第4章 圖像基本變換

1、背景l(fā) 圖像變換：指在不同空間對(duì)圖像進(jìn)行的變換l 目的：為了快速和有效地對(duì)圖像進(jìn)行處理，l 通常需要：空域空間變換空間處理空域空間l 圖像的變換空間具有特殊的性質(zhì)，有利于進(jìn)行濾波等處理l 正變換：空域空間變換空間l 反變換（逆變換）：變換空間空域空間n 圖像變換的方法和種類很多，其原理和效果是不同的n 變換不同的原因是不同變換其變換核存在差異n 變換之后的有利特性有：可分離性、對(duì)稱性、正交性（1）變換核反向變換核正向變換核一 維 情 況二維情況的正反變換(2) 可分離性變換核可分離2D變換=1D變換+1D變換(3) 對(duì)稱性此時(shí)，一個(gè)2D變換可借助兩個(gè)同樣的1D變換來(lái)計(jì)算。變換可用矩陣形式描述：

2、反變換利用矩陣形式的變換表示，得到的變換矩陣可分解成若干個(gè)具有較少非零元素的矩陣乘積，減少冗余和操作次數(shù)。(4) 正交性稱為正交變換。正交變換的逆變換仍是正交變換。Jean Baptiste Joseph FourierBorn: 21 March 1768, FranceDied: 16 May 1830任何周期函數(shù)都可以表示為不同頻率的正弦和/或余弦和的形式任何周期函數(shù)都可以表示為不同頻率的正弦和/或余弦和的形式http:/ Fourier變換是數(shù)學(xué)棱鏡，將函數(shù)基于頻率分成不同成分空間坐標(biāo)函數(shù)Fourier Transform頻率成分1-D Discrete Fourier Transfo

3、rm實(shí)數(shù)：real；虛數(shù)：Image變換核正弦信號(hào)的傅里葉頻譜n 均值為0n 兩條豎線（共軛對(duì)稱）為頻譜響應(yīng)n Fourier變換得頻率單位和正弦頻率單位不同空間頻率空間域（正弦波形的濃淡變化）2-D離散函數(shù)的平均值2-D傅立葉變換的頻譜（幅度函數(shù)）、相位角和功率譜（頻譜的平方）定義如下：頻（幅度）譜相位角功率譜img = rgb2gray(imread(tiananmen.jpg);img = imresize(img, 0.5); fftresult = fft2(img);fftimg = fftshift(fftresult); ampfft = abs(fftimg); phasef

4、ft = angle(fftimg); ifftimg = ifft2(fftresult); figure(1);subplot(221); imshow(img); title(原始圖);subplot(222); imshow(255* ampfft/max(ampfft(:); title(頻譜圖);subplot(223); imshow(255* phasefft/max(phasefft(:); title(相位圖);subplot(224); imshow(ifftimg,); title(復(fù)原圖);（1）平移定理推導(dǎo)(2)旋轉(zhuǎn)定理(3)尺度定理效果相反幅度也受影響比較結(jié)果(4

5、) 純剪切定理l 純剪切指沿水平或垂直方向的剪切。水平剪切描述了水平方向的剪切失真，垂直剪切描述了垂直方向的剪切失真l 比如正方形的剪切失真結(jié)果，高度和寬度不變，具有相同面積(5) 復(fù)合剪切定理（自學(xué)）將平移定理和尺度定理相結(jié)合可得到復(fù)合剪切定理：復(fù)合剪切可看作水平剪切和垂直剪切的組合，故：先水平后垂直先垂直后水平次序不同產(chǎn)生的結(jié)果是不一樣的不一樣(6) 仿射定理（自學(xué)）前述5個(gè)定理實(shí)際上是仿射定理的特例。仿射定理的通用形式：其中，(7) 卷積定理卷積定理指出，函數(shù)卷積的傅里葉變換是函數(shù)傅里葉變換的乘積。即一個(gè)域中的卷積對(duì)應(yīng)于另一個(gè)域中的乘積，例如時(shí)域中的卷積對(duì)應(yīng)于頻域中的乘積?？臻g卷積頻域乘

6、積(8) 相關(guān)定理相關(guān)定理指出：兩個(gè)函數(shù)在空間的相關(guān)與它們的傅立葉變換（其中一個(gè)為其復(fù)共軛）在頻域的乘積構(gòu)成一個(gè)變換對(duì)，而兩個(gè)函數(shù)（其中一個(gè)為其復(fù)共軛）在空間的乘積與它們的傅立葉變換在頻域的相關(guān)構(gòu)成一對(duì)變換。相關(guān)函數(shù)，是指兩個(gè)信號(hào)之間相似性的一種量度傅立葉變換可用于與卷積密切有關(guān)的相關(guān)運(yùn)算（Correlation）。匹配模板bw = im2bw(imread(text.jpg);a = bw(46:59, 82:93);C = real(ifft2(fft2(bw) .* fft2(rot90(a,2),256,256);thresh = max(C(:)-11; figuresubplot(

7、131); imshow(bw);subplot(132); imshow(C,);subplot(133); imshow(Cthresh);另一個(gè)例子img = rgb2gray(imread(demo4.jpg);r c = size(img); img1 = img(:, floor(2*c/3):end); corr = real(ifft2(fft2(img) .* fft2(rot90(img1,2),r,c); thresh = 1.15*mean(corr(:); figuresubplot(221); imshow(img); title(orignal);subplot(

8、222); imshow(img1); title(cropped image);subplot(223); imshow(corr,); title(correlation);subplot(224); imshow(corrthresh,); title(matching points);快速傅立葉變換：根據(jù)傅立葉變換的可分離性，2D變換可分解為兩次連續(xù)的1D變換得到。計(jì)算結(jié)果存儲(chǔ)，備查在頻域中，頻率越大說(shuō)明原始信號(hào)變化速度越快；頻率越小說(shuō)明原始信號(hào)越平緩。當(dāng)頻率為0時(shí)，表示直流信號(hào)，沒有變化。因此，分量解釋信號(hào)的部分，而分量決定信號(hào)的形象。在圖像處理中，頻域反應(yīng)了圖像在空域灰度變化劇烈程

9、度，也就是圖像灰度的變化速度，即圖像的大小。對(duì)圖像而言，圖像的邊緣部分是突變部分，變化較快，因此反應(yīng)在頻域上是高頻分量；圖像的噪聲大部分情況下是高頻部分；圖像平緩變化部分則為低頻分量。傅立葉變換提供另外一個(gè)角度來(lái)觀察圖像，可以將圖像從灰度分布轉(zhuǎn)化到上來(lái)觀察圖像的特征。即：傅里葉變換提供了一條從空域到頻域自由轉(zhuǎn)換的途徑。圖像變換在圖像處理中的應(yīng)用沃爾什變換(Walsh Transform, WT)l 由于傅里葉變換和余弦變換的變換核由正弦、余弦函數(shù)組成，運(yùn)算量大。在特定問(wèn)題中，往往引進(jìn)不同的變換方法，以求運(yùn)算簡(jiǎn)單且變換核矩陣產(chǎn)生方便。 l Walsh Transform 中的變換矩陣簡(jiǎn)單（只有1

10、 和1），占用存儲(chǔ)空間少，產(chǎn)生容易，有快速算法，在需要實(shí)時(shí)處理大量數(shù)據(jù)的圖像處理問(wèn)題中，應(yīng)用廣泛。l Walsh和哈達(dá)瑪變換相比傅立葉變換缺乏明確的物理意義和比較直觀的解釋。ux012345670+1+-2+-+-3+-+4+-+-+-+-5+-+-+-+6+-+-+7+-+-+-N=8時(shí)時(shí)1DWalsh變換核的值變換核的值行列正交性、行列正交性、對(duì)稱性對(duì)稱性反變換核反變換核反變換反變換1-D Walsh變換的離散形式變換的離散形式Example:一維Walsh變換的物理意義n正如一維傅立葉變換（連續(xù)）是將一個(gè)函數(shù)分解成無(wú)窮個(gè)正弦波的疊加，而傅立葉幅度譜是這些正弦波的幅度系數(shù)。n一維Walsh

11、變換（連續(xù)）是將一個(gè)函數(shù)分解成無(wú)窮個(gè)Walsh函數(shù)（方波）的疊加，而F(u)是這些Walsh函數(shù)的幅度系數(shù)2-D Walsh變換正反變換核正反變換核正反變換正反變換2-D Walsh變換的矩陣形式Example:解:?能量集中性質(zhì)能量集中性質(zhì)1-D Hadamard Transform變換核變換核Walsh變換核Exampleux012345670+1+-+-+-+-2+-+-3+-+-+4+-5+-+-+-+6+-+7+-+-+-ux012345670+1+-2+-+-3+-+4+-+-+-+-5+-+-+-+6+-+-+7+-+-+-N=8時(shí)時(shí)1DWalsh變換核的值變換核的值行列正交性、

12、行列正交性、對(duì)稱性對(duì)稱性行列正交性、行列正交性、對(duì)稱性對(duì)稱性2-D Hadamard Transform相同相同兩種變換的聯(lián)系兩種變換的聯(lián)系n 兩種變換的兩種變換的1和和-1的次序不同，但仍保持正交和對(duì)稱，故的次序不同，但仍保持正交和對(duì)稱，故Walsh-Hadamard變換指變換指兩者之一兩者之一n 如果變換核是可分離的和對(duì)稱的函數(shù)時(shí)，變換可寫成矩陣形式。如果變換核是可分離的和對(duì)稱的函數(shù)時(shí)，變換可寫成矩陣形式。Walsh和和Hadamard都可以寫成矩陣形式，區(qū)別在于都可以寫成矩陣形式，區(qū)別在于Hadamard矩陣可用迭代方式獲得。矩陣可用迭代方式獲得。N=2時(shí)，時(shí)，例如，例如，原圖像原圖像

13、WHT結(jié)果結(jié)果 Example圖像壓縮示例如果Walsh變換后的右下角存在非零元素，則按此方法復(fù)原的圖像會(huì)丟失細(xì)節(jié)（高頻）信息n 傅立葉變換的一個(gè)最大的問(wèn)題是：它的參數(shù)都是復(fù)數(shù)，在數(shù)據(jù)的描述上相當(dāng)于傅立葉變換的一個(gè)最大的問(wèn)題是：它的參數(shù)都是復(fù)數(shù)，在數(shù)據(jù)的描述上相當(dāng)于實(shí)數(shù)的兩倍。為此，我們希望有一種能夠達(dá)到相同功能但數(shù)據(jù)量又不大的變換實(shí)數(shù)的兩倍。為此，我們希望有一種能夠達(dá)到相同功能但數(shù)據(jù)量又不大的變換n DCT變換是一種可分離和對(duì)稱變換，可借助變換是一種可分離和對(duì)稱變換，可借助Fourier變換的實(shí)數(shù)部分計(jì)算。在傅變換的實(shí)數(shù)部分計(jì)算。在傅里葉級(jí)數(shù)展開式中，被展開的函數(shù)是實(shí)偶函數(shù)時(shí)，其傅里葉級(jí)數(shù)中

14、只包含余弦里葉級(jí)數(shù)展開式中，被展開的函數(shù)是實(shí)偶函數(shù)時(shí)，其傅里葉級(jí)數(shù)中只包含余弦項(xiàng)，稱之為余弦變換項(xiàng)，稱之為余弦變換 n 近年來(lái)近年來(lái)DCT得到廣泛應(yīng)用，尤其是圖像編碼（壓縮）算法中得到廣泛應(yīng)用，尤其是圖像編碼（壓縮）算法中1-D DCT歸一化加權(quán)系數(shù)歸一化加權(quán)系數(shù)Example:如果令N=4，由一維解析式定義可得如下展開式：寫成矩陣形式：2-D DCT2-D DCT的矩陣形式的矩陣形式原始圖像原始圖像DCT系數(shù)系數(shù)反變換圖像反變換圖像離散余弦變換具有很強(qiáng)的離散余弦變換具有很強(qiáng)的“能量集中能量集中”特性，特性，能量主要集中在左上角處，因此在實(shí)際圖像應(yīng)能量主要集中在左上角處，因此在實(shí)際圖像應(yīng)用中用

15、中,能量不集中的地方可在余弦編碼中忽略能量不集中的地方可在余弦編碼中忽略DCT的應(yīng)用壓縮編碼Haar函數(shù)的定義函數(shù)的定義故，故，Haar函數(shù)進(jìn)一步定義為函數(shù)進(jìn)一步定義為 =1, =0,=1N=8時(shí)的Haar函數(shù)波形見右圖，有如下特征Haar-like特征，即很多人常說(shuō)的Haar特征，是計(jì)算機(jī)視覺領(lǐng)域一種常用的特征描述算子。它最早是由Papageorigiou等人用于人臉描述。目前常用的Haar-like特征可以分為三類：線性特征、邊緣特征、點(diǎn)特征（中心特征）、對(duì)角線特征。顯然，邊緣特征有4種：x方向，y方向，x傾斜方向，y傾斜方向；線特征有8種，點(diǎn)特征有2種，對(duì)角線特征有1種。每一種特征的計(jì)算

16、都是由黑色填充區(qū)域的像素值之和與白色填充區(qū)域的像素值之和的差值。而計(jì)算出來(lái)的這個(gè)差值就是所謂的Haar-like特征的特征值。N=8時(shí)，Haar基圖像Haar變換的特征：變換的特征：n Haar函數(shù)的一個(gè)重要特性函數(shù)的一個(gè)重要特性收斂均勻而迅速收斂均勻而迅速n Fourier變換的基函數(shù)（變換核）僅是頻率不同，變換的基函數(shù)（變換核）僅是頻率不同，Haar函數(shù)在尺度和位置函數(shù)在尺度和位置上都不同。即，上都不同。即，Haar變換具有尺度和位置的雙重性變換具有尺度和位置的雙重性n 全域特性和區(qū)域特性：全域特性和區(qū)域特性：Haar函數(shù)系列可分為全域部分和區(qū)域部分。全域部函數(shù)系列可分為全域部分和區(qū)域部分

17、。全域部分作用于整個(gè)變換區(qū)間，區(qū)域部分作用于局部區(qū)域分作用于整個(gè)變換區(qū)間，區(qū)域部分作用于局部區(qū)域Example：img = double(rgb2gray(imread(.lena.jpg); r c = size(img); LL LH HL HH = dwt2(img, haar); LL = mat2gray(LL);LH = mat2gray(LH);HL = mat2gray(HL);HH = mat2gray(HH); img = LL LH; HL HH; figureimshow(img);低頻水平垂直對(duì)角Gabor變換的優(yōu)點(diǎn)：n Gabor小波與人類視覺系統(tǒng)中簡(jiǎn)單細(xì)胞的視覺刺激響應(yīng)非常相似。n 它在提取目標(biāo)的局部空間和頻率域信息方面具有良好的特性。n Gabor小波對(duì)于圖像的邊緣敏感，能夠提供良好的方向選擇和尺度選擇特性，而且對(duì)于光照變化不敏感,能夠提供對(duì)光照變化良好的適應(yīng)性。Gabor濾波器和脊椎動(dòng)物視覺皮層感受野響應(yīng)的比較n第一行代表脊椎動(dòng)物的視覺皮層感受野n第二行是Gabor濾波器n第三行是兩者的殘差n可見兩者相差極小0s-st1描述窗函數(shù)的兩個(gè)重要參數(shù)是它的中心和寬度（半徑的2倍）。其均方根半徑為：中心均方根半徑幾個(gè)常用的窗函數(shù)矩形窗函數(shù)三角窗函數(shù)Hanning窗函數(shù)Hamming窗函數(shù)w=boxcar(n)w=tri