粒子碰撞物理學第二章(講課稿)

1、粒子同固體相互作用物理學粒子同固體相互作用物理學 第二章 離子在固體中的碰撞和散射 2.1原子間的相互作用勢原子間的相互作用勢l要合理方便地研究離子同原子間的彈性碰撞問題，首先要取一個簡化的、合理的相互作用勢V(r)，這是十分必要的。l歷史上不同的相互作用勢函數模型：1.硬球模型（剛性球）V(r)=，r2R0 硬球勢函數雖然是一種不符合實際的作用勢，然而這種近似卻為理論計算 帶來極大的方便。 2.庫侖相互作用勢： 這適用于兩個剛性的，沒有結構（可看作點電荷）的帶電粒子之間的相互作用，比如兩個不帶電子的原子核之間的碰撞，如質子。在某些特殊場合下，也用可來近似處理。 假如實際情況可以歸結為以上兩種

2、情況，那問題解決起來就很簡單了。但離子和原子的結構并不是那么簡單，它們有復雜的結構，是多維度的，而且每種原子的結構還都不一樣，這就使得精確討論這個問題變得很復雜了，難以入手了。 reZZrV2212.1原子間的相互作用勢原子間的相互作用勢l3.Born-Mayer勢： 常數A和可用彈性模量和晶格常數等物理量來確定。 reZZrV221 )exp(rArV2.1原子間的相互作用勢原子間的相互作用勢l4.玻恩（Born）屏蔽庫侖勢： 考慮到原子結構，也就是考慮到核外電子結構對庫侖勢的屏蔽作用，所以引入屏蔽因子。使用范圍介于原子K層半徑和點陣間距之間。并不是一個很好的勢函數。 )exp(221arr

3、eZZrV2/13/223/210)(ZZaaoa53. 002.1原子間的相互作用勢原子間的相互作用勢l5、托馬斯費米勢（ThomasFermi） ： 加入了修正函數，比較適用于能量在104105eV的各種注入離子。 )(1221arreZZrVTF2/123)()(1)(arararTF2.1原子間的相互作用勢原子間的相互作用勢l6、林哈德勢（Lindhard）： 同樣采用了修正函數，取不同的S值（S=1,2,3,4，）可適用于不同的作用距離。 也稱作負冪勢，其缺點是不能用一個單一的解析式表達所有范圍內的勢函數。 )(0221arreZZrV10)/()(Ssraskar2.1原子間的相互

4、作用勢原子間的相互作用勢l7、韋爾森（Welson）勢 ： 適用于高能和低能離子注入，屬于比較精確的分析勢。 rrrreeeerV2016. 04026. 094235. 02 . 302817. 02802. 05099. 018818. 0l以上這些作用勢都是一定程度的近似表達法。目前還未找到一個很確定的相互作用勢來適合于所有離子原子對之間的通用相互作用勢。也就是說，這些相互作用勢中的任一種勢都不可能在離子的全部能區(qū)，全部范圍內都適用。l由于固體中原子的間距是很小的，因此檢驗這些相互作用勢的實驗做起來相當困難。所以只能間接地用離子的散射實驗，以及注入離子在固體中的統(tǒng)計分布和計算機模擬來修正

5、這些作用勢（加不同的修正系數）。因為一般來講，僅對表達式中系數做一定的修正，這比建立一個新的表達式方便容易得多。2.1原子間的相互作用勢原子間的相互作用勢l例如，以測得的入射離子在固體中的統(tǒng)計分布為實驗根據，確定入射離子的初始條件（包括能量和位置參數），然后確定離子原子間相互作用勢和原子結構即可計算出離子在固體中的最終分布（就像咱們下面幾節(jié)課要做的一樣）。l將多次碰撞進行統(tǒng)計平均，然后與實驗比較，根據二者的差別反述來修正相互作用勢，比如對修正系數或修正函數進行修正，多次的反復修正直到理論與實際的相互作用勢和統(tǒng)計分布參數符合到滿意為止。2.2彈性散射和微分散射截面彈性散射和微分散射截面 l我們先

6、從硬球模型入手來討論彈性散射和微分散射截面?？梢哉f采用相互作用勢的硬球模型來討論離子同固體的相互作用問題在一定程度上也是有它合理性的。 在離子注入中，入射離子和靶原子之間發(fā)生碰撞的最遠距離，不超過晶體靶中原子點陣間距的一半（大約是13之間）。而最小的碰撞間距不會小于0.1，整個間距很小。如果我把這個間距忽略掉，那么可以設想，有一個半徑為R0的硬球來代替被碰撞的原子。即把每個原子當成一個半徑為R0的理想彈性硬球。彈性碰撞只發(fā)生在r= 2R0處，在r2R0處則不發(fā)生相互作用，這種碰撞稱為硬球碰撞。實驗上在彈性相互作用時，硬球模型是一種相當合理的近似，且處理方法又很簡便。我們在這里用這種模型來引入微

7、分散射截面這個概念。當然在實際的離子注入過程中，入射離子跟靶原子之間的實際相互作用勢比這要復雜的多，以此推出的結論自然也會有些不一樣。E0,v0碰撞參數碰撞參數E1T=E2 在圖上，考慮兩個半徑為R0的硬球碰撞，入射球的質量和能量分別為M1和E0，而開始處于靜止狀態(tài)，被碰撞原子的質量為M2，碰撞時兩球心間距為2R0，碰撞前入射球前進線與被碰撞原子之間的距離為P，我們稱之為碰撞參數（這是一個很重要的物理參量）。碰撞的結果，入射球由原來的運動方向被偏離了角，而將能量T=E2移交給被碰球，也就是靶原子，使其偏移角。對于給定的子彈和靶原子核而言，決定傳輸能量T的因素，是入射離子的初始能量E0，碰撞參數

8、P和碰撞中起作用的幾種力學性質。對于彈性碰撞，利用經典力學理論就可以算出T與P，E的函數關系。根據動量守恒，平行于中心連線的動量分量為：221101)cos(cosvMvMvM垂直于中心線的動量： )sin(sin1101vMvM利用上式可得到： 212/12212212021sincosMMMMMvv等式兩邊各乘以M1/2進而可得出： E1=kE0l碰撞后兩者的速度分別為V1和V2，從能量守恒出發(fā)，有212222112010212121EEvMvMvME其中 212/1221221202101sincosMMMMMvvEEk（為入射離子彈性碰撞后與碰撞前能量之比，稱為運動學因子，在離子束分析

9、技術中，我們要經常用這個參數。） 一束均勻而平行的離子束射向靜止的原子，根據硬球模型，只有那些碰撞參數在P2R0的入射離子發(fā)生散射，因而面積4R02決定了碰撞總截面。具有碰撞參數為P的所有離子都將會偏離角，進入一個以被碰撞原子為中心，半角為的錐體面上，同理，以被碰撞參數為P+dp入射的離子，將進入半角為+d的錐面上。dp取極限小時，可以認為處于p+dp面積元的所有入射離子有相同的碰撞參數P。這個環(huán)形的面積元我們就稱之為碰撞參數為P，散射角為的微分散射截面d。它的物理意義是粒子碰撞的散射角為的幾率。 )(2)(222pdpdppdppd由于T取決于角，所以能量傳遞T+dT也由+d決定，因此上述微

10、分截面也可稱為T+dT范圍內能量傳遞微分截面。2.3 散射角與散射截面散射角與散射截面 l這一節(jié)我們來求兩體碰撞過程中的散射角及一般的散射截面。討論這類碰撞問題，比較方便的做法是同時應用兩個坐標系：實驗室系和質心系。在碰撞之前，在實驗室系內，入射粒子以v0運動，靶原子M2可當作靜止不動。碰撞以后，兩個粒子分別以速度V1和V2向和方向散射。（如圖所示） 用質心系描寫的碰撞情況畫在右圖。由于質心系是零動量系，兩個粒子先是相對而來，速度分別為v0-vc和-vc。碰撞以后又相背而去。根據動量和能量守恒定律可知，兩個粒子碰撞后的速度數值將分別保持不變。因此質心系內的計算相對簡單。算出結果以后，再把各個速

11、度轉換到實驗室系去就行了。轉換時用到的速度矢量相加關系畫在上圖中，從中可推算出以下有用的結果：cossin222212MMMtg 把每個粒子相對于質心速度的速度矢量相加，不難導出碰撞后入射粒子和被碰原子的實驗室系里的速度：由此可得出入射離子散射后保留能量E1 而被撞原子的能量E2則為：（也就是傳遞給被撞原子的能量） 從這式子可以看出，當質心系散射角從零增加到時，入射離子能量從E0減少到E01-4M1M2/(M1+M2)2，傳遞給被撞原子的能量則從0增加到（最大值）：這是對頭碰撞的情況，散射角最大，能量傳遞最大。這樣 可見，要求出碰撞后的能量損失，也就是能量傳遞，必須先求出散射角，下面我們將詳細

12、推導出它的表達式。在質心系中，入射離子和被撞原子相對于質心的速率分別為： 于是在質心系中，兩粒子相互作用始點或終點處，相對于質心的動能之和 還可以求出質心的動能：質心動能與Ec之和為系統(tǒng)總動能，該值恰好等于入射離子的初始動能，這就是能量守恒。我們再回到質心系中：下面是質心系中入射離子和被撞原子的軌跡 我們用極坐標來處理這個問題，坐標原點為質心，角為角坐標，M1和M2與質心的距離分別為r1和r2，這里他們分別滿足：r是兩原子間距離，Rm是原子間接近的最小距離，此時連線垂直于極軸，M1的徑向和橫向速度分別為：1和r1 ，M2的速度分別為2和r2 ，在沒有外力約束的情況下，系統(tǒng)的總能量是守恒的，且在

13、r=時，V(r)=0根據能量守恒定律將r1和r2代入，可得再根據角動量守恒定律，有將代入 ，得（利用了 和式）對兩邊積分即可求出散射角：（積分起始點為什么這么?。浚┓e分后，可得u這就是我們最后得到的質心系中散射角的表達式，求出與P對應的值后，可以根據T()關系【T()=Tmaxsin2/2】求出對應的T，而后可求出散射截面(E,T)來。n但由這個式子可以看出，要算出進而算出能量損失，還需要知道兩粒子間的相互作用勢，下面我們選取一個非屏蔽的庫侖勢來求一下散射角。 代入庫侖勢 reZZrV221B稱為碰撞直徑，它是兩個以速度v0作相對運動的同號荷電離子的最小逼近距離（取p=0可得）。利用上式，即可

14、以求出因此，在入射粒子行進的過程中，p相同的靶原子從入射離子得到的能量T是相同的。將這個式子變形，求導，我們還可以得到散射截面與T的關系：l我們已經知道，一個入射粒子打進固態(tài)材料中，它在固體中穿行時在整個路徑上都必將與固體中的原子發(fā)生一系列的碰撞和散射等相互作用，同時在這個過程中，通過一定的方式，逐漸損失掉自身的能量，這些能量或者傳遞給靶原子了，或者轉換成其它形式的能量了。l至于離子采取什么方式損失，或者說交換掉自己帶的能量，取決于入射粒子和靶的組合情況，還取決于粒子所帶能量的高低。2.4 阻止本領阻止本領 運動的離子在固體靶物質中的能量損失機制（或者說方式），可以有以下幾種類型：（1）原子核

15、碰撞 （2）激發(fā)和電離（3）光子產生和發(fā)射 （4）核反應 運動的離子在固體靶物質中的能量損失機制運動的離子在固體靶物質中的能量損失機制（1）原子核碰撞 入射離子通過彈性碰撞把能量傳給靶原子核，使靶原子獲得能量反沖。由于是同靶原子核碰撞的能量損失，所以也叫核能量損失或彈性能量損失。這一種機制主要是低速入射粒子的能量損失的主要方式。（2）激發(fā)和電離 入射的離子通過與靶內電子的相互作用，而把能量傳給靶電子，從而使一些靶原子達到激發(fā)態(tài)或者電離態(tài)。入射粒子用于激發(fā)或電離的這部分能量損失通常也叫電子能量損失，或者稱為非彈性能量損失。這種損失能量的機制是高速入射粒子損失能量的主要方式。（3）光子產生和發(fā)射

16、在入射離子的速度高到達到相對論速度的情況下，入射粒子會在穿過介質時減速而發(fā)射光子，從而把損失的能量變成光子能量。（4）核反應 當入射粒子和靶的組合滿足一定條件，而且碰撞能量達到一定的反應閾能時，會發(fā)生核反應，核反應也會用掉入射離子的部分能量。l我們已經知道，一個入射粒子打進固態(tài)材料中，它在固體中穿行時在整個路徑上都必將與固體中的原子發(fā)生一系列的碰撞和散射等相互作用，同時在這個過程中，通過一定的方式，逐漸損失掉自身的能量，這些能量或者傳遞給靶原子了，或者轉換成其它形式的能量了。l至于離子采取什么方式損失，或者說交換掉自己帶的能量，取決于入射粒子和靶的組合情況，還取決于粒子所帶能量的高低。2.4

17、阻止本領阻止本領 運動的離子在固體靶物質中的能量損失機制（或者說方式），可以有以下幾種類型：（1）原子核碰撞 （2）激發(fā)和電離（3）光子產生和發(fā)射 （4）核反應 后兩種主要屬于核物理范疇，不在我們的討論范圍。我們主要關心和討論前兩種能量損失機制。 根據入射粒子種類和能區(qū)不同，及對不同靶物質，各種相互作用的概率是不同的。因此，在一定情況下，常常只考慮起主要貢獻的一種或幾種作用，而忽略其他的。于是，帶電粒子分為“輕”“重”及“快”“慢”。入射粒子入射粒子運動方向運動方向入射粒子入射粒子能量損失能量損失導致結果導致結果重要性重要性與電子與電子非彈性碰撞非彈性碰撞改變不大改變不大不大不大電子電離或激電

18、子電離或激發(fā)發(fā)是能量損失的主要方式是能量損失的主要方式與核與核非彈性碰撞非彈性碰撞改變較大改變較大不大不大電磁輻射或原電磁輻射或原子核激發(fā)子核激發(fā)對對 粒子粒子是損失能量的重要方是損失能量的重要方式式與核與核彈性碰撞彈性碰撞改變較大改變較大不大不大原子核反沖原子核反沖入射能量很低或低速入射能量很低或低速重離子重離子入入射時，有重要貢獻。射時，有重要貢獻。與電子與電子彈性碰撞彈性碰撞改變改變很小很小只有在只有在很低能量很低能量（100eV）的）的 粒子粒子入射時才需考慮入射時才需考慮u能量損失問題的重要性能量損失問題的重要性 能量損失理論和實驗的研究開始于上世紀初，這方面的研究在前一階段提供了許

19、多關于原子和原子核結構的重要信息。隨著核能的利用和核技術的發(fā)展，粒子同各種物質的作用所產生和涉及的問題，例如輻射損傷、離子注入射程和射程分布、離子背散射和濺射、離子感生激發(fā)等等，都需要知道離子在固體物質中的能量損失情況。因此可以說，有關各種離子在物質中的能量損失是粒子同固體相互作用物理學研究的基礎。l一般而言，能量損失過程的特征可以用一般而言，能量損失過程的特征可以用單位路徑長度上的能單位路徑長度上的能量損失量損失來描述來描述 阻止本領的概念阻止本領的概念可以用代數式可以用代數式 表示，又被稱為表示，又被稱為 阻止本領阻止本領（stopping power） )(dxdE如果不考慮光子產生和核

20、反應這兩種情況，那么 靶原子的整體平移運動彈性能量損失入射離子損失掉的能量 激發(fā)原子的內部自由度非彈性能量損失 （即站在原子核上看到的那部分能量損失）l由于原子的質量基本上集中在原子核上，彈性能量損失近似地等于粒子與原子核碰撞時的能量損失，通常就稱之為核碰撞能量損失核碰撞能量損失。l另一方面，由于原子的質心在碰撞中得到的速度變量不是很大，非彈性能量損失近似地等于實驗室系中離子與電子碰撞時的能量損失，通常就稱之為電子碰撞能量損失電子碰撞能量損失。阻止本領的概念阻止本領的概念 核碰撞能量損失核阻止本領 單位路徑長度上的 （nuclear stopping） 電子碰撞能量損失電子阻止本領 （elec

21、tronic stopping）ndxdE)(edxdE)(經典的散射理論經典的散射理論一般會有如下一般會有如下假設假設：l僅考慮兩個原子間的碰撞l原子電離和激發(fā)僅僅作為能量損失的一種形式，并不影響碰撞的動力學過程，所以電子阻止和核阻止可以分開計算。l兩個碰撞原子中的一個起始處于靜止狀態(tài)。 這些假定都是經典散射理論的基礎和出發(fā)點，忽略這些假定就很難用經典理論研究散射過程。那么究竟這些假設合理不合理呢？假設的合理性假設的合理性l第一、keV或MeV級的離子同靜止原子間的碰撞是激烈的碰撞，碰撞體之間可逼近到小于原子間距以內，所以對三個或更多原子同時碰撞的幾率是很小的。l第二、忽略電子激發(fā)在碰撞動力

22、學中的影響是一種合理的近似，因為傳遞到電子上的動能比傳遞到原子上的動能要小得多，因而碰撞后原子的散射角不因電子碰撞而發(fā)生明顯的偏移，所以散射角可以用彈性散射角來確定。例如KeV能量的重離子同固體原子碰撞時，僅有百分之幾的能量消耗在同電子碰撞的能量損失上。l第三、在實際的注入過程中，一束離子注進去之后，有可能會發(fā)生密集的級聯(lián)碰撞，并不是所有的一對碰撞原子都會有一個處于靜止狀態(tài)，但如果不做這個假定，不確定因素就太多了。根本無法用理論來具體描述。所以必須做這個近似。在這個假設基礎上得出的理論結果，跟實際情況的誤差在可以接受的范圍內，所以說這個假定也是合理的。 林哈德在林哈德在1963年發(fā)表他們的年發(fā)

23、表他們的LSS理論時，對碰撞問題也做了理論時，對碰撞問題也做了三個基本假定：三個基本假定：1、入射離子與靶原子的相互作用，可以分成彼此獨立的兩個部分（這與前面的第二條假定是對應的）l與靶內電子的相互作用與靶內原子核的相互作用 那么，阻止本領也就可以寫成endxdEdxdEdxdE)()(2、離子與原子核的相互作用勢，采用與托馬斯費米勢相近的Lindhard屏蔽勢 S=2時，其實就是常見的托馬斯費米勢，當S取23之間時，理論與實際符合的更好些。 )(0221arreZZrV10)/()(Ssraskar3、忽略不計靶結構對射程分布的影響在LSS理論中，首先討論了入射離子對非晶靶的情況。所謂非晶靶

24、，也稱為無定形靶，就是靶內原子排列雜亂無章，沒有一定的規(guī)律，但其原子的密度是均勻的。忽略不計靶結構對射程分布的影響，就是把靶當作非晶靶處理。在目前半導體器件的制作中，為了精確地控制結深，避免溝道效應，往往讓靶片的晶軸方向與入射離子束成一定的角度，這時的單晶靶也可以忽略靶結構，當作非晶靶處理。另外，用非晶靶來處理多晶靶中的問題也是比較好的近似。LSS理論對在非晶靶中注入離子的射程分布的研究 2.4.1 核阻止本領的理論計算核阻止本領的理論計算l對于原子核之間的彈性碰撞，入射離子在dx路程上總共損失的能量(-dE)n可以由下式對不同的散射截面，也就是不同的P值積分得到： )(pTdxdNdEnpn

25、pnnpdppTNdpTNdxdE2)()()(E：注入離子在其運動路程上任一點：注入離子在其運動路程上任一點x處的能量處的能量N: 靶原子密度靶原子密度 5 1022 cm-3 for SiSn(E) ：一些書上把Sn(E)也稱為原子核的阻止本領，它表示能量為E的一個入射離子，在單位密度的靶內通過微分厚度dx傳遞給靶原子核的能量，也有把它稱之為核阻止截面的。)()(ENSdxdEnnpnnpdppTdpTES2)()()(經常記為：粗略計算粗略計算: 一級近似公式一級近似公式 1521212 32 312122.8 10eVcmnZ ZMSEMMZZl與能量無關l在粗略的估算中，這是一個非常

26、有用的公式，尤其是在小角度占絕對優(yōu)勢時，用Sn估計出來的射程在一定程度上相當接近于實際值。 一、庫侖相互作用勢下的核阻止本領一、庫侖相互作用勢下的核阻止本領l對于庫侖相互作用勢，我們前面已經得出：222022221212)(bpvMQQpT把此式帶入前式，并從0到Pmax對P積分，可得到222020222212)(2)(maxbppdNvMQQdxdEpppn)2(2ln422max2022221bbpNvMQQl如果庫侖勢存在屏蔽，在Pmax=a處被截止，上面的式子可寫成)2(2ln4)(222022221bbaNvMQQdxdEn利用前面得到的核碰撞的截面表達式 220222212TdTv

27、MQQdn核阻止本領還可以寫成dTdTdNdpTNdxdETTnnnmaxmin)()(minmax2022221ln2TTNvMQQ 可以看出，在庫侖勢作用下,核阻止本領： 與Z1Z2 成正比； 與M2（也就是靶原子質量）成反比 與離子能量成反比（離子能量越高，核阻止本領越?。┒⒃诙?、在Lindhard相互作用勢下的核阻止本領相互作用勢下的核阻止本領 求Lindhard相互作用勢下的核阻止本領是LSS理論里的一部分主要工作，涉及到的數學知識和數學推導非常多。 )(212212MMeZZaME林哈德等人引入了兩個無量綱的參數和來計算截面，一個量是路程參數，另一個是能量參數，具體形式為：221

28、122)(4MMMaRNM2/13/223/210)(8853. 0ZZaaoa53. 00ssspakr)(對于林哈德勢而言，根據前面得到的散射角計算公式將林哈德勢V（r）代入，可以計算出 2131ssrs其中C為一個與能量無關，但跟入射離子和靶原子有關的常數。 當不大時（小角散射近似），可以導出dTTCEdmmn1mTTt/2)(221232tftdtadn引入一個新中間量 2332326121)121()(tttf由以上式子出發(fā)可以得到核阻止本領表達式02)()()(2121tftdTaNdxdEmn約化核阻止本領：0)()()()(2121tftdSddnn 在實際計算中，齊格勒（在實

29、際計算中，齊格勒（Ziegler）給出了如下的）給出了如下的約化核阻止計算公式：約化核阻止計算公式：)()(10462. 8)(23. 0223. 012112115nnSZZMMMZZES2ln)(nS當30 ，19593. 001321. 0 2)138. 11ln()(5 . 021226. 0nS當30，l低能量時，核阻止本領隨能量的增加而線性增加，lSn(E)會在某一中等能量時達到最大值。l 較高能量時，由于高速粒子沒有足夠的時間和靶原子進行有效的能量交換，所以Sn(E)變小。l更高能量時，隨能量的增加， Sn(E)0核阻止本領與能量的關系核阻止本領與能量的關系As,P,B在硅中核、

30、電子阻止本領與能量關系計算值在硅中核、電子阻止本領與能量關系計算值幾種常用離子在硅中的核阻止本領與能量關系幾種常用離子在硅中的核阻止本領與能量關系 2.4.2 電子阻止本領的理論計算電子阻止本領的理論計算 l電子阻止本領是指入射離子與靶內電子碰撞時的單位路徑長度上的能量損失，也就是非彈性能量損失。一般可以將入射離子與靶內電子的碰撞分為四種情況討論：（主要是依據離子是高能還是低能，電子是看作束縛還是自由電子來區(qū)分） 1.高能粒子與靶內束縛電子的相互作用2.高能粒子與靶內自由電子的相互作用3.低能離子與靶內束縛電子的相互作用4.低能離子與靶內自由電子的相互作用經典還是量子方法？經典還是量子方法？l

31、原則上處理這些情況最好都用量子力學方法，這會與實際情況符合的好一些，但在某些情況下量子力學求解起來非常繁雜，所以歷史上針對這些不同的情況曾出現(xiàn)過不同的理論模型和方法，有經典的，有量子的。還有經典方法結合量子修正的。l判斷什么情況下可用經典的方法，玻爾曾提出一個著名的判據，叫玻爾判據，根據這個判據可以判定是否可以用經典的方法來處理問題。玻爾判據12021vvZZ根據這個判據：低速離子可用經典力學的方法 高速離子應該用量子力學方法其中 v0為玻爾速度，v0=e2/h, v為離子速度 下面就這幾種不同的情況來介紹一下幾種求電子阻止本領的不同理論模型和方法。一、高能粒子與靶內束縛電子的相互作用一、高能

32、粒子與靶內束縛電子的相互作用 dtFqesin221reZF 這種計算方法可以直接用動量近似來計算電子的阻止本領，即認為離子以高速v從電子旁掠過，離子因與電子作用而產生的散射角很小，入射離子幾乎沿著z軸直線前進，兩個粒子之間的動量轉移可以這樣計算出來： M1,vrpeFz（水平分力無貢獻） 庫侖力： （一）經典計算（一）經典計算-動量近似動量近似 3221sinsinpeZFpr（一）經典計算（一）經典計算-動量近似動量近似 tgvpvpvrvztsincoscos2sindvpvdzdtpveZdpveZdvppeZdtFqe210212023212sinsinsinM1,vrpeFz電子所

33、得到的能量：224212122pvmeZmqTeeeemaxmin242122242122422ppeeeeepdpvmeZNZppdpvmeZNZdTNZdxdE考慮到原子核對電子的束縛作用，可以得出：Pmin0, PmaxcceEeZEQQbp2121minvpmax（絕熱隔斷） ：電子在原子核周圍的運動頻率eeebvNZvmeZdxdE2ln422421前面的課曾經得到：)2(2ln4)(22222221nnnbbaNvMQQdxdEnbaNvMeZZ2ln42242221所以高速帶電粒子的這兩部分能量損失之比約為：200040001)()(22neneeneLLLLZmMdxdEdxd

34、E 所以在高能區(qū)內，核阻止本領相對于電子阻止本領可以忽略不計，只需要考慮(-dE/dx)e即可。 （二）高能粒子與靶內束縛電子的相互作用的量子力學計算高能粒子與靶內束縛電子的相互作用的量子力學計算 把入射離子與被碰撞的原子作為一個體系看待。那么體系的哈密頓量可以表示成： VHH0其中V是離子-原子間的相互作用勢。Ho則可寫成兩項之和：apHHH0pHaHt=0時，自由入射粒子的哈密頓,孤立靶原子的哈密頓假設離子-原子間相互作用微弱，即假設V相對于Ho來說是一個小量。這樣即可以利用波恩近似（一級微擾理論）處理求解薛定諤方程。 再假定體系在t=to時處在未受擾動的哈密頓量Ho的一個本征態(tài)上，即設體

35、系的波函數為： 其中uno滿足定態(tài)方程這就是薛定諤方程的初始條件。 把（t）按Ho的本征函數un展開：根據波函數的正交性及一級微擾假設，可得其中 為躍遷矩陣元，而 是時刻t時發(fā)現(xiàn)體系處在態(tài)uk的幾率 由此還可計算單位時間內躍遷到態(tài)uk的幾率為在（t-to）時，躍遷率趨向于一個與時間無關的表達式： 然后，求出單位立體角的躍遷幾率：它是單位時間內，把原子激發(fā)到n態(tài)，而離子則往（，）方向的單位立體角散射的幾率。 把這個幾率除以單位時間內的入射粒子數Jo（入射離子的通量），就得到一個離子的非彈性散射的微分散射截面（也叫一個離子單位立體角的躍遷幾率）。于是電子阻止本領可以表示為：對于離子-原子散射，勢函

36、數為： 它是離子與核外Z2個電子和離子與原子核的相互作用勢的疊加（有多少個電子，就有多少個ri）。 hq是由離子轉移給原子的動量，于是可得出：把它帶入前面所得的式子，可得出：l這個公式稱為貝特布洛赫公式，式中的 I 稱為原子的平均電離勢，這就是考慮高速離子與靶內束縛電子的相互作用的情況下得到的電子阻止本領的量子力學結果。l這個公式中，別看形式比較簡單，最難計算的是平均電離勢I ，它牽涉到原子的性質，所以不等于有了算式就可以計算出來。目前只有對氫原子才能精確的計算出 I 的值。即使對于氫原子，I 的計算也是非常繁雜的，這里給出氫原子的I值計算結果： 對H, I=15eV二、高能粒子與靶內自由電子

37、（氣）的相互作用二、高能粒子與靶內自由電子（氣）的相互作用l前面的討論中，電子都是原子中的電子，實際上還存在另外一類電子，例如金屬中的價電子，它們并不固定地從屬于原子，而是在正離子晶格點陣中自由運動。假如不考慮電子間的相互作用，這類電子可以看成是在正的本底電場中的自由電子氣。l帶電離子在自由電子氣中的能量損失可以用完全不同于“碰撞”圖像的另外一種圖像，即“極化”圖像來描述。這種描述稱為介電描述，這部分我們簡單介紹一下Lindhard的介電描述。l介電描述并不是只能應用于金屬，只要把原子中局部區(qū)域中的電子云近似看成是均勻的自由電子氣，那么介電描述也可以應用于一般原子中。l在Lindhrd的介電描

38、述中，當一個帶正電的運動離子在電子氣中通過時，電子受到吸引，向著入射離子的路徑靠攏。-e -e -e -e-e -e -e -eEpolEindl這一極化效應在離子的近處比遠處強，在離子的后面比前面強。結果，由于電子的堆積，在垂直于粒子路徑的方向上感生出一個電場Epol，在與路徑相反的方向上感生出另一個電場Eind。1、形成極化場Epol 使遠處的電子截斷 使近處的電子在平衡位置振動2、形成感生場（與離子運動方向相反）Eind：使入射粒子慢化l感生場Eind是入射離子慢化的原因，而極化場Epol的作用則是使得遠處的電子不再像入射離子的路徑靠攏，在足夠遠的地方，場強Epol可能與入射離子產生的場

39、強Edir一樣大小，那里的電子不再受到入射離子的作用，無從吸收能量，帶電粒子的能量損失也就截斷了。同時，近處電子在這兩個電場的作用下，會在平衡位置上下振動，形成電子云的一種密度振蕩。l在感生場Eind的作用下，帶電粒子受力F=Z1eEind 入射粒子一邊運動，一邊克服這個力做功，并逐漸損失能量。 因此，能量損失可以寫成： vvEeZdxdEinde1)(感生電場由感生電勢決定：),(),(trgradtrEindind而感生電勢滿足),(),(),(0trtrtrtotind根據高斯定理：),(4),(trtrtottot),(),(),(trtrtrindotot電荷密度變化介電常數變化，需

40、要用到量子力學來處理。 ),(422421vnLNZvmeZdxdEee三、低速離子與靶內自由電子的相互作用三、低速離子與靶內自由電子的相互作用l在這種情況下，將靶內電子看作是自由電子氣，主要是借用了托馬斯和費米兩人提出的原子模型，他們假設V（r）（電勢分布）隨r的變化不陡峭，以致在rr+dr的一層球殼內可以認為V(r) 常數。l這意味著電子在這個區(qū)域內運動時幾乎不受力，這樣就可以在該處視電子為自由電子氣，借用自由電子氣的費米統(tǒng)計模型可以得到該處的電子密度與費米動量的關系：3233)()(rqrnF 一個動量為q，質量為M1的離子在電子氣中運動。它在dx路程上的能量損失可以寫成： )()()2

41、(/12dqdtdxdqvqdvMqddE其中（-dq/）是離子沿速度v方向的動量減小，因此 dtdqdxdE/l即單位路程上的能量損失等于單位時間內的動量減小，要計算（-dE/dx)e，關鍵的量是離子-電子碰撞時的動量變化。l于是我們的問題就變成計算電子在固定不動的離子的屏蔽庫侖問題就變成計算電子在固定不動的離子的屏蔽庫侖勢中的散射了勢中的散射了。把一個電子和離子的單項碰撞的動量變化計算出來，乘上電子通量和散射截面，得到的就是入射離子的電子阻止本領。l我們已經知道，動量變化在實驗室系（一般稱為L系），或任何其他慣性系內都是一樣的。在這里，方便的做法是把參考系把參考系固定在離子上固定在離子上。

42、因為離子的速度變化是電子的速度變化的 M1/m 分之一，所以可以近似地把這個參考系作為慣性系看待。l為方便起見，把固定在離子上的這個參考系稱為R系。l按照費米電子氣模型，電子的速度Vi本來就有一個從0VF（費米速度）的分布，它們在R系內的速度為：vvwii：電子i在L系中的速度：離子在L系中的速度：電子i在R系中的速度：電子i在R系內散射以后的速度iwvivijwiijwwijwiwviv 與 一樣大小，但方向不一樣ijwiwiijww 與 一樣大小，但方向不一樣ijwiw于是，沿著離子的速度v的方向上的電子動量的變化為： vvwwmqiiji)()(/ijwiwvv/v如果把v分解成平行和垂直于wi的兩個矢量（如圖所示）：vvv/其中iiiiwwwwvv)(/因為對于確定的散射角，矢量wij的頂端描繪出一個圓周，所以有0)(vvwwiijj因此，對動量變化的貢獻中只需要考慮v/分量 vwvwwwwwwmvvwwmqiiiiiiijiiji)()(22/)(/)(cos1 () 1(cos)(/iiiivvmvwvmqiicos而i為vi和v的夾角 iwviviiFiiidvdvnvn32