常微分方程--第二章 一階微分方程的初等解法習題課 (2)ppt課件

1、 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束一、一階微分方程求解一、一階微分方程求解 1. 一階規(guī)范類型方程求解 關(guān)鍵關(guān)鍵: 區(qū)分方程類型區(qū)分方程類型 , 掌握求解步驟掌握求解步驟2. 一階非規(guī)范類型方程求解 (1) 變量代換法 代換自變量代換因變量代換某組合式(2) 積分因子法 選積分因子, 解全微分方程四個規(guī)范類型: 可分別變量方程, 齊次方程, 線性方程, 全微分方程 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束例例1. 求以下方程的通解求以下方程的通解; 01) 1 (32xyeyy提示提示: (1),33xyxyeee因故為分別變量方程:通解;)2(22yyxyx;21)3(2yxy.2336)4(3223yyx

2、yxxyxeyeyxydd32Ceexy331 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束方程兩邊同除以 x 即為齊次方程 , ,0時xyyxyx22)2(時，0 x21uux21uuxxyxyy21xyxyy21令 y = u x ,化為分離變量方程.互換自變量與因變量的位置 ,221)3(yxy,2dd2yxyx用線性方程通解公式求解 .化為 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束32232336)4(yyxyxxy方法方法 1 這是一個齊次方程這是一個齊次方程 .方法方法 2 化為微分方式化為微分方式 0d)23(d)36(3223yyyxxyxx故這是一個全微分方程 .xyu 令xQyxyP6 目錄 上頁 下

3、頁 返回 結(jié)束例例2. 求以下方程的通解求以下方程的通解:)lnln() 1(yxyyyx提示提示: (1)令 u = x y , 得(2) 將方程改寫為0d)1ln(dln2)2(2xxyyyxxyyxxyxy22363)3(220d)31(d)3()4(22yyxxyxyuxuxulndd)(ln)(yxyyx(貝努里方程) 2 yz令(分別變量方程)原方程化為xyyxxxy2ln21dd3 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束令 y = u tyyxxyxy22363)3(22) 1(2) 1(3dd22xyyxxy(齊次方程)ytytty23dd22令 t = x 1 , 那么tyxttyxy

4、dddddddd可分別變量方程求解化方程為 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束0d)31(d)3()4(22yyxxyxy變方程為yxxydd2兩邊乘積分因子2 y0)dd(3dd2yxxyyyxx用湊微分法得通解:Cyxyx321120)dd(32yxxyy 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束例例3.設(shè)F(x)f (x) g(x), 其中函數(shù) f(x), g(x) 在(,+)內(nèi)滿足以下條件:, 0)0(),()(),()(fxfxgxgxf且(1) 求F(x) 所滿足的一階微分方程 ;(03考研) (2) 求出F(x) 的表達式 .解解: (1) )()()()()(xgxfxgxfxF)()(22xfxg)()(2)()(2xgxfxfxg)(2)2(2xFex所以F(x) 滿足的一階線性非齊次微分方程:.2)()(xexgxf 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束(2) 由一階線性微分方程解的公式得CxeeexFxxxd4)(d