D9_1基本概念20160301

1、目錄 上頁 下頁 返回 結束 微積分 上邢順來電話Q:2286253960高等數(shù)學討論群:206742833 推廣推廣第九章第九章 一元函數(shù)微分學一元函數(shù)微分學 多元函數(shù)微分學多元函數(shù)微分學 注意注意: 善于類比善于類比, 區(qū)別異同區(qū)別異同多元函數(shù)微分法多元函數(shù)微分法 及其應用及其應用 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第九章 第一節(jié)第一節(jié)一、區(qū)域一、區(qū)域二、多元函數(shù)的概念二、多元函數(shù)的概念三、多元函數(shù)的極限三、多元函數(shù)的極限四、多元函數(shù)的連續(xù)性四、多元函數(shù)的連續(xù)性多元函數(shù)的基本概念多元函數(shù)的基本概念 目錄 上頁 下頁 返回 結束 2RRR建立了直角坐標系的平面稱為坐標平

2、面，記作( , )|( ,).x yx yP具有性質坐標平面上具有某種性質P 的點的集合，稱為平面點集. 記作 E ( , )|,.x yx yR平面上的點和二元有序實數(shù)組一一對應。常把有序數(shù)組(x,y)與平面上的點P視作等同的。目錄 上頁 下頁 返回 結束 )(0oPPUPP 00一、一、 區(qū)域區(qū)域1. 鄰域鄰域點集, ),(0PPU稱為點 P0 的 鄰域鄰域. .例如例如, ,在平面上, ),(),(0yxPU(圓鄰域)說明：說明：若不需要強調鄰域半徑 , ,也可寫成. )(0PU點 P0 的去心鄰域去心鄰域記為PP 0yyxx2020)()(0P 目錄 上頁 下頁 返回 結束 在討論實際

3、問題中也常使用方鄰域,平面上的方鄰域為 (),(),0yxPU。0P因為方鄰域與圓鄰域可以互相包含.,0 xxyy0目錄 上頁 下頁 返回 結束 2. 區(qū)域區(qū)域(1) 內點、外點、邊界點設有點集 E 及一點 P : 若存在點 P 的某鄰域 U(P) E , 若存在點 P 的某鄰域 U(P) E = , 若對點 P 的任一任一鄰域 U(P) 既含 E中的內點也含 EE則稱 P 為 E 的內點內點；則稱 P 為 E 的外點外點 ;則稱 P 為 E 的邊界點邊界點 .的外點 ,顯然, E 的內點必屬于 E , E 的外點必不屬于 E , E 的邊界點可能屬于 E, 也可能不屬于 E . 目錄 上頁

4、下頁 返回 結束 (2) 聚點聚點若對任意給定的 , ,點P 的去心),PU(E鄰域內總有E 中的點 , 則稱 P 是 E 的聚點聚點.聚點可以屬于 E , 也可以不屬于 E (因為聚點可以為 所有聚點所成的點集成為 E 的導集導集 .E 的邊界點 )目錄 上頁 下頁 返回 結束 D(3) 開區(qū)域及閉區(qū)域 若點集 E 的點都是內點，則稱 E 為開集； 若點集 E E , 則稱 E 為閉集； 若集 D 中任意兩點都可用一完全屬于 D 的折線相連 , 開區(qū)域連同它的邊界一起稱為閉區(qū)域.則稱 D 是連通的 ; 連通的開集稱為開區(qū)域 ,簡稱區(qū)域 ;。 。 E 的邊界點的全體稱為 E 的邊界, 記作E

5、;目錄 上頁 下頁 返回 結束 例如，例如，在平面上0),( yxyx41),(22yxyx0),( yxyx41),(22yxyx開區(qū)域閉區(qū)域xyOxy21OxyOxy21O目錄 上頁 下頁 返回 結束 整個平面 點集 1),(xyx是開集， 是最大的開域 , 也是最大的閉域 ;但非區(qū)域 .11 對區(qū)域 D , 若存在正數(shù) K , 使一切點 PD 與某定點 A 的距離 AP K , 則稱 D 為有界域有界域 , 界域界域 .否則稱為無無xyO目錄 上頁 下頁 返回 結束 *3. n 維空間維空間n 元有序數(shù)組),(21nxxx的全體所構成的集合記作,nR即RRRRnnkxxxxkn,2, 1

6、,),(21R中的每一個元素用單個粗體字母 x 表示, 即nR),(21nxxxxnR定義了線性運算的定義:),(21nxxxxR,R),(),(2121nnnyyyxxxyx任給),(2211nnyxyxyxyx線性運算其元素稱為點或 n 維向量. xi 稱為 x 的第 i 個坐標 或 第 i 個分量. .R)0, 0, 0(中的坐標原點或零向量稱為零元n0 0稱為 n 維空間, 目錄 上頁 下頁 返回 結束 的距離距離定義為2211)()(nnyxyx中點 a 的 鄰域鄰域為),(1nyy yxUn),(,R),(axxa),(R1nnxx x中兩點yxyx或),(),(,21nxxxx點

7、特別與零元 0 的距離為22221nxxxx.,3, 2, 1xx 通常記作時當n, 0Raxx滿足與定元中的變元an. ax 記作nR記作則稱 x ), 2, 1(nkaxkk ax),(21naaaa設顯然趨于a ,目錄 上頁 下頁 返回 結束 二、多元函數(shù)的概念二、多元函數(shù)的概念 引例引例: : 圓柱體的體積 定量理想氣體的壓強 三角形面積的海倫公式,2hrV ,(為常數(shù)）RVTRp )2(cbapcba0, 0),(hrhr0, 0),(TTVTVcbacbacba, 0, 0, 0),( )()(cpbpappShr目錄 上頁 下頁 返回 結束 定義定義1. 設非空點集,nDRDPP

8、fu, )(或點集 D 稱為函數(shù)的定義域定義域 ; 數(shù)集DP,Pfuu)(稱為函數(shù)的值域值域 .特別地 , 當 n = 2 時, 有二元函數(shù)2),(),(RDyxyxfz當 n = 3 時, 有三元函數(shù)3),(),(RDzyxzyxfu映射RDf :稱為定義在 D 上的 n 元函數(shù)元函數(shù) , 記作),(21nxxxfu目錄 上頁 下頁 返回 結束 xzy例如, 二元函數(shù)221yxz定義域為1),(22 yxyx圓域說明說明: 二元函數(shù) z = f (x, y), (x, y) D圖形為中心在原點的上半球面., )sin(,yxz 又如的圖形一般為空間曲面 .12),(Ryx三元函數(shù) )arcs

9、in(222zyxu定義域為1),(222zyxzyx圖形為4R空間中的超曲面.單位閉球xyzOOO目錄 上頁 下頁 返回 結束 P65 題 5(3).定義域 0:yyxDP65 題 5(5).定義域22222:RzyxrD2xy DyxORxyoDrzO(3) zxy222222221(5) uRxyzxyzr0Rr求下列函數(shù)的定義域目錄 上頁 下頁 返回 結束 三、多元函數(shù)的極限三、多元函數(shù)的極限定義定義2. 設 n 元函數(shù),(nDPPfR),點 , ),(0PUDP,)(APf則稱 A 為函數(shù)(也稱為 n 重極限)當 n =2 時, 記20200)()(yyxxPP二元函數(shù)的極限可寫作：

10、Ayxf),(lim0APfPP)(lim0P0 是 D 的聚若存在常數(shù) A ,對一記作，時的極限當0)(PPPfAyxfyyxx),(lim00都有對任意正數(shù) , 總存在正數(shù) ,切00( , )(,)lim( , )x yxyf x yA目錄 上頁 下頁 返回 結束 (1)定義中 方式是多種多樣的，所謂極限存在是指當動點從四面八方以可能有的任何方式和任何路徑趨于定點時，函數(shù)都趨于同一常數(shù)。這是產(chǎn)生本質差異的根本原因。0PP（2）二元函數(shù)的極限也叫二重極限.注：（3）函數(shù)在一點的極限是否存在，與函數(shù)在該點是否有定義，取什么值無關.目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例1. 設)0(1sin)(),

11、(222222yxyxyxyxf求證:.0),(lim00yxfyx證證:01sin)(2222yxyx故0),(lim00yxfyx,00),( yxf,022時當yx22yx 222yx ,總有要證 目錄 上頁 下頁 返回 結束 目錄 上頁 下頁 返回 結束 多元函數(shù)的極限運算法則與一元函數(shù)類似，比如 四則運算法則 夾逼準則 等價無窮小代換（因式代換） 但羅比達法則不再成立！多元函數(shù)的極限的性質與一元函數(shù)類似，如局部有界性、局部保號性. 有界函數(shù)與無窮小的乘積仍為無窮小對函數(shù)作恒等變形約去無窮小因子目錄 上頁 下頁 返回 結束 解解: : 221lim)sin(lim)2 , 0(),()

12、2 , 0(),(yxyxyyxyx221lim)sin(lim)2 , 0(),()2 , 0(),(yxyxyyxyx 定義域 P0(0,2)為D的聚點.( , )|0,Dx y xy R由積的極限運算法則，得例例2. 求( , )(0,2)sin()lim.x yxyx( , )(0,2)sin()limx yxyx( , )(0,2)sin()limx yxyyxy其中其中2200sin()limxyx yx y0sinlimuuu12ux y目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例3. 求極限求極限 22200sin()lim.xyx yxy解解22200sin()limxyx yxy22

13、22200sin()lim,xyx yx yx yxy其中其中2200sin()limxyx yx y0sinlimuuu1,222x yxy12x00,x 22200sin()lim0.xyx yxy2ux yyxyx222目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例3. 求極限求極限 22200sin()lim.xyx yxy解解22200sin()limxyx yxy2222200sin()lim,xyx yx yx yxy其中其中2200sin()limxyx yx y0sinlimuuu1,222xxy1,0,22200sin()lim0.xyx yxy2ux y0limyy目錄 上頁 下頁

14、返回 結束 僅知其中一個存在,推不出其他二者存在.注注. 二重極限),(lim00yxfyyxx),(limlim00yxfxxyy及不同不同. 如果它們都存在, 則三者相等.例如例如,),(22yxyxyxf顯然),(limlim00yxfyyxx與累次極限),(limlim00yxfyx),(limlim00yxfxy0,0但由例4 知它在(0,0)點二重極限不存在 .例2目錄 上頁 下頁 返回 結束 若當點),(yxP趨于不同值或有的極限不存在，解解: 設 P(x , y) 沿直線 y = k x 趨于點 (0, 0) ,22),(yxyxyxf222200lim),(limxkxxky

15、xfxkxyx在點 (0, 0) 的極限.),(yxf故則可以斷定函數(shù)極限則有21kkk 值不同極限不同 !在 (0,0) 點極限不存在 .以不同方式趨于,),(000時yxP不存在 .例例4. 討論函數(shù)函數(shù)目錄 上頁 下頁 返回 結束 四、四、 多元函數(shù)的連續(xù)性多元函數(shù)的連續(xù)性 定義定義3 . 設 n 元函數(shù))(Pf定義在 D 上,)()(lim00PfPfPP0)(PPf在點如果函數(shù)在 D 上各點處都連續(xù), 則稱此函數(shù)在 D 上,0DP 聚點如果存在否則稱為不連續(xù),0P此時稱為間斷點 .則稱 n 元函數(shù)連續(xù).連續(xù), 函數(shù) f (P)在 P0 連續(xù)必須滿足三個條件: 在 P0 有定義, 在

16、P0 的極限存在, 極限值等于函數(shù)值. 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例如例如, 函數(shù)0,00,),(222222yxyxyxyxyxf在點(0 , 0) 極限不存在, 又如又如, 函數(shù)11),(22yxyxf上間斷.122 yx 故 ( 0, 0 )為其間斷點.在圓周結論結論: 一切多元初等函數(shù)在定義區(qū)域內連續(xù).目錄 上頁 下頁 返回 結束 定理定理：若 f (P) 在有界閉域 D 上連續(xù), 則,0) 1 ( K)()2(Pf, ,Mm;,)(DPKPf使在 D 上可取得最大值 M 及最小值 m ;(3) 對任意，DQ;)(Qf使(有界性定理) (最值定理) (介值定理) 閉域上多元連續(xù)函數(shù)

17、有與一元函數(shù)類似的如下性質:(證明略) 目錄 上頁 下頁 返回 結束 .11lim00yxyxyx解解: : 原式) 11(1) 1(lim200yxxyyxyx21例例5. .求222)3arcsin(),(yxyxyxf1322yx4222yx例例6. 求函數(shù)的連續(xù)域.解解:02 yx2yx 111lim00yxyx2Oyx21111yxyx目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例7. 證明),(yxf)0 , 0(),(,22yxyxyx)0 , 0(),(,0yx在全平面連續(xù).證證:,)0 , 0(),(處在yx),(yxf為初等函數(shù) , 故連續(xù).又220yxyxyxyx222222221y

18、xyx2221yx 2200limyxyxyx0)0 , 0(f故函數(shù)在全平面連續(xù) .由夾逼準則得目錄 上頁 下頁 返回 結束 練習練習 p66,6(6) 222222001 cos()lim.()x yxyxyxye02222222201 cos()lim()x yxyxyexy22222222201()2lim()x yxyxyexy222222001 cos()lim.()x yxyxyexy2222211cos()() , ( , )(0,0).2xyxyx y目錄 上頁 下頁 返回 結束 內容小結內容小結1. 區(qū)域 鄰域 :, ),(0PU),(0PU 區(qū)域連通的開集 空間nR2.

19、多元函數(shù)概念n 元函數(shù)),(21nxxxf常用二元函數(shù) (圖形一般為空間曲面)三元函數(shù)DP)(Pfu nR目錄 上頁 下頁 返回 結束 APfPP)(lim0,0,0時，當PP 00有APf)(3. 多元函數(shù)的極限4. 多元函數(shù)的連續(xù)性1) 函數(shù)連續(xù)在0)(PPf)()(lim00PfPfPP2) 閉域上的多元連續(xù)函數(shù)的性質:有界定理 ;最值定理 ; 介值定理3) 一切多元初等函數(shù)在定義區(qū)域內連續(xù)P64 題 2; 4; 5 (3), (5) ( 畫圖 ) ; 8P133 題 3; *4思考與練習思考與練習目錄 上頁 下頁 返回 結束 P64 5(偶)，6(奇)，7(1)，8；第二節(jié) 作作 業(yè)業(yè)

20、 預習預習 第二節(jié)偏導數(shù)第二節(jié)偏導數(shù) 目錄 上頁 下頁 返回 結束 求二元函數(shù)極限（二重極限）常用的方法：求二元函數(shù)極限（二重極限）常用的方法：（1 1）用定義驗證其存在；）用定義驗證其存在；（2 2）利用適當放縮或變量代換轉化為一元函數(shù)）利用適當放縮或變量代換轉化為一元函數(shù)的極限，再用一元函數(shù)中已有的方法；的極限，再用一元函數(shù)中已有的方法；（3 3）消去分子分母中極限為）消去分子分母中極限為0 0的因子；的因子；（4 4）利用極限運算性質或法則，例如夾逼準則）利用極限運算性質或法則，例如夾逼準則（與一元函數(shù)相似）；（與一元函數(shù)相似）；（5 5）利用函數(shù)的連續(xù)性）利用函數(shù)的連續(xù)性目錄 上頁 下

21、頁 返回 結束 解答提示解答提示: :P61 題 2. ),(),(2yxftytxtf稱為二次齊次函數(shù) .P61 題 4.xyxyxyxyxyxyxf2)()(),(P61 題 5(3).定義域 0:yyxDP61 題 5(5).定義域22222:RzyxrD2xy DyxORxyoDrzO目錄 上頁 下頁 返回 結束 P62 題 8.間斷點集02),(2 xyyxP129 題 3. 定義域104:222yxxyD240422001limlimxkxkyxyxxyx)0,21(),(lim021fyxfyx43ln2P129 題 *4. 令 y= k x ，0若令xy 42200limyxy

22、xyx212202limxxxDxy42yx1, 則 可見極限不存在目錄 上頁 下頁 返回 結束 備用題備用題1. 設,),(222yxyxfxy求. ),(2yxfxy解法解法1 令uyxvxy23vuy 3vuux ),(vuf32)(2vuu32)( vu,2xyu yxv ),(2yxxyf2)(2xy2y2y222yxy目錄 上頁 下頁 返回 結束 1 .設,),(222yxyxfxy求. ),(2yxfxy解法解法2 令uvyx2vuxy2vy uvx ),(2xyyxf),(2vuuvf22vuv即),(2yxxyf222yxy),(2vuuvf目錄 上頁 下頁 返回 結束 yx

23、yxyx200limxxxx320lim)(lim320 xxx,12.yxxyxyx)1ln(lim00是否存在？解解: 利用xxy取所以極限不存在.333,0,yxyx)1ln( yxxyxyx)1ln(lim00目錄 上頁 下頁 返回 結束 3. 證明),(yxf)0 , 0(),(,22yxyxyx)0 , 0(),(,0yx在全平面連續(xù).證證:,)0 , 0(),(處在yx),(yxf為初等函數(shù) , 故連續(xù).又220yxyxyxyx222222221yxyx2221yx 2200limyxyxyx0)0 , 0(f故函數(shù)在全平面連續(xù) .由夾逼準則得目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例2. 設0, 00,sinsin),(11yxyxyxyxfxy求證：.0),(lim00yxfyx證：證：0),(yxf故0),(lim00yxfyx, 0 20),( 22yxyxfyx 222 yx ,2 時，當yx220 xyyx11sinsin總有 2要證 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例4. 求22222200)()cos(1limyxyxyxyx解解: 因,)(2224122yxyx222