廣義積分二元函數(shù)ppt課件

1、=0=0u vuvv u d dd d解解計(jì)算計(jì)算00cos(sin )xx xxx d dd dd d0cos.xx x 0cosx 00sinsinxxx x d d2 . 反常積分無窮限的反常積分，無窮限的反常積分，d dsin x x 0 , 本節(jié)研究無窮限反常積分本節(jié)研究無窮限反常積分.dddddd( ),( ),( ).baf xxf xxf xx 設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)在在無無窮窮區(qū)區(qū)間間上上有有定定義義 且且在在任任何何有有限限區(qū)區(qū)間間上上可可積積 如如果果存存在在極極限限( ) ,), ,f xaa A 則則稱稱此此極極限限 為為函函數(shù)數(shù)在在上上的的簡簡稱稱無無窮窮限限積積分分記記作作

2、 d d 并并稱稱d d否否則則稱稱d d 發(fā)發(fā)散散無無窮窮限限反反常常積積分分收收斂斂( ) ,),( ),( ).( ).aaaJf xaJf xxf xxf xx 無窮限反常積分的定義無窮限反常積分的定義d d( )?af xx d dlim( ),AaAf xxJ dddd( )lim( ).AaaAf xxf xx 類類似似地地, ,可可定定義義函函數(shù)數(shù)在在無無限限區(qū)區(qū)間間及及上上的的無無窮窮限限積積分分( )(, (,):f xb dddd( )lim( ).AaaAf xxf xx d d( )bf xx d d( ),bBf xx limBd d( )f xx 積分區(qū)間的可積分

3、區(qū)間的可加性加性dddd( )( )aaf xxf xx a任任意意取取右側(cè)兩個積分都收斂時，稱右側(cè)兩個積分都收斂時，稱d d 收收斂斂 ，( )f xx 否則，只要有一個發(fā)散，就稱否則，只要有一個發(fā)散，就稱d d 發(fā)發(fā)散散. .( )f xx 無窮限積分的幾何意義 a若若d d 收收斂斂的的幾幾何何意意義義 曲曲線線直直線線與與 軸軸之之間間向向右右無無限限延延伸伸的的陰陰影影區(qū)區(qū)域域有有面面積積, ,并并以以d d 極極限限的的值值作作為為它它的的面面積積( )0, ,),( ):( ),lim( ).aAaAf xxaf xxyf xxaxf xx d d例例 計(jì)計(jì)算算211.xx d

4、dd d2211limAAxxxx 11lim ()AAx 1lim (1)AA 1 . 解解d dd d( )lim( )AaaAf xxf xx 舉例d d例例 計(jì)計(jì)算算211.xx 1d d面面積積211 .xx d d例例 討討論論積積分分的的斂斂散散性性22.1xx 解解dddd0022lim11BBxxxx d dd dd d02220,111xxxxxx 0lim arctanBBx arctan0lim arctanBx 0()2 ,2 d dd d2200lim11AAxxxx 0lim arctanAAx lim arctanarctan0Ax,2 d dd dd d022

5、20111xxxxxx 22. d d例例 討討論論積積分分的的斂斂散散性性22.1xx d d面面積積2.1xx 二元函數(shù) 主要內(nèi)容:一、二元函數(shù)的概念二、二元函數(shù)的極限例例1 1hbb( , )0,0,Db h bh()0.f DV V 設(shè)設(shè)( , )Vf b h bho解解2,b h 體積取決于底面邊長和高兩體積取決于底面邊長和高兩個變量的共同作用個變量的共同作用. . 設(shè)設(shè)有有一一個個長長方方體體，高高為為底底邊邊為為 的的正正方方形形，其其體體積積為為每每給給定定一一對對數(shù)數(shù)值值，都都有有唯唯一一確確定定的的值值 與與之之對對應(yīng)應(yīng)2,(0,0).( , ).hbVb h bhb hV

6、二元函數(shù)的概念二元函數(shù)的定義二元函數(shù)的定義設(shè)設(shè)在在某某一一變變化化過過程程中中，有有三三個個變變量量和和的的變變化化范范圍圍記記作作如如果果對對于于 中中任任意意一一組組值值按按照照一一定定的的對對應(yīng)應(yīng)法法則則變變量量 有有唯唯一一的的值值與與之之對對應(yīng)應(yīng)，則則稱稱 是是的的，記記二二元元函函數(shù)數(shù)自自變變量量因因作作其其中中稱稱為為， 稱稱為為， 稱稱為為該該函函數(shù)數(shù)的的變變量量定定義義域域,.,., ,( , ).,.x yz x yDDx yfzzx yzf x yx yzD 區(qū)域：區(qū)域：所有有序數(shù)組所有有序數(shù)組(x , y)(x , y)構(gòu)成的集合構(gòu)成的集合. . 區(qū)域是由一條或幾條曲線

7、所包圍的平面上的區(qū)域是由一條或幾條曲線所包圍的平面上的部分，包圍區(qū)域的曲線稱為該區(qū)域的邊界部分，包圍區(qū)域的曲線稱為該區(qū)域的邊界. .邊境：一條邊境：一條曲線組成曲線組成邊境：邊境：幾條曲幾條曲線組成線組成例例1 1求求函函數(shù)數(shù)的的定定義義域域ln().zxy 解解所求定義域?yàn)樗蠖x域?yàn)? , )|0.Dx yxyxyo0 xy二、二元函數(shù)的極限點(diǎn)點(diǎn) 的的 鄰鄰域域00(, )xU x 0 xxx 0 x 0 x 0 x2 回憶一元函數(shù)中鄰域的概念：回憶一元函數(shù)中鄰域的概念：到點(diǎn)到點(diǎn)x0 x0的距離小的距離小于于的全體實(shí)數(shù)的全體實(shí)數(shù)組成的集合組成的集合. .二元函數(shù)中的鄰域：二元函數(shù)中的鄰域：

8、到點(diǎn)到點(diǎn) 的距離小于的距離小于的全體的全體 組成的集組成的集合合. .0 x實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)點(diǎn)點(diǎn)0P鄰域的定義鄰域的定義 設(shè)設(shè)是是平平面面上上一一點(diǎn)點(diǎn)， 是是正正實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)，我我們們把把平平面面上上滿滿足足條條件件的的點(diǎn)點(diǎn)的的集集合合叫叫做做點(diǎn)點(diǎn) 的的 鄰鄰域域000220000(,)()()( , ).P xyPPxxyyP x yP Oxy0P 二元函數(shù)的極限二元函數(shù)的極限說明：說明：定定義義中中的的方方式式是是任任意意的的；0(1)PP設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)在在點(diǎn)點(diǎn)的的鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)有有定定義義（點(diǎn)點(diǎn)可可以以除除外外） 如如果果當(dāng)當(dāng)無無限限趨趨近近時時，函函數(shù)數(shù)無無限限趨趨近近于于一一個個常常數(shù)數(shù) ，則則稱稱

9、當(dāng)當(dāng)時時，以以為為極極定定義義 限限，記記作作或或00000000000000000( , )(,)(,).( , )(,)( , )( , )(,)( , )lim( , ),( , )( ( , )(,).xxyyzf x yP xyP xyP x yP xyf x yAP x yP xyf x yAf x yAf x yAP x yP xy 討討論論二二元元函函數(shù)數(shù)當(dāng)當(dāng)時時是是否否存存在在極極限限22( , )1,( , )(0,0).f x yxyx y例例2 2解解00lim( , )xyf x y 2200lim(1)xyxy0011.無論以何種路徑趨無論以何種路徑趨于于(0,0)

10、點(diǎn)，極限都是點(diǎn)，極限都是1.即匯集到即匯集到(0,0,1)點(diǎn)點(diǎn).(0,0,1)確定極限不存在的方法：確定極限不存在的方法：例例3 3 討討論論二二元元函函數(shù)數(shù)當(dāng)當(dāng)時時是是否否存存在在極極限限22( , ),( , )(0,0).xyf x yxyx y 解解00lim( , )xyf x y1,2 故二元函數(shù)故二元函數(shù)f(x,y)f(x,y)在在(0,0)(0,0)的極限不存的極限不存在在220limxyxxyxy 當(dāng)當(dāng)沿沿直直線線的的路路徑徑趨趨于于時時，( , )(0,0)x yyx 00lim( , )xyf x y22201lim.2xxxx 220limxyxxyxy 又又當(dāng)當(dāng)沿沿拋

11、拋物物線線線線的的路路徑徑趨趨于于時時，( , )(0,0)x yyx 2220limxxxx 不同的路不同的路徑，極限徑，極限值不同值不同yx yx 例例3 3討討論論二二元元函函數(shù)數(shù)當(dāng)當(dāng)時時是是否否存存在在極極限限22( , ),( , )(0,0).xyf x yx yxy 沿著沿著y =x趨于趨于(0,0),極限為極限為0.5沿著沿著y = x趨于趨于(0,0),極限為極限為0.5 偏導(dǎo)數(shù)及其運(yùn)算 如如果果函函數(shù)數(shù)在在定定義義域域內(nèi)內(nèi)每每一一點(diǎn)點(diǎn)處處對對或或 的的偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)都都存存在在，那那么么這這個個偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)就就是是 、 的的函函數(shù)數(shù)，稱稱其其為為函函數(shù)數(shù)對對自自變變量量或或

12、的的偏偏導(dǎo)導(dǎo)函函數(shù)數(shù)，記記作作， ，或或( , )( , )()( , )()( , )(,( , ) .xyzf x yx yxyxyzf x yxyzfzffx yfx yxxyy 也簡稱偏導(dǎo)數(shù)也簡稱偏導(dǎo)數(shù)有關(guān)偏導(dǎo)數(shù)的說明：有關(guān)偏導(dǎo)數(shù)的說明：xf 把把 暫暫時時看看作作常常量量, ,而而對對 求求導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)yxyf 把把 暫暫時時看看作作常常量量, ,而而對對 求求導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)xyxxyy例例求求函函數(shù)數(shù)的的偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù). .21sin2zxy 提示與分析提示與分析: 分別將分別將x,yx,y暫時看作常數(shù)，用一元函數(shù)暫時看作常數(shù)，用一元函數(shù)求導(dǎo)法則，求偏導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)法則，求偏導(dǎo)數(shù). .解解zx 將將

13、y看作?？醋鞒?shù)數(shù)2(sin2 )xyx 2 sin2 ,xy 冪函冪函數(shù)的數(shù)的求導(dǎo)求導(dǎo)zy 2(sin2 )xyy 22cos2xy正弦正弦函數(shù)函數(shù)求導(dǎo)求導(dǎo)22cos2 .xy 將將x看作常數(shù)看作常數(shù)sin2y2()x 例例已已知知求求2sin(),.zzzxxyxy 解解zx 將將y看作?？醋鞒?shù)數(shù) sin()xxyx sin()cos(),xyxxy 乘積的求導(dǎo)法則乘積的求導(dǎo)法則zy sin()xxyy cos().xxy正弦正弦函數(shù)函數(shù)求導(dǎo)求導(dǎo)將將x看作常數(shù)看作常數(shù)練習(xí)題證證明明極極限限不不存存在在. .00limxyxyxy 1 1提示與分析提示與分析: :證證當(dāng)當(dāng)沿沿著著直直線線趨

14、趨于于時時，0( , )0.9(0,0)P x yyxP 取兩個不同的路徑，得到不同的極限取兩個不同的路徑，得到不同的極限. .00limxyxyxy 00.90.9lim0.9yxxxxxx 19, 當(dāng)當(dāng)沿沿著著直直線線趨趨于于時時，0( , )(0,0)P x yyxP 00limxyxyxy 0limyxxxxxx 0, 不同的路徑不同的路徑極限值不同極限值不同綜綜上上，極極限限不不存存在在. .00limxyxyxy 證證明明極極限限不不存存在在. .00limxyxyxy 1 1沿著沿著y=-x趨于趨于(0,0),極限為極限為0沿著沿著y=0.9x趨于趨于(0,0),極限為極限為19.yxyzx求求函函數(shù)數(shù)e e