第三講---不定方程(教用)

1、包頭市數(shù)學聯(lián)賽輔導 高一數(shù)論初步選講-北重三中 樊增平 教用第三講 不定方程所謂不定方程，是指未知數(shù)的個數(shù)多于方程個數(shù)，且未知數(shù)受到某些條件約束（如要求是有理數(shù)、整數(shù)或正整數(shù)等等）的方程或方程組，不定方程也稱為丟番圖方程.不定方程問題的常見類型：（1）求不定方程的解；（2）判定不定方程是否有解；（3）判定不定方程的解的個數(shù)（有限個還是無限個）。（一）多元一次不定方程（組）定義1.形如(不同時為零)的方程稱為二元一次不定方程。定理1.方程(不同時為零)有整數(shù)解的充要條件是.定理2. 若為 的一個整數(shù)解，則方程的一切整數(shù)解都可以表示成 為任意整數(shù)).【例題分析】1求不定方程的整數(shù)解.解：先求的一組

2、特解，為此對37，107運用帶余除法：， 將上述過程回填，得：由此可知：是方程的一組特解，于是 ，是方程的一組特解.因此原方程的一切整數(shù)解為： .2求不定方程的所有正整數(shù)解.解：用原方程中的最小系數(shù)7去除方程的各項，并移項得：因為是整數(shù)，故也一定是整數(shù)，于是有.用5去除上式的兩邊，得.令為整數(shù)，由此得。經(jīng)觀察得是最后一個方程的一組解，依次回代，可求得原方程的一組特解：，所以原方程的一切整數(shù)解為： .【規(guī)律總結(jié)】解二元一次不定方程通常先判定方程有無解。若有解，可先求一個特解，從而寫出通解。當不定方程系數(shù)不大時，可以通過帶余除法或逐漸減小系數(shù)法求其特解，進而得其通解；定理3.元一次不定方程，()有

3、整數(shù)解的充要條件是.【例題分析】3求不定方程的正整數(shù)解.解：先確定系數(shù)最大的未知數(shù)的取值范圍，因為的最小值為1，所以 .當時，原方程變形為，即，由上式知是偶數(shù)且，故方程組有5組正整數(shù)解，分別為，；當時，原方程變形為，即，故方程有3組正整數(shù)解，分別為：，；當時，原方程變形為，即，故方程有2組正整數(shù)解，分別為：，；當時，原方程變形為，即，故方程只有一組正整數(shù)解：.故原方程有11組正整數(shù)解（如下表）：246810246242131074196352111111222334【規(guī)律總結(jié)】解元一次不定方程時，可先順次求出，.若 ，則方程無解；若|，則方程有解，作方程組：，求出最后一個方程的一切解，然后把的

4、每一個值代入倒數(shù)第二個方程，求出它的一切解，這樣下去即可得到方程的一切解.（二）高次不定方程（組）及其解法1因式分解法：對方程的一邊進行因式分解，另一邊作質(zhì)因式分解，然后對比兩邊，轉(zhuǎn)而求解若干個方程組.因式分解法的理論基礎是整數(shù)的唯一分解定理，分解法作為解題的一種手段，沒有固定的程序可循，在具體的例子中才能有深刻的體會；4、 5、 證明：方程無整數(shù)解.解：對原方程進行變形、因式分解，左邊四個括號內(nèi)奇偶性相同，而為偶數(shù)，故括號內(nèi)每個都為偶數(shù)，則應出現(xiàn)，矛盾。所以原方程無整數(shù)解。評析：將所有字母項放在一起，進行因式分解，再與另一側(cè)數(shù)字項對比討論，推出矛盾.2不等式估計法：利用不等式工具確定不定方程

5、中某些字母的范圍，再分別求解.不等式估計法主要針對有整數(shù)解的方程，由于一個有限范圍內(nèi)的整數(shù)解至多有有限個，逐一檢驗，求出全部解； 6、解方程：.3無窮遞降法：假設關于正整數(shù)的命題對于某些正整數(shù)成立，設是使成立的最小正整數(shù)，如果推導得出：存在，使得，成立，則推出矛盾. 無窮遞降法適合證明不定方程無正整數(shù)解的問題，它的核心是設法構(gòu)造出方程的新解，使得它比已選擇的解“嚴格地小”，由此產(chǎn)生矛盾。7、 （三）求不定方程的整數(shù)解將轉(zhuǎn)化為 后，若可分解為 ，則解的一般形式為，再取舍得其整數(shù)解；7、求不定方程的所有正整數(shù)解。解：8、求一切實數(shù)使得三次方程的三個根均為自然數(shù)。注：本題解法不唯一【鞏固練習】1、（

6、2005年預賽）等差數(shù)列3、10、17、2005與3、8、13、2003中，值相同的項有 個.2、（2010年預賽）使方程組至少有一解，且所有解都是整數(shù)解的有序?qū)崝?shù)對共有 對.3、（2011年預賽）方程的解集為 .4、（2013年預賽）關于實數(shù)的方程的解集為 .5、設是整數(shù)，且表示兩個相鄰正整數(shù)的積，則 6、滿足方程的正整數(shù)為7、 不定方程的整數(shù)解為8、滿足方程且使是最大的正整數(shù)解為9、方程的所有正整數(shù)解為10、已知實數(shù)滿足方程，則11、設，則使得是完全平方數(shù)的有序整數(shù)對（）的個數(shù)為12、在直角坐標平面上，以（199，0）為圓心，以199為半徑的圓周上的整點有 個.【參考答案】1、58 個2、34、5、設，故.當時，；當時，；當時，；6、由所以方程的兩個根為7、8、由已知得： 9、不妨設利用的值討論得出：10、11解：由于，可得：又，于是若是完全平方數(shù)，則必有。然而，于是必有，即，此時，。所以所求的有序整數(shù)對（）共有98對：12解：設為圓