特殊平行四邊形專題訓(xùn)練

1、精選專訓(xùn)一：矩形的性質(zhì)與判定靈活運(yùn)用名師點(diǎn)金：1.矩形是特殊的平行四邊形，它具有一般平行四邊形的所有性質(zhì)，同時(shí)還具有一些獨(dú)特的性質(zhì)，可歸結(jié)為三個(gè)方面：(1)從邊看：矩形的對邊平行且相等；(2)從角看：矩形的四個(gè)角都是直角；(3)從對角線看：矩形的對角線互相平分且相等2判定一個(gè)四邊形是矩形可從兩個(gè)角度進(jìn)行：一是判定它有三個(gè)角為直角；二是先判定它為平行四邊形，再判定它有一個(gè)角為直角或兩條對角線相等 利用矩形的性質(zhì)與判定求線段的長(轉(zhuǎn)化思想)1如圖，將矩形紙片ABCD的四個(gè)角向內(nèi)折起，點(diǎn)A，點(diǎn)B落在點(diǎn)M處，點(diǎn)C，點(diǎn)D落在點(diǎn)N處，恰好拼成一個(gè)無縫隙不重疊的四邊形EFGH，若EH3 cm，EF4 cm，

2、求AD的長(第1題) 利用矩形的性質(zhì)與判定證明線段相等2如圖，點(diǎn)O是菱形ABCD對角線的交點(diǎn)，DEAC，CEBD，連結(jié)OE.求證：OEBC.(第2題) 利用矩形的性質(zhì)與判定判斷圖形形狀3如圖，在矩形ABCD中，AB2，BC5，E，P分別在AD，BC上，且DEBP1，連結(jié)AP，EC，分別交BE，PD于H，F(xiàn).(1)判斷BEC的形狀，并說明理由(2)判斷四邊形EFPH是什么特殊的四邊形？并證明你的判斷(第3題) 利用矩形的性質(zhì)與判定求面積4如圖，已知E是ABCD中BC邊上的中點(diǎn)，連結(jié)AE并延長AE交DC的延長線于點(diǎn)F.(1)連結(jié)AC，BF，若AEC2ABC，求證：四邊形ABFC為矩形(2)在(1)

3、的條件下，若AFD是等邊三角形，且邊長為4，求四邊形ABFC的面積(第4題)專訓(xùn)二：菱形的性質(zhì)與判定靈活運(yùn)用名師點(diǎn)金：1.菱形具有一般平行四邊形的所有性質(zhì)，同時(shí)又具有一些特性，可以歸納為三個(gè)方面：(1)從邊看：對邊平行，四邊相等；(2)從角看：對角相等，鄰角互補(bǔ)；(3)從對角線看：對角線互相垂直平分，并且每一條對角線平分一組對角2判定一個(gè)四邊形是菱形，可先判定這個(gè)四邊形是平行四邊形，再判定一組鄰邊相等或?qū)蔷€互相垂直，也可直接判定四邊相等 利用菱形的性質(zhì)與判定證明角的關(guān)系1如圖，在四邊形ABCD中，ABAD，CBCD，E是CD上一點(diǎn)，BE交AC于點(diǎn)F，連結(jié)DF.(1)證明：BACDAC，AFD

4、CFE；(2)若ABCD，試證明：四邊形ABCD是菱形；(3)在(2)的條件下，試確定E點(diǎn)的位置，使EFDBCD，并說明理由(第1題) 利用菱形的性質(zhì)與判定證明線段的位置關(guān)系2(中考·蘭州)如圖，在四邊形ABCD中，ABCD，ABCD，BDAC.(1)求證：ADBC；(2)若E，F(xiàn)，G，H分別是AB，CD，AC，BD的中點(diǎn)，求證：線段EF與線段GH互相垂直平分(第2題) 利用菱形的性質(zhì)與判定解決周長問題3(中考·貴陽)如圖，在RtABC中，ACB90°，D，E分別為AB，AC邊上的中點(diǎn)，連結(jié)DE，將ADE繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)180°，得到CFE，連結(jié)AF.(1)求

5、證：四邊形ADCF是菱形；(2)若BC8，AC6，求四邊形ABCF的周長(第3題) 利用菱形的性質(zhì)與判定解決面積問題4如圖，已知等腰三角形ABC中，ABAC，AD平分BAC，交BC于點(diǎn)D，在線段AD上任取一點(diǎn)P(點(diǎn)A除外)，過點(diǎn)P作EFAB，分別交AC，BC于點(diǎn)E，F(xiàn)，作PMAC，交AB于點(diǎn)M，連結(jié)ME.(1)求證：四邊形AEPM為菱形(2)當(dāng)點(diǎn)P在何處時(shí)，菱形AEPM的面積為四邊形EFBM面積的一半？請說明理由(第4題)專訓(xùn)三：正方形的性質(zhì)與判定靈活運(yùn)用名師點(diǎn)金：正方形既是矩形，又是菱形，它具有矩形、菱形的所有性質(zhì)，判定一個(gè)四邊形是正方形，只需保證它既是矩形又是菱形即可 利用正方形的性質(zhì)證明

6、線段位置關(guān)系1如圖，在正方形ABCD中，對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，E，F(xiàn)分別在OD，OC上，且DECF，連結(jié)DF，AE，AE的延長線交DF于點(diǎn)M.求證：AMDF.(第1題) 利用正方形的性質(zhì)解決線段和差倍分問題2已知：在正方形ABCD中，MAN45°，MAN繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交CB，DC(或它們的延長線)于點(diǎn)M，N.(1)如圖，當(dāng)MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到BMDN時(shí)，易證：BMDNMN.當(dāng)MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到BMDN時(shí)，如圖，請問圖中的結(jié)論是否還成立？如果成立，請給予證明，如果不成立，請說明理由(2)當(dāng)MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到如圖的位置時(shí)，線段BM，DN和MN之間有怎樣的等量關(guān)系？請寫

7、出你的猜想，并證明(第2題) 正方形性質(zhì)與判定的綜合運(yùn)用3如圖，P，Q，R，S四個(gè)小球分別從正方形的四個(gè)頂點(diǎn)A，B，C，D同時(shí)出發(fā)，以同樣的速度分別沿AB，BC，CD，DA的方向滾動(dòng)，其終點(diǎn)分別是B，C，D，A.(1)不管滾動(dòng)時(shí)間多長，求證：連結(jié)四個(gè)小球所得的四邊形PQRS總是正方形(2)四邊形PQRS在什么時(shí)候面積最大？(3)四邊形PQRS在什么時(shí)候面積為原正方形面積的一半？并說明理由(第3題) 正方形中的探究性問題4如圖，在正方形ABCD和正方形CGEF中，點(diǎn)B、C、G在同一條直線上，M是線段AE的中點(diǎn)，DM的延長線交EF于點(diǎn)N，連結(jié)FM，易證：DMFM，DMFM(無需寫證明過程)；(1)

8、如圖，當(dāng)點(diǎn)B、C、F在同一條直線上，DM的延長線交EG于點(diǎn)N，其余條件不變，試探究線段DM與FM有怎樣的關(guān)系？請寫出猜想，并給予證明；(2)如圖，當(dāng)點(diǎn)E、B、C在同一條直線上，DM的延長線交CE的延長線于點(diǎn)N，其余條件不變，探究線段DM與FM有怎樣的關(guān)系？請直接寫出猜想(第4題)專訓(xùn)四：利用矩形的性質(zhì)巧解折疊問題名師點(diǎn)金：折疊問題往往通過圖形間的折疊找出線段或角與原圖形之間的聯(lián)系，從而得到折疊部分與原圖形或其他圖形之間的關(guān)系，即折疊前后的圖形全等，且關(guān)于折痕或所在直線成軸對稱；在計(jì)算時(shí)，常常通過設(shè)未知數(shù)列方程求解 利用矩形的性質(zhì)巧求折疊中的角1當(dāng)身邊沒有量角器時(shí)，怎樣得到一些特定度數(shù)的角呢？動(dòng)

9、手操作有時(shí)可以解“燃眉之急”如圖，已知矩形紙片ABCD(矩形紙片要足夠長)，我們按如下步驟操作可以得到一個(gè)特定的角：(1)以點(diǎn)A所在直線為折痕，折疊紙片，使點(diǎn)B落在邊AD上，折痕與BC交于點(diǎn)E；(2)將紙片平展后，再一次折疊紙片，以點(diǎn)E所在直線為折痕，使點(diǎn)A落在BC上，折痕EF交AD于F.求AFE的度數(shù)(第1題) 利用矩形的性質(zhì)巧求折疊中的線段的長2如圖，有矩形紙片ABCD，長AD為4 cm，寬AB為3 cm，把矩形折疊，使相對兩頂點(diǎn)A，C重合，然后展開求折痕EF的長(第2題) 利用矩形的性質(zhì)巧證線段的位置關(guān)系3如圖，將矩形紙片ABCD沿對角線BD折疊，點(diǎn)C落在點(diǎn)E處，BE交AD于F，連結(jié)AE

10、.證明：(1)BFDF；(2)AEBD.(第3題) 利用矩形的性質(zhì)巧求線段的比(面積法)4如圖，將一張矩形紙片ABCD沿直線MN折疊，使點(diǎn)C落在點(diǎn)A處，點(diǎn)D落在點(diǎn)E處，直線MN交BC于點(diǎn)M，交AD于點(diǎn)N.(1)求證：CMCN；(2)若CMN的面積與CDN的面積比為31，求的值(第4題)專訓(xùn)五：用特殊四邊形的性質(zhì)巧解動(dòng)點(diǎn)問題名師點(diǎn)金：利用特殊四邊形的性質(zhì)解動(dòng)點(diǎn)問題，一般將動(dòng)點(diǎn)看作特殊點(diǎn)解決問題，再運(yùn)用從特殊到一般的思想，將特殊點(diǎn)轉(zhuǎn)化為一般點(diǎn)(動(dòng)點(diǎn))為條件解答 平行四邊形中的動(dòng)點(diǎn)問題1如圖，在ABCD中，E，F(xiàn)兩點(diǎn)在對角線BD上運(yùn)動(dòng)，且保持BEDF，連結(jié)AE，CF.請你猜想AE與CF有怎樣的數(shù)量關(guān)

11、系和位置關(guān)系，并對你的猜想加以證明(第1題) 矩形中的動(dòng)點(diǎn)問題2在矩形ABCD中，AB4 cm，BC8 cm，AC的垂直平分線EF分別交AD、BC于點(diǎn)E、F，垂足為O.(1)如圖，連結(jié)AF、CE，求證：四邊形AFCE為菱形，并求AF的長；(2)如圖，動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從A、C兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，沿AFB和CDE各邊勻速運(yùn)動(dòng)一周即點(diǎn)P自AFBA停止，點(diǎn)Q自CDEC停止在運(yùn)動(dòng)過程中，已知點(diǎn)P的速度為每秒5 cm，點(diǎn)Q的速度為每秒4 cm，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，當(dāng)以A、C、P、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，求t的值(第2題) 菱形中的動(dòng)點(diǎn)問題3如圖，在菱形ABCD中，B60°，點(diǎn)E在邊BC上，點(diǎn)F在

12、邊CD上(1)如圖，若E是BC的中點(diǎn)，AEF60°，求證：BEDF；(2)如圖，若EAF60°，求證：AEF是等邊三角形(第3題) 正方形中的動(dòng)點(diǎn)問題4如圖，正方形ABCD的邊長為8 cm，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA上的動(dòng)點(diǎn)，且AEBFCGDH.(1)求證：四邊形EFGH是正方形；(2)判斷直線EG是否經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn)，并說明理由(第4題)專訓(xùn)六：特殊四邊形中的最值問題名師點(diǎn)金：求特殊四邊形中的最值問題，一般都要用它們的軸對稱的性質(zhì)把幾條線段轉(zhuǎn)移到一條直線上，利用兩點(diǎn)之間線段最短解決問題 矩形中的最值問題1如圖，MON90°，矩形ABCD的頂點(diǎn)A、B分

13、別在邊OM，ON上，當(dāng)B在邊ON上運(yùn)動(dòng)時(shí)，A隨之在OM上運(yùn)動(dòng)，矩形ABCD的形狀保持不變，其中AB2，BC1，運(yùn)動(dòng)過程中，求點(diǎn)D到點(diǎn)O的最大距離(第1題) 菱形中的最值問題2如圖，菱形ABCD中，AB2，A120°，點(diǎn)P、Q、K分別為線段BC、CD、BD上任意一點(diǎn)，求PKQK的最小值(第2題) 正方形中的最值問題(第3題)3(中考·宿遷)如圖，正方形ABCD的邊長為2，點(diǎn)E為邊BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在對角線BD上移動(dòng)，則PEPC的最小值是_4如圖，四邊形ABCD是正方形，ABE是等邊三角形，M為對角線BD(不含B點(diǎn))上任意一點(diǎn)，將BM繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到BN，連結(jié)

14、EN，AM，CM.(1)求證：AMBENB.(2)當(dāng)M點(diǎn)在何處時(shí)，AMCM的值最??；當(dāng)M點(diǎn)在何處時(shí)，AMBMCM的值最小，并說明理由(第4題)專訓(xùn)七：思想方法薈萃名師點(diǎn)金：本章中，由于涉及內(nèi)容是各種特殊四邊形，解決這類問題時(shí)，常將它們與三角形、直角坐標(biāo)系、方程等知識結(jié)合在一起進(jìn)行研究而轉(zhuǎn)化思想、分類討論思想、方程思想、數(shù)形結(jié)合思想是解決四邊形問題常要用到的思想方法 數(shù)形結(jié)合思想(第1題)1如圖，用8塊相同的長方形地磚拼成一個(gè)矩形，則每塊長方形地磚的面積為()A200 cm2 B300 cm2C600 cm2 D2 400 cm2 方程思想2已知平行四邊形ABCD中，AEBC于E，AFCD于F.

15、(1)若AE3 cm，AF4 cm，AD8 cm，求CD的長；(2)若平行四邊形ABCD的周長為36 cm，AE4 cm，AF5 cm，求平行四邊形ABCD的面積 轉(zhuǎn)化思想3如圖，矩形ABCD中，對角線AC，BD相交于O點(diǎn)，點(diǎn)P是線段AD上一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)D重合)，PO的延長線交BC于Q點(diǎn)連結(jié)BP，DQ.(1)求證：四邊形PBQD為平行四邊形(2)若AB3 cm，AD4 cm，P從點(diǎn)A出發(fā)，以1 cm/s的速度向點(diǎn)D勻速運(yùn)動(dòng)設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t s，問四邊形PBQD能夠成為菱形嗎？如果能，求出相應(yīng)的t值；如果不能，說明理由(第3題)4如圖，已知六邊形ABCDEF的六個(gè)內(nèi)角均為120°，

16、且CD2 cm，BC8 cm，AB8 cm，AF5 cm.試求此六邊形的周長(第4題) 分類討論思想圖形的位置不確定5四邊形ABCD是正方形，ADE是等邊三角形，求BEC的度數(shù)等腰三角形的腰與底邊不確定6已知，如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，四邊形OABC是矩形，點(diǎn)A，C的坐標(biāo)分別為(10，0)，(0，4)，點(diǎn)D是OA的中點(diǎn)，點(diǎn)P在BC邊上運(yùn)動(dòng)當(dāng)ODP是腰長為5的等腰三角形時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)(第6題)答案解碼專訓(xùn)一1解：HEMAEH，BEFFEM，HEFHEMFEM×180°90°，同理可得：EHGHGFEFG90°，四邊形EFGH為矩形，HGEF

17、，HGEF，GHNEFM.又HNGFME90°，HNGFME，HNMF.又HNHD，HDMF，ADAHHDHMMFHF.又HF5(cm)，AD5 cm.點(diǎn)撥：此題利用折疊提供的角相等，可證明四邊形EFGH為矩形，然后利用三角形全等來證明HNMF，進(jìn)而證明HDMF，從而將AD轉(zhuǎn)化為直角三角形的斜邊HF，進(jìn)而得解，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想2證明：DEAC，CEBD，四邊形OCED是平行四邊形四邊形ABCD是菱形，ACBD，即COD90°.四邊形OCED是矩形OECD.四邊形ABCD是菱形，BCCD.OEBC.點(diǎn)撥：線段CD既是菱形ABCD的邊，又是四邊形OCED的對角線，可以用等量代換推

18、出OEBC.3解：(1)BEC是直角三角形理由如下：四邊形ABCD是矩形，ADCABP90°，ADBC5，CDAB2.DEBP1，AEPC4.由勾股定理得CE，BE2，CE2BE252025.BC25225，BE2CE2BC2.BEC90°.BEC是直角三角形(2)四邊形EFPH為矩形，證明：四邊形ABCD是矩形，ADBC，ADBC.DEBP，四邊形DEBP是平行四邊形BEDP.ADBC，AEPC，四邊形AECP是平行四邊形APCE.四邊形EFPH是平行四邊形BEC90°，平行四邊形EFPH是矩形4(1)證明：四邊形ABCD為平行四邊形，ABDC，ABEECF.又

19、E為BC的中點(diǎn)，BECE，在ABE和FCE中，ABEFCE.ABCF.又ABCF，四邊形ABFC為平行四邊形，BEEC，AEEF，AEC為ABE的外角，AECABCEAB.又AEC2ABC，ABCEAB，AEBE，AEEFBEEC，即AFBC，四邊形ABFC為矩形(2)解：四邊形ABFC是矩形，ACDF.又AFD是等邊三角形，CFCD2，AC2，S矩形ABFC2×24.解碼專訓(xùn)二1(1)證明：在ABC和ADC中，ABCADC，BACDAC.在ABF和ADF中，ABFADF，AFBAFD.AFBCFE，AFDCFE.(2)證明：ABCD，BACACD.又BACDAC，CADACD，AD

20、CD.ABAD，CBCD，ABCBCDAD，四邊形ABCD是菱形(3)解：當(dāng)EBCD時(shí)，EFDBCD.理由：四邊形ABCD為菱形，BCCD，BCFDCF，在BCF和DCF中，BCFDCF，CBFCDF.BECD，BECDEF90°，EFDBCD.(第2題)2證明：(1)如圖，過點(diǎn)B作BMAC交DC的延長線于點(diǎn)M，ABCD，四邊形ABMC為平行四邊形ACBMBD，BDCMACD.在ACD和BDC中，ACDBDC，ADBC.(2)如圖，連結(jié)EH，HF，F(xiàn)G，GE，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，CD，AC，BD的中點(diǎn)，HEAD，且HEAD，F(xiàn)GAD，且FGAD，四邊形HFGE為平行四邊形由(1

21、)知ADBC，HEEG，HFGE為菱形，EF與GH互相垂直平分3(1)證明：將ADE繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)180°得到CFE，AECE，DEFE，四邊形ADCF是平行四邊形D，E分別為AB，AC邊上的中點(diǎn)，DE是ABC的中位線，DEBC.ACB90°，AED90°，DFAC，四邊形ADCF是菱形(2)解：在RtABC中，BC8，AC6，AB10.D是AB邊上的中點(diǎn)，AD5.四邊形ADCF是菱形，AFFCAD5，四邊形ABCF的周長為8105528.4(1)證明：EFAB，PMAC，四邊形AEPM為平行四邊形AD平分CAB，CADBAD.EPAB，BADEPA，CADEPA，E

22、AEP，四邊形AEPM為菱形(第4題)(2)解：當(dāng)點(diǎn)P為EF的中點(diǎn)時(shí)，S菱形AEPMS四邊形EFBM.理由如下：四邊形AEPM為菱形，APEM.ABAC，CADBAD，ADBC，EMBC.又EFAB，四邊形EFBM為平行四邊形過點(diǎn)E作ENAB于點(diǎn)N，如圖，則S菱形AEPMAM·ENEP·ENEF·ENS四邊形EFBM.解碼專訓(xùn)三1證明：AC，BD是正方形ABCD的兩條對角線，ACBD，OAODOCOB.DECF，OEOF.在RtAOE與RtDOF中，RtAOERtDOF，OAEODF.DOF90°，DFOFDO90°，DFOFAE90°

23、;.AMF90°，即AMDF.2解：(1)仍有BMDNMN成立證明如下： 過點(diǎn)A作AEAN，交CB的延長線于點(diǎn)E, 易證ABEADN，DNBE，AEAN. 又EAMNAM45°，AMAM，EAMNAM.MEMN.MEBEBMDNBM ，BMDNMN .(第2題)(2)有DNBMMN.證明如下： 如圖，在DN上截取DEBM，連結(jié)AE.四邊形ABCD是正方形，ABMD90°，ABAD.又DEBM，ABMADE.AMAE，BAMDAE.DAB90°.MAE90°.MAN45°，EAN45°MAN.又AMAE，ANAN，AMNAEN

24、.MNEN.DNDEENBMMN，DNBMMN.3(1)證明：四邊形ABCD是正方形，ABCD90°，ABBCCDDA.又在任何運(yùn)動(dòng)時(shí)刻，APBQCRDS，PBQCRDSA，ASPBPQCQRDRS，PSQPRQSR，ASPBPQ，在任何運(yùn)動(dòng)時(shí)刻，四邊形PQRS是菱形又APSASP90°，APSBPQ90°，QPS180°(APSBPQ)180°90°90°.在任何運(yùn)動(dòng)時(shí)刻，四邊形PQRS總是正方形(2)解：當(dāng)P，Q，R，S在出發(fā)時(shí)或在到達(dá)終點(diǎn)時(shí)面積最大，此時(shí)的面積就等于原正方形ABCD的面積(3)解：當(dāng)P，Q，R，S四點(diǎn)運(yùn)

25、動(dòng)到正方形四邊中點(diǎn)時(shí)，四邊形PQRS的面積是原正方形ABCD面積的一半理由：設(shè)原正方形ABCD的邊長為a.當(dāng)PS2a2時(shí)，在RtAPS中，ASaSDaAP.由勾股定理，得AS2AP2PS2，即(aAP)2AP2a2，解得APa.同理可得BQCRSDa.當(dāng)P，Q，R，S四點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到正方形ABCD各邊中點(diǎn)時(shí)，四邊形PQRS的面積為原正方形面積的一半(第4題)4解：(1)DMFM，DMFM.證明：如圖，連結(jié)DF、NF.四邊形ABCD和四邊形CGEF都是正方形，ADBC，BCGE，ADGE，DAMNEM.M是AE的中點(diǎn)，AMEM.AMDEMN，MADMEN，DMMN，ADNE.ADCD，CDNE.CFE

26、F，F(xiàn)CDFEN90°，DCFNEF，DFFN，CFDEFN.EFNCFN90°，CFDCFN90°，即DFN90°，DMFM，DMFM.(2)DMFM，DMFM.解碼專訓(xùn)四(第1題)1解：如圖，由折疊性質(zhì)得AEFAEF，BEAAEB，BEBE，AEEA，BABBEBABEABE90°，AE為BAB的平分線，BEABAE45°，又BEAAEFFEA180°，F(xiàn)EA67.5°，在矩形ABCD中，ADBC，AFEFEA67.5°.2解：易得EF為AC的垂直平分線AEEC，AFFC.AEFC，AEOCFO.又O

27、AOC，AOECOF，AEOCFO，AEFC.四邊形AECF是菱形設(shè)BF為x cm，則AFFC(4x)cm.由勾股定理，得32x2(4x)2，x，F(xiàn)C cm.AB3 cm，BC4 cm，AC5(cm)OC cm.在RtFOC中，OF(cm)EF2OF cm.即折痕EF的長為 cm.3證明：(1)由折疊可知，F(xiàn)BDCBD，因?yàn)锳DBC，所以FDBCBD，所以FBDFDB，所以BFDF.(2)因?yàn)樗倪呅蜛BCD是矩形，所以ABDC，ADBC，由折疊可知DCEDAB，BCBEAD，又因?yàn)锳EAE，所以AEBEAD，所以AEBEAD，所以AEB(180°AFE)，而DBE(180°

28、BFD)，AFEBFD，所以AEBDBE，所以AEBD.4(1)證明：由折疊的性質(zhì)可得：ENMDNM，即ENMENAANM，DNMDNCCNM，ENADNC，ANMCNM，四邊形ABCD是矩形，ADBC，ANMCMN，CMNCNM，CMCN.(2)解：過點(diǎn)N作NHBC于點(diǎn)H，則四邊形NHCD是矩形，HCDN，NHDC，CMN的面積與CDN的面積比為31，3，MC3ND3HC，MH2HC.設(shè)DNx，則HCx，MH2x，CM3xCN.在RtCDN中，DC2x，NH2x，在RtMNH中，MN2x，2.解碼專訓(xùn)五1解：猜想：AECF，AECF.證明如下：四邊形ABCD是平行四邊形，ABCD，ABCD，

29、ABECDF，在ABE和CDF中，ABCD，ABECDF，BEDF，ABECDF，AECF，AEBCFD.AEBAEDCFDCFB180°，AEDCFB，AECF.2(1)證明：四邊形ABCD是矩形，ADBC，CADACB、AEFCFE.EF垂直平分AC，垂足為O，OAOC，AOECOF，OEOF，四邊形AFCE為平行四邊形又EFAC，四邊形AFCE為菱形設(shè)菱形的邊AFCFx cm，則BF(8x)cm，(第2題)在RtABF中，AB4 cm，由勾股定理得42(8x)2x2，解得x5，AF5 cm.(2)解：顯然當(dāng)P點(diǎn)在AF上時(shí)，Q點(diǎn)在CD上，此時(shí)A、C、P、Q四點(diǎn)不可能構(gòu)成平行四邊形

30、；同理P點(diǎn)在AB上時(shí)，Q點(diǎn)在DE或CE上，也不能構(gòu)成平行四邊形因此只有當(dāng)P點(diǎn)在BF上、Q點(diǎn)在ED上時(shí)，才能構(gòu)成平行四邊形，如圖，當(dāng)以A、C、P、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，PCQA.點(diǎn)P的速度為每秒5 cm，點(diǎn)Q的速度為每秒4 cm，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，PC5t，QA124t，5t124t，解得t，以A、C、P、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，t.3證明：(1)連結(jié)AC.在菱形ABCD中，B60°，ABBCCD，BCD180°B120°，ABC是等邊三角形E是BC的中點(diǎn)，AEBC.AEF60°，F(xiàn)EC90°AEF30°，CFE

31、180°FECBCD180°30°120°30°，F(xiàn)ECCFE，ECCF.BEDF.(2)連結(jié)AC.由(1)知ABC是等邊三角形，ABAC，ACBBACEAF60°，BAECAF.BCD120°，ACB60°，ACF60°B，ABEACF，AEAF，AEF是等邊三角形(第4題)4(1)證明：四邊形ABCD為正方形，AABCCADC90°，ABBCCDAD.AEBFCGDH，BECFDGAH，AEHBFECGFDHG，EHEFFGGH，12.四邊形EFGH為菱形1390°，12，2390

32、°，HEF90°.四邊形EFGH為菱形，四邊形EFGH為正方形(2)解：直線EG必經(jīng)過一定點(diǎn)理由如下：如圖，連結(jié)BD、EG，BD與EG交于O點(diǎn)，連結(jié)ED，BG.BE綊DG，四邊形BGDE為平行四邊形，BD、EG互相平分，易知O為正方形中心，EG必過正方形中心O.解碼專訓(xùn)六(第1題)1解：如圖，取AB的中點(diǎn)E，連結(jié)OE、DE、OD，則OEAB1，AE1，所以DE，當(dāng)D，E，O三點(diǎn)共線時(shí)，ODOEDE，否則OD<OEDE，所以O(shè)D長的最大值是1.點(diǎn)撥：在這個(gè)問題中，關(guān)鍵是運(yùn)用三角形三邊的不等關(guān)系確定點(diǎn)D到點(diǎn)O的距離何時(shí)最大，具體做法是取AB的中點(diǎn)E，連結(jié)OE、DE、OD后

33、，通過分情況討論得出ODOEDE，所以O(shè)D的最大值等于OEDE.(第2題)2解：四邊形ABCD是菱形，ADBC，BAD120°，ABC180°BAD180°120°60°.如圖，作點(diǎn)P關(guān)于直線BD的對稱點(diǎn)P，連結(jié)PQ，PC，則PQ的長即為PKQK的最小值，當(dāng)PQAB時(shí)，PQ最短假設(shè)點(diǎn)Q與點(diǎn)C重合，CPAB，此時(shí)CP的長即為PKQK的最小值連結(jié)AC.BCAB2，ABC60°，ABC為等邊三角形CPAB，BPAPAB1，CP.即PKQK的最小值為.3.4(1)證明：ABE是等邊三角形，BABE，ABE60°.MBN60°

34、;，MBNABNABEABN.即MBANBE.又MBNB，AMBENB；(2)解：當(dāng)M點(diǎn)落在BD的中點(diǎn)時(shí)，AMCM的值最?。贿B結(jié)CE，當(dāng)M點(diǎn)位于BD與CE的交點(diǎn)處時(shí)，AMBMCM的值最小理由如下：由(1)知AMBENB，AMEN，MBN60°，MBNB，BMN是等邊三角形，BMMN，AMBMCMENMNCM，根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”，得ENMNCMEC最短當(dāng)M點(diǎn)位于BD與CE的交點(diǎn)處時(shí)，AMBMCM的值最小，即等于EC的長解碼專訓(xùn)七1B點(diǎn)撥：設(shè)每塊長方形地磚的長為x cm，寬為y cm，由題意可得即解之得所以每塊長方形地磚的面積是300 cm2.故選B.2解：(1)四邊形ABCD是平行四邊形，AD8 cm，BCAD8 cm.S平行四邊形ABCDBC·AECD·AF，8×34CD，CD6 cm.(2)四邊形ABCD是平行四邊形，ADBC，ABCD.平行四邊形的周長為36 cm，BCCD18 cm，由平行四邊形的面積公式得：4BC5CD，則解得：BC10 cm，CD8 cm，平行四邊形ABCD的面積