《數(shù)字邏輯電路(A)》課程PPT第2章 (2)邏輯代數(shù)

1、2.32.3 邏輯代數(shù)的基本邏輯代數(shù)的基本定律及規(guī)則定律及規(guī)則（1）邏輯表達(dá)式：由邏輯變量和與、或、非3種運(yùn)算符連接起來所構(gòu)成的式子。在邏輯表達(dá)式中，等式右邊的字母A、B、C、D等稱為輸入邏輯變量，等式左邊的字母Y稱為輸出邏輯變量，字母上面沒有非運(yùn)算符的叫做原變量，有非運(yùn)算符的叫做反變量。（2）邏輯函數(shù)：如果對(duì)應(yīng)于輸入邏輯變量A、B、C、的每一組確定值，輸出邏輯變量Y就有唯一確定的值，則稱Y是A、B、C、的邏輯函數(shù)。記為),(CBAfY ：與普通代數(shù)不同的是，在邏輯代數(shù)中，不管是變量還是函數(shù)，其取值都只能是0或1，并且這里的0和1只表示兩種不同的狀態(tài)，沒有數(shù)量的含義。2.3.1 邏輯函數(shù)及其相

2、等概念邏輯函數(shù)及其相等概念（3）邏輯函數(shù)相等的概念：設(shè)有兩個(gè)邏輯函數(shù)),( ),(21CBAgYCBAfY它們的變量都是A、B、C、，如果對(duì)應(yīng)于變量A、B、C、的任何一組變量取值，Y1和Y2的值都相同，則稱Y1和Y2是相等的，記為Y1=Y2。若兩個(gè)邏輯函數(shù)相等，則它們的真值表一定相同；反之，若兩個(gè)函數(shù)的真值表完全相同，則這兩個(gè)函數(shù)一定相等。因此，要證明兩個(gè)邏輯函數(shù)是否相等，只要分別列出它們的真值表，看看它們的真值表是否相同即可。A BABABA BA+B0 00 11 01 1000111101 11 00 10 01110BAAB證明等式：2.3.2 邏輯代數(shù)的公式和定理邏輯代數(shù)的公式和定理

3、與運(yùn)算：111 001 010 000（1）常量之間的關(guān)系（2）基本公式0-1 律：AAAA10 0011AA或運(yùn)算：111 101 110 000非 運(yùn) 算 ：10 01互補(bǔ)律： 0 1AAAA雙 重 否 定 律 ：AA 分別令分別令A(yù)=0及及A=1代入這些代入這些公式，即可證公式，即可證明它們的正確明它們的正確性。性。（3）基本定理交換律：ABBAABBA結(jié)合律：)()()()(CBACBACBACBA分配律：)()()(CABACBACABACBA反演律（摩根定律）：BABABABA .利用真值表很容易證利用真值表很容易證明這些公式的正確性。明這些公式的正確性。如證明如證明AB=BA：A

4、 B A.B B.A0 00 11 01 100010001（4）常用公式還原律：ABABAABABA)()(證 明 ：)(BAAABAA吸收率：BABAABABAAABAAABAA)( )()(1BA BA 分配率分配率A+BC=(A+B)(A+C)A+BC=(A+B)(A+C)互補(bǔ)率互補(bǔ)率A+A=1A+A=10-10-1率率A A1=11=1冗余律：CAABBCCAAB證明：BCCAABBCAABCCAABBCAACAAB)(互補(bǔ)率互補(bǔ)率A+A=1A+A=1分配率分配率A(B+C)=AB+ACA(B+C)=AB+AC)1 ()1 (BCACABCAAB 0-10-1率率A+1=1A+1=1

5、例如，已知等式 ，用函數(shù)Y=AC代替等式中的A，根據(jù)代入規(guī)則，等式仍然成立，即有：（1）代入規(guī)則：任何一個(gè)含有變量A的等式，如果將所有出現(xiàn)A的位置都用同一個(gè)邏輯函數(shù)代替，則等式仍然成立。這個(gè)規(guī)則稱為代入規(guī)則。BAABCBABACBAC)(2.3.3 邏輯代數(shù)的三個(gè)規(guī)則邏輯代數(shù)的三個(gè)規(guī)則（2）反演規(guī)則：對(duì)于任何一個(gè)邏輯表達(dá)式Y(jié)，如果將表達(dá)式中的所有“”換成“”，“”換成“”，“0”換成“1”，“1”換成“0”，那么所得到的表達(dá)式就是函數(shù)Y的反函數(shù)Y（或稱補(bǔ)函數(shù)）。這個(gè)規(guī)則稱為反演規(guī)則。例如：EDCBAY)(EDCBAYEDCBAYEDCBAY（3）對(duì)偶規(guī)則：對(duì)于任何一個(gè)邏輯表達(dá)式Y(jié)，如果將表達(dá)式

6、中的所有“”換成“”，“”換成“”，“0”換成“1”，“1”換成“0”，而，則可得到的一個(gè)新的函數(shù)表達(dá)式Y(jié)，Y稱為函數(shù)Y的對(duì)偶函數(shù)。這個(gè)規(guī)則稱為對(duì)偶規(guī)則。例如：EDCBAY對(duì)偶規(guī)則的意義在于對(duì)偶規(guī)則的意義在于：如果兩個(gè)函數(shù)相等，則它們的對(duì)偶函數(shù)也相等。利用對(duì)偶規(guī)則,可以使要證明及要記憶的公式數(shù)目減少一半。例如：在運(yùn)用反演規(guī)則和對(duì)偶規(guī)則時(shí)，必須按照邏輯運(yùn)算的優(yōu)先順序進(jìn)行：先算括號(hào)，接著與運(yùn)算，然后或運(yùn)算，最后非運(yùn)算，否則容易出錯(cuò)。ACABCBA)()(CABABCAABABAABABA)()()(EDCBAYEDCBAYEDCBAY2.42.4邏輯函數(shù)的邏輯函數(shù)的代數(shù)化簡(jiǎn)法代數(shù)化簡(jiǎn)法2.4.1

7、邏輯函數(shù)的表達(dá)式邏輯函數(shù)的表達(dá)式（1）與或表達(dá)式：ACBAY（2）或與表達(dá)式：Y)(CABA（3）與非-與非表達(dá)式：Y ACBA（4）或非-或非表達(dá)式：YCABA（5）與或非表達(dá)式：YCABA一個(gè)邏輯函數(shù)的表達(dá)式可以有與或表達(dá)式、或與表達(dá)式、與非-與非表達(dá)式、或非-或非表達(dá)式、與或非表達(dá)式5種表示形式。一種形式的函數(shù)表達(dá)式相應(yīng)于一種邏輯電路。盡管一個(gè)邏輯函數(shù)表達(dá)式的各種表示形式不同，但邏輯功能是相同的。1 1、邏輯函數(shù)的最小項(xiàng)及其性質(zhì)邏輯函數(shù)的最小項(xiàng)及其性質(zhì)（1）最小項(xiàng)：如果一個(gè)函數(shù)的某個(gè)乘積項(xiàng)包含了函數(shù)的全部變量，其中每個(gè)變量都以原變量或反變量的形式出現(xiàn)，且僅出現(xiàn)一次，則這個(gè)乘積項(xiàng)稱為該函數(shù)

8、的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)積項(xiàng)，通常稱為最小項(xiàng)。3個(gè)變量A、B、C可組成8個(gè)最小項(xiàng)：ABCCABCBACBABCACBACBACBA、（2）最小項(xiàng)的表示方法：通常用符號(hào)mi來表示最小項(xiàng)。下標(biāo)i的確定：把最小項(xiàng)中的原變量記為1，反變量記為0，當(dāng)變量順序確定后，可以按順序排列成一個(gè)二進(jìn)制數(shù)，則與這個(gè)二進(jìn)制數(shù)相對(duì)應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)，就是這個(gè)最小項(xiàng)的下標(biāo)i。3個(gè)變量A、B、C的8個(gè)最小項(xiàng)可以分別表示為：ABCmCABmCBAmCBAmBCAmCBAmCBAmCBAm76543210、（3）最小項(xiàng)的性質(zhì)： 3 變量全部最小項(xiàng)的真值表A B Cm0m1m2m3m4m5m6m70 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01

9、 0 11 1 01 1 11000000001000000001000000001000000001000000001000000001000000001任意一個(gè)最小項(xiàng)，只有一組變量取值使其值為1。全部最小項(xiàng)的和必為1。ABCABC任意兩個(gè)不同的最小項(xiàng)的乘積必為0。2 2、邏輯函數(shù)的最小項(xiàng)表達(dá)式邏輯函數(shù)的最小項(xiàng)表達(dá)式任何一個(gè)邏輯函數(shù)都可以表示成唯一的一組最小項(xiàng)之和，稱為標(biāo)準(zhǔn)與或表達(dá)式，也稱為最小項(xiàng)表達(dá)式對(duì)于不是最小項(xiàng)表達(dá)式的與或表達(dá)式，可利用公式AA1 和A(B+C)ABBC來配項(xiàng)展開成最小項(xiàng)表達(dá)式。)7 , 3 , 2 , 1 , 0()()(73210mmmmmmABCBCACBACBA

10、CBABCAABCCBACBACBABCABCAACCBBABCAY如果列出了函數(shù)的真值表，則只要將函數(shù)值為1的那些最小項(xiàng)相加，便是函數(shù)的最小項(xiàng)表達(dá)式。A B CY最小項(xiàng)0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 101110100m0m1m2m3m4m5m6m7m1ABCm5ABCm3ABCm1ABCCBACBACBACBAmmmmmY)5 ,3 ,2, 1(5321將真值表中函數(shù)值為0的那些最小項(xiàng)相加，便可得到反函數(shù)的最小項(xiàng)表達(dá)式。邏輯函數(shù)化簡(jiǎn)的意義：邏輯表達(dá)式越簡(jiǎn)單，實(shí)現(xiàn)它的電路越簡(jiǎn)單，電路工作越穩(wěn)定可靠。2.4.1 邏輯函數(shù)的最簡(jiǎn)表達(dá)式邏輯函數(shù)的最簡(jiǎn)表

11、達(dá)式1 1、最簡(jiǎn)與或表達(dá)式最簡(jiǎn)與或表達(dá)式乘積項(xiàng)最少、并且每個(gè)乘積項(xiàng)中的變量也最少的與或表達(dá)式。CABACBCABADCBCBECACABAEBAY最簡(jiǎn)與或表達(dá)式最簡(jiǎn)與或表達(dá)式2 2、最簡(jiǎn)與非與非表達(dá)式最簡(jiǎn)與非與非表達(dá)式非號(hào)最少、并且每個(gè)非號(hào)下面乘積項(xiàng)中的變量也最少的與非-與非表達(dá)式。CABACABACABAY在最簡(jiǎn)與或表達(dá)式的基礎(chǔ)上兩次取反用摩根定律去掉下面的非號(hào)2.4.2 邏輯函數(shù)的公式化簡(jiǎn)法邏輯函數(shù)的公式化簡(jiǎn)法1 1、并項(xiàng)法、并項(xiàng)法邏輯函數(shù)的公式化簡(jiǎn)法就是運(yùn)用邏輯代數(shù)的基本公式、定理和規(guī)則來化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)。利用公式1，將兩項(xiàng)合并為一項(xiàng)，并消去一個(gè)變量。BCCBCBBCCBBCAACBBCAA

12、BCY)()(1ABCBCABCAABCCBAABCCABAABCY)()(2運(yùn)用摩根定律運(yùn)用分配律運(yùn)用分配律2 2、吸收法、吸收法BAFEBCDABAY)(1BABCDBADABADBCDABADCDBAY)()(2。運(yùn)用摩根定律（）利用公式，消去多余的項(xiàng)。（）利用公式，消去多余的變量。CABCABABCBAABCBCAABY)(。、配項(xiàng)法、配項(xiàng)法（）利用公式（），為某一項(xiàng)配上其所缺的變量，以便用其它方法進(jìn)行化簡(jiǎn)。CACBBABBCAACBCBACBABCACBACBACBBACCBACBAACBBABACBCBBAY)()1 ()1 ()()(（）利用公式，為某項(xiàng)配上其所能合并的項(xiàng)。BCA

13、CABBCAABCCBAABCCABABCBCACBACABABCY)()()( 利用公式，為某項(xiàng)配上其所能合并的項(xiàng)。 例P46的例2.16 例2.15、消去冗余項(xiàng)法、消去冗余項(xiàng)法利用冗余律，將冗余項(xiàng)消去。DCACBAADEDCACBADCADEACBAY)(1CBABFGDEACCBABY)(2例：化簡(jiǎn)函數(shù))()()()(GEAGCECGADBDBY解：先求出Y的對(duì)偶函數(shù)Y，并對(duì)其進(jìn)行化簡(jiǎn)。GCCEDBAEGGCCEDAGBDBY求Y的對(duì)偶函數(shù)，便得的最簡(jiǎn)或與表達(dá)式。)()(GCECDBY2.5 邏輯函數(shù)的圖形化簡(jiǎn)法邏輯函數(shù)的圖形化簡(jiǎn)法1 1、卡諾圖的構(gòu)成、卡諾圖的構(gòu)成邏輯函數(shù)的圖形化簡(jiǎn)法是

14、將邏輯函數(shù)用卡諾圖來表示，利用卡諾圖來化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)。將邏輯函數(shù)真值表中的最小項(xiàng)重新排列成矩陣形式，并且使，這樣構(gòu)成的圖形就是卡諾圖?？ㄖZ圖的特點(diǎn)是任意兩個(gè)相鄰的最小項(xiàng)在圖中也是相鄰的。（相鄰項(xiàng)是指兩個(gè)最小項(xiàng)只有一個(gè)因子互為反變量，其余因子均相同，又稱為邏輯相鄰項(xiàng)） 。 A B010m0m21m1m3 ABC000111100m0m2m6m41m1m3m7m5 2 變量卡諾圖 3 變量卡諾圖 ABCD0001111000m0m4m12m801m1m5m13m911m3m7m15m1110m2m6m14m10 4 變量卡諾圖兩個(gè)相鄰最小項(xiàng)可以合并消去一個(gè)變量BACCBACBACBA)(DCADCB

15、ADCAB邏輯函數(shù)化簡(jiǎn)的實(shí)質(zhì)就是相鄰最小項(xiàng)的合并2 2、邏輯函數(shù)在卡諾圖中的表示、邏輯函數(shù)在卡諾圖中的表示（1）邏輯函數(shù)是以真值表或者以最小項(xiàng)表達(dá)式給出：在卡諾圖上那些與給定邏輯函數(shù)的最小項(xiàng)相對(duì)應(yīng)的方格內(nèi)填入1，其余的方格內(nèi)填入0。 ABCD00011110000100011000111111100110)15,14,11, 7 , 6 , 4 , 3 , 1 (),(mDCBAYm1m3m4m7m6m11m15m14（2）邏輯函數(shù)以一般的邏輯表達(dá)式給出：先將函數(shù)變換為與或表達(dá)式（不必變換為最小項(xiàng)之和的形式），然后在卡諾圖上與每一個(gè)乘積項(xiàng)所包含的那些最小項(xiàng)（該乘積項(xiàng)就是這些最小項(xiàng)的公因子）相對(duì)

16、應(yīng)的方格內(nèi)填入1，其余的方格內(nèi)填入0。)(CBDAYCBDAY ABC D00011110001100010000111001101101的公因子的公因子：如果求得 了函數(shù)的反函數(shù)，則對(duì)中所包含的各個(gè)最小項(xiàng)，在卡諾圖相應(yīng)方格內(nèi)填入0，其余方格內(nèi)填入1。3 3、卡諾圖的性質(zhì)、卡諾圖的性質(zhì) ABC D00011110000100010001110001100100（1）任何兩個(gè)（21個(gè)）標(biāo)1的相鄰最小項(xiàng)，可以合并為一項(xiàng)，并消去一個(gè)變量（消去互為反變量的因子，保留公因子）。 AB C000111100100110110CBACBAABCBCADBCADCBACDBADCBACBBCDBADBA AB

17、CD00011110000100011111110110100100（2）任何4個(gè)（22個(gè)）標(biāo)1的相鄰最小項(xiàng)，可以合并為一項(xiàng)，并消去2個(gè)變量。 A B C000111100111110110CCBAABBABACBACABCBACBA)(BBACCACACAABCCABBCACBA)(BADC ABC D00011110001001010110110110101001 ABC D00011110000110011001111001100110 ABC D00011110000000011111111111100000 ABCD00011110001001011001111001101001（3

18、）任何8個(gè)（23個(gè)）標(biāo)1的相鄰最小項(xiàng)，可以合并為一項(xiàng)，并消去3個(gè)變量。4 4、圖形法化簡(jiǎn)的基本步驟、圖形法化簡(jiǎn)的基本步驟邏輯表達(dá)式邏輯表達(dá)式或真值表或真值表卡諾圖卡諾圖)15,13,12,11, 8 , 7 , 5 , 3(),(mDCBAY A BC D0 00 11 11 00 000110 101101 111111 00000 1 1 合并最小項(xiàng)合并最小項(xiàng)圈越大越好，但每個(gè)圈中標(biāo)的方格數(shù)目必須為個(gè)。同一個(gè)方格可同時(shí)畫在幾個(gè)圈內(nèi)，但每個(gè)圈都要有新的方格，否則它就是多余的。不能漏掉任何一個(gè)標(biāo)的方格。i2最簡(jiǎn)與或表達(dá)式最簡(jiǎn)與或表達(dá)式 A BC D0 00 11 11 00 000110 10

19、1101 111111 00000DCACDBDDCBAY ),(冗余項(xiàng) 2 2 3 3 將代表每個(gè)圈的乘積項(xiàng)相加 ABC D00011110 ABC D00011110001101001101010111010111110011110011100000100000兩點(diǎn)說明： 在有些情況下，最小項(xiàng)的圈法不只一種，得到的各個(gè)乘積項(xiàng)組成的與或表達(dá)式各不相同，哪個(gè)是最簡(jiǎn)的，要經(jīng)過比較、檢查才能確定。不是最簡(jiǎn)最簡(jiǎn) ABCD00011110 ABCD00011110001100001100011110011110110010110010101010101010 在有些情況下，不同圈法得到的與或表達(dá)式都是

20、最簡(jiǎn)形式。即一個(gè)函數(shù)的最簡(jiǎn)與或表達(dá)式不是唯一的。2.3.4 含隨意項(xiàng)的邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)含隨意項(xiàng)的邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)：函數(shù)可以隨意取值（可以為0，也可以為1）或不會(huì)出現(xiàn)的變量取值所對(duì)應(yīng)的最小項(xiàng)稱為隨意項(xiàng)，也叫做約束項(xiàng)或無關(guān)項(xiàng)。1 1、含隨意項(xiàng)的邏輯函數(shù)含隨意項(xiàng)的邏輯函數(shù)例如：判斷一位十進(jìn)制數(shù)是否為偶數(shù)。不會(huì)出現(xiàn)不會(huì)出現(xiàn)不會(huì)出現(xiàn)不會(huì)出現(xiàn)不會(huì)出現(xiàn)不會(huì)出現(xiàn) 說 明 1 1 1 10 0 1 1 1 1 1 1 01 0 1 1 0 1 1 0 10 0 1 0 1 1 1 0 01 0 1 0 0 1 0 1 10 0 0 1 1 1 0 1 01 0 0 1 00 1 0 0 10 0 0 0 11 1

21、0 0 01 0 0 0 0Y A B C DY A B C D ABCD00011110001110100011001011輸入變量A，B，C，D取值為00001001時(shí)，邏輯函數(shù)Y有確定的值，根據(jù)題意，偶數(shù)時(shí)為1，奇數(shù)時(shí)為0。)8 ,6,4,2,0(),(mDCBAYA，B，C，D取值為1010 1111的情況不會(huì)出現(xiàn)或不允許出現(xiàn)，對(duì)應(yīng)的最小項(xiàng)屬于隨意項(xiàng)。用符號(hào)“”、“”或“d”表示。隨意項(xiàng)之和構(gòu)成的邏輯表達(dá)式叫做 隨意條件或約束條件，用一個(gè)值恒為 0 的條件等式表示。0)15,14,13,12,11,10(d含有隨意條件的邏輯函數(shù)可以表示成如下形式：)15,14,13,12,11,10(

22、)8 , 6 , 4 , 2 , 0(),(dmDCBAF2 2、含隨意項(xiàng)的邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)含隨意項(xiàng)的邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)在邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)中，充分利用隨意項(xiàng)可以得到更加簡(jiǎn)單的邏輯表達(dá)式，因而其相應(yīng)的邏輯電路也更簡(jiǎn)單。在化簡(jiǎn)過程中，隨意項(xiàng)的取值可視具體情況取0或取1。具體地講，如果隨意項(xiàng)對(duì)化簡(jiǎn)有利，則取1；如果隨意項(xiàng)對(duì)化簡(jiǎn)不利，則取0。 ABCD00011110001110100011001011不利用隨意項(xiàng)的化簡(jiǎn)結(jié)果為：DCADAY利用隨意項(xiàng)的化簡(jiǎn)結(jié)果為：DY 3 3、變量互相排斥的邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)變量互相排斥的邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)在一組變量中，如果只要有一個(gè)變量取值為1，則其它變量的值就一定為0，具有這種制

23、約關(guān)系的變量叫做互相排斥的變量。變量互相排斥的邏輯函數(shù)也是一種含有隨意項(xiàng)的邏輯函數(shù)。A B CY0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 10111 AB C00011110001111YABC111簡(jiǎn)化真值表CBAY2.4 2.4 邏輯函數(shù)的表邏輯函數(shù)的表示方法及其相互轉(zhuǎn)換示方法及其相互轉(zhuǎn)換2.4.1 邏輯函數(shù)的表示方法邏輯函數(shù)的表示方法1 1、真值表真值表真值表：是由變量的所有可能取值組合及其對(duì)應(yīng)的函數(shù)值所構(gòu)成的表格。真值表列寫方法：每一個(gè)變量均有0、1兩種取值，n個(gè)變量共有2i種不同的取值，將這2i種不同的取值按順序（一般按二進(jìn)制遞增規(guī)律）排列起來，同

24、時(shí)在相應(yīng)位置上填入函數(shù)的值，便可得到邏輯函數(shù)的真值表。A B CY0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 100010011例如：當(dāng)A=B=1、或則B=C=1時(shí)，函數(shù)Y=1；否則Y=0。2 2、邏輯表達(dá)式邏輯表達(dá)式邏輯表達(dá)式：是由邏輯變量和與、或、非3種運(yùn)算符連接起來所構(gòu)成的式子。函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)與或表達(dá)式的列寫方法：將函數(shù)的真值表中那些使函數(shù)值為1的最小項(xiàng)相加，便得到函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)與或表達(dá)式。)7 , 6 , 3(mABCCABBCAY3 3、卡諾圖卡諾圖卡諾圖：是由表示變量的所有可能取值組合的小方格所構(gòu)成的圖形。邏輯函數(shù)卡諾圖的填寫方法：在那些使函數(shù)值為1的變量取值組合所對(duì)應(yīng)的小方格內(nèi)填入1，其余的方格內(nèi)填入0，便得到該函數(shù)的卡諾圖。 A B C0001111000010101104 4、邏輯圖邏輯圖邏輯圖：是由表示邏輯運(yùn)算的邏輯符號(hào)所構(gòu)成的圖形。Y&1&ABBC、波形、波形圖圖波形