAt2202020cos()SAt1s2sP*1r2r77相位差相位差:2120102rr- P點合振動：點合振動：12cos()At合振幅合振幅121 22cosIIII I強度強度2212122cosAAAA A加強、減弱條件：加強、減弱條件：78l 加強條件加強條件 (干涉相長干涉相長 ) 2212122cosAAAA A由由知知2(0,1,2)kk 12AAA（干涉相長）（干涉相長）max121 2

45、2IIII I若若 A1 = A2 , 則則 Imax = 4 I1振動始終振動始終加強加強79l 減弱條件減弱條件 (干涉相消干涉相消)(21) (0,1,2)kk12AAA-（干涉相消）（干涉相消）min121 22IIII I- 若若 A1=A2 ,則則 Imin= 0干涉是能量的重新分布干涉是能量的重新分布振動始終振動始終減弱減弱80 加強條件加強條件 (0,1,)rkk 減弱條件減弱條件 (21)(0,1,)2rkk 20= 10特例：特例：2112222- -rrrrr波程差波程差相位差相位差例例13.4即討論僅因波程差引起的相位差即討論僅因波程差引起的相位差2121AAAAA-其

46、他其他r 其他其他r 81 例例 如圖所示，如圖所示，A、B 兩點為同一介質(zhì)中兩相干波兩點為同一介質(zhì)中兩相干波源源.其振幅皆為其振幅皆為5cm，頻率皆為，頻率皆為100Hz，但當點，但當點 A 為波為波峰時，點峰時，點B 恰為波谷恰為波谷.設(shè)波速為設(shè)波速為10m/s，試寫出由，試寫出由A、B發(fā)出的兩列波傳到點發(fā)出的兩列波傳到點P 時干涉的結(jié)果時干涉的結(jié)果.解解:15m20mABPmm22152025BP mm100.10100u 由題意可設(shè)由題意可設(shè) A 的相位較的相位較 B 超前，則超前，則 .-BA25152 22010.1BABPAP- - - - - - - - - - - - - 點

47、點P 合振幅合振幅120AAA - - 8213.7 駐波駐波（standing wave）下面研究一種特殊的、常見的干涉現(xiàn)象下面研究一種特殊的、常見的干涉現(xiàn)象一、一、 駐波的形成駐波的形成能夠傳播的波叫行波能夠傳播的波叫行波（travelling wave）。）。兩列兩列振幅相等振幅相等的的相干相干的行波沿的行波沿相反方向相反方向傳播而疊加時，就形成傳播而疊加時，就形成，它是一種，它是一種常見的重要干涉現(xiàn)象。常見的重要干涉現(xiàn)象。駐波的形成駐波的形成832At = 0y0 x0t = T/8xx0t = T/20 xt = T/4波波節(jié)節(jié)波波腹腹/4- -/4x02A-2A/2xt = 3T/

48、8084 設(shè)兩列行波分別沿設(shè)兩列行波分別沿 x 軸的正向和反向傳播，軸的正向和反向傳播，1cos 2xyAt - -（）:x:x2cos 2xyAt （）二、二、 駐波表達式駐波表達式 駐波的特點駐波的特點設(shè)在設(shè)在 x = 0 處兩波的處兩波的初相均為初相均為 0，則：，則：1、駐波表達式、駐波表達式85yA合合A2A12x - -2x 21yyy AAA 21令令22 cosAAx合合如圖如圖 不具備傳不具備傳 播的特征播的特征表示各點都做簡諧振動，振幅隨位置不同而不同表示各點都做簡諧振動，振幅隨位置不同而不同.(,)( , )y tt xu ty t x 上式上式不滿足不滿足:.不是行波不

49、是行波.駐波的振幅與駐波的振幅與位置有關(guān)位置有關(guān)2cos 2cosxyAt各質(zhì)點都在作同各質(zhì)點都在作同頻率的簡諧運動頻率的簡諧運動860022cos2AxA波腹：波腹：振幅最大振幅最大2(0,1,)xkk(0, 1, 2,)2xkk與干涉加強條件得到的結(jié)果相同與干涉加強條件得到的結(jié)果相同2 波節(jié)波節(jié)波腹波腹87波節(jié)：振幅為零波節(jié)：振幅為零022cos0Ax2(21)(0, 1,)2xkk(21)(0, 1, 2,)4xkk 與干涉減弱條件得到的結(jié)果相同與干涉減弱條件得到的結(jié)果相同始終不始終不振動振動2 波節(jié)波節(jié)波腹波腹882.2.駐波的特點：駐波的特點：振幅各處不等大，振幅各處不等大，波腹波腹

50、 (2A) , 波節(jié)波節(jié)(0)。振幅：振幅：2cos 2 xA 駐波是分段的振動，設(shè)兩相鄰波節(jié)間為一段駐波是分段的振動，設(shè)兩相鄰波節(jié)間為一段,則則 相位中沒有相位中沒有x 坐標，坐標，故相位并不傳播故相位并不傳播 駐波。駐波。相位：相位：t cos 2cos2cos xyAt 相鄰相鄰波腹（節(jié)）波腹（節(jié)）間距間距 24相鄰波相鄰波腹腹和波和波節(jié)節(jié)間距間距89必一正一負。必一正一負。 相鄰兩段中各點振相鄰兩段中各點振動動 相位相反。相位相反。（為什么？）（為什么？）因為，相鄰兩段的因為，相鄰兩段的同一段中各點振同一段中各點振動相位相同；動相位相同；2cos2xAA 合xyo22-90合能流密度為

51、合能流密度為()0 w uwu - - 平均說來沒有能量從節(jié)點處傳播，平均說來沒有能量從節(jié)點處傳播，但各質(zhì)元間但各質(zhì)元間仍有能量的交換，兩波節(jié)間能量應(yīng)當守恒。仍有能量的交換，兩波節(jié)間能量應(yīng)當守恒。能量由兩端向中間傳，能量由兩端向中間傳，瞬時位移為瞬時位移為0，勢能為，勢能為0，能量由中間向兩端傳，能量由中間向兩端傳，動能最大。動能最大。動能動能勢能。勢能。 能量：能量：勢能勢能動能。動能。91例題：例題：如圖所示可以是某時刻的駐波波形如圖所示可以是某時刻的駐波波形,也也可以是某時刻的行波波形可以是某時刻的行波波形,圖中圖中 為波為波長長.就駐波而言就駐波而言, x1 , x2 兩點間的相位差兩

52、點間的相位差為為_;就行波而言就行波而言, x1 , x2 兩點間的相位差兩點間的相位差_?212()xx-y(m)x(m)A0-Ax1x2 92三、三、“半波損失半波損失”0反射波反射波 y1 入射波入射波 y1xn大大 波密媒質(zhì)波密媒質(zhì)n小小 波疏媒質(zhì)波疏媒質(zhì)相對相對而言而言（2）波）波疏疏波波密密，反射波有相位反射波有相位突變突變 ，（1）波密）波密波疏，波疏，反射波和入射反射波和入射波同相，無半波損失。波同相，無半波損失。93如下圖示：如下圖示：1111cos( 2)xyAt - - 入射波入射波1111 cos( 2 )xyAt 反射波反射波另外一種描述另外一種描述：（：（1 1）反

53、射端為自由端，無半波損失）反射端為自由端，無半波損失; ; （2 2）反射端為固定端，有半波損失。）反射端為固定端，有半波損失。94入射和反射波的波形如下：入射和反射波的波形如下：波腹波腹相位不變相位不變波疏媒質(zhì)波疏媒質(zhì)波密媒質(zhì)波密媒質(zhì)x駐波駐波波節(jié)波節(jié)駐波駐波相位突變相位突變 波疏媒質(zhì)波疏媒質(zhì)波密媒質(zhì)波密媒質(zhì)x2 入射波入射波入射波入射波反射波反射波反射波反射波波密波密波疏波疏波波疏疏波波密密95 波在一定邊界內(nèi)傳播時就會形成各種駐波。波在一定邊界內(nèi)傳播時就會形成各種駐波。如兩端固定的弦，如兩端固定的弦，L，3 , 2 , 12 nLnn nLn2 或或Lununn2 Tu系統(tǒng)的系統(tǒng)的固有頻

54、率或簡正頻率固有頻率或簡正頻率T 弦中的張力弦中的張力波速波速形成駐波必須滿足以下條件：形成駐波必須滿足以下條件： 弦的線密度弦的線密度四、兩端固定的弦中的駐波四、兩端固定的弦中的駐波96基頻基頻21 n =1二次二次諧頻諧頻n =222 三次三次諧頻諧頻n =323 每種可能的每種可能的穩(wěn)定振動方式穩(wěn)定振動方式稱作系統(tǒng)的一個稱作系統(tǒng)的一個固有振動或固有振動或簡正模式簡正模式注意：注意：駐波的波形駐波的波形和 能 量 都和 能 量 都“不傳播不傳播”，所以不是波所以不是波動，而是一動，而是一種特殊形式種特殊形式的振動。的振動。97一沿一沿x軸方向傳播的入射波的表達式軸方向傳播的入射波的表達式為

55、為 ，在，在x = 0處發(fā)生反射，處發(fā)生反射，反射點為一節(jié)點，求：（反射點為一節(jié)點，求：（1）反射波的表）反射波的表達式；（達式；（2）駐波的表達式；（）駐波的表達式；（3）波節(jié)、）波節(jié)、波腹的位置坐標。波腹的位置坐標。1cos2 ()txAT - -【解】：解】：例題例題（1）由題意知，波反射時有）由題意知，波反射時有 的相的相位突變，所以反射波的表達式為位突變，所以反射波的表達式為 2cos2()txAT 都都可可98（2）據(jù)波的疊加原理，駐波的表達式為：）據(jù)波的疊加原理，駐波的表達式為：12 cos()cos2 ()txtxAATT - - 222cos()cos()22xtAT 222

56、sinsinxtAT （3）形成波節(jié)的各點，振幅為零，則：形成波節(jié)的各點，振幅為零，則：992sin0 x 即：即：2xk .(0,1, 2,.)2xkk 形成波腹的各點，振幅最大，則：形成波腹的各點，振幅最大，則：2sin1x 0,.22xn -位置坐標：位置坐標：222sinsinxtAT 100(21).(0,1,.)4xkk 2(21)2xk 即：即：位置坐標：位置坐標：35,. (21)4444xn - - - - - 2 - -x 0 - -32 - -4 - -34 - -54 - -位置坐位置坐標如圖標如圖示：示：101例題：例題：沿弦線傳播的一入射波在沿弦線傳播的一入射波在x

57、=L處（處（B點）發(fā)生反射，反射點為自由端，點）發(fā)生反射，反射點為自由端，設(shè)振幅不變，且反射波的表達式設(shè)振幅不變，且反射波的表達式為為 ，則入射波，則入射波的表達式為：的表達式為： ？2cos2 ()xyAt y0LBx【解】：解】：B為反射波的波源，為反射波的波源，其振動方程為：其振動方程為：cos2 ()BLyAt O為為B點的波源，其振動方程為：點的波源，其振動方程為：12cos2 ()xLyAt - - 102cos2 ()OLLyAtu 2cos2 ()LAt 沿波線上任取一點，它到參考點的距離為沿波線上任取一點，它到參考點的距離為x，其振動方程為：其振動方程為：12cos2 ()x

58、LyAtu - - 2cos 2()xLAt - - 103發(fā)射頻率發(fā)射頻率s接收頻率接收頻率人耳聽到的聲音的頻率與聲源的頻率相同嗎？人耳聽到的聲音的頻率與聲源的頻率相同嗎？接收頻率接收頻率單位時間內(nèi)觀測者接收到的振動次單位時間內(nèi)觀測者接收到的振動次數(shù)或完整波數(shù)數(shù)或完整波數(shù).s?只有波源與觀察者相對靜止時才相等只有波源與觀察者相對靜止時才相等.13.8 多普勒效應(yīng)多普勒效應(yīng) (Doppler effect)104 多普勒效應(yīng)：多普勒效應(yīng)：由于波源和觀察者的運動，由于波源和觀察者的運動，而使觀測的頻率不同于波源頻率的現(xiàn)象。而使觀測的頻率不同于波源頻率的現(xiàn)象。一、機械波的多普勒效應(yīng)一、機械波的多普

59、勒效應(yīng)設(shè)設(shè) 運動在波源運動在波源 S 和觀測者和觀測者R的連線方向上，的連線方向上，以二者相向運動的方向為速度的正方向。以二者相向運動的方向為速度的正方向。uv vS 0v vR 0SR( (波的頻率波的頻率) )w（對媒質(zhì)）（對媒質(zhì)）（對媒質(zhì)）（對媒質(zhì)）S （波源頻率）（波源頻率）R （觀測頻率）（觀測頻率）105一一 波源不動，觀察者相對介質(zhì)以速度波源不動，觀察者相對介質(zhì)以速度 運動運動Rv106此時，此時，SwuSv vS = 0Rv vR vvuuu RRRSS()wuuv vR 0(R接近接近S)，SR v vR 0R,S反向反向(彼此遠離彼此遠離)運動，運動，v vs, v vR0,故有故有:v-RSSu. HZu 865 6警車駛離觀察者時警車駛離觀察者時,Vs 0,VR 0,則上式為則上式為:v836.2vRuHZu RSS- - - -(2)聲波聲波(警車警車)與客車上的觀察者作同向運動與客車上的觀察者作同向運動時時,觀察者接收的頻率為觀察者接收的頻率為:116復(fù)習指導(dǎo)復(fù)習指導(dǎo)2. 熟練掌握簡諧波的描述熟練掌握簡諧波的描述3. 掌握半波損失問題掌握半波損失問題4. 理解駐波的形成和它的幾個特點理解駐波的形成和它的幾個特點1. 弄清波動過程中相位領(lǐng)先和落后的概念弄清波動過程中相位領(lǐng)先和落后的概念