重修高數(shù)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用學(xué)習(xí)教案

1、會計學(xué)1第一頁，共27頁。 如果在某極限過程下如果在某極限過程下, ,函數(shù)函數(shù)(hnsh) f ( (hnsh) f ( x)x)與與g(x) g(x) 同時同時趨于零或同時趨于無窮大，則可能存在趨于零或同時趨于無窮大，則可能存在也可能不存在也可能不存在, ,通常把這類極限稱為不定式，通常把這類極限稱為不定式，并分別簡記為常用洛必達(dá)法則來求解并分別簡記為常用洛必達(dá)法則來求解. .或或，( )lim( )f xg x機(jī)動機(jī)動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回(fnhu) (fnhu) 結(jié)束結(jié)束 第1頁/共27頁第二頁，共27頁。0000( )lim( )lim( )0 xxxxf xg x

2、0( )( )xg x 在在的的某某一一去去心心鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)可可導(dǎo)導(dǎo)，且且，0( )(3)lim( )xxfxg x 存存在在或或為為00( )( )limlim( )( )xxxxf xfxg xg x 則則定理、定理、如果函數(shù)如果函數(shù) 滿足：滿足：( )( )f xg x和和機(jī)動機(jī)動 目錄目錄(ml) (ml) 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 第2頁/共27頁第三頁，共27頁。011()limxxx 求求為為例例1 1、任任意意實實數(shù)數(shù)100111001()()limlimxxxxx 型型解：解：機(jī)動機(jī)動 目錄目錄(ml) (ml) 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 202l

3、imxxxeex練練求求習(xí)習(xí)1 1、200000222001limlimlimxxxxxxxxxeexeeeex型型型型解：解：第3頁/共27頁第四頁，共27頁。221arctanlimxxx 例例求求、22222121111010111arctanlimlimlimlimxxxxxxxxxxx解解：型型 機(jī)動機(jī)動 目錄目錄(ml) (ml) 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 3023tanlimsinxxxx練練、求求習(xí)習(xí)3300222200331199009tantanlimlimsinsectanlimlimxxxxxxxxxxxxxx解解：型型第4頁/共27頁第五頁，共27頁。

4、機(jī)動機(jī)動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回(fnhu) (fnhu) 結(jié)束結(jié)束 00( )lim( )lim( )xxxxf xg x 0( )( )xg x 在在的的某某一一去去心心鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)可可導(dǎo)導(dǎo)，且且，0( )(3)lim( )xxfxg x 存存在在或或為為00( )( )limlim( )( )xxxxf xfxg xg x 則則定理、定理、如果函數(shù)如果函數(shù) 滿足：滿足：( )( )f xg x和和第5頁/共27頁第六頁，共27頁。22222313333333300 tansincossinlimlimlimtansincossincossinlimlim,.cossinx

5、xxxxxxxxxxxxxxxx, ,型型又又，所所以以原原式式型型機(jī)動機(jī)動 目錄目錄(ml) (ml) 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 233tanlimtanxxx例例 、求求解解3lnlimnxxx求求練練習(xí)習(xí) 、1110lnlimlimlimnnnxxxxxxnxnx解解：型型第6頁/共27頁第七頁，共27頁。注：如果反復(fù)使用注：如果反復(fù)使用(shyng)(shyng)洛必達(dá)法則也無法確定洛必達(dá)法則也無法確定則洛必達(dá)法則失效，需用則洛必達(dá)法則失效，需用(x yn)(x yn)別的方法求極限別的方法求極限. .)()(xgxf或能斷定或能斷定)()(xgxf 的極限，的極限，無極

6、限，無極限，機(jī)動機(jī)動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回(fnhu) (fnhu) 結(jié)束結(jié)束 200001112sinsincoslimlimsincosxxxxxxxxx極極限限不不存存在在，洛洛必必達(dá)達(dá)法法則則失失效效，此此題題可可用用別別的的辦辦法法求求例例如如型型解解如如下下：220001110sinsinlimlimlimsinsinxxxxxxxxxxx第7頁/共27頁第八頁，共27頁。機(jī)動機(jī)動 目錄目錄(ml) (ml) 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 011512341sinlimsinsinlimsinlnlimln()limxxxxxxxxxxxxxxxex求求

7、求求求求求求、第8頁/共27頁第九頁，共27頁。00001 型型，型型，型型，型型，型型機(jī)動機(jī)動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回(fnhu) (fnhu) 結(jié)束結(jié)束 00 它它們們都都可可以以通通過過適適當(dāng)當(dāng)變變形形轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化化為為或或型型求求解解. .不定式除不定式除00 型外，還有型外，還有和和第9頁/共27頁第十頁，共27頁。型或者型或者(huzh) (huzh) 型型型：型： 0 110000( 型型) )0 變?yōu)樽優(yōu)閤xxlnlim30 30lnlimxxx 4013limxxx 3lim30 xx xxxlnlim30 例例4 4、求求解：解：機(jī)動機(jī)動 目錄目錄(ml) (ml

8、) 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 第10頁/共27頁第十一頁，共27頁。 型型:通分相減變?yōu)橥ǚ窒鄿p變?yōu)?型型00例例5 5、求求)ln11(lim1xxxx （ 型）型）解：解： )ln11(lim1xxxx 1ln1lim(1)lnxxxxxx (0)0型型xxxxxln111lnlim1 xxxxln11lnlim1 xxxx111lim21 21 (0)0型型機(jī)動機(jī)動 目錄目錄(ml) (ml) 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 第11頁/共27頁第十二頁，共27頁。 1000 型不定型不定式式: :通常通常(tngchng)(tngchng)用取對數(shù)的方法或利用用取對

9、數(shù)的方法或利用 ( )( )ln( )( )g xg xf xf xe 00 化為化為 型不定式，再化為型不定式，再化為 型或型或 型求型求解解(qi ji)(qi ji)。 0例例6 6、 求求xxx 0lim0(0)型型xxxxxxxxeexlnlimln000limlim 0limlnxxx 又又xxx1lnlim0 2011limxxx 0)(lim0 xx1lim00 exxx 解解: :所以所以(suy)機(jī)動機(jī)動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 第12頁/共27頁第十三頁，共27頁。例例7 7、求求xxxsin0)(cotlim ,)(cotsinxxy lnsi

10、nlncotyxx 則則 yxlnlim0 xxxsin1cotlnlim0 xxxxxcossin1sin1cot1lim220 0cossinlim20 xxx yx0lim解：解：設(shè)設(shè)xxxcotlnsinlim0 0 型型所以所以(suy) xxxsin0)(cotlim yxeln0lim10 e機(jī)動機(jī)動(jdng) (jdng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 () 型型第13頁/共27頁第十四頁，共27頁。例例8 8、求求xexxln11)(lnlim 1 型型,)(lnln11xxy )ln(lnln11lnxxy 11110(0ln(ln)lnlimlnli

11、mliml)nxexexexx xyxx 型型1)ln1(lim xex所以所以(suy(suy) ) 1ln11)(lnlim exxex解法解法(ji f)(ji f)一：一：機(jī)動機(jī)動 目錄目錄(ml) (ml) 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 解法二：解法二：11111111lnlnlim(ln )lim (ln)xxxexexxe 第14頁/共27頁第十五頁，共27頁。1 1、定理、定理(dngl)1(dngl)1：設(shè)函數(shù)：設(shè)函數(shù) f (x) f (x) 在閉區(qū)間在閉區(qū)間 a,b a,b 上連續(xù)，上連續(xù)， 在開區(qū)間在開區(qū)間 (a,b) (a,b) 內(nèi)可導(dǎo)，則內(nèi)可導(dǎo)，則 若在若在

12、(a,b)(a,b)內(nèi)內(nèi) 則則 f (x) f (x)在區(qū)間在區(qū)間a,ba,b內(nèi)單調(diào)增加內(nèi)單調(diào)增加(zngji)(zngji)（或單調(diào)減少）或單調(diào)減少） ( )0( )0fxfx或或abab機(jī)動機(jī)動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 第15頁/共27頁第十六頁，共27頁。2、單調(diào)、單調(diào)(dndio)區(qū)間求法區(qū)間求法(2)(2)求求 不存在的點，不存在的點， 以這些點為分界點，將定義域分成若干區(qū)間，以這些點為分界點，將定義域分成若干區(qū)間，0( ),( )( )fxfxfx 找找出出和和(1)確定函數(shù)的定義域（有時是給定(i dn)的區(qū)間）( )fx (3)(3)在各區(qū)間上判斷在各

13、區(qū)間上判斷 的符號，確定單調(diào)性的符號，確定單調(diào)性機(jī)動機(jī)動(jdng) (jdng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 第16頁/共27頁第十七頁，共27頁。例例1 1、確定函數(shù)確定函數(shù) 的單調(diào)區(qū)間的單調(diào)區(qū)間. .xxxf3)(3 解：解： 233311( )()()fxxxx 機(jī)動機(jī)動 目錄目錄(ml) (ml) 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 , 函函數(shù)數(shù)的的定定義義域域為為12011( )fxxx 令令得得，用用這這兩兩點點將將定定義義域域分分成成三三個個區(qū)區(qū)間間，討討論論如如下下：11111100(,)(, )( ,)( )( )xfxf x 1111( )(,)

14、( ,)(, )f x 故故在在和和上上單單調(diào)調(diào)增增加加，在在上上單單調(diào)調(diào)減減少少. .第17頁/共27頁第十八頁，共27頁。解：解：函數(shù)的定義域為函數(shù)的定義域為(,), 練習(xí)練習(xí)1 1、確定函數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。的單調(diào)區(qū)間。32yx 332xy 當(dāng)當(dāng) 時時 不存在，且不存在使不存在，且不存在使 的點的點, ,0 xy 0 y用用 將定義域分成兩個區(qū)間，討論如下：將定義域分成兩個區(qū)間，討論如下：0 x機(jī)動機(jī)動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回(fnhu) (fnhu) 結(jié)束結(jié)束 000(, )( ,)( )( )xfxf x 不不存存在在00( )(, )( ,)f x故故在在上上單單

15、調(diào)調(diào)減減少少，在在上上單單調(diào)調(diào)增增加加. .第18頁/共27頁第十九頁，共27頁。000000001( )()( )(),( )( )( )(),( )( )f xxx xxf xf xf xxxf xf xf xf xxxf x 設(shè)設(shè)在在點點的的某某鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)有有定定義義，若若對對該該鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)的的任任一一點點(1)(1)恒恒有有則則稱稱在在點點取取得得極極大大值值, ,點點稱稱為為的的一一個個極極大大值值點點；(2)(2)恒恒有有則則稱稱在在點點取取得得、定定極極小小值值, ,點點稱稱為為的的一一義義：個個極極小小值值點點. .函數(shù)函數(shù)(hnsh)(hnsh)的極大值極小值統(tǒng)稱為極值，

16、的極大值極小值統(tǒng)稱為極值，極大值點和極小值點統(tǒng)稱為極值點。極大值點和極小值點統(tǒng)稱為極值點。機(jī)動機(jī)動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回(fnhu) (fnhu) 結(jié)束結(jié)束 第19頁/共27頁第二十頁，共27頁。注注2 2：極大值點與極小值點一般：極大值點與極小值點一般(ybn)(ybn)不唯一。不唯一。 如下圖中如下圖中A A、C C、E E都是極大值點，都是極大值點， B B、 D D都是極小值點。都是極小值點。ab1x3x5x2x4xABCDE機(jī)動機(jī)動(jdng) (jdng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 注注1：極值：極值(j zh)是局部性的，并非在整個區(qū)間上

17、最大最小是局部性的，并非在整個區(qū)間上最大最小注注3：極大值未必大于極大值未必大于極小值，如左圖極小值，如左圖A、D第20頁/共27頁第二十一頁，共27頁。2 2、定理、定理(dngl)1(dngl)1（極值第一判（極值第一判別法）：別法）：機(jī)動機(jī)動(jdng) (jdng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 在點在點 的某鄰域內(nèi)可導(dǎo)，且的某鄰域內(nèi)可導(dǎo)，且)(xf0 x00(),fx 000100( )( );( );( )xxfxxxfxf xx 若若在在該該鄰鄰域域內(nèi)內(nèi), ,當(dāng)當(dāng)時時，當(dāng)當(dāng)時時，則則在在點點取取得得極極大大值值. .000200( )( );(

18、);( )xxfxxxfxf xx 若若在在該該鄰鄰域域內(nèi)內(nèi), ,當(dāng)當(dāng)時時，當(dāng)當(dāng)時時，則則在在點點取取得得極極小小值值. .03( )( )( )fxf xx 若若在在該該鄰鄰域域內(nèi)內(nèi), ,恒恒為為正正或或恒恒為為負(fù)負(fù), ,則則在在點點沒沒有有極極值值. .第21頁/共27頁第二十二頁，共27頁。3 3、求極值、求極值(j zh)(j zh)的的步驟：步驟：(1)(1)求函數(shù)的定義域求函數(shù)的定義域( (有時是給定有時是給定(i dn)(i dn)的區(qū)的區(qū)間間););(3)(3)以這些點為分界點，將定義域分成若干以這些點為分界點，將定義域分成若干(rugn)(rugn)區(qū)間，區(qū)間， 討論各個區(qū)間

19、分界點兩側(cè)導(dǎo)數(shù)的符號以判別討論各個區(qū)間分界點兩側(cè)導(dǎo)數(shù)的符號以判別機(jī)動機(jī)動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 (2)(2)求求 不存在的點，不存在的點，0( ),( )( )fxfxfx 找找出出和和第22頁/共27頁第二十三頁，共27頁。例例1 1、求函數(shù)求函數(shù) 的單調(diào)區(qū)間和極值的單調(diào)區(qū)間和極值. .32)1()1()( xxxf解：解：函數(shù)的定義域為函數(shù)的定義域為),(223)1()1(3)1)(1(2)( xxxxxf)15()1)(1(2 xxx12310115( ),fxxxx 令令得得駐駐點點：，用這三個點將定義域分成四個部分用這三個點將定義域分成四個部分(b fen

20、)區(qū)間，討論如下區(qū)間，討論如下極大值極大值,3125345651 f極小極小值值0)1( f機(jī)動機(jī)動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回(fnhu) (fnhu) 結(jié)束結(jié)束 1 511 51(, / ) ( ,)( /),故故單單調(diào)調(diào)增增加加區(qū)區(qū)間間為為，單單調(diào)調(diào)減減少少區(qū)區(qū)間間為為，1111 51 51 5 111000(,)(, / )/( / , )( ,)( )( )xfxf x 第23頁/共27頁第二十四頁，共27頁。)(xf0 x233311( )()(),fxxxx xxf6)( 12011( )fxxx 令令得得駐駐點點，由于由于(yuy)160(),f 06)1( f定理定理2(2(極值第二判別極值第二判別(pnbi)(pnbi)法法) )設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 在點在點 具有具有二階導(dǎo)數(shù)，且二階導(dǎo)數(shù)，且 ， 0)(0 xf000()()fxfx 存存在在, ,例例2 2、求函數(shù)求函數(shù) 的極值的極值. . xxxf3)(3 解：解：函數(shù)的定義域為函數(shù)的定義域為(,), 所以所以 為極大值為極大值, , 為極小值為極小值. .2) 1( f2)1( f機(jī)動機(jī)動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返