工力第10章-彎曲內(nèi)力

1、單輝祖:工程力學(xué)1第 10 章 彎曲內(nèi)力 梁的剪力、彎矩方程 梁的剪力、彎矩圖 載荷與彎曲內(nèi)力間的微分關(guān)系本章主要研究: :單輝祖:工程力學(xué)2 1 引言 2 梁的計(jì)算簡圖 3 剪力與彎矩 4 剪力、彎矩方程與圖 5 FS , M 與 q 間的微分關(guān)系 6 非均布載荷梁的剪力與彎矩 單輝祖:工程力學(xué)31 引 言 彎曲實(shí)例彎曲實(shí)例 彎曲及其特征彎曲及其特征單輝祖:工程力學(xué)4 彎曲實(shí)例彎曲實(shí)例單輝祖:工程力學(xué)5 彎曲及其特征彎曲及其特征外力或外力偶的矢量垂直于桿軸外力或外力偶的矢量垂直于桿軸變形特征：桿軸由直線變?yōu)榍€桿軸由直線變?yōu)榍€彎曲與梁：以軸線變彎為主要特征的變形形式以軸線變彎為主要特征的變

2、形形式彎曲彎曲以彎曲為主要變形的桿件以彎曲為主要變形的桿件梁梁外力特征：畫計(jì)算簡圖時(shí)，通常以軸線代表梁畫計(jì)算簡圖時(shí)，通常以軸線代表梁計(jì)算簡圖：單輝祖:工程力學(xué)62 梁的計(jì)算簡圖 約束形式與反力約束形式與反力 梁的類型梁的類型單輝祖:工程力學(xué)7 約束形式與反力約束形式與反力主要約束形式與反力固定固定鉸支座鉸支座，支反力支反力 FRx 與與 FRy可動(dòng)可動(dòng)鉸支座鉸支座，垂直于支承平面的支反力垂直于支承平面的支反力 FR固定固定端端，支反力支反力 FRx , FRy與矩為與矩為 M 的支反力偶的支反力偶單輝祖:工程力學(xué)8 梁的類型梁的類型簡支梁簡支梁：一端固定鉸支、另一端可動(dòng)鉸支的梁一端固定鉸支、另

3、一端可動(dòng)鉸支的梁外伸梁外伸梁：具有一個(gè)或兩個(gè)外伸部分的簡支梁具有一個(gè)或兩個(gè)外伸部分的簡支梁懸臂梁懸臂梁：一端固定、另一端自由的梁一端固定、另一端自由的梁常見靜定梁靜不定梁約束反力數(shù)超過有效平衡方程數(shù)的梁約束反力數(shù)超過有效平衡方程數(shù)的梁單輝祖:工程力學(xué)93 剪力與彎矩 剪力與彎矩剪力與彎矩 正負(fù)符號(hào)規(guī)定正負(fù)符號(hào)規(guī)定 剪力與彎矩計(jì)算剪力與彎矩計(jì)算 例題例題單輝祖:工程力學(xué)10 剪力與彎矩剪力與彎矩 FS剪力剪力M彎矩彎矩剪力剪力作用線位于所切橫截面的內(nèi)力作用線位于所切橫截面的內(nèi)力彎矩彎矩矢量位于所切橫截面的內(nèi)力偶矩矢量位于所切橫截面的內(nèi)力偶矩單輝祖:工程力學(xué)11 正負(fù)正負(fù)符號(hào)規(guī)定符號(hào)規(guī)定 使微段沿

4、順時(shí)針方使微段沿順時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)的剪力為正向轉(zhuǎn)動(dòng)的剪力為正左上右下為正，左上右下為正，左下右上為負(fù)。左下右上為負(fù)。Fs 的符號(hào)規(guī)定的符號(hào)規(guī)定單輝祖:工程力學(xué)12 正負(fù)正負(fù)符號(hào)規(guī)定符號(hào)規(guī)定 左順右逆為正，左順右逆為正，左逆右順為負(fù)。左逆右順為負(fù)。使微段彎曲呈凹使微段彎曲呈凹形的彎矩為正形的彎矩為正使橫截面頂部受使橫截面頂部受壓的彎矩為正壓的彎矩為正M 的符號(hào)規(guī)定的符號(hào)規(guī)定單輝祖:工程力學(xué)13一側(cè)一側(cè))(1S niiFF 剪力與彎矩計(jì)算剪力與彎矩計(jì)算 FS剪力剪力M彎矩彎矩 0 0S1FFF,FAyy1S FFFAy 故故 0)( , 01bFabFMMAyC)( 1abFbFMAy 故故一側(cè)一側(cè))

5、(1 niCimM在保留梁段上，方向在保留梁段上，方向與切開截面正與切開截面正 FS 相反的相反的外力為正，外力為正，與正與正 M 相反的外力偶矩為正。相反的外力偶矩為正。單輝祖:工程力學(xué)14 假想地將梁切開，并任選一段為研究對(duì)象。假想地將梁切開，并任選一段為研究對(duì)象。 畫所選梁段的受力圖，畫所選梁段的受力圖，F(xiàn)S 與與 M 宜均設(shè)為正宜均設(shè)為正。 由由 S SFy = 0 計(jì)算計(jì)算 FS 由由 S SMC = 0 計(jì)算計(jì)算 M，C 為截面形心為截面形心。計(jì)算方法與步驟單輝祖:工程力學(xué)15 剪力與彎矩計(jì)算剪力與彎矩計(jì)算 在實(shí)際計(jì)算梁某一截面上的內(nèi)力時(shí)，可直接從橫截面的在實(shí)際計(jì)算梁某一截面上的內(nèi)

6、力時(shí)，可直接從橫截面的任意一邊梁上的外力來計(jì)算得到該橫截面上的剪力和彎矩。任意一邊梁上的外力來計(jì)算得到該橫截面上的剪力和彎矩。在數(shù)值上：在數(shù)值上： FQ截面左側(cè)截面左側(cè)(或右側(cè)或右側(cè))所有外力在垂直軸上投影的代數(shù)和所有外力在垂直軸上投影的代數(shù)和 左側(cè)：上正下負(fù)；右側(cè)：下正上負(fù)。左側(cè)：上正下負(fù)；右側(cè)：下正上負(fù)。M截面左側(cè)截面左側(cè)(或右側(cè)或右側(cè))所有外力對(duì)截面形心力矩的代數(shù)和所有外力對(duì)截面形心力矩的代數(shù)和 左側(cè)：順時(shí)針為正，逆時(shí)針為負(fù)；左側(cè)：順時(shí)針為正，逆時(shí)針為負(fù)； 右側(cè)：逆時(shí)針為正，順時(shí)針為負(fù)。右側(cè)：逆時(shí)針為正，順時(shí)針為負(fù)。 口訣：口訣：“左上右下，剪力為正；左順右逆，彎矩為正。左上右下，剪力為

7、正；左順右逆，彎矩為正?！?單輝祖:工程力學(xué)16 剪力與彎矩計(jì)算剪力與彎矩計(jì)算 1) 建立平衡條件，由平衡方程求出建立平衡條件，由平衡方程求出FS和和M。2) 根據(jù)橫截面任一邊的外力根據(jù)橫截面任一邊的外力,直接算出該截直接算出該截 面上的面上的FS和和M。單輝祖:工程力學(xué)17 例例 題題 例 10-1 計(jì)算橫截面計(jì)算橫截面E、橫截面橫截面A+與與 D-的剪力與彎矩。的剪力與彎矩。解：00 AyESyFF -,FFFAy2 FFBy3 FFFAyE2S 2elFMMAyE 0 02 , 0 eAyECMlFMM單輝祖:工程力學(xué)18 例例 題題 例 10-1 計(jì)算橫截面計(jì)算橫截面E、橫截面橫截面A

8、+與與 D-的剪力與彎矩。的剪力與彎矩。解：00 AySAyFF -,FFFAy2 FFBy3 F2FFAyAS FlMFMMeAyeA 00 eAyACMFM ,M單輝祖:工程力學(xué)19 例例 題題 例 10-1 計(jì)算橫截面計(jì)算橫截面E、橫截面橫截面A+與與 D-的剪力與彎矩。的剪力與彎矩。解：00 FF ,FSDyFFAy2 FFBy3 FFSD 00 DCM ,M單輝祖:工程力學(xué)20 例例 題題 取截面左側(cè)外力來計(jì)算：取截面左側(cè)外力來計(jì)算： 2qlFS 22ql894l.2l.qqlM 求懸臂梁求懸臂梁1-11-1截面上的內(nèi)力截面上的內(nèi)力單輝祖:工程力學(xué)214 剪力、彎矩方程與剪力、彎矩圖

9、 剪力與彎矩方程剪力與彎矩方程 剪力與彎矩圖剪力與彎矩圖 例題例題單輝祖:工程力學(xué)22 剪力與彎矩方程剪力與彎矩方程)(SSxFF )(xMM FS , M 沿桿軸（沿桿軸（x軸軸）變化的解析表達(dá)式）變化的解析表達(dá)式剪力方程剪力方程彎矩方程彎矩方程2qlFFByAy qxFFAy S)(0lx 2xqxxFMAy )(0lx qxqlF 2S222xqxqlM 單輝祖:工程力學(xué)23 剪力與彎矩圖剪力與彎矩圖表示表示 FS 與與 M 沿桿軸（沿桿軸（x軸）變化情況軸）變化情況的圖線，分別稱為的圖線，分別稱為剪力圖剪力圖與與彎矩圖彎矩圖2)( ,2(0)SSqllFqlF 二次拋物線二次拋物線直線

10、直線qxqlF 2S222xqxqlM 畫剪力圖 畫彎矩圖土建等類技術(shù)部門畫法土建等類技術(shù)部門畫法單輝祖:工程力學(xué)24 例例 題題例 10-2 建立剪力與彎矩方程，畫剪力與彎矩圖建立剪力與彎矩方程，畫剪力與彎矩圖解：1. 支反力計(jì)算支反力計(jì)算2. 建立剪力與彎矩方程建立剪力與彎矩方程)(0 ,1S1axlbFFFAy )(0 ,2S2bxlaFFFBy )(0 ,1111axxlbFxFMAy )(0 ,2222bxxlaFxFMBy AC 段段CB 段段lbFFAylaFFBy單輝祖:工程力學(xué)253. 畫剪力與彎矩圖畫剪力與彎矩圖11xlbFM 22xlaFM lbFF S1laFF S2

11、剪力圖剪力圖: 彎矩圖彎矩圖: 最大值最大值:lFabM max時(shí)）時(shí)）（ maxS,ablbFF 4. 討論討論在在 F 作用處作用處, 左右橫截面上左右橫截面上的的彎矩相同彎矩相同, 剪力值突變剪力值突變FFF 左左右右SS單輝祖:工程力學(xué)26解：1. 支反力計(jì)算支反力計(jì)算2 2qaM,qaFCCy 2. 建立剪力與彎矩方程建立剪力與彎矩方程AB 段段BC 段段)(0 11S1axqxF )(0 2S2axqaF )(0 21211axqxM )(0 22222axqaqaxM 例 10-3 建立剪力與彎矩方程，畫剪力與彎矩建立剪力與彎矩方程，畫剪力與彎矩圖圖單輝祖:工程力學(xué)273. 畫剪

12、力與彎矩圖畫剪力與彎矩圖4. 討論討論在在 Me 作用處，作用處，左右橫截面左右橫截面上上的的剪力相同，彎矩值突變剪力相同，彎矩值突變eMMM 左左右右1S1qxF qaF S22211qxM 2222qaqaxM 剪力圖：剪力圖： 彎矩圖：彎矩圖： 剪力彎矩最大值剪力彎矩最大值:22maxqaM maxSqaF 單輝祖:工程力學(xué)28利用剪力方程和彎矩方程畫利用剪力方程和彎矩方程畫Fs、M圖的步驟圖的步驟 1、 求支反力求支反力 2、根據(jù)梁上的外力根據(jù)梁上的外力(包括支反力包括支反力)確定分段確定分段 當(dāng)某截面處有集中力、集中力偶或載荷當(dāng)某截面處有集中力、集中力偶或載荷集度發(fā)生突變處，在這些截

13、面處，剪力和彎矩方程均要分集度發(fā)生突變處，在這些截面處，剪力和彎矩方程均要分段。段。 3、分段列出剪力方程和彎矩方程，并指明各方程的分段列出剪力方程和彎矩方程，并指明各方程的適用范圍。適用范圍。 4、利用、利用Fs(x)、M(x)方程畫方程畫Fs 、M圖圖 單輝祖:工程力學(xué)29例 10-4 載荷可沿梁移動(dòng)，求梁的最大剪力與最大彎矩載荷可沿梁移動(dòng)，求梁的最大剪力與最大彎矩解：1. FS 與與 M 圖圖lFlFAy)( lFlFFAy)()(S lFFMAy 1)(2. FS 與與 M 的最大值的最大值FFF)0(SmaxS,42maxFllMMlFM 21d)(d02l 單輝祖:工程力學(xué)305

14、載荷集度、剪力與彎矩間的微分關(guān)系 FS , M 與與 q 間的間的微分關(guān)系微分關(guān)系 利用利用微分關(guān)系畫微分關(guān)系畫 FS 與與 M 圖圖 例題例題 微分關(guān)系法要點(diǎn)微分關(guān)系法要點(diǎn)單輝祖:工程力學(xué)31 FS, M 與與 q 間的間的微分關(guān)系微分關(guān)系(a) 0)d(d 0SSS FFxqF,Fy(b) 0d2ddd 0S MxFxxqMM,MCqxF ddSSddFxM qxM 22ddq 向上為正向上為正x 向右為正向右為正注意：注意：梁微段平衡方程單輝祖:工程力學(xué)32推論： 2次凹曲線 2次凹曲線 2次凸曲線 2次凸曲線qxF ddSSddFxM qxM 22dd 利用利用微分關(guān)系畫微分關(guān)系畫 F

15、S 與與M 圖圖斜直線斜直線單輝祖:工程力學(xué)33推論：1、彎矩的極值、彎矩的極值 根據(jù)數(shù)學(xué)關(guān)系，彎矩根據(jù)數(shù)學(xué)關(guān)系，彎矩M(x)在剪力在剪力Fs(x)=0處有處有極極值值。要區(qū)別極大值與最大值，最大值可能發(fā)生在要區(qū)別極大值與最大值，最大值可能發(fā)生在Fs0截面，也可能發(fā)生在集中力和集中力偶作用處。截面，也可能發(fā)生在集中力和集中力偶作用處。2、在集中力作用處，、在集中力作用處，F(xiàn)s圖有突變圖有突變，變化的數(shù)值就等于變化的數(shù)值就等于集中力的數(shù)值，而集中力的數(shù)值，而M圖的切線斜率突然改變，成一轉(zhuǎn)圖的切線斜率突然改變，成一轉(zhuǎn)折角。折角。3、在集中力偶作用處，在集中力偶作用處， Fs圖無變化，圖無變化，M圖

16、有突變圖有突變，變變化的數(shù)值等于力偶矩的數(shù)值?；臄?shù)值等于力偶矩的數(shù)值。 利用利用微分關(guān)系畫微分關(guān)系畫 FS 與與M 圖圖單輝祖:工程力學(xué)342. 計(jì)算支反力、剪力與彎矩計(jì)算支反力、剪力與彎矩lMFFByAye q=0，F(xiàn)S 圖圖水平直線，水平直線，M 圖圖斜斜直線直線 求求 FSA+ 、 FSB- 畫畫 FS 圖圖 求求 MA+ 與與 MB- 畫畫 M 圖圖應(yīng)用利用微分關(guān)系畫梁的剪力與彎矩圖利用微分關(guān)系畫梁的剪力與彎矩圖1. 問題分析問題分析lMFFFeAySBAS eMMA 0 BM單輝祖:工程力學(xué)35eMMA 0 BM3. 畫剪力圖畫剪力圖4. 畫彎矩圖畫彎矩圖FS 圖圖水平直線水平直線

17、M 圖圖斜直線斜直線lMFFeSBAS 單輝祖:工程力學(xué)36 例例 題題例 10-5 畫剪力與彎矩圖畫剪力與彎矩圖斜直線斜直線ql/80ql2/16ql/8-3ql/8ql2/160解：1. 形狀判斷形狀判斷2. FS 與與 M 計(jì)算計(jì)算單輝祖:工程力學(xué)3713 2 DDxlx83lxD 28328383 lqlqlMD9ql2/1283. 畫畫FS與與M圖圖1289 2qlMD 單輝祖:工程力學(xué)38 利用微分關(guān)系，確定各梁段利用微分關(guān)系，確定各梁段剪力、彎矩剪力、彎矩圖的形狀圖的形狀； 計(jì)算各梁段計(jì)算各梁段起點(diǎn)起點(diǎn)、終點(diǎn)終點(diǎn)與與極值點(diǎn)極值點(diǎn)等等截面的截面的剪力剪力與彎矩；與彎矩； 將上述二者

18、結(jié)合，繪制梁的將上述二者結(jié)合，繪制梁的剪力與彎矩剪力與彎矩圖圖； 在集中載荷作用下，梁的剪力與彎矩在集中載荷作用下，梁的剪力與彎矩圖一定由圖一定由直直線所構(gòu)成；線所構(gòu)成； 均布載荷作用梁段，剪力圖為斜線，彎矩圖為二均布載荷作用梁段，剪力圖為斜線，彎矩圖為二次拋物線，其凹凸性由載荷集度的正負(fù)而定。次拋物線，其凹凸性由載荷集度的正負(fù)而定。 微分關(guān)系法要點(diǎn)微分關(guān)系法要點(diǎn)單輝祖:工程力學(xué)396 非均布載荷梁的剪力與彎矩 非均布載荷的合力非均布載荷的合力 線性分布載荷梁的內(nèi)力線性分布載荷梁的內(nèi)力 例題例題單輝祖:工程力學(xué)40合力大?。汉狭Υ笮。?非均布載荷的合力非均布載荷的合力BAxxxxqFd)(RRRd)(FxxxqxBAxx合力作用線位置合力作用線位置:載荷集度載荷集度圖的面積圖的面積載荷集度圖載荷集度圖形心橫坐標(biāo)形心橫坐標(biāo)單輝祖:工程力學(xué)41線性分布載荷集度的一般表達(dá)式為線性分布載荷集度的一般表達(dá)式為 線性分布載荷梁的內(nèi)力線性分布載荷梁的內(nèi)力baxxq )(qxF ddSSddFxM qxM 22dd( a、b 為常數(shù)