復變函數課件：第八講 留數

1、第八講 留數留數& 1. 定義定義& 2. 分類分類& 3. 性質性質& 4. 零點與極點的關系零點與極點的關系5.1 孤立奇點孤立奇點 1. 定義定義例如例如zezf1)( -z=0為孤立奇點為孤立奇點zzf1sin1)( -z=0及及z=1/n (n = 1 , 2 ,)都是它的都是它的奇點奇點11)( zzf-z=1為孤立奇點為孤立奇點定義定義.)(,0,)(0000的的孤孤立立奇奇點點為為則則稱稱內內解解析析的的某某個個去去心心鄰鄰域域但但在在處處不不解解析析在在若若zfzzzzzzf xyo這說明奇點未這說明奇點未必是孤立的。必是孤立的。的的奇奇點點存存在在，總總有有鄰鄰域域內內不不

2、論論多多么么小小的的去去心心在在但但)(,0, 01limzfznn 的孤立奇點。的孤立奇點。不是不是故故zz1sin10 2. 分類分類以下將以下將f (z)在孤立奇點的鄰域內展成洛朗級數，根在孤立奇點的鄰域內展成洛朗級數，根據展開式的不同情況，將孤立點進行分類。據展開式的不同情況，將孤立點進行分類?？疾欤嚎疾欤?)!12()1(! 5! 31sin)1(242nzzzzznn特點：特點：沒有負冪次項沒有負冪次項 ! 211!1)2(1010nzzznznzzzennnnnz特點：特點：只有有限多個負冪次項只有有限多個負冪次項 nznzzez!1!211)3(211特點：特點：有無窮多個負冪

3、次項有無窮多個負冪次項定義定義 設設z0是是f (z)的一個孤立奇點，在的一個孤立奇點，在z0 的去心鄰域內，的去心鄰域內， 若若f (z)的洛朗級數的洛朗級數 00)()()(nnnzzczfi沒有負冪次項，稱沒有負冪次項，稱z=z0為可去奇點為可去奇點;)1, 0()()()(0 mczzczfiimmnnn只有有限多個負冪次項，稱只有有限多個負冪次項，稱z=z0為為m 級極點級極點; nnnzzczfiii)()()(0有無窮多個負冪次項，稱有無窮多個負冪次項，稱z=z0為本性奇點。為本性奇點。3. 性質性質.)()(000解解析析在在補補充充定定義義：zzfczf 000)(lim)(

4、)(0czfzzczfzznnn q若若z0為為f (z)的可去奇點的可去奇點)1, 0()()(0 mczzczfmmnnnq若若z0為為f (z)的的m (m 1) 級極點級極點)()(1)()(lim00zgzzzfzfmzz . 0)()(,)()()(:0020201 zgzzzgzzczzcczgmmm內是解析函數且內是解析函數且在在其中其中 422)1)(1(23)( zzzzzf例如：例如：z=1為為f (z)的一個三級極點，的一個三級極點， z= i為為f (z)的一級極點。的一級極點。 不不存存在在，也也不不為為負負冪冪次次項項的的洛洛朗朗級級數數有有無無窮窮多多項項)(l

5、im)(zfzfnq若若z0為為f (z)的本性奇點的本性奇點4. 零點與極點的關系零點與極點的關系定義定義 不恒等于不恒等于0的解析函數的解析函數f (z)如果能表示成如果能表示成)()()(0zzzzfm Nmzzz ,)(, 0)(00點點解解析析在在其其中中： 則稱則稱z=z0為為f (z) 的的m 級零點。級零點。與與三三級級零零點點。的的一一級級分分別別是是與與3)1()(10 zzzfzz例如：例如：0)()()(0000 zczzcznnn ),)(, 0)(00Nmzzz 點點解解析析在在 . 0)()1, 2 , 1 , 0(0)()()()(0)(0)(0 zfmnzfz

6、zzzfmnm 定理定理事實上事實上，必要性得證！必要性得證！ 00)()(nmnnzzczf0!)(),1, 2 , 1 , 0(0)(:00)(0)( cmzfmnzfTaylormn而而級級數數的的系系數數公公式式有有由由充分性略！充分性略！的的零零點點。均均為為與與3)1()(10 zzzfzz例如例如zzzzf6)1(6)1(12)( 23)1(3)1()( zzzzf又又0)1( f)1(6)1(6)(2 zzzzf為為一一級級零零點點00)1()0( 3 zf為三級零點為三級零點1 z06)1( f0)1( f級級極極點點的的是是若若mzfz)(0定理定理:.)(10級零點級零點

7、的的是是mzfz證明證明)()(1)(0zgzzzfm “”若若z0為為f (z)的的m 級極點級極點 0)(,)(00 zgzzg且且解析解析在在)()()()(1)()(1000zzzhzzzgzzzfmm .0)(,)(00 zhzzh且且解析解析在在，令令0)(1, 0)(1lim00 zfzfzz.)(10級零點級零點的的是是則則mzfz則則級級零零點點的的是是”若若“,)(10mzfz)()()(10zzzzfm .0)(,)(00 zzz 且且解解析析在在)()(1)(1)(1)(000zzzzzzzfzzmm 時，時，當當 .0)(,)(00 zzz 且且解析解析在在.)(0級

8、級極極點點的的是是mzfz。如如果果是是極極點點指指出出它它的的級級的的奇奇點點，求求)1)(1()(2zezzzf 例例解解顯然，顯然，z= i 是是(1+z2)的一級零點的一級零點, 2, 1, 0)12()12()2()1(1, 01 kikzikkiLnzeekzz故故奇奇點點為為：即即 0)12(sin)12(cos)1()12()12( kikeekizzkizz的的一一級級零零點點是是zkekkiz 1), 2, 1, 0()12(.)(), 2, 1()12(;)(一一級級極極點點的的為為的的二二級級極極點點為為zfkkizzfizk 綜合綜合級級數數。如如果果是是極極點點，指

9、指出出它它的的孤孤立立奇奇點點，奇奇點點類類型型，練練習習：考考察察下下列列函函數數的的)1(1)()1(2 zezzfzzzf)1ln()()2( 11)()5(23 zzzzfzzzfsin1)()6( 11)()7( zezf 322sin)2()1()()8(zzzzf 2211)()3( zzzf3sin)()4(zzzf & 1. 留數的定義留數的定義& 2. 留數定理留數定理& 3. 留數的計算規(guī)則留數的計算規(guī)則5.2 留數留數(Residue)1. 留數的定義留數的定義rzzzzczfnnn 000 ,)()(設設 cciczzdzcdzzfc1012)( 逐逐項項積積分分得得

10、：線線對對上上式式兩兩邊邊沿沿簡簡單單閉閉曲曲),)(00在在其其內內部部包包含含的的孤孤立立奇奇點點是是zczfz 的的奇奇點點所所圍圍成成的的區(qū)區(qū)域域內內含含有有未未必必為為所所圍圍成成的的區(qū)區(qū)域域內內解解析析在在)(0)(0)(zfcczfdzzfc定義定義設設 z0 為為 f (z) 的孤立奇點，的孤立奇點， f (z) 在在 z0 鄰域內鄰域內的洛朗級數中負冪次項的洛朗級數中負冪次項 (z- z0)1 的系數的系數 c1 稱為稱為f (z)在在 z0 的的留數留數，記作，記作 Res f (z), z0 或或 Res f (z0)。由留數定義由留數定義, Res f (z), z0=

11、 c1 (1)2()(21),(Re10dzzficzzfsc 故故2. 留數定理留數定理)3(),(Re2)(,)(,)(,121 nkkcnzzfsidzzfcczfzzzczfc 則則上上解解析析內內及及在在除除此此以以外外有有限限個個孤孤立立奇奇點點內內有有在在函函數數是是一一條條簡簡單單閉閉曲曲線線設設定理定理,), 2 , 1(,圍圍繞繞內內孤孤立立奇奇點點將將曲曲線線互互不不相相交交的的正正向向簡簡單單閉閉用用互互不不包包含含kkzcnkc 證明證明Dcznz1z3z2 nkknkcczzfsdzzfidzzfik11),(Re)(21)(21 nccccdzzfdzzfdzzf

12、dzzf)()()()(21由復合閉路定理得：由復合閉路定理得：用用2 i 除上式兩邊得除上式兩邊得: nkkczzfsidzzf1),(Re2)( 故故得證！得證！A 求沿閉曲線求沿閉曲線c的積分，歸之為求在的積分，歸之為求在c中各孤立中各孤立奇點的留數。奇點的留數。 一般求一般求 Res f (z), z0 是采用將是采用將 f (z) 在在 z0 鄰域內鄰域內展開成洛朗級數求系數展開成洛朗級數求系數 c1 的方法的方法, 但如果能先知道但如果能先知道奇點的類型，對求留數更為有利。奇點的類型，對求留數更為有利。0),(Re0)(010 zzfsczzi為為可可去去奇奇點點若若以下就三類孤立

13、奇點進行討論：以下就三類孤立奇點進行討論：3. 留數的計算規(guī)則留數的計算規(guī)則規(guī)則規(guī)則有以下幾條有以下幾條為極點時，求為極點時，求若若),(Re)(00zzfszziii 規(guī)則規(guī)則I)4()()(lim),(Re,)(0000zfzzzzfszfzzz 的的一一級級極極點點是是若若級極點級極點的的是是若若mzfz)(0規(guī)則規(guī)則II )5()()(lim)!1(1),(Re01100zfzzdzdmzzfsmmmzz 1000),(Re)()()( czzfszzczfzziinn展開展開為本性奇點為本性奇點若若事實上事實上，由條件，由條件)0(,)()()()()(0101012020 mmmc

14、zzcczzczzczzczf得得乘乘上上式式兩兩邊邊以以,)(0mzz mmmmmzzczzczzcczfzz)()()()()(00101010 )( !)!1()()(101011zzmcmzfzzdzdmmmm階階導導數數得得兩兩邊邊求求 .)5(,)!1()()(lim10110式式移移項項得得 cmzfzzdzdmmmzzA當當m=1時，式時，式(5)即為式即為式(4).)6()( )(),(Re,)(0)( ,0)(,0)(,)(),()()()(00000000zQzPzzfszfzzQzQzPzzQzPzQzPzf 且且的的一一級級極極點點是是處處解解析析在在設設規(guī)則規(guī)則II

15、I事實上事實上，,)(1,)(0)( 0)(0000的的一一級級極極點點為為從從而而的的一一級級零零點點為為及及zQzzQzzQzQ 0)()()(1)(1,000 zzzzzzzQ 處處解解析析且且在在因因此此),0)(,)()()()(1)(000 zgzzPzzgzgzzzf且且解解析析在在故故 得得證證！0)( )( )()()()(lim)()(lim),(Re000000000 zQzQzPzzzQzQzPzfzzzzfszzzz 由由規(guī)規(guī)則則級級極極點點的的為為則則,)(0zfz 22)1(25:zdzzzz計計算算例例1解解102)1(25)(2 zzzzzzzf和和一一個個二

16、二級級極極點點極極點點的的內內部部有有一一個個一一級級在在2)1(25lim)(lim0),(Re200 zzzzfzfszz 由由規(guī)規(guī)則則)1(25)1()!12(1lim 1),(Re221 zzzzdzdzfszII由由規(guī)規(guī)則則22lim)25(lim211 zzzzz0 1),(Re20),(Re2)(2 zfsizfsidzzfz 2:14 zcdzzzc正正向向計計算算例例2解解內內，都都在在圓圓周周個個一一級級極極點點有有cizf , 1:4)(23414)( )(zzzzQzP 由規(guī)則由規(guī)則0414141412),(Re),(Re 1),(Re 1),(Re214 iizfsi

17、zfszfszfsidzzzc 故故 13coszdzzz計計算算例例3解解的的三三級級極極點點有有一一個個0cos)(3 zzzzfiizfsidzzzz )21(20),(Re2cos1321)(coslim21)()!13(1lim0),(Re03220 zzfzdzdzfszz由由規(guī)規(guī)則則)(tanNnzdznz 計計算算例例4解解), 2, 1, 0(21,20coscossintan kkzkzzzzz即即解得解得令令 0csc)(cot21212 kzkzzz 得得由由規(guī)規(guī)則則為為一一級級極極點點III,21 kz), 1, 0(1)(cossin21,tanRe21 kzzkz

18、skz ninikzsizdznknz422,tanRe2tan2121 故由留數定理得：故由留數定理得：A(1)要靈活運用規(guī)則及洛朗級數展開來求留要靈活運用規(guī)則及洛朗級數展開來求留數，不要死套規(guī)則。數，不要死套規(guī)則。6sin)()()(zzzzQzPzf ,)(001cos)0(0sin)0(0)cos1()0( 0)0(000的的三三級級零零點點是是由由于于zpzzpzpzppzzz 如如是是f (z)的三級極點的三級極點。:)(級級數數展展開開作作若若將將Laurentzfsinlim)!13(10 ,sinRe306 zzzzzzsz由規(guī)則由規(guī)則! 510 ,sinRe6 zzzs zzzzzz