第十章雙線性函數(shù)與辛空間

1、第十章 雙線性函數(shù)與辛空間1、 設(shè)V是數(shù)域P上的一個三維線性空間，是它的一組基，f是V上的一個線性函數(shù)，已知 f (+)=1,f (-2)=-1,f (+)=-3 求f (X+X+X).解 因為f是V上線性函數(shù)，所以有 f () f ()=1 f ()-2 f ()=-1 f ()+f ()=-3解此方程組可得 f ()4，f ()7，f ()3于是 f (X+X+X).X f ()X f ()X f () 4 X7 X3 X2、 設(shè)V及，同上題，試找出一個線性函數(shù)f ,使 f (+)f (-2)=0, f (+)=1解 設(shè)f為所求V上的線性函數(shù)，則由題設(shè)有 f () f

2、()=0 f ()-2 f ()=0 f ()+f ()=1解此方程組可得 f ()1，f ()2，f ()1 于是aV,當(dāng)a在V的給定基，下的坐標(biāo)表示為 a= X+X+X時，就有 f (a)=f (X+X+X) = X f ()X f ()X f () =-X+2 X+ X3、 設(shè)，是線性空間V的一組基，f1,f2,f3是它的對偶基，令 1，2，3 試證：1，2，3是V的一組基，并求它的對偶基。 證： 設(shè) （1，2，3）（，）A 由已知，得 A 因為0，所以1，2，3是V的一組基。 設(shè)g1,g2,g3是1，2，3得對偶基，則 （g1,g2,g3）（f1,f2,f3）（A） （f1,f2,f3

3、） 因此 g1=f2-f3 g2=f1-f2+f3 g3=-f1+2f2-f3 4.設(shè)V是一個線性空間，f1,f2,fs是V中非零向量，試證：V，使 fi()0 (i=1,2,s) 證：對s采用數(shù)學(xué)歸納法。 當(dāng)s1時，f10,所以V，使fi()0，即當(dāng)s1時命題成立。 假設(shè)當(dāng)s=k時命題成立，即V，使fi()=i0 (i=1,2,k) 下面證明s=k+1時命題成立。 若f()0,則命題成立，若f()0，則由f0知，一定V 使f()b,設(shè)fi()=di(i=1,2,k),于是總可取數(shù)c0，使 ai+cdi0(i=1,2,k) 令，則V，且 fi()=ai+cdi0(i=1,2,k)f()cb0即

4、證。5設(shè)1，2，s是線性空間V中得非零向量，試證： fi()0 (i=1,2,s)證：因為V是數(shù)域P上得一個線性空間，V是其對偶空間，若取定V中得一個非零向量，則可定義V的一個線性函數(shù)如下： (f)=f() (fV)且是V的對偶空間（V)中的一個元素，于是，V到其對偶空間的對偶空間（V)的映射 是一個同構(gòu)映射，又因為1，2，s是V中的非零向量，所以1，2，s對偶空間V的對偶空間（V)中的非零向量，從而由上題知，fV使f()i(f) 0 (i=1,2,s)即證.6.設(shè)VPx,對P(x)=C0+C1x+C2xV,定義 f(p(x)= f(p(x)= f(p(x)=試證f， f， f都是V上線性函數(shù)

5、，并找出V的一組基p1(x),p2(x),p3(x),使f， f， f是它的對偶基。證：先證是V上線性函數(shù)，即fV，對g(x),h(x) V, kP,由定義有 f（g(x)h(x)） f(g(x)+ f(h(x) f(kg(x)= =k=k f(g(x)即證f。同理可證f， fV。再設(shè)p1(x),p2(x),p3(x) 為V的一組基，且f， f， f是它的對偶基。若記 P1(x)= C0+C1x+C2x則由定義可得 f(p(x)=C0+C1+C2=1 f(p(x)=2C0+2C1+ C2=0 f(p(x)=-C0+C1-C2=0 解此方程組得 C0=C1=1,C2=- 故 P1(x)=1+x-

6、 x 同理可得 p2(x)=- + x p3(x)= -+x- x7.設(shè)V是個n維線性空間，它得內(nèi)積為（，），對V中確定得向量，定義V上的一個函數(shù)： （）=（，）1） 證明是V上的線性函數(shù)2） 證明V到V的映射是V到V的一個同構(gòu)映射（在這個同構(gòu)下，歐氏空間可看成自身的對偶空間。）3） 證：1）先證明是V上的線性函數(shù)，即V，對1，2V，kP，由定義有： （12）（，12） （，1）（，2） （1）（2） （k1）=（，k1）=k（，1）=k（1） 故是V上的線性函數(shù)。2）設(shè)，是V的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基，且對V由定義 （）（）(i=1,2,n)知 （）（，）于是，是，的對偶基，從而V到V的映射是V與V中

7、兩基間的一個雙射因此它也是V到V的一個同構(gòu)映射8設(shè)是數(shù)域P上N維線性空間V得一個線性變換。1）證明，對V上現(xiàn)行函數(shù)f，f仍是V上的線性函數(shù)；2）定義V到自身的映射為ff證明是V上的線性變換；3）設(shè)，是V的一組基，f， f， f是它的對偶基，并設(shè)在，的矩陣為A。證明：在f， f， f下的矩陣為A。證：1）對V，由定義知（f）（）f（）是數(shù)域P中唯一確定的元，所以f是V到P的一個映射。又因為，V，kP,有（f）（）f（） f（）（） （f）（）（f）（） （f）（k）f（k）= f（k （） =k f（）=k（f）（）所以f是V上線性函數(shù)。2）對fV，有（f）= fV,故是V上的線性變換。3）由題

8、設(shè)知 （，）（，）A設(shè)（f， f， f）（f， f， f）B其中A=(a),B=(b),且f， f， f是，的對偶基，于是 f（f），所以a= b(i,j=1,2, n),即證在f， f， f下的矩陣為B=A. 9.設(shè)V是數(shù)域P上的一個線性空間，f， f， f是V上的n個線性函數(shù)。 1）證明：下列集合 WVf()=0(1in)是V的一個子空間，W成為線性函數(shù)f， f， f的零化子空間； 2）證明：V的任一子空間皆為某些線性函數(shù)的零化子空間。 證：1）因為f， f， f是V上的n個線性函數(shù)，所以fV(1in)，且f(0)=0(i=1,2, n)，因而0W，即證W非空。又因為，V，P，有 f()f

9、()f()0 (i=1,2, n) f() f()0所以W，W，即證W是V的一個子空間。2）設(shè)W是V的任一子空間，且dim（W）m,則當(dāng)mn時，只要取f為V的零函數(shù)，就有 WVV f ()=0所以W是f的零化子空間。當(dāng)m<n時，不妨設(shè)，為W的一組基，將其擴充為V的一組基，并取這組基的對偶基f， f， f的后n-m個線性函數(shù)f,f,f,則 W=V=Vf()=0(m+1in)即W是f,f,f的零化子空間，事實上，若令 UVf()=0(m+1in)則對a+a+aW,有 f()= f()= =f()=0因而U，即W U。 反之，b+b+b+b+bU，由f()= f()= =f()=0，可得bb=

10、b=0,因而b+b+b+b+bW，即UW，故UW。10設(shè)A是數(shù)域P上的一個m極矩陣，定義P上的一個二元函數(shù) f(X,Y)=tr(XAY) (X,YP)1) 證明f(X,Y)是P上的雙線性函數(shù)；2) 求f(X,Y)在基E,E,E,E,E,E,E,E下的度量矩陣。證：1）先證f(X,Y)是P上的雙線性函數(shù)，對X,Y,ZP,k,kP由定義有 f (X, kY+ k,Z)=tr(XA(kY+ kZ) = ktr(XAY)+ ktr(XAZ) = k f(X,Y) + k f(Y,Z)因而f(X,Y)是P上的雙線性函數(shù)。 2）由EAEaE知 f (E, E)=tr(EAE)=tr(aE) =以下設(shè)f(X

11、,Y)在基E,E,E,E,E,E,E,E下的度量矩陣為B，則 B=其中，E為n階單位矩陣。11在P中定義一個雙線性函數(shù)f(X,Y),對 X（x1,x2,x3,x4）,Y=(y1,y2,y3,y4)P有 f (X,Y)=3x1y2-5x2y1+x3x4-4x4y31)給定P的一組基 （1，2，1，0），（1，1，1，0） （1，2，1，1）， （1，1，0，1）求f (X,Y)在這組基下的度量矩陣；2）另取一組基，且 （，）（，）T其中 T求f (X,Y)在這組基下的度量矩陣。解 1）設(shè)f (X,Y)在給定基，下的度量矩陣為A=(a),則 A 其中af (,).3) 設(shè)f (X,Y)在給定基，下

12、的度量矩陣為B,則由 （，）（，）T 可得 B=TAT=12.設(shè)V是復(fù)數(shù)域上的線性空間，其維數(shù)n>=2,f ()是V上的一個對稱雙線性函數(shù)。 1）證明V中有非零向量使f (，)0 2）如果f ()是非退化的，則必有線性無關(guān)的向量，滿足 f (，)1 f (，)f (，)0證1）設(shè)，為復(fù)數(shù)域上N維線性空間V的一組基，f ()是V上的對稱雙線性函數(shù)，則f ()關(guān)于基，的度量矩陣A為對稱矩陣，于是，存在非退化的矩陣T，使 TAT=B若令 （，）（，）T則，也是V的一組基，且f ()關(guān)于基，的度量矩陣為B，因此X+ X+X,= Y+ Y+YV,有 f(,)=X Y+ X Y+ +X Y f(,)

13、=X+X+X (0rn)故而當(dāng)r=0時，對V中任一非零向量，恒有f(,)=0；當(dāng)r=1時，只要取0，就有f(,)=0；當(dāng)r2時，只要取i+0，就有f(,)=0；2)如果f ()是非退化的，則f(,)=X Y+ X Y+ +X Y 因而只要取 +，=就有 f(,)=（）（）（）1 f(,)=（）（）0 f(,)=（）（）0即證。13試證：線性空間V上雙線性函數(shù)f ()是反對稱的充要條件是：對任意的V，都有 f()=0證：必要性。因為f ()是反對稱的，所以V，恒有 f()=f()故f()=0充分性。因為f ()是雙線性函數(shù)，所以V，有 f (+,+)=f()=f(,)=0故 f ()f(,)即

14、f ()是反對稱的。14設(shè)f ()是V上對稱或反對稱的雙線性函數(shù)，是V中的兩個向量，若f ()0，則稱正交，再設(shè)K是V的一個真自空間，證明：對K必有 0K+L() 使f(,)0對所有K都成立證明 ：1）先證f ()是對稱的雙線性函數(shù)的情形。 因為K是V的子空間，所以f ()是K上的對稱雙線性函數(shù)，設(shè)dim（K）r則f ()關(guān)于K的任意一組基的度量矩陣皆為對稱矩陣，于是，必存在K的一組基，使f ()在這組基下的度量矩陣為對角矩陣 Ddiag(d,d, d)只要令 且當(dāng)d=0(1ir)時，就刪除d相應(yīng)的項，則0K+L()，于是對任意K,恒有 f(,)02）再證f ()是反對稱雙線性函數(shù)的情形，首先

15、，若對給定K，若存在K，使f(,)=0,則可令，使得f(，)=1.又因為K+L()是V的子空間，所以f ()也是K+L()上的反對稱雙線性函數(shù)，于是可將，擴充為K+L()的一組基： ，使 故而當(dāng)s0時，只要取，則對K，恒有f(,)=0;當(dāng)s=0時，只要取，則由，K=L(，),對K，也有f(,)=0。其次，若對給定的K，及任意K，使f(,)=0,則只要取即可。15設(shè)V與f ()同上題，K是V的一個子空間，令 = 1)試證K是V的子空間（K稱為K的正交補）； 2）試證：如果KK0,則VKK 證：1）因為K，恒有f(0, )=0,所以0K，即K非空。 另一方面，K，kP, K，有 f(+,)=f(,

16、)+f(,)=0 f(k,)=k f(,)=0故+， kK，從而K是V的子空間。2）由于K和K都是V的子空間，知 K+ KV不妨設(shè)K是V的一個真子空間，V,若K，則證畢，若K，則存在 0K+L()，使 f(,)=0 （K）于是K。又因為 k (K,kP)顯然K 0,否則 K K0從而0，這是不可能的。因此有 K+ K故V K+ K。即證。16設(shè)V，K同上題，并設(shè)f(,)限制，試證： VK+ K的充要條件是f(,)在V上是非退化的.證：必要性。設(shè)VK+ K，且f(,) 0 （K）下證0，設(shè)+，K，K，則K，有 0f(,)f(+,)f(,)f(,) f(,)由于f(,)在K上是非退化的，故0，從而

17、K同理，K，由f(,)0可得（K），但K K0因而得知0。充分性：設(shè)K K，若0，則只要將擴充為一組基，由于K，因而必有 于是，K，皆有f(,)0，這與f(,)限制在K上非退化矛盾，所以0，也就是K K0由此即證V= K+ K.17.設(shè)f(,)是N維線性空間V上的非退化對稱雙線性函數(shù)，對V中的一個元素定義V中的一個元素： （）f(,)（V）試證： 1）V到V的映射 是一個同構(gòu)映射。 2）對V的每組基，有V的唯一的一組基，使f(,)4） 如果V是復(fù)數(shù)域上的N維線性空間，則有一組基，使 (i=1,2n)證：1）因為f(,)是N維線性空間V上的非退化對稱雙線性函數(shù)，所以存在V的一組基，使 f (,)

18、=再由V的定義作，V，設(shè)有線性關(guān)系 k+k+k=0則00（）（k+k+k）（） k（）k（）+k（）kf (,)+k f (,)+k f (,)=kd (i=1,2n)但d0(i=1,2n)，故 k=0(i=1,2n)這意味著，線性無關(guān)，因而，為V的一組基，故V到V的映射是一個雙映射。另一方面，V，kP,有 （）（）f (,)f (,)f (,) （）（） (k)（）= f (k,)=k f (,)=k（）故V到V的映射是一個同構(gòu)映射。 2）設(shè)V中的線性函數(shù)f,f,f是V的基，的對偶基，于是存在V的唯一一個向量組，,，使 （）f(,）= f (） (V,i=1,2,n) 且 （）f(,）=f（

19、）=另一方面，設(shè)有線性關(guān)系 k+ k +k=0則 0f (k+ k +k)() = kf(,)+k f(,)+k f(,) =k (i=1,2,n)故k=0(i=1,2,n)。這意味著，,線性無關(guān)，因而，,為V的一組基。只要令，即證。3）因為V是復(fù)數(shù)域上·1的N維線性空間，f(,)是N維線性空間V上的非退化對稱雙線性函數(shù)，所以存在V的一組基，使f(,)在這組基下的度量矩陣為單位矩陣。再由2即可知 (i=1,2n)18設(shè)V是對于非退化對稱雙線性函數(shù)f(,)N維準(zhǔn)歐氏空間，V的一組基，如果滿足 f (,)=1 (i=1,2p) f (,)=-1 (i=p+1,p+2, ,n) f (,)=0 (ij)則稱為V的一組正交基。如果V上的線性變幻滿足 f(),()=f(,) (,V)則為V的一個準(zhǔn)正交變換。試證：1） 準(zhǔn)正交變換是可逆的，且逆變換也是準(zhǔn)正交變換；2） 準(zhǔn)正交變換的乘積也是準(zhǔn)正交變換3） 準(zhǔn)正交變換的特征值等于1或1；4） 準(zhǔn)正交變換在正交積上的矩陣A滿足 A A證： 1）因為f(,)是非退化的對稱雙線性函數(shù)，所以存在V的